1、 1 华附、省实、深中、广雅华附、省实、深中、广雅 2020 届高三年级四校联考届高三年级四校联考 数数 学（理科）学（理科） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，页， 满分满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟. 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2答案一律做在答题卡上答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案； 3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题
2、卡各题目指定区域内的相应位 置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 4. 保持答题卡的整洁，不要折叠，不要弄破，考试结束后，将试卷和答题卡一并收回. 第一部分第一部分 选择题选择题 (共共 60 分分) 一、选择题一、选择题：本大题共本大题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分. 在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1. 集合 1 , 24 k Mx xkZ = ， 1 , 42 k Nx xkZ =+ ，则（*） A =MN BM N
3、CN M DMN = 2. 原命题为“若 12 ,z z互为共轭复数， 则 12 zz=”， 其逆命题， 否命题， 逆否命题真假性依次为 （*） A真，假，真 B真，真，假 C假，假，真 D假，假，假 3. 已知平面向量 a， b是非零向量，2= a， () 2+ aab， 则向量 b在向量 a方向上的投影为 （*） A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 4. 平面平面的一个充分条件是（*） A存在一条直线aaa， ， B存在一条直线aaa， C存在两条平行直线ababab， ， ， D存在两条异面直线ababab， ， ， 5. 函数 2 ( )log3sin() 2 =f xxx零点的个
4、数是（*） A2 B3 C4 D5 2 6. 已知函数( )sin2cos2=f xaxbx（a，b为常数，0a，xR）在 12 =x处取得最大值， 则函数 3 =+ yfx是（*） A. 奇函数且它的图象关于点,0 2 对称 B. 偶函数且它的图象关于点,0 2 对称 C. 奇函数且它的图象关于=x对称 D. 偶函数且它的图象关于=x对称 7. 已知函数( )f x的图象连续且在()2,+上单调，又函数()2=+yf x的图象关于y轴对称， 若数列 n a是公差不为 0 的等差数列，且()() 42016 =f af a，则 n a的前 2019 项之和为（*） A0 B2019 C4038
5、 D4040 8函数( )2 sincos2=+f xxx在, 2 2 上的单调减区间为（*） A, 26 和0, 6 B,0 6 和, 6 2 C, 26 和, 6 2 D, 6 6 9. 函数( ) 2 11 2 = x x xf的值域是（*） A. 4 4 , 3 3 B. 4 ,0 3 C. 0,1 D. 4 0, 3 10. 已知圆 22 1xy+=，点(1, 0)A，ABC内接于圆，且60= BAC，当B，C在圆上运动时， BC中点的轨迹方程是（*） A 22 1 2 xy+= B 22 1 4 xy+= C 22 11 22 += xyx D. 22 11 44 += xyx 1
6、1. 已知双曲线 22 22 :1 xy C ab =的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M， 交另一条渐近线于N，若2MFFN= ，则双曲线的离心率（*） A 2 3 3 B 14 3 C2 D. 2 12. 若正四面体 SABC 的面 ABC 内有一动点 P 到平面 SAB，平面 SBC，平面 SCA 的距离依次成等差 数列，则点 P 在平面 ABC 内的轨迹是（*） A一条线段 B一个点 C一段圆弧 D抛物线的一段 第二部分第二部分 非选择题非选择题 (共共 90 分分) 3 二、填空题二、填空题：本大题共本大题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分
7、.请将答案填在答题卡的相请将答案填在答题卡的相应位置上应位置上. 13. 在区间0,2上分别任取两个数 m，n，若向量(),= am n，()1,1= b，则满足1 ab的概率 是* 14. 已 知 两 个 等 差 数 列 n a和 n b的 前 n 项 和 分 别 为 n A和 n B， 且 31 1 + = + n n An Bn ， 则 258 37 + = + aaa bb * 15. 已知随机变量 XB(2，p)，YN(2，2)，若 P(X1)=0.64，P(0） 的离心率为 2 2 ， 过左焦点F的直线与椭圆交于A，B 两点，且线段AB的中点为 2 1 , 3 3 （）求椭圆C的方
8、程； （）设M为C上一个动点，过点M与椭圆C只有一个公共点的直线为 1 l，过点F与MF垂 直的直线为 2 l，求证： 1 l与 2 l的交点在定直线上，并求出该定直线的方程 21. （本小题满分 12 分） 已知函数( )f x =ln ,xax a+R （）求函数( )f x的单调区间； （）当1,2x时，都有( )0f x 成立，求a的取值范围； （）试问过点(1,3)P可作多少条直线与曲线( )yf x=相切？并说明理由 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分. 请考生从给出的第请考生从给出的第 22、23 两题中任选一题作答，并用两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把
9、铅笔在答题卡上把 所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为 cos sin xmt yt =+ = (t为参数，0)，( )1 axa fx xx + = +=1 分 9 （1）当0a 时，( )0fx恒成立，函数( )f x在(0,)+上单调递增； （2）当0a ，函数( )f x为增函数2 分 综上所述，当0a 时，函数( )f x的单调递增区间为(0,)+
10、 当0a ae，所以21a ，所以 2 2 ln2 a 时，函数( )f x在区间1,2上恒大于零7 分 （）另解：当1x =时，显然ln10xax+= 恒成立. 4 分 当(1,2x时，ln0+xax恒成立 ln x a x 恒成立 ln x a x 的最大值. 令( ) ln = x m x x ，则 2 1 ln ( )0 ln = x m x x ，易知( ) ln = x m x x 在(1,2上单调递增， 所以( )m x最大值为 2 (2) ln2 m= ，此时应有 2 ln2 a. 6 分 综上，a的取值范围是 2 (,) ln2 +. 7 分 10 （）设切点为 000 ,l
11、n)x xax+（，则切线斜率 0 1 a k x = +， 切线方程为 000 0 (ln)(1)() a yxaxxx x +=+ 因为切线过点(1,3)P，则 000 0 3(ln)(1)(1) a xaxx x +=+ 即 0 0 1 (ln1)20ax x += 8 分 令 1 ( )(ln1)2g xax x =+(0)x ，则 22 11(1) ( )() a x g xa xxx = （1）当0a ，( )g x单调递增； 在区间(1,)+上，( )0g x aa g xaeae a 故( )g x在(1,)+上存在唯一零点 取 2 1 2 1 =，( )2= t u tet，
12、则( )2= t u te 当1t 时，( )220= t u tee恒成立 所以( )u t在(1,)+单调递增，( )(1)20=u tue恒成立 11 所以 2 ()0g x 故( )g x在(0,1)上存在唯一零点 因此当0a 时，过点 P(1,3)存在两条切线 11 分 （3）当0a =时，( )f xx=，显然不存在过点 P(1,3)的切线 综上所述，当0a 时，过点 P(1,3)存在两条切线； 当0a 时，不存在过点 P(1,3)的切线12 分 （）另解：设切点为 000 ,ln)x xax+（，则切线斜率 0 1 a k x = +， 切线方程为 000 0 (ln)(1)()
13、 a yxaxxx x +=+ 因为切线过点(1,3)P，则 000 0 3(ln)(1)(1) a xaxx x +=+， 即 0 0 1 (ln1)20ax x += 8 分 当0a =时，020=无解. 9 分 当0a 时， 12 ln1x xa + = ， 令 1 ( )ln1g xx x =+，则 2 1 ( ) = x g x x ， 易知当01 x g x x ， 所以( )g x在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增. 10 分 又(1)0g=，且 0 lim ( )lim( ) xx g xg x + = +， 故当 2 0 a 时有两条切线，当 2 0 a 时无切线
14、， 即当0a 时无切线. 11 分 综上所述，0a 时有两条切线，0a 时无切线. 12 分 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 证明：（）依题意，4cos=OA，1 分 12 4cos 4 =+ OB，4cos 4 = OC，3 分 则 4cos4cos 44 +=+ OBOC8coscos 4 =4 2cos=2.=OA 5 分 解：（）当 12 =时，,B C两点的极坐标分别为2, 3 ，2 3, 6 ，6 分 化成直角坐标为 () 1, 3B， () 3,3C. 7 分 经过点,B C的直线方程为()32= yx，8 分 又直线l经过点(),0m，倾斜角为，
15、且0， 故2=m， 2 3 =. 10 分 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 解：（）( )13f，123+aa. 1 分 当0a时，得()123 + a， 2 0 3 a； 2 分 当 1 0 2 a时，得()1 23+ a， 1 0 2 a； 3 分 当 1 2 a时，得()1 23aa，即 4 3 a， 14 23 a. 4 分 综上所述，实数a的取值范围是 2 4 , 3 3 5 分 （）( )222f xxaxa=+212 2 =+ + a xxa 11 +2 22 =+ + aa xxxa 5 11 22 + aa x 5 1 2 a ， 当1 2 = a x时，等号成立， ( )f x的值最小为 5 1 2 a . 8 分 5 12 2 a ， 13 解得 2 5 a或 6 5 a9 分 实数a的取值范围是 26 , 55 + . 10 分分