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高考数学讲义椭圆.板块三.椭圆的几何性质.教师版

1、 1 【例1】 设()P xy,是椭圆 22 44xy上的一个动点,定点(1 0)M,则 2 |PM的最大值是 ( ) A 2 3 1 C3 D9 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】 2 2 22222 3342 |(1)(1)122 44433 x PMxyxxxx , 注意到22x ,所以当2x 时, 2 max |9PM 【答案】D; 【例2】 点M是椭圆 22 1 2516 xy 上一点,它到其中一个焦点 1 F的距离为 2,N为 1 MF的中 点,O表示原点,则|ON ( ) A 3 2 B2 C4 D8 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2

2、星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】设椭圆另一焦点为 2 F,则 12 | 2MFMFa,而5a 1 | 2MF , 2 8MF ,又注意到N、O各为 1 MF、 12 F F的中点, ON是 12 MFF的中位线, 2 11 |84 22 ONMF 若联想到第二定义,可以确定点M的坐标,进而求 1 MF中点的坐标,最后利用 两点间的距离公式求出|ON, 但这样就增加了计算量, 方法较之显得有些复杂 【答案】C; 【例3】 已知P为椭圆 22 1 259 xy 上动点,F为椭圆的右焦点,点A的坐标为(3 1),则 |PFPA的最小值为( ) A102 B102 C105 2 D105 2

3、典例分析 板块三.椭圆的几何性质 2 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】易知点A在椭圆内,设椭圆的另一个焦点为 F ,则 | 10(|)PFPAPFPA, 而| | 5 2PFPAAF,|105 2PFPA,等号仅当A P F, ,共线 【答案】D; 【例4】 已知椭圆方程为 22 1 499 xy 中, 12 FF,分别为它的两个焦点,则下列说法正确的有 ( ) 焦点在x轴上,其坐标为( 7 0) ,; 若椭圆上有一点P到 1 F的距离为10,则P到 2 F的距离为4; 焦点在y轴上,其坐标为(02 10),; 49a ,9b ,40c A0个 B1

4、个 C2个 D3个 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】椭圆 22 1 499 xy 的焦点在x轴上,7a ,3b ,402 10c , 故焦点坐标为( 2 10 0), 对于椭圆上任一点P,有 12 214PFPFa,故正确,其它错误 【答案】B 【例5】 椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线 经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A、B是它的焦 点,长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径不计) ,从点A沿 直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点A时,小球经过的路程是( ) A4a B

5、2 ac C2 ac D以上答案均有可能 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】D; 【答案】D; 【例6】 设椭圆 22 22 1 1 xy mm (1)m 上一点P到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为 1,则P到椭圆的中心的距离为( ) A1 B2 C3 D5 3 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】2312mm ,易知P点为右顶点,坐标为(2, 0),于是P到原点的距离为2 【答案】B; 【例7】 P为椭圆 22 1 2516 xy 上一点,,MN分别是圆 2 2 34xy和 2 2 31xy 上的点,则PM

6、PN的取值范围是( ) A 7, 13 B10, 15 C 10, 13 D 7,15 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】2010 年,宣武一模 【解析】容易知道 1 3, 0F , 2 3, 0F为椭圆的左右焦点,于是 1 22 1 PFPMPF-+, 22 -11PFPMPF 于是有 1212 33PFPFPMPNPFPF 而 12 10PFPF于是7,13PMPN 【答案】A; 【例8】 过原点O作两条相互垂直的直线分别与椭圆P: 2 2 1 2 x y交于A、C与B、D, 则四边形ABCD面积的最小值为( ) A 8 3 B4 2 C2 2 D 4 3 【

7、考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】选择 【关键字】无 【解析】当两直线中有一条的斜率不存在时,易知两直线为两坐标轴所在的直线,此时 面积为2 2; 当两条直线的斜率都存在时, 设直线AC的方程为ykx, 与椭圆的交点 11 ()A xy, 11 ()Cxy,则 222 111 |442 1|ACxykx, 又 2 21 1 1 2 x y,即 2 221 11 2 2 1| 2 12 x k xx k ,于是 2 2 2 2(1) | 12 k AC k , 同样的,由直线BD的方程 1 yx k 可得 2 2 1 2 2(1) | 2 1 k BD k , 因此 222 1448

8、 | 3 2311 2 2 (1)1 ABCD SACBD kk , 4 等号当 2 11 12k 即1k 时取到, 又 8 2 2 3 ,故四边形ABCD面积的最小值是 8 3 【答案】A; 【例9】 椭圆 22 1 2516 xy 的焦点为 1 F, 2 F,过 2 F垂直于x轴的直线交椭圆于一点P,那 么 1 PF的值是_ 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】2010 年,丰台一模 【解析】显然 2 3 , 0F,于是可求得 16 3 , 5 P ,所以 12 1634 225 55 PFaPF 【答案】 34 5 ; 【例10】 求过椭圆 22 1 42 x

9、y 的一个焦点 1 F的弦AB与另一个焦点 2 F围成的三角形 2 ABF 的周长是 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 2 ABF的周长 22 ABAFBF 1122 AFBFAFBF, ,A B为椭圆上的点,故 1212 2AFAFBFBFa,2a , 故 2 ABF的周长为48a 【答案】8 【例11】 已知 1 F、 2 F为椭圆 22 1 259 xy 的两个焦点,过 1 F的直线交椭圆于A、B两点, 若 22 12F AF B,则AB=_ 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】2008 年,浙江高考 【解析】 11

10、22 420FAFBF AF Ba,故20 128AB 【答案】8; 【例12】 设椭圆 22 1 2516 xy 上一点P到左准线的距离为10,F是该椭圆的左焦点,若点 M满足 1 () 2 OMOPOF,则OM 5 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】2007 年,辽宁高考 【解析】5a ,4b ,3c , 左准线方程为 2 25 3 a x c , 故P点的横坐标为 255 10 33 ; ( 3 0)F ,设 0 5 3 Py ,则 0 0 152 3 2332 y OMy ,又 2 2 0 5 3 1 2516 y , 从而 22 0 2432 2 329

11、9 y OM 【答案】2; 【例13】 已知P是椭圆 22 44xy上一点,则P到点(1 0)M,的最大值为 _ 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】3 【答案】3 【例14】 已知(3 2)A,( 4 0)F ,P是椭圆 22 1 259 xy 上一点,则PAPF的最大值为 _ 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】F为椭圆的左焦点,记(4 0) F ,则有210PFPFa, 1010PAPFPAPFPAPF,5PAPFAF,当且仅当 A P F, ,共线,且P点在线段AF的延长线上时取到等号,故 PAPF的最大值

12、 为105 O y x P F A F 【答案】105 【例15】 如图,把椭圆 22 1 2516 xy 的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆 的 上 半 部 分 于 1234567 PPPPPPP, , , , , ,七 个 点 ,F是 椭 圆 的 左 焦 点 , 则 1234567 PFPFPFPFPFPFPF 6 P7 P6 P5 P4P3 P2 P1 x BAF 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】2006 年,四川高考 【解析】设椭圆的右焦点为 F ,根据椭圆的对称性知, 1711 | | 2PFP FPFPFa, 同理其余两对的和也是2a

13、,又 4 |P Fa, 1234567 735PFPFPFPFPFPFPFa 【答案】35 【例16】 设F是 椭 圆 22 1 76 xy 的 右 焦 点 , 且 椭 圆 上 至 少 有21个 不 同 的 点 (1 2 321) i P i , , ,使 12321 FPFPFPFP, ,组成公差为d的等差数列, 则d的取值范围为 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】设 11 FPa,则 1 1 n F Pand,于是 1 1 n FPFPnd,即 1 1 n F PF P d n , 由于21n, 1 22 n FPFPacacc,故 1 10 d

14、,又0d , 故d 11 00 1010 , 【答案】 11 00 1010 , 【例17】 椭圆 22 1 925 xy 上的一点P到两焦点的距离的乘积为m, 则当m取最大值时, 点P 的坐标是_ 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】记椭圆的二焦点为 12 FF,有 12 210PFPFa, 则知 2 12 12 25 2 PFPF mPFPF 显然当 12 5PFPF,即点P位于椭圆的短轴的顶点处时,m取得最大值25 故应填30 ,或30, 7 【答案】30 ,或30, 【例18】 设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 51 2

15、 ,FA,分别是它的左焦点和右顶 点,B是它的短轴的一个端点,则ABF等于_ 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】由已知 51 e 2 c a ,即 51 2 ca 易知 22 |BFa 且 222222222 51 | 2 ABOBOAbaacaa , 2 222 5153 |() 22 AFacaa 于是 222 |AFBFAB,因此90ABF 【答案】90 【例19】 椭圆 22 1 92 xy 的焦点为 12 FF,点P在椭圆上若 1 4PF ,则 2 PF ; 12 F PF的大小为 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键

16、字】2009 年,北京高考 【解析】由椭圆的定义知 2 24642PFa,又 12 22 922 7FFc, 在 12 PF F中,由余弦定理知 12 1 cos 2 FPF ,从而 12 120FPF B A F y xO 【答案】2 120,; 【例20】 椭圆 22 1 94 xy 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F,点P为其上的动点,当 12 F PF为钝 角时,点P横坐标的取值范围是_ 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 8 【题型】填空 【关键字】无 【解析】由题设易知35ac,如图, 12 FF,是椭圆的焦点, Q P F2F1O y x 以 12 F F为直径的圆与椭圆有

17、4个交点, 仅当P点在圆内时, 12 F PF为钝角 () QQ Q xy,为圆与椭圆的一个交点,如图, 由 12 2222 1212 | 26 |420 QFQFa QFQFFFc ,解得 12 | 4 | 2QFQF, 故 12 12 | |4 5 |5 Q QFQF y FF ,代入椭圆方程可得 3 5 5 Q x , 由对称性不难得到点P的横坐标的范围为 33 55 55 , 【答案】 33 55 x; 【例21】 椭圆 22 3721xy上有一点P到两个焦点的连线互相垂直,则P点的坐标是 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】椭圆的标准方程为 2

18、2 1 73 xy ,两个焦点坐标分别为( 2 0) ,与(2 0),设点 00 ()P xy, 则有 22222 0000 (2)(2)4xyxy, 即 22 00 4xy 又 22 00 3721xy, 解得 22 00 79 44 xy,于是P点的坐标为 73 22 , 【答案】 73 22 ,; 【例22】 设M是椭圆 22 1 43 xy 上的动点, 1 A和 2 A分别是椭圆的左、右顶点,则 12 MA MA 的最小值等于 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 9 【解析】设 00 ()M xy,则 100200 ( 2)(2)MAxyMAxy , 于

19、是 22222 1200000 31 4341 44 MA MAxyxxx , 显然当 0 0x 时, 12 MA MA取最小值为1 【答案】1; 【例23】 点P为椭圆 22 1 54 xy 在第一象限内的一点,以点P以及焦点 1 F, 2 F为顶点的三 角形的面积为1,则点P的坐标是_ 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】设() PP P xy, 1 2 1 2| 1 2 PF Fp Scy ,又541c ,点P在第一象限, 1 p y ,此时 2 115 5(1) 44 P x ,解得 15 2 P x , 从而所求的点P坐标为 15 (1) 2

20、, 【答案】 15 1 2 , 【例24】 已知 1 F、 2 F是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点, 12 60FPF,椭圆的短半轴 长为3b ,则三角形 12 PF F的面积为_ 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】设 12 |PFmPFn,在 12 PF F中,由余弦定理 22222 42cos60cmnmnmnmn 又2mna,所以 222222 44 4()343()4 33 cmnmnamnmnacb 即可得 1 2 1 sin603 2 PF F Smn 【答案】3; 【例25】 已知 1 F、 2 F是椭圆 22 22 :1 xy C ab

21、 0ab的两个焦点,P为椭圆C上一点, 且 12 PFPF若 12 PFF的面积为9,则b 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】2009 年,上海高考 【解析】依题意,有 10 12 12 2222 1212 | 2 1 | | 9 2 |4 PFPFa PFPF PFPFFFc , 于是 22222 121212 4(|)|2| 436aPFPFPFPFPFPFc, 从而 222 9bac,故有3b 【答案】3 【例26】 设 12 FF,为椭圆 22 1 43 xy 左、右焦点,过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于 P Q,两点,当四边形 12 PFQF面积最大时,

22、 12 PF PF的值等于_ 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 12 1 222 3 2 PFQFPQPQ Scyyyyb,且当P Q,分别为短轴的两个端点时 取到等号此时不妨取(03)P,则 12 ( 13) (13)2PF PF , 【答案】2; 【例27】 点P是椭圆 22 1 2516 xy 上一点, 12 ,FF是椭圆的两个焦点,且 12 PFF的内切圆 半径为1,当P在第一象限时,P点的纵坐标为 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 1212 10,6PFPFFF, 1 2 121212 11 ()

23、 183 22 PF FPP SPFPFFFFFyy 【答案】 8 3 ; 【例28】 设AB是过椭圆 22 22 1(1) xy ab ab 中心的弦,椭圆的左焦点为 1( 0)Fc ,则 1 F AB的面积的最大值为_ 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键字】无 【解析】 111 11 22 F ABAOFBOFAB SSSScycy ,又 A yb, B yb,且当AB为 短轴时,同时取到等号,故 1 F AB的面积的最大值为cb 【答案】cb 11 【例29】 解方程: 22 61061010xxxx 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】解答 【关键

24、字】无 【解析】 222222 610610(3)(1 0)(3)(1 0)xxxxxx, 则点(1)x,在以(3 0),( 3 0) ,为焦点,5a 的椭圆 22 1 2516 xy 上 令1y 5 15 4 x ,此即方程的解 【答案】 5 15 4 x 【例30】 在椭圆 22 1 259 xy 上求一点,使它到两焦点的距离之积为16 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】设所求点为()P xy,椭圆的左,右焦点为 12 FF,由椭圆的性质及已知条件有 12 12 | 10 | 16 PFPF PFPF , 解得 1 2 | 2 | 8 PF PF

25、或 1 2 | 8 | 2 PF PF , 即 22 22 (4)2 (4)8 xy xy 或 22 22 (4)8 (4)2 xy xy , 于是不难算出 153 7 () 44 xy ,或 153 7 44 , 【答案】 153 7 44 ,或 153 7 44 , 【例31】 设P为椭圆 2 2 2 1 x y a (1)a 短轴上的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求PQ 的最大值 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】依题意可设(0 1)P,()Q xy,则 22 (1)PQxy,又因为Q在椭圆上, 所以, 222 (1)xay, 2 222222

26、 (1)21(1)21PQayyyayya 2 22 22 11 (1)1 11 aya aa 12 因为1y ,1a ,若2a,则 2 1 1 1a ,当 2 1 1 y a 时,PQ取最大值 22 2 1 1 aa a ; 若12a,则当1y 时,PQ取最大值2 【答案】若2a,则 2 1 1 1a ,当 2 1 1 y a 时,PQ取最大值 22 2 1 1 aa a ; 若12a,则当1y 时,PQ取最大值2 【例32】 设 12 FF,为椭圆 22 1 94 xy 的两个焦点,P在椭圆上,已知 12 PFF, ,是一个直角 三角形的三个顶点,且 12 | |PFPF,求 1 2 |

27、| PF PF 的值 【考点】椭圆的几何性质 【难度】2 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】设 12 |PFmPFn,mn, 当 12 90FPF时, 222 6 42 420 mn mn mnc ,; 当 21 90PF F时, 222 6 144 33420 mn mn mnc , 于是可得 1 2 | | PF PF 的值为 7 2 或2 【答案】 7 2 或2; 【例33】 已知A、 分别是椭圆 22 22 1 xy ab 的左右两个焦点,O为坐标原点, 点 2 1, 2 P 在椭圆上,线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点 求椭圆的标准方程; 点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点

28、,对于ABC,求 sinsin sin AB C 的值 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】2009 年,北京一模 【解析】点M是线段PB的中点,OM是PAB的中位线, 又OMAB,PAAB 22 222 1 11 1 2 c ab abc ,解得 222 2,1,1abc 13 椭圆的标准方程为 2 2 2 x y=1 点C在椭圆上,A、B是椭圆的两个焦点, 22 2ACBCa,22ABc 在ABC中,由正弦定理, sinsinsin BCACAB ABC , sinsin sin AB C 2 2 2 2 BCAC AB 【答案】 2 2 2 x y=1; 2

29、【例34】 如图,点A、B分别是椭圆 22 1 3620 xy 长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点, 点P在椭圆上,且位于x轴上方,PAPF 求点P的坐标; 设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于MB, 求点M的坐标 求椭圆上的点到点M的距离d的最小值 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】由已知可得点( 6 0)A ,(6 0)B,(4 0)F, 设点P的坐标是()xy,则(6)APxy ,(4)FPxy , 由已知得 22 2 1 3620 (6)(4)0 xy xxy ,则 2 29180xx,解得 3 2 x 或6x 由于0y ,只能

30、 3 2 x ,于是 5 3 2 y ,点P的坐标为 35 3 22 , 直线AP的方程是 5 30 2 (6) 3 6 2 yx ,即360xy, 设点M的坐标是(0)m,则M到直线AP的距离是 6 2 m , 于是 6 6 2 m m ,又66m ,解得2m (18m 舍去) 故(2 0)M, 椭圆上的点()xy,到点M的距离d有: 2 22222 549 (2)442015 992 dxyxxxx , 由于66x ,当 9 2 x 时,d取得最小值15 【答案】 35 3 22 ,; 14 (2 0)M,; 当 9 2 x 时,d取得最小值15 【例35】 已知点P在圆C: 22 (4)

31、1xy上移动,Q点在椭圆 2 2 1 4 x y上移动,求PQ 的最大值 【考点】椭圆的几何性质 【难度】3 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】由PQCPCQCQr知,对于椭圆上任意一点Q,当点P在QC的延长线 上时,PQ有最大值CQr, 故只需求CQ的长度的最大值, 其中(0 4)C,1r Q P C O y x 法一:记(2cossin )Q, 则 2 2222 (2cos )(sin4)4cossin8sin16CQ 2 2 476 3sin8sin203 sin 33 , 当sin1 时, 2 25CQ为最大值,此时PQ有最大值516 ,且(01)Q, (0 5)P, 法二:记

32、00 ()Q xy,则 2 20 0 1 4 x y, 2 22222 000000 (4)4(1)(4)3820CQxyyyyy 2 0 476 3 33 y 又 0 11y ,当 0 1y 时,CQ有最大值5, 此时(01)Q,PQ有最大值516 ,P点坐标为(0 5), 【答案】P点坐标为(0 5),时,PQ有最大值516 【例36】 设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、 右焦点分别是 1 F和 2 F , 离心率 2 2 e , 点 2 F到 直线l: 2 a x c 的距离为2,其中c为椭圆的半焦距, 求ab、的值; 设M、N是l上的两个动点,满足 12 0FM F

33、 N,证明:当MN取最小值时, 15 2122 0F FF MF N 【考点】椭圆的几何性质 【难度】4 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】因为 c e a , 2 F到l的距离 2 a dc c ,所以由题设得 2 2 2 2 c a a c c , 解得22ca,由 222 2bac得2b 由2c ,2a 得 12 (2 0)( 2 0)FF, ,l的方程为2 2x 故可设 12 (2 2)(2 2)MyNy, 由 12 0FM F N知 12 (2 22) (2 22)0yy, 得 12 6y y ,所以 12 0y y , 2 1 6 y y , 1211 11 66 | |2

34、6 | MNyyyy yy 当且仅当 1 6y 时,上式取等号,此时 21 yy , 所以, 212212 ( 2 2 0)( 2)( 2)F FF MF Nyy , 12 (0)0yy, 【答案】2a ,2b ; 由2c ,2a 得 12 (2 0)( 2 0)FF, ,l的方程为2 2x 故可设 12 (2 2)(2 2)MyNy, 由 12 0FM F N知 12 (2 22) (2 22)0yy, 得 12 6y y ,所以 12 0y y , 2 1 6 y y , 1211 11 66 | |2 6 | MNyyyy yy 当且仅当 1 6y 时,上式取等号,此时 21 yy , 所以, 212212 ( 2 2 0)( 2)( 2)F FF MF Nyy , 12 (0)0yy,