1、2019 届 高 三 入 学 调 研 考 试 卷理 科 数 学 （ 二 ）注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形 码 粘贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 ，写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答
2、 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 12 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 1已知集合 2|30Ax， 2|4Bx，则 AB（ ）A 2,B 1,C 1,D 1,2【答案】A【解析】由一元二次不等式的解法可得，集合 23031xx或 ， 2|4|2Bxx，所以
3、 12,AB，故选 A2 i为虚数单位，复数 iz在复平面内对应的点所在象限为（ ）A第二象限 B第一象限 C第四象限 D第三象限【答案】C【解析】 2i1i1iiz，复数 2i1z在复平面内对应坐标为 1,，所以复数2i1在复平面内对应的点在第四象限，故选 C3甲乙两名同学 6 次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为 甲x、 乙 ，标准差分别为 ,甲 乙，则（ ）A 甲 乙x， 甲 乙B 甲 乙x， 甲 乙C 甲 乙 ， 甲 乙 D 甲 乙 ， 甲 乙【答案】C【解析】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知 甲 乙x，图中数据显示甲同学的成绩
4、比乙同学稳定，故 甲 乙故选 C4已知函数 324xf，则 fx的大致图象为（ ）A BC D【答案】A【解析】因为 324xff，所以函数为奇函数，排除 B 选项，求导：4210fx，所以函数单调递增，故排除 C 选项，令 10x，则 104f，故排除 D故选 A5已知向量 3,a， ,b， ,3kc，若 2abc，则 k等于（ ）A 2B2 C D1【答案】C【解析】因为 abc， 3,ab，所以 30k， 3k，故选 C6已知函数 2sinfxx， 0,的部分图像如图所示，则 ， 的值分别是（ ）A 31,4B 2,4C 34D 24【答案】C【解析】因为 512T， T， 2T，又因为
5、 f，所以 3sin4， 3sin14， 324kZ，5kZ， 0， ，故选 C7若过点 2,0有两条直线与圆 210xym相切，则实数 m的取值范围是（ ）A ,1B 1,+C ,D 1,【答案】D【解析】由已知圆的方程满足 240DEF，则 40m解得 ；过点有两条直线与圆相切，则点在圆外，代入有 1，解得 1，综上实数 m的取值范围 1m，故选 D8运行如图所示的程序框图，若输出的 S的值为 21，则判断框中可以填（ ）A 64?aB 64?aC 128?aD 128?a【答案】A【解析】运行程序如下： 1， 0S， ， ， S， 4， 4S， 8a，1248S， 6a， 24816，
6、32a， 181632， 6，故答案为 A9抛物线 2:0Eypx的焦点为 F，点 0,A，若线段 AF的中点 B在抛物线上，则BF（ ）A 54B 52C 2D 324【答案】D【解析】点 F的坐标为 ,0p，所以 A、 F中点 B的坐标为 ,1p，因为 B在抛物线上，所以将B的坐标代入抛物线方程可得：21，解得： 2p或 （舍） ，则点 F坐标为 2,0，点 B的坐标为 ,4，由两点间距离公式可得 324BF故选 D10将半径为 3，圆心角为 3的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（ ）A 2B C 43D 2【答案】A【解析】设圆锥的底面半径为 r，高为 h，则 2r， 1r，
7、231h，设内切球的半径为 R，则 132， 2R，3342VR，故选 A11 BC 的内角 ， B， C的对边分别为 a， b， c，且 sin1AbBCac，则 C为（ ）A 6B 3C 23D 56【答案】B【解析】由正弦定理可得： sin2aAR， sin2bB， sin2cR， sin1AbabCcc，整理可得： aab，由余弦定理可得：22os，由 0,C，可得： 3C故选 B12已知可导函数 fx的定义域为 ,0，其导函数 fx满足 20fxf，则不等式22017017fxf的解集为（ ）A ,8B 2018,7C 201, D ,【答案】B【解析】令 2,0fxg， 24320
8、xffxffxg，因为 201717f f，所以 2010xgxxg+，因为 在 ,0单调递减，所以 217201720187xxxgg，故选 B二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在题中横线上）13已知实数 x， y满足约束条件206 3xy，则 23zxy的最小值是_【答案】 8【解析】实数 x， y满足约束条件206 3xy的可行域如图：目标函数 23zxy，点 2,4A， z在点 A处有最小值： 2348z，故答案为 814春节期间,某销售公司每天销售某种取暖商品的销售额 y（单位：万元）与当天的平均气温x（单位：）有关现收集了春节期间这个销售公司 4
9、 天的 x与 的数据列于下表：平均气温（） 2356销售额（万元） 20 23 27 30根据以上数据，求得 y与 x之间的线性回归方程 ybxa的系数 125b，则 a_【答案】 75【解析】由题意可得： 23564x， 20370254y， 17245aybx故答案为 715已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该三棱柱最大侧面的面积为_【答案】 5【解析】正视图、侧视图为长方形，俯视图为三角形的几何体为三棱柱，由图形可知面 DA的面积最大为 16在直角坐标系 xOy中，如果相异两点 ,Aab， ,Bb都在函数 yfx的图象上，那么称A， B为函数 f的一对关于原点成中心对称的点（ ， 与 ，
10、 A为同一对）函数6sin0 2logxf的图象上有_对关于原点成中心对称的点【答案】3【解析】 yfx关于原点的对称图像的解析式为 yfx，因此 f关于原点对称的点的个数实际上就是 ff在 0,上解的个数又当 0x时， sin2fx，考虑 sin2yx与 6logyx在 ,上的图像的交点的个数如下图所示，它们有 3 个公共点，从而 f有 3 对关于原点对称的点三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17 （12 分）已知数列 na的前 项和 nS满足 2*n（1）求数列 n的通项公式；（2）设 *3ab，求数列 nb的前 项和 nT【答案】 （1）
11、 n；（2） 1342nT【解析】 （1）当 时， 1aS；当 n时， 1aS，符合上式综上， na（2） 3b，则 1233nnT，2431nnT， 231133nnn ， 14T18 （12 分）某少儿游泳队需对队员进行限时的仰卧起坐达标测试已知队员的测试分数 与仰卧y起坐个数 x之间的关系如下：0,3648,51xy；测试规则：每位队员最多进行三组测试，每组限时 1 分钟，当一组测完，测试成绩达到 60 分或以上时，就以此组测试成绩作为该队员的成绩，无需再进行后续的测试，最多进行三组；根据以往的训练统计，队员“喵儿”在一分钟内限时测试的频率分布直方图如下：（1）计算 a值；（2）以此样本
12、的频率作为概率，求在本次达标测试中， “喵儿”得分等于 的概率；80“喵儿”在本次达标测试中可能得分的分布列及数学期望【答案】 （1） 0.3a；（2）见解析【解析】 （1） 1.051， 0.3a（2）由直方图可知， “喵儿”的得分 情况如下：0 60 80 100p.10.30.50.1在本次的三组测试中， “喵儿”得 80 分为事件 A，则“喵儿”可能第一组得 80 分，或者第二组得 80 分，或者第三组得 80 分，则 0.51.0.150.PA； ，60.310103.，1.5.P，分布列如下：0 60 80 100p.1.30.50.1数学期望 0.160.38.5.17.48E1
13、9 （12 分）如图，正三棱柱 ABCA 1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为 CC1 中点（1）求证：AB 1平面 A1BD；（2）求锐二面角 AA 1DB 的余弦值；【答案】 （1）见解析；（2） 64【解析】 （1）取 BC 中点 O，连结 AOABC 为正三角形，AO BC 在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，平面 ABC平面 BCC1B1，AO平面 BCC1B1 取 B1C1 中点 O1，以 O 为原点， ， 1， OA的方向为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系：Oxyz，如图所示，则 B(1，0，0)，D (1，1，0) ，A1(0，2， 3)，A (0，0， 3)，B
14、 1(1，2，0)， 1,23AB， 2,10BD， 1,23BA 0， 1A， 1， ，AB 1 平面 A1BD（2）设平面 A1AD 的法向量为 ,xyzn,3()D， ,20() An， 1， 1ADn， 302xyz， 3yxz，令 1z得 (3,)0为平面 A1AD 的一个法向量由（1）知 AB1 平面 A1BD， B为平面 A1BD 的法向量， 1136cos 42Bn, 锐二面角 AA 1DB 的大小的余弦值为 20 （12 分）已知 23fx， 21ngxax且函数 fx与 g在 1x处的切线平行（1）求函数 g在 1,处的切线方程；（2）当 0,x时， 0xf恒成立，求实数
15、a的取值范围【答案】 （1） 2y；（2） ,4【解析】 （1） fx， 1n2gxa因为函数 f与 在 处的切线平行所以 1fg解得 4a，所以 14g， 12，所以函数 x在 ,1处的切线方程为 20xy（2）解当 0,时，由 gxf恒成立得 ,时，21n3xa即 321na恒成立，设 321n(0)hxx，则 21x ，当 0,1x时， 0hx， 单调递减，当 ,时， ， hx单调递增，所以 min14hx，所以 a的取值范围为 ,421 （12 分）设椭圆21(0)xyb的右顶点为 A，上顶点为 B已知椭圆的离心率为 53，13AB（1）求椭圆的方程；（2）设直线 :(0)lykx与椭
16、圆交于 P， Q两点， l与直线 AB交于点 M，且点 P，M 均在第四象限若 BPM 的面积是 B 面积的 2 倍，求 k的值【答案】 （1）2194xy；(2) 【解析】 （1）设椭圆的焦距为 2c，由已知得259ca，又由 22abc，可得 3ab由 213ABab，从而 3a， b所以椭圆的方程为294xy（2）设点 P 的坐标为 1,，点 M 的坐标为 2,xy，由题意， 210x，点 Q的坐标为 1,由 BM 的面积是 B 面积的 2 倍，可得 |=2|PQ，从而 211xx，即 15x易知直线 AB的方程为 236y，由方程组 236xyk，消去 y，可得 263xk由方程组21
17、94xyk，消去 y，可得 12694xk由 215x，可得 294532kk，两边平方，整理得 21850k，解得 8k，或 1当 9时， 290x，不合题意，舍去；当 1k时， ， 125，符合题意所以， 的值为 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22 （10 分） 【选修 4-4：坐标系与参数方程 】以平面直角坐标系的原点为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线 l的参数方程是320,1xtmty为 参 数，曲线 C的极坐标方程为 2cos（1）求直线 l的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2）若直线 与 x轴交于点 P，与曲线 交于点
18、A， B，且 1P，求实数 m的值【答案】 （1）见解析；（2） 12m或 1【解析】 （1）直线 l的参数方程是 30,2xtmty为 参 数，消去参数 t可得 3xym由 2cos，得 2cos，可得 C的直角坐标方程： 2xy（2）把 312xty为 参 数，代入 2xy，得 2230tmt由 0，解得 13， 21tm， 2PABt， 2，解得 12或 1又满足 0， m，实数 12或 123 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲 】设函数 21fxx（1）解不等式 0f；（2）若 0xR，使得 24fxm，求实数 m 的取值范围【答案】 （1） 1|3或 ；（2） 152 【解析】（1）函数 3,121=2,xfxx，令 0fx，求得 13x，或 ，故不等式 f的解集为 1|3x或 ；（2）若存在 0xR，使得 204fm，即 204fxm有解，由（1）可得 f的最小值为 1531，故 254m，解得 52