1、2019-2020 学年江苏省淮安市金湖县八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下到图形中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）4 的平方根是（ ） A2 B2 C16 D16 3 （3 分）在平面直角坐标系中，点 P（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ） A （3，2） B （2，3） C （3，2） D （3，2） 4 （3 分）如图，已知12，则不一定能使ABDACD 的条件是（ ） AABAC BBDCD CBC DBDACDA 5 （3 分）下列以 a、b、c
2、 为边的三角形中，是直角三角形的是（ ） Aa4，b5，c6 Ba5，b6，c8 Ca12，b13，c5 Da1，b1，c 6 （3 分）在平面直角坐标系中，把直线 y2x3 沿 y 轴向上平移 2 个单位后，得到的直 线的函数表达式为（ ） Ay2x+2 By2x5 Cy2x+1 Dy2x1 7 （3 分）已知点 M（1，a）和点 N（2，b）是一次函数 y2x+1 图象上的两点，则 a 与 b 的大小关系是（ ） 第 2 页（共 25 页） Aab Bab Cab D以上都不对 8 （3 分）如图，折叠 RtABC，使直角边 AC 落在斜边 AB 上，点 C 落到点 E 处，已
3、知 AC 6cm，BC8cm，则 CD 的长为（ ） A6 B5 C4 D3 9 （3 分）已知一次函数 ykx+b，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，且 kb0，则函数 y kx+b 的图象大致是（ ） A B C D 10 （3 分）如图 1，在四边形 ABCD 中，ABCD，ABC90，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD 运动至点 D 停止设点 P 运动的路程为 x，ABP 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则BCD 的面积是（ ） A6 B5 C4 D3 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共
4、分，共 24 分）分） 11 （3 分）在实数，3.14，中，无理数有 个 12 （3 分）等腰三角形的两边长分别为 4 和 9，则这个三角形的周长为 第 3 页（共 25 页） 13 （3 分）如图，在ABC 和EDB 中，CEBD90，点 E 在 AB 上若ABC EDB，AC4，BC3，则 DE 14 （3 分）一次函数 y3x+2 的图象不经过第 象限 15 （3 分）如图，在ABC 中，ABC 和ACB 的平分线相交于点 F，过 F 作 DEBC， 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E若 BD3，DE5，则线段 EC 的长为
5、 16 （3 分）如图，在ABC 中，B40，BC 边的垂直平分线交 BC 于 D，交 AB 于 E， 若 CE 平分ACB，则A 17 （3 分）一次函数 y1kx+b 与 y2x+a 的图象如图，则 kx+bx+a 的解集是 18 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，BC4，面积是 12，AC 的垂直平分线 EF 分别 交 AB，AC 边于点 E，F若点 D 为 BC 边的中点，点 P 为线段 EF 上一动点，则PCD 周长的最小值为 第 4 页（共 25 页） 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 题，计题，计 66 分）
6、分） 19 （6 分）计算与求值： （1）计算：20190+ （2）求 x 的值：4x2250 20 （6 分）如图，ACAE，12，ABAD求证：BCDE 21 （6 分）已知一次函数 ykx+b 的图象经过点 P（3，3） ，Q（1，3） （1）求这个一次函数表达式； （2）若函数 ykx+b 的图象与 x 轴的交点是 A，与 y 轴交于点 B，求ABO 的面积（其 中 O 为坐标原点） 22 （6 分）如图，在ABC 中，ACB90，B30，CD，CE 分别是 AB 边上的中 线和高 （1）求证：AEED； （2）若 AC2，求CDE 的周长 23 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，已
7、知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（3，5） ， B（2，1） ，C（1，3） （1）画出ABC 关于 x 轴的对称图形A1B1C1； （2）画出A1B1C1沿 x 轴向右平移 4 个单位长度后得到的A2B2C2； （3）如果 AC 上有一点 M（a，b）经过上述两次变换，那么对应 A2C2上的点 M2的坐标 第 5 页（共 25 页） 是 24 （6 分）某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如表： x/元 15 20 25 y/件 25 20 15 已知日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 （1）求日销售量 y（件
8、）与每件产品的销售价 x（元）之间的函数表达式； （2）当每件产品的销售价定为 35 元时，此时每日的销售利润是多少元？ 25 （8 分）如图，在 RtABC 中，C90，BD 是ABC 的一条角平分线点 O、E、 F 分别在 BD、BC、AC 上，且四边形 OECF 是正方形 （1）求证：点 O 在BAC 的平分线上； （2）若 AC5，BC12，且正方形 OECF 的面积为 4，求ABO 的面积 26 （10 分） （1）如图 1，在 RtABC 中，ACB90，A60，CD 平分ACB 求证：CA+ADBC 小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC 关于直线 CD 的对称图形ADC，
9、CD 平分ACB，A点落在 CB 上，且 CACA，ADAD因此，要证的问题 转化为只要证 ADAB请根据小明的思考写出该问题完整的证明过程 第 6 页（共 25 页） （2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题： 如图 3，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，BCCD10，AC17，AD9，求 AB 的长 27 （12 分）如图，矩形 ABCD 中，AB6cm，AD8cm，点 P 从点 A 出发，以每秒一个单 位的速度沿 ABC 的方向运动；同时点 Q 从点 B 出发，以每秒 2 个单位的速度沿 B CD 的方向运动， 当其中一点到达终点后两点都停止运动 设两点运动的时间为 t 秒
10、 （1）当 t 时，两点停止运动； （2）当 t 为何值时，BPQ 是等腰三角形？ 第 7 页（共 25 页） 2019-2020 学年江苏省淮安市金湖县八年级（上）期末数学试卷学年江苏省淮安市金湖县八年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （3 分）下到图形中，不是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形 叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即
11、可 【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项正确； D、是轴对称图形，故此选项错误； 故选：C 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念 2 （3 分）4 的平方根是（ ） A2 B2 C16 D16 【分析】首先根据平方根的定义求出 4 的平方根，然后就可以解决问题 【解答】解：2 的平方等于 4， 4 的平方根是：2 故选：B 【点评】本题主要考查了平方根的定义和性质，根据平方根的定义得出是解决问题的关 键，比较简单 3 （3 分）在平面直角坐标系中，点 P（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标是（ ）
12、A （3，2） B （2，3） C （3，2） D （3，2） 第 8 页（共 25 页） 【分析】根据关于 x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出结论 【解答】解：根据轴对称的性质，得点 P（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标为（3， 2） 故选：D 【点评】本题考查平面直角坐标系点的对称性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐 标规律点 P（x，y）关于 x 轴的对称点 P的坐标是（x，y） 4 （3 分）如图，已知12，则不一定能使ABDACD 的条件是（ ） AABAC BBDCD CBC DBDACDA 【分析】利用全等三角形判定定理 ASA，SAS，AAS 对各个选项
13、逐一分析即可得出答案 【解答】解：A、12，AD 为公共边，若 ABAC，则ABDACD（SAS） ； 故 A 不符合题意； B、12，AD 为公共边，若 BDCD，不符合全等三角形判定定理，不能判定 ABDACD；故 B 符合题意； C、12，AD 为公共边，若BC，则ABDACD（AAS） ；故 C 不符合 题意； D、12，AD 为公共边，若BDACDA，则ABDACD（ASA） ；故 D 不 符合题意 故选：B 【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于 基础题 5 （3 分）下列以 a、b、c 为边的三角形中，是直角三角形的是（ ） Aa
14、4，b5，c6 Ba5，b6，c8 Ca12，b13，c5 Da1，b1，c 【分析】根据直角三角形的判定，符合 a2+b2c2即可 第 9 页（共 25 页） 【解答】解：A、因为 42+524162，所以以 a、b、c 为边的三角形不是直角三角形； B、因为 52+6282，所以以 a、b、c 为边的三角形不是直角三角形； C、因为 122+52132，所以以 a、b、c 为边的三角形是直角三角形； D、因为 12+12（）2，所以以 a、b、c 为边的三角形不是直角三角形； 故选：C 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行推理计 算是解决问题的
15、关键 6 （3 分）在平面直角坐标系中，把直线 y2x3 沿 y 轴向上平移 2 个单位后，得到的直 线的函数表达式为（ ） Ay2x+2 By2x5 Cy2x+1 Dy2x1 【分析】根据平移法则上加下减可得出平移后的解析式 【解答】解：由题意得：平移后的解析式为：y2x3+2，即 y2x1 故选：D 【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移法则“左加右减，上加下减”是 解题的关键 7 （3 分）已知点 M（1，a）和点 N（2，b）是一次函数 y2x+1 图象上的两点，则 a 与 b 的大小关系是（ ） Aab Bab Cab D以上都不对 【分析】根据一次函数的增减性，k0，y
16、随 x 的增大而减小解答 【解答】解：k20， y 随 x 的增大而减小， 12， ab 故选：A 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数的增减性求解更简便 8 （3 分）如图，折叠 RtABC，使直角边 AC 落在斜边 AB 上，点 C 落到点 E 处，已知 AC 6cm，BC8cm，则 CD 的长为（ ） 第 10 页（共 25 页） A6 B5 C4 D3 【分析】由折叠的性质知 CDDE，ACAE根据题意在 RtBDE 中运用勾股定理求 DE 【解答】解：由勾股定理得：AB10 由折叠的性质知，AEAC6，DECD，AEDC90 BEABAE1064，
17、在 RtBDE 中，由勾股定理得， DE2+BE2BD2 即 CD2+42（8CD）2， 解得：CD3 故选：D 【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的 性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 9 （3 分）已知一次函数 ykx+b，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，且 kb0，则函数 y kx+b 的图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据一次函数的性质得到 k0，而 kb0，则 b0，所以一次函数 ykx+b 的 图象经过第二、四象限，与 y 轴的交点在 x 轴上方 第 11 页（共 25 页） 【解答
18、】解：一次函数 ykx+b，y 随着 x 的增大而减小， k0， 一次函数 ykx+b 的图象经过第二、四象限； kb0， b0， 图象与 y 轴的交点在 x 轴上方， 一次函数 ykx+b 的图象经过第一、二、四象限 故选：A 【点评】本题考查了一次函数的图象：一次函数 ykx+b（k、b 为常数，k0）是一条 直线，当 k0，图象经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当 k0，图象经过第二、 四象限，y 随 x 的增大而减小；图象与 y 轴的交点坐标为（0，b） 10 （3 分）如图 1，在四边形 ABCD 中，ABCD，ABC90，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD 运动至点
19、 D 停止设点 P 运动的路程为 x，ABP 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则BCD 的面积是（ ） A6 B5 C4 D3 【分析】根据动点的运动过程结合图象即可求解 【解答】解：SABPABh， 当动点 P 沿 BC 运动时， hBPx， SABPABx， 对应图象为 0x2 部分， 由图象可知： 点 P 在 BC 运动路程为 BC202； 动点 P 沿 CD 运动时， 第 12 页（共 25 页） hBC， SABPABBC 为定值， 对应图象 2x5 部分， 由图象可知： 点 P 在 CD 运动路程为 CD523， SBCDBCCD233 所以BCD 的面
20、积是 3 故选：D 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是结合图象和图形综合分析 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11 （3 分）在实数，3.14，中，无理数有 2 个 【分析】根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有 的数，结合各选项进行判断即可 【解答】解：是分数，属于有理数；3.14 是有限小数，属于有理数；4是整 数，属于有理数； 无理数有：，共 2 个 故答案为：2 【点评】本题考查了无理数的定义，解答本题的关键是熟练掌握无理数的三种形式 12 （3 分）等腰三角形
21、的两边长分别为 4 和 9，则这个三角形的周长为 22 【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等 腰三角形有两条边长为 4cm 和 9cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论， 还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形 【解答】解： （1）若 4 为腰长，9 为底边长， 由于 4+49，则三角形不存在； （2）若 9 为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边 所以这个三角形的周长为 9+9+422 故答案为：22 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角 第 13 页（共 25 页） 形，涉及分类讨论的思想方法求
22、三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应 养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去 13 （3 分）如图，在ABC 和EDB 中，CEBD90，点 E 在 AB 上若ABC EDB，AC4，BC3，则 DE 5 【分析】先利用勾股定理得到 AB5，然后根据全等三角形的性质求解 【解答】解：在ABC 中，C90，AC4，BC3， AB5， ABCEDB， DEAB5 故答案为：5 【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应 角相等 14 （3 分）一次函数 y3x+2 的图象不经过第 三 象限 【分析】根据一次函数的性质容易得出结论 【解答
23、】解：因为解析式 y3x+2 中，30，20，图象过一、二、四象限，故图 象不经过第三象限 故答案为：三 【点评】在直线 ykx+b 中，当 k0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k0 时，y 随 x 的增 大而减小 15 （3 分）如图，在ABC 中，ABC 和ACB 的平分线相交于点 F，过 F 作 DEBC， 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E若 BD3，DE5，则线段 EC 的长为 2 第 14 页（共 25 页） 【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质，求证出DFBDBF，CFE BCF，即可得出 BDDF，FECE，然后利用等量代换即可求出线段 CE 的长 【解答】解：A
24、BC 和ACB 的平分线相交于点 F， DBFFBC，ECFBCF， DFBC， DFBFBC，CFEBCF， DFBDBF，CFEECF， BDDF3，FECE， CEDEDF532 故答案为：2 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质、平行线段性质的理解和掌握， 等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相 等、角相等的重要手段 16 （3 分）如图，在ABC 中，B40，BC 边的垂直平分线交 BC 于 D，交 AB 于 E， 若 CE 平分ACB，则A 60 【分析】由线段垂直平分线和角平分线的定义可得BECBACE40，在 ABC 中由三角形
25、内角和定理可求得A 【解答】解：E 在线段 BC 的垂直平分线上， BECE， ECBB40， CE 平分ACB， ACD2ECB80， 又A+B+ACB180， A180BACB60， 故答案为：60 【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的 第 15 页（共 25 页） 距离相等是解题的关键 17 （3 分）一次函数 y1kx+b 与 y2x+a 的图象如图，则 kx+bx+a 的解集是 x2 【分析】不等式组 kx+bx+a 的解是一次函数 y2x+a 的图象 y1kx+b 下方的部分对应 的 x 的取值范围，据此即可解答 【解答】解：由图
26、象得：不等式组 kx+bx+a 的解集是 x2 故答案为：x2 【点评】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是 寻求使一次函数 ykx+b 的值大于（或小于）0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角 度看，就是确定直线 ykx+b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合 18 （3 分）如图，在ABC 中，ABAC，BC4，面积是 12，AC 的垂直平分线 EF 分别 交 AB，AC 边于点 E，F若点 D 为 BC 边的中点，点 P 为线段 EF 上一动点，则PCD 周长的最小值为 8 【分析】连接 AD，由于ABC 是等腰三角形
27、，点 D 是 BC 边的中点，故 ADBC，再根 据三角形的面积公式求出 AD 的长，再再根据 EF 是线段 AC 的垂直平分线可知，点 C 关 于直线 EF 的对称点为点 A，故 AD 的长为 CP+PD 的最小值，由此即可得出结论 【解答】解：连接 AD， 第 16 页（共 25 页） ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点， ADBC， SABCBCAD4AD12， 解得 AD6， EF 是线段 AC 的垂直平分线， 点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A， AD 的长为 CP+PD 的最小值， CDP 的周长最短（CP+PD）+CDAD+BC6+46+28 故答案为：8 【
28、点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答 此题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 题，计题，计 66 分）分） 19 （6 分）计算与求值： （1）计算：20190+ （2）求 x 的值：4x2250 【分析】 （1）首先计算乘方、开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可 （2）根据平方根的含义和求法，求出 x 的值是多少即可 【解答】解： （1）20190+ 1+530.5 2.5 （2）4x2250， x2， 第 17 页（共 25 页） 解得 x， x1，x2 【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的
29、关键是要明确：在进行 实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最 后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行另外， 有理数的运算律在实数范围内仍然适用 20 （6 分）如图，ACAE，12，ABAD求证：BCDE 【分析】先证出CABDAE，再由 SAS 证明BACDAE，得出对应边相等即可 【解答】证明：12， CABDAE， 在BAC 和DAE 中， BACDAE（SAS） ， BCDE 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明 三角形全等是解决问题的关键 21 （6 分）已知一次函
30、数 ykx+b 的图象经过点 P（3，3） ，Q（1，3） （1）求这个一次函数表达式； （2）若函数 ykx+b 的图象与 x 轴的交点是 A，与 y 轴交于点 B，求ABO 的面积（其 中 O 为坐标原点） 【分析】 （1）用待定系数法，利用方程组求出待定系数 k、b 即可； （2）求出一次函数与 x 轴、y 轴的交点坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可 【解答】解： （1）设一次函数的关系式为 ykx+b，把点 P（3，3） ，Q（1，3）代入得 ，解得，k3，b6， 一次函数的关系式为 y3x6， 第 18 页（共 25 页） （2）当 x0 时，y6， 当 y0 时，x
31、2， A（2，0） ，B（0，6） SAOB266 【点评】考查一次函数的图象和性质，掌握待定系数法求函数的关系式，以及图象与 x 轴、y 轴的交点坐标是解决问题的关键 22 （6 分）如图，在ABC 中，ACB90，B30，CD，CE 分别是 AB 边上的中 线和高 （1）求证：AEED； （2）若 AC2，求CDE 的周长 【分析】 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得 CDAD，根据直角三 角形的两个锐角互余，得A60，从而判定ACD 是等边三角形，再根据等腰三角 形的三线合一的性质即可证明； （2）结合（1）中的结论，求得 CD2，DE1，只需根据勾股定理求得 CE 的长
32、即可 【解答】 （1）证明：ACB90，CD 是 AB 边上的中线， CDADDB B30， A60 ACD 是等边三角形 CE 是斜边 AB 上的高， AEED （2）解：由（1）得 ACCDAD2ED， 又 AC2， CD2，ED1 第 19 页（共 25 页） CDE 的周长 【点评】此题综合运用了直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形的两个锐角互余 有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形 23 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A（3，5） ， B（2，1） ，C（1，3
33、） （1）画出ABC 关于 x 轴的对称图形A1B1C1； （2）画出A1B1C1沿 x 轴向右平移 4 个单位长度后得到的A2B2C2； （3）如果 AC 上有一点 M（a，b）经过上述两次变换，那么对应 A2C2上的点 M2的坐标 是 （a+4，b） 【分析】 （1）直接利用关于 x 轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）直接利用平移变换的性质得出点 M2的坐标 【解答】解： （1）如图所示：A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：A2B2C2，即为所求； （3） 由 （1） （2） 轴对称以及平移的性质得出对应 A2C2
34、上的点 M2的坐标是： （a+4， b） 故答案为： （a+4，b） 第 20 页（共 25 页） 【点评】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键 24 （6 分）某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如表： x/元 15 20 25 y/件 25 20 15 已知日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 （1）求日销售量 y（件）与每件产品的销售价 x（元）之间的函数表达式； （2）当每件产品的销售价定为 35 元时，此时每日的销售利润是多少元？ 【分析】 （1）根据题意可以设出 y 与 x 的函
35、数关系式，然后根据表格中的数据，即可求 出日销售量 y（件）与每件产品的销售价 x（元）之间的函数表达式； （2）根据题意可以计算出当每件产品的销售价定为 35 元时，此时每日的销售利润 【解答】解： （1）设日销售量 y（件）与每件产品的销售价 x（元）之间的函数表达式是 ykx+b， ， 解得， 即日销售量 y（件）与每件产品的销售价 x（元）之间的函数表达式是 yx+40； （2）当每件产品的销售价定为 35 元时，此时每日的销售利润是： （3510） （35+40） 255125（元） ， 即当每件产品的销售价定为 35 元时，此时每日的销售利润是 125 元 【点评】本题考查一次函数
36、的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件 25 （8 分）如图，在 RtABC 中，C90，BD 是ABC 的一条角平分线点 O、E、 第 21 页（共 25 页） F 分别在 BD、BC、AC 上，且四边形 OECF 是正方形 （1）求证：点 O 在BAC 的平分线上； （2）若 AC5，BC12，且正方形 OECF 的面积为 4，求ABO 的面积 【分析】 （1）过点 O 作 OMAB，由角平分线的性质得 OEOM，由正方形的性质得 OEOF，易得 OMOF，由角平分线的判定定理得点 O 在BAC 的平分线上； （2）在 RtABC 中，根据勾股定理可求 AB，根据
37、正方形的面积公式可求 OE，根据角 平分线的性质可求 OM，再根据三角形面积公式即可求解 【解答】解： （1）证明：过点 O 作 OMAB， BD 是ABC 的一条角平分线，OMAB，OEBC， OEOM， 四边形 OECF 是正方形， OEOF，OFAC， OMOF， 点 O 在BAC 的平分线上； （2）在 RtABC 中，C90，AC5，BC12， AB13， 正方形 OECF 的面积为 4， OE2， BD 是ABC 的一条角平分线， OM2， ABO 的面积是 132213 第 22 页（共 25 页） 【点评】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，以及角平分线定理及性质，熟练掌 握
38、勾股定理是解本题的关键 26 （10 分） （1）如图 1，在 RtABC 中，ACB90，A60，CD 平分ACB 求证：CA+ADBC 小明为解决上面的问题作了如下思考：作ADC 关于直线 CD 的对称图形ADC， CD 平分ACB，A点落在 CB 上，且 CACA，ADAD因此，要证的问题 转化为只要证 ADAB请根据小明的思考写出该问题完整的证明过程 （2）参照（1）中小明的思考方法，解答下列问题： 如图 3，在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，BCCD10，AC17，AD9，求 AB 的长 【分析】 （1）作ADC 关于 CD 的对称图形ADC，再证明 ADBA即可； （2）如
39、图，作ADC 关于 AC 的对称图形ADC过点 C 作 CEAB 于点 E，则 D EBE设 DEBEx在 RtCEB 中，CE2CB2BE2102x2，在 RtCEA 中， CE2AC2AE2172（9+x）2由此构建方程即可解决问题； 【解答】 （1）证明：作ADC 关于 CD 的对称图形ADC， ADAD，C ACA，CADA60， CD 平分ACB， A点落在 CB 上 第 23 页（共 25 页） ACB90， B90A30， CD 平分ACB， ACD45 在ACD 中，ADC180AA CD75 ADCADC75， ADB180ADCADC30， ADBB，ADAB， CA+AD
40、CA+ADC A+ABCB （2）如图，作ADC 关于 AC 的对称图形ADC DADA9，DCDC10， AC 平分BAD，D点落在 AB 上， BC10，DCBC， 过点 C 作 CEAB 于点 E，则 DEBE 设 DEBEx 在 RtCEB 中，CE2CB2BE2102x2， 在 RtCEA 中，CE2AC2AE2172（9+x）2 102x2172（9+x）2， 解得：x6， ABAD+DE+EB9+6+621 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形 30 度角性质、轴对称、勾股定 理、一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问 题，学会用方
41、程的思想思考问题，属于中考常考题型 27 （12 分）如图，矩形 ABCD 中，AB6cm，AD8cm，点 P 从点 A 出发，以每秒一个单 第 24 页（共 25 页） 位的速度沿 ABC 的方向运动；同时点 Q 从点 B 出发，以每秒 2 个单位的速度沿 B CD 的方向运动， 当其中一点到达终点后两点都停止运动 设两点运动的时间为 t 秒 （1）当 t 7 时，两点停止运动； （2）当 t 为何值时，BPQ 是等腰三角形？ 【分析】 （1）由矩形的性质得出 AB+BCBC+CD14，即可得出答案； （2）分三种情况讨论：当 0t4 时，若 BPBQ，则 6t2t，得出 t2；
42、当 4t6 时，若 PQBQ，则 PB2CQ，6t2（2t8） ，得出 t；当 6t7 时，由题意 可知不存在；即可得出答案 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形， CDAB6，BCAD8， AB+BCBC+CD14， 1427， t7； 故答案为：7； （2）由题意得：APt，BQ2t， 分情况讨论： 当 0t4 时，若 BPBQ，则 6t2t， t2； 当 4t6 时， 若 PQBQ，则 PB2CQ，6t2（2t8） ， t； 当 6t7 时，由题意可知不存在； 综上所述，当 t 为 2 或时，BPQ 是等腰三角形 第 25 页（共 25 页） 【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性 质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键