1、厦门市 2020 届高中毕业班第一次质量检测届高中毕业班第一次质量检测数学模拟试题一、选择题：共一、选择题：共 12小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 60分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. 1.已知1Ax x=， 2 1 ()0 2 Bx x = ，则 R AC B =（ ） A. 1,1 B. C. 11 1,1 22 D. () 1,1 2.设3zi= +，则zz+=（ ） A. 310i + B. 310i+ + C. 310i + + D. 310i + 3.中国武汉于 2019
2、年 10 月 18 日至 2019年 10 月 27日成功举办了第七届世界军人运动会.来自 109个国家 的9300 余名运动员同台竞技.经过激烈的角逐，奖牌榜的前 3 名如下： 国家 金牌 银牌 铜牌 奖牌总数 中国 133 64 42 239 俄罗斯 51 53 57 161 巴西 21 31 36 88 某数学爱好者采用分层抽样的方式，从中国和巴西获得金牌选手中抽取了 22 名获奖代表.从这 22名中随机 抽取 3 人， 则这 3 人中中国选手恰好 1人的概率为（ ） A. 22 57 B. 19 1540 C. 57 1540 D. 171 1540 4.已知等差数列 n
3、a 的前n项和为 n S，公差为-2，且 7 a是 3 a与 9 a的等比中项，则 10 S的值为（ ） A. 110 B. 90 C. 90 D. 110 5.已知函数( ) xx f xee=+，给出以下四个结论： (1)( )f x是偶函数； (2)( )f x的最大值为 2； (3)当( )f x取到最小值时对应的0x = ；(4)( )f x在(),0 单调递增，在()0,+单调递减. 正确的结论是（ ） A. (1) B. (1)(2)(4) C. (1)(3) D. (1)(4) 6.已知正四棱柱 1111 ABCDABC D的底
4、面边长为 1，高为 2，M为 11 BC的中点，过M作平面平行平面 1 ABD，若平面把该正四棱柱分成两个几何体，则体积较小的几何体的体积为（ ） A. 1 8 B. 1 16 C. 1 24 D. 1 48 7.设 1 2 ae = ， 2 4be= ， 1 2ce= ， 3 2 3de = ，则a b c d, ,的大小关系为（ ） A. cbda B. cdab C. cbad D. cdba. 8.函数( )sincosf xxx=的最小正周期与最大值之比为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 9.已知三角形ABC为直角三角形，点E为斜边AB的
5、中点，对于线段AB上的任意一点D都有 4CE CDBCAC=+= ， 则CD 的取值范围是（ ） A. 2,2 6 B. )2,2 6 C. 2,2 2 D. )2,2 2 10.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制 大衍历发明了一种近似计算的方法二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比 我国张隧晚了上千年） ：对于函数( )yf x=在() 123123 ,x x xxxx1，求曲线 C2与曲线 C3：y=m|x|-m 的公共点的个数 23.已知函数( )231f xxxm=+ （1）当5m =时，求不等式( )
6、0f x 的解集； （2）若当 1 4 x 时，不等式( ) 16 0 41 f x x + 恒成立，求实数 m 的取值范围 1 厦门市厦门市 2020 届高中毕业班第一次质量检测届高中毕业班第一次质量检测 数学（理科）模拟试题数学（理科）模拟试题 一、选择题：共一、选择题：共 12小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 60分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. 1.已知1Ax x=， 2 1 ()0 2 Bx x = ，则 R AC B =（ ） A. 1,1 B. C. 11 1
7、,1 22 D. () 1,1 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出集合A，B，再根据交集和补集的定义求解即可 【详解】解：1Ax x=， 2 1 ()0 2 Bx x = ， 1,1A = ， 1 2 B = ， R AC B = 11 1,1 22 ， 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的交集和补集，属于基础题 2.设3zi= +，则zz+=（ ） A. 310i + B. 310i+ + C. 310i + + D. 310i + 【答案】B 【解析】 【分析】 根据共轭复数的定义以及复数的模直接运算即可 【详解】解：3zi= +， 3zi= +， 2 310zzi+= +
8、 +， 故选：B 【点睛】本题主要考查共轭复数和复数的模，属于基础题 3.中国武汉于 2019年 10 月 18 日至 2019年 10 月 27日成功举办了第七届世界军人运动会.来自 109个国家 的9300 余名运动员同台竞技.经过激烈的角逐，奖牌榜的前 3 名如下： 国家 金牌 银牌 铜牌 奖牌总数 中国 133 64 42 239 俄罗斯 51 53 57 161 巴西 21 31 36 88 某数学爱好者采用分层抽样的方式，从中国和巴西获得金牌选手中抽取了 22 名获奖代表.从这 22名中随机 抽取 3 人， 则这 3 人中中国选手恰好 1人的概率为（ ） A. 22 5
9、7 B. 19 1540 C. 57 1540 D. 171 1540 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据分层抽样确定中国选手的人数，再利用组合数根据古典概型的概率计算公式求解即可 【详解】解：中国和巴西获得金牌总数为 154，按照分层抽样方法， 22 名获奖代表中有中国选手 19 个，巴西选手 3 个， 故这 3 人中中国选手恰好 1人的概率 12 193 3 22 57 1540 C C P C =， 故选：C 【点睛】本题主要考查分层抽样和古典概型的概率计算公式，属于基础题 4.已知等差数列 n a 的前n项和为 n S，公差为-2，且 7 a是 3 a与 9 a的等比中项，则 10
10、 S的值为（ ） A. 110 B. 90 C. 90 D. 110 【答案】D 3 【解析】 【分析】 根据等比中项的定义得 2 739 aa a=，结合公差可求出首项，从而可得答案 【详解】解： 7 a是 3 a与 9 a的等比中项， 2 739 aa a=， 又数列 n a的公差为2， 2 111 (12)(4)(16)aaa=，解得 1 20a =， 20(1) ( 2)222 n ann=+ =， 110 10 10() 5 (202)110 2 aa S + = +=， 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和，考查等比中项的应用，属于基础题 5.已知函数( )
11、 xx f xee=+，给出以下四个结论： (1)( )f x是偶函数； (2)( )f x的最大值为 2； (3)当( )f x取到最小值时对应的0x = ； (4)( )f x在(),0单调递增，在()0,+单调递减. 正确的结论是（ ） A. (1) B. (1)(2)(4) C. (1)(3) D. (1)(4) 【答案】C 【解析】 【分析】 根据偶函数的定义可判断（1） ，再利用导数研究函数的单调性与最值 【详解】解：( ) xx f xee=+， ()( ) xx fxeef x =+=， 函数( )f x为偶函数，故（1）对； 4 又 (
12、 ) 2 1 x xx x e f' xee e =， 当0x 时， 2 1 xx ee ，则( )'0fx ， ( )f x在()0,+上单调递增， 结合偶函数的性质可知( )f x在(),0单调递减， 函数( )f x在0x =处取得最小值( )( ) min 02f xf=，无最大值， 故（3）对， （2） （4）错， 故选：C 【点睛】本题主要考查偶函数的定义及判断，考查利用导数研究函数的单调性与最值，属于中档题 6.已知正四棱柱 1111 ABCDABC D的底面边长为 1，高为 2，M为 11 BC的中点，过M作平面平行平面 1 ABD，若平面把该正四棱柱分成两个几
13、何体，则体积较小的几何体的体积为（ ） A. 1 8 B. 1 16 C. 1 24 D. 1 48 【答案】C 【解析】 【分析】 设N为 11 C D的中点，P为 1 CC的中点，连接MN，MP，NP，连接 1 CB，利用面面平行的判定定理可证 得平面/MNP平面 1 ABD，从而平面MNP为平面，从而可得体积较小的几何体为三棱锥，再根据棱锥 的体积计算公式求解即可 【详解】解：设N为 11 C D的中点，P为 1 CC的中点，连接MN，MP，NP，连接 1 CB， 5 在四棱柱 1111 ABCDABC D中，易证 11/ ABCD，则 11 /DACB， M为 11 BC的
14、中点，P为 1 CC的中点， 1 /MP CB， 1/ DAMP， MP 平面 1 ABD， 1 DA 平面 1 ABD，/MP平面 1 ABD， 同理可证：/NP平面 1 ABD，/MN平面 1 ABD， MPNPP=，MP，NP 平面MNP，平面/MNP平面 1 ABD， 即平面MNP为平面， 体积较小的几何体为三棱锥 1 PC MN， 则体积 1 111 1 1 3 2 P C MN VC MC NC P = 1111 1 62224 = =， 故选：C 【点睛】本题主要考查面面平行的判定，考查棱锥的体积公式，属于基础题 7.设 1 2 ae = ， 2 4be= ， 1 2ce= ，
15、3 2 3de = ，则a b c d, ,的大小关系为（ ） A. cbda B. cdab C. cbad D. cdba. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用指数幂的运算性质化成同分母，再求出分子的近似值即可判断大小 【详解】解： 3 2 4 1e a ee =， 2 4 16 b e =， 2 2 24 44e c ee =， 2 4 9e d e =， 6 由于2.7e ， 2 7.39e ， 3 20.09e ，所以cdab， 故选：B 【点睛】本题主要考查比较幂的大小，属于基础题 8.函数( )sincosf xxx=的最小正周期与最大值之比为（ ） A
16、. B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 去掉绝对值作出函数的图象即可求出函数的周期与最值，从而得出答案 【详解】解：去绝对值( ) 1 sin2 ,22 222 13 sin2 ,22 222 xkxk f x xkxk + = + ()kZ， 作出图象得 由图可知，函数的最小正周期为2，最大值为( )max 1 2 f x=， 所以最小正周期与最大值之比为4， 故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查分类讨论与数形结合的思想，属于中档题 9.已知三角形ABC为直角三角形，点E为斜边AB的中点，对于线段AB上的任意一点D都有 4CE CDBCAC=+=
17、 ， 则CD 的取值范围是（ ） A. 2,2 6 B. )2,2 6 C. 2,2 2 D. )2,2 2 【答案】C 【解析】 【分析】 7 设,CE CD= ，再分类讨论，结合三角函数的性质即可得出结论 【详解】解：由已知可得4AB = ，2CEAEBE=，设,CE CD= ， 当D与E重合时，CE CD = 2 2 cos04 =，符合题意； 当D与A重合时，BDC=，4cosCD=，代入 4CE CD= ， 得2 4coscos4=，此时 4 =， 同理，当D与B重合时 4 = 故0 4 ， 由 4CE CD= ，得2cos4CD=， 即 2 cos CD =，结合0 4
18、 ，可得2,2 2CD ， 故选：C 【点睛】本题主要考查向量的数量积，考查三角函数的性质，考查分类讨论思想，属于中档题 10.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制 大衍历发明了一种近似计算的方法二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比 我国张隧晚了上千年） ：对于函数( )yf x=在() 123123 ,x x xxxx=，则原方程转化成() 2 ln10tta t=，即 1 ln0ta t t = ， 令( ) 1 lnf tta t t = ，显然( )10f=， 问题转化成函数( )f t在()0,+上只有一个零点
19、1， ( ) 2 22 11 1 atta f' ta ttt + =+= ， 若0a =，则( ) lnf tt= 在()0,+单调递增，( )10f=，此时符合题意； 若0a ，( )f t在()0,+单调递增，( )10f=，此时符合题意； 若0a ，记( ) 2 h tatta= + ， 则函数( )h t开口向下，对称轴 1 0 2 t a =，过()0, a， 2 14a = ， 当0 即 2 140a 即 1 2 a 时，( )0f' t ，( )f t在()0,+单调递减，( )10f=，此时符合题意； 当 0即 2 140a 即 1 0 2 a，所以 12 0
20、1tt， 则 ( )( ) 2 2 tt tee am t t + = 0=， 所以E的轨迹是焦点为A，B，长轴为4的椭圆的一部分， 设椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab +=， 则24a =，22c =，所以 2 4a = ， 222 3bac= ， 所以椭圆方程为 22 1 43 xy +=， 又因为点E不在x轴上，所以0y ， 所以点E的轨迹的方程为 22 1(0) 43 xy y+=； （2）因为直线HG斜率不为 0，设为1xty=+， 1 设() 11 ,G x y，() 22 ,H xy，联立 22 1, 1 43 xty xy =+ += 整理得()
21、22 34690tyty+=， 所以 222 =3636(34)144(1)0ttt+=+， 12 2 6 34 t yy t += + ， 12 2 9 34 y y t = + ， 所以 2 12 2 161 234 OHG t SOA yy t + = + ， 2MNOM= ， 2 GHNOHG SS= ， 设四边形OHNG的面积为S， 则 2 2 8 34 3 11 OHGGHNOHG t SSSS t + + = + = 2 2 2 2 1818 1 34 31 1 1 t t t t = + + + + + ， 令 2 1(1)tm m+= ， 再令 1
22、3ym m =+，则 1 3ym m =+在)1,+单调递增， 所以1m =时， min 4y=， 此时0t =， 2 2 1 31 1 t t + + + 取得最小值4，所以 max 9 2 S= 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及其性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题 21.已知函数( )1f xlnxax=+有两个零点 12 ,x x . （1）求a的取值范围； （2）记 ( )f x的极值点为 0 x，求证： 120 2e ()xxf x+. 【答案】 （1）10a ，即证 2(1) ln 1 t t t + ，令 2(1) ( )ln(1) 1 t h ttt t
23、= + ，求导后得函数的 单调性与最值，由此可证结论 【详解】解： （1）因为 11 ( ) ax fxa xx + =+=， 当0a 时，( )0fx ， ( )f x在( )0,+单调递增，至多只有一个零点，不符合题意，舍去； 当0a ，则( )0fx，则 1 ln()0 a ， 所以 1 1 a ，解得10a 时，( )0h x ，所以 11 ln() aea ， 所以 12 2 ln()e aa ，即 0 2 2e ()f x a ， 要证 120 2e ()xxf x+，只需 12 2 xx a +， 即证 12 12 1 2 2() ln xx xx x x + ，即证
24、 112 212 2() ln xxx xxx + ，即证 1 12 1 2 2 2(1) ln 1 x xx x x x + ， 令 12 xx，再令 1 2 (1) x tt x = ，即证 2(1) ln 1 t t t + ， 令 2(1) ( )ln(1) 1 t h ttt t = + ，则 () () () 2 22 114 ( )0 11 t h t t tt t = + ， 所以( )h t在(1,)+单调递增，所以( )(1)0h th=， 所以 2(1) ln 1 t t t + ，原题得证 【点睛】本题主要考查根据导数研究函数的单调性与最值，考查推理能力与运
25、算能力，属于难题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一 个题目计分个题目计分 22.在直角坐标系 xOy 下，曲线 C1的参数方程为 cos , sin x y = = （ 为参数） ，曲线 C1在变换 T： 2xx yy = = 的 作用下变成曲线 C2 （1）求曲线 C2的普通方程； （2）若 m1，求曲线 C2与曲线 C3：y=m|x|-m 的公共点的个数 【答案】 （1） 2 2 1 4 x y+= （2）4 【解析】 【分析】 （1）先求出曲线 C1的普
26、通方程，再根据图象变换可求出曲线 C2的普通方程； （2） 由题意可得 3 C上的点()0,Am在椭圆 E： 2 2 1 4 x y+=外， 当0x 时， 曲线 3 C的方程化为y mxm= ， 联立直线与椭圆的方程，由韦达定理可得当0x 时，曲线 C2与曲线 C3有且只有两个不同的公共点，又曲 2 线 C2与曲线 C3都关于 y 轴对称，从而可得结论 【详解】解： （1）因为曲线 C1的参数方程为 cos , sin, x y = = 所以曲线 C1的普通方程为 22 1xy+=， 将变换 T： '2 , ', xx yy = = 即 1 ', 2
27、9;, xx yy = = 代入 22 1xy+=，得 2 2 ' '1 4 x y+=， 所以曲线 C2的普通方程为 2 2 1 4 x y+= （2）因为 m1，所以 3 C上的点()0,Am在在椭圆 E： 2 2 1 4 x y+=外， 当 x0 时，曲线 3 C的方程化为y mxm= ， 代入 2 2 1 4 x y+=，得 2222 (41)84(1)0mxm xm+=， （*） 因为 422 644(41) 4(1)mmm =+ 2 16(31)0m=+， 所以方程（*）有两个不相等的实根 x1，x2， 又 2 12 2 8 0 41 m x
28、x m += + ， 2 12 2 4(1) 0 41 m x x m = + ，所以 x10，x20， 所以当 x0 时，曲线 C2与曲线 C3有且只有两个不同的公共点， 又因为曲线 C2与曲线 C3都关于 y 轴对称， 所以当 x的解集； （2）若当 1 4 x 时，不等式( ) 16 0 41 f x x + 恒成立，求实数 m 的取值范围 【答案】 （1）x|1x （2） （，8） 【解析】 2 【分析】 （1）分类讨论去掉绝对值后再解不等式； （2）由题意可得 16 |2|31| |41| mxx x 23150xx+， 1 , 3 231 50, x xx + 或 1
29、2, 3 231 50, x xx 或 2, 231 50, x xx + 1 , 3 1, x x 1x的解集为x|1x ； （2）由条件，有当 1 4 x 时，不等式 16 ( )0 |41| f x x + ， 即 16 |2|31| |41| mxx x + 恒成立， 令 16 ( ) |2|31| |41| g xxx x =+ ， 则因为 16 ( )(2)(31) 41 g xxx x + 16 41 41 x x = + 16 2 |41|8 |41| x x = ， 且 3 ()8 4 g =， 所以 min ( )8g x=， 所以 m8，即实数 m 的取值范围为（，8） 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的三角不等式，考查计算能力，属于中档题