1、2019 届 高 三 入 学 调 研 考 试 卷文 科 数 学 （ 一 ）注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答
2、 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 1复数2i等于（ ）A 4iB 4iC 2iD 2i【答案】C【解析】 22iii1，故选 C2已知集合 |3Axy， 0,1234B，则 AB（ ）A B0,12C D0,123 ,
3、34【答案】C【解析】 集合 |3|Axyx， 0,12B， 0,12B，故选 C3函数 lncos2yx的图象是（ ）A B C D【答案】B【解析】由题得 lncoslcsfxxfx，所以函数 fx是偶函数，所以图像关于 y 轴对称，所以排除 A，C由题得 1ln032，所以 D 错误，故答案为 B4已知两个单位向量 a和 b夹角为 60，则向量 ab在向量 方向上的投影为（ ）A 1B 1C 12D 12【答案】D【解析】 cos602ab，则向量 在向量 方向上的投影为： 21cosabbab故选 D5已知双曲线21(0)6xym的虚轴长是实轴长的 2 倍，则双曲线的标准方程为（ ）A
4、214xyB 148xyC 28D2【答案】D【解析】双曲线21(0)6xym的虚轴长是实轴长的 2 倍，可得 2=6m，解得 2m，则双曲线的标准方程是218xy故选 D6从甲、乙、丙、丁四人中随机选出 人参加志愿活动，则甲被选中的概率为（ ）2A 14B 13C 12D 23【答案】C【解析】从甲、乙、丙、丁四人中随机选出 人参加志愿活动，2包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁 6 种情况，甲被选中的概率为 3162故选 C7学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。老师们目送着大家远去，渐行渐远 执行如图所示的程序框图，若输入 64x，则输出的结果为（ ）A2 B3 C4 D5
5、【答案】C【解析】输入 64x， 1i， 640x， 21log63x， 12i；30x， 2log3， 3i；21l， 2l()x， 14i；log(3)0x，结束运算，输出 i，故选 C8在 ABC 中， 1a， 3b， 6A，则角 B等于（ ）A 3或 2B 23C 3D 4【答案】A【解析】 1a， b， 6A，由正弦定理得： sinB则13sin2ibAa，又 0B， ba， 3或 2故选 A9在长方体 1ACD中， 1C， 与 1B所成的角为 30，则 1A（ ）A 3B3 C 5D 6【答案】D【解析】如图所示，连接 1AC， 1BA ， 是异面直线 1与 B所成的角，即 130
6、AC，在 1RtC 中， 21 2，在 中，有 1tan30A，即 16tan30AC故选 D10将函数 cos2in3cos302xxf的图象向左平移 3个单位，得到函数ygx的图像，若 ygx在 0,4上为增函数，则 的最大值为（ ）A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】函数 cos2in3cos302xxf1cossin233sin3cos2in3xxxx ，f的图象向左平移 个单位，得 siy的图象，函数 2sinygx；又 在 0,4上为增函数， 4T，即 24，解得 2，所以 的最大值为 2故选 B11函数 fx对任意的实数 x都有 21ffxf，若 1yfx的图像关于 1x对称
7、，且 02f，则 01728ff（ ）A0 B2 C3 D4【答案】B【解析】因为 1yfx的图像关于 1x对称，所以 f的图像关于 0对称，即 f为偶函数，因为 21fxff，所以 12fff，所以 10f， 2fxf，因此 2070ff， 8ff， 17082ff，故选 B12双曲线2:1xyEab的半焦距为 c， 1F， 2分别为 E的左右焦点，若 E上存在一点 P，使得21cPF，则 P离心率的取值范围是（ ）A ,3B 3,C 1,2D 2,【答案】D【解析】设 ,Pxy，则 222212 1xPFcxycxycybca， ，222baa， 20c， ce故选 D二 、 填 空 题
8、： 本 大 题 共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 13曲线 5e2xy在点 0,3处的切线方程为_【答案】 【解析】 5e2xy 的导数 5exy ，则在 0处的切线斜率为 0，切点为 0,3，则在 x处的切线方程为 53yx，即为 5xy故答案为 530y14若变量 x， 满足约束条件2534xy，则 zxy的取值范围是_【答案】 1,7【解析】作出不等式组2534xy对应的平面区域如图所示阴影部分 ABC ；由 zxy得 xz，即直线的截距最大， z也最大；平移直线 ，可得直线 yx经过点 3,4C时，截距最大，此时 z最大，即 347z；经过点 A时，截距最小，由 = 25y，得
9、3 =xy，即 ,A，此时 z最小，为 341z；即 z的取值范围是 1,7，故答案为 ,715已知 0,， tan2，则 cos_【答案】 53【解析】 0,， tan2， 0,2，则22sin1cos44co，解得 5cos 213ss2故答案为 5316设直三棱柱 1ABC的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是 40，1AB， 20，则此直三棱柱的高是_【答案】 2【解析】因为球的表面积是 40，所以 24R， 10，设 1ABCx，则 222cos3BCxx， 3BCx，设 的外接圆的半径为 r，则 3sin10r， 由题得 2210x， 2x，所以此直三棱柱的高是 故答案为 三 、
10、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算步 骤 17 （12 分）设 nS为数列 na的前 项和，已知 3a， 12nan（1）证明： 1a为等比数列；（2）求 n的通项公式，并判断 n， a， nS是否成等差数列？【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】 （1）证明： 37a， 32， 23， 2na， 1， 1122nna， na是首项为 2，公比为 2 的等比数列（2）由（1）知， 1na， 1na，12nS， 1210nnna 2S，即 ， n， S成等差数列18 （12 分）某商品要了解
11、年广告费 x（单位：万元）对年利润 y（单位：万元）的影响，对近 4年的年广告费 ix和年利润 1,24iy数据作了初步整理，得到下面的表格：广告费 x2 3 4 5年利润 y26 39 49 54（1）用广告费作解释变量，年利润作预报变量，建立 y关于 x的回归直线方程；（2）根据（1）的结果预报广告费用为 6 万元时的年利润附：对于一组数据 1,xy， 2,， nxy,，其回归直线 ybxa的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 12niiiiibx， aybx【答案】 （1） 9.4.1y；（2） 6时， 5.y万元【解析】 （1） 357x， 23942，由表中数据与附中公式，得127.5
12、 94niiiiixyb，74291aybx所以回归方程为 1yx（2）回归方程为 yx6x时， 9.4651万元广告费用为 6 万元时的年利润为 6.万元19 （12 分）在三棱柱 1ABC中，已知侧棱与底面垂直， 90CAB，且 1AC， 2， E为 的中点， M为 AC上一点， 23（1）若三棱锥 1ACME的体积为 26，求 1A的长；（2）证明： B 平面 1【答案】 （1） 2 （2）见解析【解析】 （1）设 1Ah， 11ACEMV， 112ChSA ，三棱锥 1EACM的高为 2， 1236h，解得 ，即 12（2）如图，连接 1B交 E于 F，连接 M E为 1B的中点， 1
13、23AFB， 又 23AMC， ，而 F平面 1， 1平面 1EM， 1C 平面 1AEM20 （12 分）已知抛物线 2:(0)ypx，斜率为 的直线 l交抛物线 C于 A， B两点，当直线1l过点 ,0时，以 AB为直径的圆与直线 1相切（1）求抛物线 C的方程；（2）与 1l平行的直线 2l交抛物线于 C， D两点，若平行线 1l， 2之间的距离为 2，且 OCD 的面积是 OAB 面积的 3倍，求 1l和 2的方程【答案】 （1） 24yx；（2） :yx， 2lx或者 1:2lyx， 3lx【解析】 （1）设 直线方程为 b代入 yp得 20bp，22480bpbp，设 1Axy,，
14、 2Bxy,， 12xbp， 21xb，4，当 1b时， 2p， AB的中点为 1p,，依题意可知 21，解之得 2，抛物线方程为 4yx（2） O到直线 1l的距离为 2bd，41ABS b因为平行线 1l， 2之间的距离为 2，则 CD的直线方程为 1yxb， 12OCDSb 依题意可知 322，即 21bb，化简得 30b， 或 代入 0， 1:2lyx， 1lx或者 :2lyx， 3lx21 （12 分）已知函数 lnfa， 1,()agR（1）若 a，求函数 fx的极值；（2）设函数 hxfgx，求函数 hx的单调区间；【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】 （1） fx的定义
15、域为 0,，当 a时， lnf， 1xfx，0,1 1,fx 0 +f单调递减 极小值 单调递增所以 fx在 1处取得极小值 1函数没有极大值（2） lnahx，22 211xaax ，当 0a时，即 1a时，在 1,上 hx，在 ,上 0hx，所以 在 0a,上单调递减，在 1,a上单调递增；当 1，即 1时，在 0,上 0hx，所以函数 hx在 0,上单调递增请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22 （10 分） 【选修 44：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 xOy中，倾斜角为 2的直线 l的参数方程为 1cosinxty为 参 数 以坐标原点为极点
16、，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程是2cos4in0（1）写出直线 l的普通方程和曲线 C的直角坐标方程；（2）已知点 1,0P若点 M的极坐标为 12,，直线 l经过点 M且与曲线 C相交于 A， B两点，求 A， B两点间的距离 AB的值【答案】 （1）见解析；（2）8【解析】 （1） :tan1lyx； 曲线 C的直角坐标方程为 24xy；（2） M的极坐标为 2,，点 M的直角坐标为 01, tan1，直线 的倾斜角 34直线 l的参数方程为 21xty为 参 数代入 24xy，得 260tt 设 A， B两点对应的参数为 1t， 2，则 126 t， 1212124748ttt23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲 】已知函数 fx（1）求不等式 21fx的解集；（2）关于 x的不等式 3ffxa的解集不是空集，求实数 a的取值范围【答案】 （1） ,1,A；（2） 1,【解析】 （1） fx， 0x，当 1x时，不等式可化为 120x，解得 1x，所以 1x；当 2，不等式可化为 1，解得 ，无解；当 x时，不等式可化为 120x，解得 1x，所以 x综上所述， ,A（2）因为 2312121fxfxx，且 ffa的解集不是空集，所以 1a，即 的取值范围是 1,