2018年广东省深圳市龙岗区宏杨学校中考数学二模试卷（含详细解答）

1、2018 年广东省深圳市龙岗区宏杨学校中考数学二模试卷一、选择题（本大题共 10 小题小题,每小题每小题 3 分分,共共 30 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中,只有一个是只有一个是 正确的正确的) 1 （3 分）的倒数是（ ） A2 B2 C D 2 （3 分）下列美丽的图案，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）用科学记数法表示 316000000 为（ ） A3.16107 B3.16108 C31.6107 D31.6106 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） Ax+x2x3 Bx2x3x6 C （x3）2x6 Dx9x3x3 5

2、 （3 分）在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，随机地摸 出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概 率是（ ） A B C D 6 （3 分）已知 a，b 满足方程组，则 a+b 的值为（ ） A4 B4 C2 D2 7 （3 分）等腰三角形的两边分别为 1 和 2，则其周长为（ ） A4 B5 C4 或 5 D无法确定 8 （3 分）不等式组的整数解共有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 9 （3 分）如图，直线 mn，直角三角板 ABC 的顶点 A 在直线 m 上，则 等于（ ） 第 2 页（共 25 页）

3、 A19 B38 C42 D52 10 （3 分）如图，在ABC 中，C90，BC3，D，E 分别在 AB、AC 上，将ADE 沿 DE 翻折后，点 A 落在点 A处，若 A为 CE 的中点，则折痕 DE 的长为（ ） A B3 C2 D1 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 24 分分) 11 （4 分）若二次根式有意义，则 x 的取值范围是 12 （4 分）分解因式：m2n2mn+n 13 （4 分）一个扇形的圆心角为 120，半径为 3，则这个扇形的面积为 （结果保 留 ） 14 （4 分）方程的解是 15（4分） 如图， 在ABCD中，

4、 BE平分ABC， BC6， DE2， 则ABCD的周长等于 16 （4 分）若+，对任意自然数 n 都成立，则 a ， b ；计算：m+ 三、解答题三、解答题(一一)(本大题共本大题共 3 小题小题,每小题每小题 6 分分,共共 18 分分) 17 （6 分）计算： （） 120150+ 2sin60 第 3 页（共 25 页） 18 （6 分）解方程组： 19 （6 分）一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，ABCF，FACB 90，E45，A60，AC10，试求 CD 的长 四、解答题四、解答题(二二)(本大题共本大题共 3 小题小题,每小题每小题 7 分分,共共 21

5、分分) 20 （7 分）已知关于 x 的方程 x2+2x+a20 （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及方程的另一根 21 （7 分）课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的 具体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四 类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统 计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）王老师一共调查了多少名同学？ （2）C 类女生有 名，D 类男生有 名，将上面条形统计图补充完整； （3）为了共同进步，王老

6、师想从被调查的 A 类和 D 类学生中各随机选取一位同学进行 “一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同 学和一位女同学的概率 22 （7 分）如图，AC 是O 的直径，点 B 在O 上，ACB30 （1）利用尺规作ABC 的平分线 BD，交 AC 于点 E，交O 于点 D，连接 CD（保留作 图痕迹，不写作法） 第 4 页（共 25 页） （2）在（1）所作的图形中，求ABE 与CDE 的面积之比 解答题解答题(三三)(本大题共本大题共 3 小题小题,每小题每小题 9 分分,共共 27 分分) 23 （9 分）一次函数 ykx+b 与反比例函数 y的图象交于

7、 A（1，4） ，B（2，n）两点 （1）求 m 和 n 的值； （2）求 k 和 b 的值； （3）结合图象直接写出不等式kxb0 的解集 24 （9 分）在 RtABC 中，A90，ACAB4，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，若 等腰 RtADE 绕点 A 逆时针旋转，得到等腰 RtAD1E1，设旋转角为 （0180） ， 记直线 BD1与 CE1的交点为 P （1）如图 1，当 90时，线段 BD1的长等于 ，线段 CE1的长等于 ； （直接填写结果） （2）如图 2，当 135时，求证：BD1CE1，且 BD1CE1； （3）求点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值 （直接写出

8、结果） 25 （9 分）已知抛物线 yax2+bx+c 经过 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点，直线 l 第 5 页（共 25 页） 是抛物线的对称轴 （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标； （3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条 件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 第 6 页（共 25 页） 2018 年广东省深圳市龙岗区宏杨学校中考数学二模试卷年广东省深圳市龙岗区宏杨学校中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共

9、一、选择题（本大题共 10 小题小题,每小题每小题 3 分分,共共 30 分在每小题给出的四个选项中分在每小题给出的四个选项中,只有一个是只有一个是 正确的正确的) 1 （3 分）的倒数是（ ） A2 B2 C D 【分析】根据乘积为的 1 两个数倒数，可得一个数的倒数 【解答】解：的倒数是 2， 故选：A 【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键 2 （3 分）下列美丽的图案，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心

10、对称图形，符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意 故选：B 【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条 直线叫做对称轴 在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180 度，旋转后的图形能和原图形完全重 合，那么这个图形就叫做中心对称图形这个旋转点，就叫做中心对称点 3 （3 分）用科学记数法表示 316000000 为（ ） A3.16107 B3.16108 C31.6107 D31.6106 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式

11、，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 第 7 页（共 25 页） 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 316000000 用科学记数法表示为：3.16108 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其 中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4 （3 分）下列计算正确的是（ ） Ax+x2x3 Bx2x3x6 C （x3）2x6 Dx9x3x3 【分析】A、原式不能合并，错误；

12、 B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断； C、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断 【解答】解：A、原式不能合并，错误； B、原式x5，错误； C、原式x6，正确； D、原式x6，错误 故选：C 【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与 积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键 5 （3 分）在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，随机地摸 出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概 率是（ ） A

13、B C D 【分析】根据题意列出相应的表格，得出所有等可能的情况数，找出之和为奇数的情况 数，即可求出所求的概率 【解答】解：列表得： 1 2 3 4 1 （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） （3，2） （4，2） 第 8 页（共 25 页） 3 （1，3） （2，3） （4，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） 所有等可能的情况有 12 种，其中之和为奇数的情况有 8 种， 则 P 故选：B 【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况 数之比 6 （3 分）已知 a，b 满足方程组，则 a+b 的值为（ ） A4 B4 C2 D2 【分

14、析】求出方程组的解得到 a 与 b 的值，即可确定出 a+b 的值 【解答】解：法 1：， +5 得：16a32，即 a2， 把 a2 代入得：b2， 则 a+b4， 法 2：+得：4a+4b16， 则 a+b4， 故选：B 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元 法与加减消元法 7 （3 分）等腰三角形的两边分别为 1 和 2，则其周长为（ ） A4 B5 C4 或 5 D无法确定 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为 1 和 2，而没有明确腰、底分别是多少，所以 要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形 【解答】解：由题意可知，三角形为

15、等腰三角形，又由三边关系得出三角形第三边只能 是 2，所以周长是 5 若另一边是 1 的话，则 1+12 不成立 故选：B 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的 第 9 页（共 25 页） 题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解 答，这点非常重要，也是解题的关键 8 （3 分）不等式组的整数解共有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，得到解集，根据题意找出所有整 数即可 【解答】解：， 解得，x3， 解得，x5， 不等式组的解集为：3x5， 整数解有 3，4

16、故选：B 【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，根据一元一次不等式组的解法解出 不等式组是解题的关键，注意整数解的确定方法 9 （3 分）如图，直线 mn，直角三角板 ABC 的顶点 A 在直线 m 上，则 等于（ ） A19 B38 C42 D52 【分析】延长 BC 交直线 m 于 D，根据三角形的外角性质求出ADC，根据平行线的性 质得出ADC，代入即可求出答案 【解答】解： 延长 BC 交直线 m 于 D， ACB90，DAC38， 第 10 页（共 25 页） ADC903852， mn， ADC52， 故选：D 【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质的应用，关键是

17、正确作辅助线后 求出ADC 度数，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，两直线平 行，内错角相等 10 （3 分）如图，在ABC 中，C90，BC3，D，E 分别在 AB、AC 上，将ADE 沿 DE 翻折后，点 A 落在点 A处，若 A为 CE 的中点，则折痕 DE 的长为（ ） A B3 C2 D1 【分析】 先由图形翻折变换的性质得出 AEAE， 再根据 A为 CE 的中点可知 AEA ECE，故 AEAC，再由C90，DEAC 可知 DEBC，故可得出 ADEABC，由相似三角形的性质可知，故可得出结论 【解答】解：ADEADE 翻折而成， AEAE， A为 CE 的中点

18、， AEAECE， AEAC， C90，DEAC， DEBC， ADEABC， ， 解得 DE1 故选：D 第 11 页（共 25 页） 【点评】本题考查的是图形的翻折变换及相似三角形的判定与性质，熟知图形翻折不变 性的性质是解答此题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 24 分分) 11 （4 分）若二次根式有意义，则 x 的取值范围是 x 【分析】根据二次根式有意义，被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 【解答】解：根据题意得，3x20， 解得 x 故答案为：x 【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数 12 （4 分

19、）分解因式：m2n2mn+n n（m1）2 【分析】原式提取公因式后，利用完全平方公式分解即可 【解答】解：原式n（m22m+1）n（m1）2 故答案为：n（m1）2 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本 题的关键 13 （4 分）一个扇形的圆心角为 120，半径为 3，则这个扇形的面积为 3 （结果保留 ） 【分析】根据扇形公式 S扇形，代入数据运算即可得出答案 【解答】解：由题意得，n120，R3， 故 S扇形3 故答案为：3 【点评】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的 面积公式，另外要明白扇形公式中，每个字母所代表

20、的含义 14 （4 分）方程的解是 x9 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可 确定出分式方程的解 【解答】解：去分母得：2x3x9， 解得：x9， 第 12 页（共 25 页） 经检验 x9 是分式方程的解， 故答案为：x9 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转 化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根 15 （4 分）如图，在ABCD 中，BE 平分ABC，BC6，DE2，则ABCD 的周长等于 20 【分析】根据四边形 ABCD 为平行四边形可得 AEBC，根据平行线的性质和角平分线 的性质可得出AB

21、EAEB，继而可得 ABAE，然后根据已知可求得结果 【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形， AEBC，ADBC，ABCD， AEBEBC， BE 平分ABC， ABEEBC， ABEAEB， ABAE， AE+DEADBC6， AE+26， AE4， ABCD4， ABCD 的周长4+4+6+620， 故答案为：20 【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分 线的性质得出ABEAEB 16 （4 分）若+，对任意自然数 n 都成立，则 a ，b ；计算：m+ 【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，根据题意确定出 a 与 b 第 13

22、 页（共 25 页） 的值即可；原式利用拆项法变形，计算即可确定出 m 的值 【解答】解：+， 可得 2n（a+b）+ab1，即， 解得：a，b； m（1+）（1）， 故答案为：； 【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键 三、解答题三、解答题(一一)(本大题共本大题共 3 小题小题,每小题每小题 6 分分,共共 18 分分) 17 （6 分）计算： （） 120150+ 2sin60 【分析】利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和零指数幂的性质进而计算得出 答案 【解答】解：原式51+22 4+2 4+ 【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键 1

23、8 （6 分）解方程组： 【分析】先把方程组中的括号去掉，再用加减消元法或代入消元法求解即可 【解答】解：原方程组可化为，得，x，把 x代入得，9 y5，解得 y4， 故方程组的解为 【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入 消元法是解答此题的关键 19 （6 分）一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，ABCF，FACB 90，E45，A60，AC10，试求 CD 的长 第 14 页（共 25 页） 【分析】过点 B 作 BMFD 于点 M，根据题意可求出 BC 的长度，然后在EFD 中可求 出EDF45，进而可得出答案 【解答】解：过点 B

24、 作 BMFD 于点 M， 在ACB 中，ACB90，A60，AC10， ABC30，BCACtan6010， ABCF， BMBCsin30105， CMBCcos3015， 在EFD 中，F90，E45， EDF45， MDBM5， CDCMMD155 【点评】本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的 关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答 四、解答题四、解答题(二二)(本大题共本大题共 3 小题小题,每小题每小题 7 分分,共共 21 分分) 20 （7 分）已知关于 x 的方程 x2+2x+a20 （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数

25、a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及方程的另一根 【分析】 （1）关于 x 的方程 x22x+a20 有两个不相等的实数根，即判别式b2 4ac0即可得到关于 a 的不等式，从而求得 a 的范围 （2）设方程的另一根为 x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出 a 的值和方程的另一 根 【解答】解： （1）b24ac（2）241（a2）124a0， 第 15 页（共 25 页） 解得：a3 a 的取值范围是 a3； （2）设方程的另一根为 x1，由根与系数的关系得： ， 解得：， 则 a 的值是1，该方程的另一根为3 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元

26、二次方程根的情况与判别式的关 系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 21 （7 分）课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的 具体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四 类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统 计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）王老师一共调查了多少名同学？ （2）C 类女生有 3 名，D 类男生有 1 名，将上面条形统计图补充完整； （3）为了共同进步，王老师想从被调查的 A 类和 D 类学生中各随机选取一位

27、同学进行 “一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同 学和一位女同学的概率 第 16 页（共 25 页） 【分析】 （1）根据 B 类有 6+410 人，所占的比例是 50%，据此即可求得总人数； （2）利用（1）中求得的总人数乘以对应的比例即可求得 C 类的人数，然后求得 C 类中 女生人数，同理求得 D 类男生的人数； （3）利用列举法即可表示出各种情况，然后利用概率公式即可求解 【解答】解： （1） （6+4）50%20 所以王老师一共调查了 20 名学生 （2）C 类学生人数：2025%5（名） C 类女生人数：523（名） ， D 类学生占的百分比：

28、115%50%25%10%， D 类学生人数：2010%2（名） ， D 类男生人数：211（名） ， 故 C 类女生有 3 名，D 类男生有 1 名；补充条形统计图 （3）由题意画树形图如下： 从树形图看出，所有可能出现的结果共有 6 种，且每种结果出现的可能性相等，所选 两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有 3 种 所以 P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学） 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统 计图中得到必要的信息是解决问题的关键 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 22 （7 分

29、）如图，AC 是O 的直径，点 B 在O 上，ACB30 （1）利用尺规作ABC 的平分线 BD，交 AC 于点 E，交O 于点 D，连接 CD（保留作 第 17 页（共 25 页） 图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，求ABE 与CDE 的面积之比 【分析】 （1）以点 B 为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角 ABC 两边于点 M，N； 分别以点 M，N 为圆心，以大于MN 的长度为半径画弧，两弧交于一点；作射线 BE 交 AC 与 E，交O 于点 D，则线段 BD 为ABC 的角平分线； （2） 连接 OD，设O 的半径为 r， 证得ABEDCE，在 RtACB 中，ABC9

30、0， ACB30，得到 ABACr，推出ADC 是等腰直角三角形，在 RtODC 中，求 得 DCr，于是问题可得 【解答】 （1）如图所示； （2）如图 2，连接 OD，设O 的半径为 r， BAECDE， AEBDEC， ABEDCE， 在 RtACB 中，ABC90，ACB30， ABACr， ABDACD45， ODOC， OCDODC45， DOC90， 在 RtODC 中，DCr， 第 18 页（共 25 页） 【点评】本题主要考查基本作图，圆周角定理，勾股定理，作一个角的平分线，牢记一 些基本作图是解答本题的关键 解答题解答题(三三)(本大题共本大题共 3 小题小题,每小题每小题

31、 9 分分,共共 27 分分) 23 （9 分）一次函数 ykx+b 与反比例函数 y的图象交于 A（1，4） ，B（2，n）两点 （1）求 m 和 n 的值； （2）求 k 和 b 的值； （3）结合图象直接写出不等式kxb0 的解集 【分析】 （1）根据反比例函数 y的图象过点 A（1，4） ，B（2，n）两点，可以求得 m、n 的值； （2）根据（1）中的答案和一次函数 ykx+b 与反比例函数 y的图象交于 A（1，4） ， B（2，n）两点，可以求得 k、b 的值； （3）根据函数图象和（1）中的结果可以直接写出不等式kxb0 的解集 【解答】解： （1）反比例函数 y的图象过点 A

32、（1，4） ，B（2，n）两点， 第 19 页（共 25 页） ，得 m4， n，得 n2， 即 m 的值是 4，n 的值是2； （2）一次函数 ykx+b 与反比例函数 y的图象交于 A（1，4） ，B（2，2）两 点， ，得， 即 k 的值是 2，b 的值是 2； （3）由图象可知， kxb0 不等式kxb0 的解集是 x2 或 0x1 【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利 用数形结合的思想解答 24 （9 分）在 RtABC 中，A90，ACAB4，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，若 等腰 RtADE 绕点 A 逆时针旋转，得到等腰 RtAD

33、1E1，设旋转角为 （0180） ， 记直线 BD1与 CE1的交点为 P （1）如图 1，当 90时，线段 BD1的长等于 2 ，线段 CE1的长等于 2 ； （直接填写结果） （2）如图 2，当 135时，求证：BD1CE1，且 BD1CE1； （3）求点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值 （直接写出结果） 第 20 页（共 25 页） 【分析】 （1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出 BD1的长和 CE1的长； （2） 根据旋转的性质得出， D1ABE1AC135， 进而求出D1ABE1AC （SAS） ， 即可得出答案； （3）首先作 PGAB，交 AB 所在直线于点

34、G，则 D1，E1在以 A 为圆心，AD 为半径的 圆上，当 BD1所在直线与A 相切时，直线 BD1与 CE1的交点 P 到直线 AB 的距离最大， 此时四边形 AD1PE1是正方形，进而求出 PG 的长 【解答】 （1）解：A90，ACAB4，D，E 分别是边 AB，AC 的中点， AEAD2， 等腰 RtADE 绕点 A 逆时针旋转， 得到等腰 RtAD1E1， 设旋转角为 （0180） ， 当 90时，AE12，E1AE90， BD12，E1C2； 故答案为：2，2； （2）证明：当 135时，如图 2， RtAD1E1是由 RtADE 绕点 A 逆时针旋转 135得到， AD1AE1

35、，D1ABE1AC135， 在D1AB 和E1AC 中 ， D1ABE1AC（SAS） ， BD1CE1，且D1BAE1CA， 记直线 BD1与 AC 交于点 F， BFACFP， 第 21 页（共 25 页） CPFFAB90， BD1CE1； （3）解：如图 3，作 PGAB，交 AB 所在直线于点 G， D1，E1在以 A 为圆心，AD 为半径的圆上， 当 BD1所在直线与A 相切时，直线 BD1与 CE1的交点 P 到直线 AB 的距离最大， 此时四边形 AD1PE1是正方形，PD12，则 BD12， 故ABP30， 则 PB2+2， 故点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值为：PG

36、1+ 【点评】此题主要考查了几何变换以及等腰腰直角三角形的性质和勾股定理以及切线的 性质等知识，根据题意得出 PG 的最长时 P 点的位置是解题关键 25 （9 分）已知抛物线 yax2+bx+c 经过 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）三点，直线 l 是抛物线的对称轴 （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标； （3）在直线 l 上是否存在点 M，使MAC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条 件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 第 22 页（共 25 页） 【分析】方法一： （1）直接将 A、B、C

37、 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可 （2）由图知：A、B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之 间线段最短可知：若连接 BC，那么 BC 与直线 l 的交点即为符合条件的 P 点 （3）由于MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：MAAC、MA MC、ACMC；可先设出 M 点的坐标，然后用 M 点纵坐标表示MAC 的三边长，再 按上面的三种情况列式求解 方法二： （1）略 （2）找出 A 点的对称点点 B，根据 C，P，B 三点共线求出 BC 与对称轴的交点 P （3）用参数表示的点 M 坐标，分类讨论三种情况，利用两点间距离公式就可求解 （4）先

38、求出 AC 的直线方程，利用斜率垂直公式求出 OO斜率及其直线方程，并求出 H 点坐标，进而求出 O坐标，求出 DO直线方程后再与 AC 的直线方程联立，求出 Q 点坐标 【解答】方法一： 解： （1）将 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）代入抛物线 yax2+bx+c 中，得： ， 解得： 抛物线的解析式：yx2+2x+3 第 23 页（共 25 页） （2）连接 BC，直线 BC 与直线 l 的交点为 P； 点 A、B 关于直线 l 对称， PAPB， BCPC+PBPC+PA 设直线 BC 的解析式为 ykx+b（k0） ，将 B（3，0） ，C（0，3）代入上式，得： ，解得

39、： 直线 BC 的函数关系式 yx+3； 当 x1 时，y2，即 P 的坐标（1，2） （3）抛物线的对称轴为：x1，设 M（1，m） ，已知 A（1，0） 、C（0，3） ， 则： MA2m2+4，MC2（3m）2+1m26m+10，AC210； 若 MAMC，则 MA2MC2，得： m2+4m26m+10，得：m1； 若 MAAC，则 MA2AC2，得： m2+410，得：m； 若 MCAC，则 MC2AC2，得： m26m+1010，得：m10，m26； 当 m6 时，M、A、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去； 综上可知，符合条件的 M 点，且坐标为 M（1，） （1，） （

40、1，1） （1，0） 方法二： （1）A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3） ， y（x+1） （x3） ，即 yx2+2x+3 （2）连接 BC， l 为对称轴， PBPA， C，B，P 三点共线时，PAC 周长最小，把 x1 代入 lBC：yx+3，得 P（1，2） 第 24 页（共 25 页） （3）设 M（1，t） ，A（1，0） ，C（0，3） ， MAC 为等腰三角形， MAMC，MAAC，MCAC， （1+1）2+（t0）2（10）2+（t3）2，t1， （1+1）2+（t0）2（10）2+（03）2，t， （10）2+（t3）2（10）2+（03）2，t16，t20， 经

41、检验，t6 时，M、A、C 三点共线，故舍去， 综上可知，符合条件的点有 4 个，M1（1，） ，M2（1，） ，M3（1，1） ，M4（1， 0） 追加第（4）问：若抛物线顶点为 D，点 Q 为直线 AC 上一动点，当DOQ 的周长最小 时，求点 Q 的坐标 （4）作点 O 关于直线 AC 的对称点 O 交 AC 于 H， 作 HGAO，垂足为 G， AHG+GHO90，AHG+GAH90， GHOGAH， GHOGAH， HG2GOGA， A（1，0） ，C（0，3） ， lAC：y3x+3，H（，） ， H 为 OO的中点， O（，） ， D（1，4） ， lOD：yx+，lAC：y3x+3， x，y， Q（，） 第 25 页（共 25 页） 【点评】该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等 知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解