1、 1 1 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量 如果在试验中， 试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示， 并且X是随着试验的结 果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量随机变量常用大写字母 ,X Y表示 如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量 离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X所有可能的取值 i x与该取值对应的概率 i p(1, 2,)in列表表示： X 1 x 2 x i x n x P 1 p 2 p i p n p 我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列 2几类典型的随机分布 两点分布两点分布
2、如果随机变量X的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p，1qp ，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率 为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布 X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分 布又称为伯努利分布 超几何分布超几何分布 一般地， 设有总数为N件的两类物品， 其中一类有M件， 从所有物品中任取n件()nN， 这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为 CC () C
3、 mn m MN M n N P Xm (0ml，l为n和M中较小的一个) 我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N， M，n的超几何分布在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X 知识内容 正态分布 2 取不同值时的概率()P Xm，从而列出X的分布列 二项分布二项分布 1独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A，并且事件A发生的概率相同在相同 的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独 立 重 复 试 验 n次 独 立 重 复 试 验 中 ， 事 件A恰 好 发 生k次 的 概 率 为 ( )
4、C(1) kkn k nn P kpp (0,1, 2,)kn 2二项分布 若将事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为1qp ，那么在n次独立重复 试验中，事件A恰好发生k次的概率是()Ck kn k n P Xkp q ，其中0, 1, 2,kn于 是得到X的分布列 X 0 1 k n P 00 C n n p q 111 C n n p q Ck kn k n p q 0 Cn n n p q 由于表中的第二行恰好是二项展开式 001110 ()CCCC nnnkknknn nnnn qppqpqpqpq 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布， 记作(
5、,)XB n p 二项分布的均值与方差： 若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则 ()E Xnp，( )D xnpq(1)qp 正态分布正态分布 1 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变 量X，则这条曲线称为X的概率密度曲线 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X落在指定的两个 数a b，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积 2正态分布 定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素 在总体的变化中都只是起着均匀、 微小的作用， 则表示
6、这样的 随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 2 2 () 2 1 ( ) 2 x f xe ， xR，其中，是参数，且0， 式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差期望 为、标准差为的正态分布通常记作 2 ( ,)N 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线 标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布 重要结论： 正态变量在区间(,)，(2 ,2 )，(3 ,3 ) 内，取值的概率分 别是68.3%，95.4%，99.7% 正态变量在() ，内的取值的概率为1，
7、在区间(33 )，之外的取值的概率 是0.3%， 故正态变量的取值几乎都在距x三倍标准差之内， 这就是正态分布的3原 x= O y x 3 则 若 2 ()N ，( )f x为其概率密度函数， 则称( )()( ) x F xPxf t dt 为概率分布 函数，特别的， 2 (0 1 )N ，称 2 2 1 ( ) 2 t x xedt 为标准正态分布函数 ()() x Px 标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得 分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可 3离散型随机变量的期望与方差 1离散型随机变量的数学期望 定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是 1
8、 x， 2 x， n x，这些 值对应的概率是 1 p， 2 p， n p，则 1122 ( ) nn E xx px px p，叫做这个离散型随 机变量X的均值或数学期望（简称期望） 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平 2离散型随机变量的方差 一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是 1 x， 2 x， n x，这些值对应的 概率是 1 p， 2 p， n p，则 222 1122 ()( )( )( ) nn D XxE xpxE xpxE xp叫 做这个离散型随机变量X的方差 离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小 （离散
9、 程度） ()D X的算术平方根( )D x叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随 机变量波动大小的量 3X为随机变量，a b，为常数，则 2 ()()()()E aXbaE Xb D aXba D X，； 4 典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二 点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np 二项分布：若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则()E Xnp， ( )D xnpq(1)qp 超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为NMn， ，的超几何分布， 则() nM E X N ， 2 ()() () (1
10、) n Nn NM M D X NN 4事件的独立性 如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即(|)( )P B AP B， 这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件 如果事件 1 A， 2 A， n A相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发 生的概率的积， 即 1212 ()()()() nn P AAAP AP AP A， 并且上式中任意多个事 件 i A换成其对立事件后等式仍成立 5条件概率 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概 率， 用符号“(|)P B A”来表示 把由事件A与B的交 （或积） ，
11、 记做DAB（或DAB） 4 正态曲线（正态随机变量的概率密度曲线） 【例1】 下列函数是正态分布密度函数的是（ ） A 2 () 2 1 ( ) 2 x r f xe B 2 2 2 ( ) 2 x f xe C 2 (1) 4 1 ( ) 2 2 x f xe D 2 2 1 ( ) 2 x f xe 【考点】正态分布 【难度】1 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】B； 【例2】 若正态分布密度函数 2 (1) 2 1 ( )() 2 x f xex R ，下列判断正确的是（ ） A有最大值，也有最小值 B有最大值，但没最小值 C有最大值，但没最大值 D无最大值和最小值
12、【考点】正态分布 【难度】1 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】B； 【例3】 对于标准正态分布0 1N，的概率密度函数 2 2 1 2 x f xe ， 下列说法不正确的 是（ ） A f x为偶函数 B f x最大值为 1 2 C f x在0x 时是单调减函数，在0x时是单调增函数 D f x关于1x 对称 【考点】正态分布 【难度】1 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】( )f x关于0x 对称 典例分析 5 【答案】D； 【例4】 设的概率密度函数为 2 (1) 2 1 ( ) 2 x f xe ，则下列结论错误的是（ ） A(1)(1)PP B( 11)( 1
13、1)PP C( )f x的渐近线是0x D1(0 1)N， 【考点】正态分布 【难度】1 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】C； 【例5】 设 2 ()XN ， 且总体密度曲线的函数表达式为： 2 21 4 1 ( )e 2 xx f x ，xR 求 ，；求(|1|2)P x及(1212 2)Px 的值 【考点】正态分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】 2 2 2 (1) 21 2( 2) 4 11 ( )ee 2 22 x xx f x ，因此12， (|1|2)(1212)P xPx ， 由 正 态 变 量 在 区 间(,)内 取 值 的 概 率 是
14、6 8 . 3 %知 ： (|1|2)0.683P x (1212 2)(1212)(1212 2)PxPxPx 0.683(1212 2)Px ， 由对称性知(1212 2)(12 212)PxPx ， 所以 1 (12122)(122122)(1212) 2 PxPxPx 1 (0.9540.683)0.1355 2 ， 于是(1212 2)0.6830.13550.8185Px 【答案】12， (1212 2)Px 0.1355，(1212 2)0.8185Px 【例6】 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函 数为 2 (80) 200 1 ( ) 10
15、2 x f xe ，则下列命题中不正确的是（ ） 6 A该市这次考试的数学平均成绩为80分 B分数在 120 分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C分数在 110 分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D该市这次考试的数学标准差为10 【考点】正态分布 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】不难知道8010，由正态分布曲线的特点知答案为 B 【答案】B； 正态分布的性质及概率计算 【例7】 设随机变量服从正态分布(0 1)N，0a ，则下列结论正确的个数是_ (|)(|)(|)PaPaPa (|)2 ()1PaPa (|)12 ()PaPa (|)1(|)PaPa 【考
16、点】正态分布 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】正确 【答案】3； 【例8】 已知随机变量X服从正态分布 2 (3)Na，则(3)P X （ ） A 1 5 B 1 4 C 1 3 D 1 2 【考点】正态分布 【难度】星 【题型】 【关键字】2008 年，重庆高考 【解析】由正态分布的性质知： 1 (3)(3) 2 P XP X 【答案】D； 【例9】 在某项测量中，测量结果X服从正态分布 2 10N，若X在0 1，内取 值的概率为0.4，则X在0 2，内取值的概率为 【考点】正态分布 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】2007 年，全国高考 7 【解析】正态分布 2
17、 10N，的图象的对称轴为1x ，X在(0 1)，内取值的概率为 0.4，又随机变量X落在指定的两个数a b，之间的概率就是对应的正态曲线在 xaxb，两直线间的曲边梯形的面积，可知，随机变量X在(1 2)，内取值的 概率于X在(0 1)，内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量X在(0 2)，内取 值的概率为0.8 【答案】0.8； 【例10】 已知随机变量X服从正态分布 2 (2)N，(4)0.84P X， 则(0 )P X（ ） A0.16 B0.32 C0.68 D0.84 【考点】正态分布 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】2007 年，浙江高考 【解析】随机变量X落在指定的
18、两个数a b，之间的概率就是对应的正态曲线在xaxb， 两直线间的曲边梯形的面积，而 2 (2)XN， 由(4)1(4)0.16P XP X ，(0)(4)0.16P XP X，故选 A 【答案】A； 【例11】 已知 2 ( 1)XN ，若( 31)0.4PX-，则( 31)PX（ ） A0.4 B0.8 C0.6 D无法计算 【考点】正态分布 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】无 【 解析】 因为 2 ( 1)XN ， 所以1 ， 故正态 曲线关 于1x 对称 ，于 是 ( 31)( 11)PXPX-，所以( 31)0.8PX 【答案】B； 【例12】 设 随 机 变 量服 从 正
19、态 分 布( 29 )N， 若(2 )(2 )PcPc， 则 _c 【考点】正态分布 【难度】星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 (2)(2) 2 2 cc ，解得2c 【答案】2； 8 【例13】 设(0 1)N，且( | |)(010 )Pbaab ，则()Pb的值是_（用 a表示） 【考点】正态分布 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】略 【答案】 1 2 a ； 【例14】 正态变量 2 (1)XN，c为常数，0c ， 若(2)( 23) 0 . 4Pc XcP c Xc， 求(0.5)P X 的值 【考点】正态分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【
20、解析】因为(2 )cc，和(23 )cc，的区间长度相等，要使(2 )(23 )P cXcPcXc成立， 只能是(2 )cc，和(23 )cc，关于1x 对称因此21c ，即0.5c 于是(0.5)(1)(0.51)0.50.40.1P XP XPX 【答案】0.1； 【例15】 某种零件的尺寸服从正态分布(0 4)N，则不属于区间( 4 4) ，这个尺寸范围的 零件约占总数的 【考点】正态分布 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】02，(22 )( 4 4) ，因此答案为195.4%=4.6% 【答案】4.6%； 【例16】 某校高中二年级期末考试的物理成绩服从正态分布 2
21、(70 10 )N， 若参加考试的学生有100人，学生甲得分为80分，求学生甲的物理成绩排名； 若及格（60分及其以上）的学生有101人，求第20名的物理成绩 已知标准正态分布表(0.97)0.833 【考点】正态分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】设排在学生甲前面的学生的物理成绩为分，则 9 11 (80)(60)1(6080)(10.683)0.1585 22 PPP 而1000.158515.8516，因此学生甲的物理成绩排名约为17 设 60 分及以上的人的物理成绩为分，则 (60)1(60)10.15850.8415PP 即及格的考生 （101人） 占全体考生的
22、84.15%， 因此考生总数约为 101 120 0.8415 人 故前20名考生在全体考生中所占比率大约为 201 0.167 1206 设第20名考生的成绩为x分，则有： 70 ()1()1()0.167 10 x PxPx ，即 70 ()0.833 10 x 查表有(0.97)0.833，即 70 0.97 10 x 解出79.7x 所以第20名学生的物理成绩约为80分 【答案】学生甲的物理成绩排名约为17 第20名学生的物理成绩约为80分 【例17】 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 (70 100)N，已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名 试
23、问此次参赛学生总数约为多少人？ 若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？ 附：标准正态分布表(1.30)0.9032(1.31)0.9049(1.32)0.9066， 【考点】正态分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】2006 年，湖北高考 【解析】设参赛学生的分数为，因为(70 100)N，所以 11 (90)(50)1(5090)(10.954)0.023 22 PPP 这说明成绩在 90 分以上（含 90 分）的学生人数约占全体参赛人数的2.3%， 因此参赛总人数约为 12 522 0.023 （人） 假定设奖的分数线为x分，则 7050 ()1()
24、1()0.09579 10522 x PxPx ， 即 70 ()0.9042 10 x ，查表得 70 1.31 10 x ，解得83.1x 10 故设奖得分数线约为83.1分 【答案】设参赛总人数约为522人 奖得分数线约为83.1分 正态分布的数学期望及方差 【例18】 如果随机变量 2 ()1NED ，求( 11)P 的值 【考点】正态分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】由已知有1 由正态变量在(2 ,2 )内取值的概率为95.4%知( 13)0.954P 由对称性知 11 ( 11)( 13)0.9540.477 22 PP 【答案】0.477 正态分布的3原则
25、 【例19】 灯泡厂生产的白炽灯寿命（单位：h） ，已知 2 (1000 30 )N，要使灯泡的 平均寿命为1000h的概率为99.7%， 则灯泡的最低使用寿命应控制在_小时 以上 【考点】正态分布 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】因为灯泡寿命 2 (1000 30 )N， 故在(10003 30 10003 30) ，即(910 1090)， 内取值的概率为99.7%，故灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上答案 为910 【答案】910 【例20】 一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6小时、标准差为4.4小时 的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这
26、节电池可持续使用不少于40 小时的概率是多少？ 【考点】正态分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 11 【解析】电池的使用寿命 2 (35.6 4.4 )XN，35.64.4， 11 (40)()(1()(168.3%)15.85% 22 P XP XPX 即这节电池可持续使用不少于40小时的概率是15.85% 【答案】15.85% 【例21】 某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准 差为10，理论上说在80分到90分的人数是_ 【考点】正态分布 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】数学成绩是 2 (80 10 )XN，8010， 1
27、 (8090)()()34.15% 2 PXPXPX 80分到90分的人数约为48 34.15%16.39216 【答案】16 杂题（拓展相关：概率密度，分布函数及其他） 【例22】 已知连续型随机变量的概率密度函数 01 ( )12 02 x f xxax x ， 求常数a的值；求 3 (1) 2 P 【考点】正态分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】因为所在区间上的概率总和为 1，即( )f x与x轴所围图形面积为 1 所以 1 (12)(21)1 2 aa，解得 1 2 a 即求在区间 3 (1) 2 ，内，曲线与x轴所围图形的面积 3113133 (1)(1)(1)
28、 2222228 P 【答案】 1 2 a 12 3 8 【例23】 已知连续型随机变量的概率密度函数 2 01 ( )12 02 x f xaxx x ，求a的值及 3 (1) 2 P 【考点】正态分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】由( )f x与x轴所围图形面积为 1 知： ( )1f x dx ，即 2 2 1 ()1ax dx ，解得 3 7 a 3 2 2 1 3319 (1)()0.3393 2756 Px dx 【答案】 3 7 a ， 3 (1)0.3393 2 P 【例24】 设随机变量X具有概率密度 3 0 ( ) 00 x kex f x x ，求
29、k的值及(0.1)P X 【考点】正态分布 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】由( )1f x dx ，即 3 0 1 x kedx ，解得3k 于是 330.3 0.1 0.1 (0.1)3()0.7408 xx P Xedxee 注：此题模型为常见的连续随机分布：指数分布 其概率密度的一般形式为 0 ( ) 00 x ex f x x 其数学期望为 1 ，方差为 2 1 【答案】3k ，(0.1)0.7408P X 【例25】 美军轰炸机向巴格达某铁路控制枢纽投弹，炸弹落弹点与铁路控制枢纽的距离 X的密度函数为 100 | |100 ( )10000 0| 100 x x
30、 f x x ，若炸弹落在目标 40 米以内时，将 导致该铁路枢纽破坏，已知投弹3颗，求巴格达铁路控制枢纽被破坏的概率 【考点】正态分布 【难度】3 星 13 【题型】解答 【关键字】无 【解析】每投一颗炸弹，可看作一次试验，每次试验仅有两种结果，要么铁路控制枢纽 被破坏，要么没有被破坏设铁路控制枢纽被破坏的概率为p，则： 40 40 )()40|(|dxxfXPp 25 18 10 100 2 40 0 4 dx x 设Y表示“着弹点落在40米之内”的炸弹的数目，则(3)YBp，所求概率为 3 (1)1(0)1 (1)0.978P YP Yp 【答案】0.978 【例26】 以 F x表示标
31、准正态总体在区间, x内取值的概率，若随机变量服从正 态分布 2 ,N ，则概率P等于（ ） AFF B 11FF C 1 F D2F 【考点】正态分布 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】略 【答案】B； 【例27】 某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线穿 过市区， 路程较短， 但交通拥挤， 所需时间 （单位为分） 服从正态分布 2 50,10N； 第二条路线沿环城公路走，路程较长，但交通阻塞少，所需时间服从正态分布 2 60, 4N 若只有70分钟可用，问应走哪条路线？ 若只有 65 分钟可用，又应走哪条路线？ 【考点】正态分布 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】走第一条路线，及时赶到的概率为 14 70500507050 07020.9772 101010 P 走第二条路线及时赶到的概率为 7060 0702.50.9938 4 P 因此在这种情况下应走第二条路线 走第一条路线及时赶到的概率为 6550 0651.50.9332 10 P 走第二条路线及时赶到的概率为 6560 0651.250.8944 4 P 因此在这种情况下应走第一条路线 【答案】应走第二条路线 应走第一条路线