1、深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 1 页 共 5页 绝密启用前 试卷类型：A 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试 数 学（理科） 2020.3 本试卷共 23 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1已知集合3 2 1 0，=A，032| 2 =xxxB，则AB = A ) 3 , 1( B 3 , 1( C) 3 , 0( D 3 , 0( 2设 23i 32i z + = ，则z的虚部为 3某工厂生产的 30 个零件编
2、号为 01，02，19，30，现利用如下随机数表从中抽取 5 个进行检 测. 若从表中第 1 行第 5 列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第 5 个零件编号为 34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 86 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 4记 n S为等差数列 n a的前n项和，若 2 3a =， 5 9a =，则 6 S为 5若双曲线 22 22 1 xy ab
3、=（0a ，0b）的一条渐近线经过点(1, 2) ，则该双曲线的离心率为 6已知tan3= ，则 sin2() 4 += 7 7 ) 2 ( x x的展开式中 3 x的系数为 A1 B1 C2 D2 A25 B23 C12 D. 07 A36 B32 C28 D. 24 A3 B 5 2 C5 D. 2 A 3 5 B 3 5 C 4 5 D 4 5 A168 B84 C42 D. 21 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 2 页 共 5页 8函数( ) 2 ln|e1| x f xx=的图像大致为 9如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体 的
4、三视图，则该四面体的外接球表面积为 A 32 3 3 B32 C36 D48 10已知动点M在以 1 F， 2 F为焦点的椭圆 2 2 1 4 y x +=上，动点N在以M为圆心，半径长为 1 |MF 的圆上，则 2 |NF的最大值为 11著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到 外心的距离是重心到垂心距离的一半此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线 定理设点O，H分别是ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则 A33ABACHMMO+=+ B33ABACHMMO+= C24ABACHMMO+=+ D 24ABACHMMO+= 12已知定义在
5、0 4 ，上的函数 ( )sin()(0) 6 f xx=的最大值为 3 ，则正实数的取值个数 最多为 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13若yx,满足约束条件 + + 1 01 022 x yx yx ，则yxz2=的最小值为 _ 14设数列 n a的前n项和为 n S，若naS nn =2，则= 6 a_ A B C D A2 B4 C8 D16 A4 B3 C2 D. 1 （第 9 题图） 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 3 页 共 5页 （第 18 题图） M D N 1 D 1 C 1 B 1 A C B A 15很
6、多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全. 某马拉松赛事报名网站的登录验证码 由0，1，2，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型 验证码”(如0123)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概 率为_ 16 已知点 1 ( ,) 2 M m m和点 1 ( ,) 2 N n n ()mn ， 若线段MN上的任意一点P都满足： 经过点P的 所有直线中恰好有两条直线与曲线 2 1 : 2 C yxx=+( 13)x 相切， 则| |mn 的最大值为_ 三 、 解答题： 共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为
7、必考题，每 个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 (一 ) 必考题：共 60 分 17（本小题满分 12 分） 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S， 222 +2abcS=. （1）求cosC； （2）若cossinaBbAc+=，5a =，求b. 18（本小题满分 12 分） 如图，在直四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD是平行四边形， 点M，N分别在棱 1 CC， 1 AA上，且 1 2C MMC=， 1 2ANNA=. （1）求证： 1/ NC平面BMD； （2）若 1 3A A=，22ABAD=， 3 DAB=
8、， 求二面角NBDM的正弦值. 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 4 页 共 5页 19（本小题满分 12 分） 已知以F为焦点的抛物线 2 :2(0)C ypx p=过点(1, 2)P，直线l与C交于A，B两点，M为 AB中点，且OMOPOF+=. （1）当3=时，求点M的坐标； （2）当12OA OB=时，求直线l的方程. 20（本小题满分 12 分） 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始 呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区名患者的 相关信息，得到如下表格： 潜伏期（单
9、位:天） 2 , 0 4 , 2( 6 , 4( 8 , 6( 10, 8 ( 12,10( 14,12( 人数 85 205 310 250 130 15 5 （1） 求这名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表）； （2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否 超过 6 天为标准进行分层抽样，从上述名患者中抽取人，得到如下列联表. 请将列联表补 充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关； 潜伏期6天 潜伏期6天 总计 岁以上（含岁） 100 岁以下 总计 （3）以这名患者的潜伏期超过天的频率，代替该地区
10、名患者潜伏期超过天发生的概 率，每名患者的潜伏期是否超过天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者， 其中潜伏期超过天的人数最有可能 （即概率最大 ）是多少？ 附： 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K + =，其中dcban+=. 1000 1000x 1000200 95% 5050 5055 200 1000616 6 6 )( 0 2 kKP 0 k 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题 第 5 页 共 5页 21（本小题满分 12 分） 已知函数(
11、 )eln(1) x f xax=.（其中常数e=2.718 28，是自然对数的底数） （1）若aR，求函数( )f x的极值点个数； （2）若函数( )f x在区间(1,1+e) a 上不单调，证明： 11 1 a aa + + . （二） 选考题： 共 10 分 请考生在第 22、 23 两题中任选一题作答 注意： 只能做所选定的题目 如 果多做，则按所做的第一题计分 22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，直线 1 C的参数方程为 = += ,sin ,cos32 ty tx （t为参数，为倾斜角）， 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标
12、系，曲线 2 C的极坐标方程为sin4= （1）求 2 C的直角坐标方程； （2） 直线 1 C与 2 C相交于FE,两个不同的点， 点P的极坐标为(2 3,)， 若PFPEEF+=2， 求直线 1 C的普通方程 23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知, ,a b c为正数，且满足1.abc+= 证明： （1） 111 9 abc +； （2） 8 . 27 acbcababc+ 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 1 页 共 16页 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试 理科数学试题答案及评分参考 一、选择题 1. B
13、2. B 3. C 4. A 5. C 6. D 7. B 8. A 9. D 10. B 11. D 12. C 12. 解析：当 462 时，即 8 3 时， max ( )1 3 f x = =，解得3=； 当 462 时，即 8 0 3 时， max ( )sin() 463 f x =， 令 ( )sin() 46 g =，( ) 3 h =， 如图，易知 ( )yg= ， ( )yh= 的图象有两个交点 11 (,)Ay， 22 (,)By， 所以方程 sin() 463 =有两个实根 12 ， 又 888 ( )1( ) 393 gh= =，所以易知有 12 8 3 ， 所以此时
14、存在一个实数 1 =满足题设， 综上所述，存在两个正实数满足题设，故应选 C. 二、填空题： 13. 3 14. 63 15. 4 15 16. 4 3 16. 解析：由对称性不妨设m n ，易知线段MN所在直线的方程为 1 2 yx=， 又 2 11 22 xxx+，点P必定不在曲线C上， 不妨设 1 ( ,) 2 P t t ，()mtn ，且过点P的直线l与曲线C相切于点 2 000 1 (,) 2 Q xxx+， 易知 0 |x x PQ yk = =，即 2 00 0 0 11 ()() 22 1 xxt x xt + + = ，整理得 2 00 210xtx =， （法一）显然 0
15、 0x ，所以 0 0 1 2tx x =， 令 1 ( )f xx x =， 1,0)(0,3x U， 绝密绝密启封并使用完毕前启封并使用完毕前 试题类型：试题类型：A 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 2 页 共 16页 如图，直线2yt=和函数( )yf x=的图象有两个交点， 又( 1)0f =，且 8 (3) 3 f=， 8 02 3 t，即 4 0 3 t ， 4 0 3 mn，|mn的最大值为 4 3 ，故应填 4 3 （法二）由题意可知 0 13x ，令 2 ( )21f xxtx=， 函数( )f x在区间 1,3上有两个零点， 则
16、 2 ( 1)20 (3)860 13 440 ft ft t t = = =+ V ，解得 4 0 3 t ， 4 0 3 mn，|mn的最大值为 4 3 ，故应填 4 3 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分） 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ABC的面积为S， 222 +2abcS=. （1）求cosC； （2）若cossinaBbAc+=，5a =，求b. 解：（1） 222 1 =sin2 2 SabCabcS+=， 222 sinabcabC+=， 2 分 在ABC中，由余弦定理得 222 sinsin cos 222 a
17、bcabCC C abab + =， sin=2cosCC， 4 分 又 22 sin+cos C=1C， 2 5 5cos C=1cosC= 5 ， 由于 (0,)C ，则sin0C ，那么cosC0，所以 5 cosC= 5 . 6 分 （2）（法一）在ABC中，由正弦定理得sincossinsinsinABBAC+=，7 分 sinsin()sin()sincoscossinCABABABAB=+=+=+ ， 8 分 sincossinsinsincoscossinABBAABAB+=+，即sinsincossinBAAB=， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）
18、试题参考答案 第 3 页 共 16页 又 ,(0,)A B ，sin0B，sin=cosAA，得 4 A =. 9 分 sinsin()sin()BACAC=+=+ ， 10 分 2522 53 10 sinsincoscossin 252510 BACAC=+=+= ， 11 分 在ABC中，由正弦定理得 3 10 5 sin 10 3 sin2 2 aB b A =. 12 分 （法二）cossinaBbAc+=， 又coscosaBbAc+=， cossincoscosaBbAaBbA+=+， 8 分 即sincosAA=，又 (0,)A ， 4 A=. 9 分 在ABC中，由正弦定理得
19、 2 5 5 sin 5 2 2 sin2 2 aC c A =. 10 分 coscosbCAaC=+， 25 2 253 25 c =+=. 12 分 （法三）求A同法一或法二 在ABC中，由正弦定理得 2 5 5 sin 5 2 2 sin2 2 aC c A =， 10 分 又由余弦定理 222 2coscababC=+，得 2 230bb =，解得1b =或3b =. 所以3b =. 12 分 （余弦定理 222 2 cosabcbA=+，得 2 430bb+=，解得1b =或3b =. 因为当1b =时， 222 +-20abc=，不满足cosC0 (不满足 222 +22abcS
20、= )，故舍去，所以3b =） 【命题意图】综合考查三角函数的基本运算、三角函数性质，考查利用正弦、余弦定理解决三 角形问题，检验学生的数学知识运用能力. 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 4 页 共 16页 （第 18 题图） 18（本小题满分 12 分） 如图， 在直四棱柱 1111 ABCDABC D中， 底面ABCD是平行四边形， 点M，N分别在棱 1 CC， 1 A A上，且 1 2C MMC=， 1 2ANNA=. （1）求证： 1/ NC平面BMD； （2）若 1 322AAABAD=， 3 DAB=，求二面角 NBDM的正弦值. 解：
21、（1） 证明：（法一） 如图， 连接AC交BD于点G， 连接MG 设 1 C M的中点为E，连接AE2 分 ,G M是在ACE边,CA CE的中点， /MG AE， 3 分 又 1 2C MMC=， 1 2ANNA=， 11 /AA CC， 四边形 1 ANC E是平行四边形，故 1/ NCAE， 1/ NCGM， 4 分 GM 平面BMD， 1/ NC平面BMD. 5 分 （法二） 如图， 设E是 1 BB上一点， 且 1 2BEBE=， 连接 1 EC. 设G是BE的中点，连接GM. 1 分 11 /BEMCBE MC=， 四边形 1 BEC M是平行四边形，故 1/ ECBM， 2 分
22、又BM 平面BMD， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 5 页 共 16页 1/ EC平面BMD， 3 分 同理可证/NE AG，/AG DM，故/NE DM， /NE平面BMD， 4 分 又 1 ECNE ，平面 1 NEC，且 1 NEC EE=， 平面 1/ NEC平面BMD， 又 1 NC 平面 1 NEC，所以 1/ NC平面BMD.5 分 （2）（法一）设二面角NBDM为，二面角 NBDA为，根据对称性，二面角MBDC 的大小与二面角NBDA大小相等，故2=， sinsin(2 )sin2=. 下面只需求二面角MBDC的大小即可. 7 分
23、 由余弦定理得 222 2cos3BDADABAD ABDAB=+=， 故 222 ABADBD=+ ，ADBD. 8 分 四棱柱 1111 ABCDABC D为直棱柱， 1 DD 底面ABCD， 1 DDBD ， 9 分 又 1 ,AD DD平面 11 ADD A， 1 ADDDD= ， BD平面 11 BDD B， 10 分 ND平面 11 ADD A， NDBD ， 所以二面角NBDA的大小为NDA，即 NDA= ， 在RtNAD中， 12 sin 22 AN ND = ， 11 分 4 =， 2 =， 二面角NBDM的正弦值为1. 12 分 （法二）由余弦定理得 222 2cos3BD
24、ADABAD ABDAB=+=， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 6 页 共 16页 故 222 ABADBD=+，ADBD. 6 分 以D为坐标原点O，以 1 ,DA DC DD分别为, , x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 依题意有(0,0,0)D，(0, 3,0)B，( 1, 3,1)M ，(1, 3,1)N， (0, 3,0)DB =，( 1, 3,1)DM = ，(1, 3,1)DN =，7 分 设平面MBD的一个法向量为( , , )nx y z=， 0 0 n DB n DM = = ， 30 30 y xyz = += ，
25、 令1x =，则1z =，0y =，(1,0,1)n =，9 分 同理可得平面NBD的一个法向量为(1,0, 1)m=，10 分 所以 0 cos,0 |22 m n m n m n = ， 11 分 所以二面角NBDM的大小为 2 ， 正弦值为1. 12 分 【命题意图】考察线面平行、线面垂直判定定理等基本知识，考查空间想象能力，计算能力， 考查学生综合运用基本知识处理数学问题的能力. 19（本小题满分 12 分） 已知以F为焦点的抛物线 2 :2(0)C ypx p=过点(1, 2)P，直线l与C交于A，B两点，M为 AB中点，且OMOPOF+= uuuruu u ruuu r . （1）
26、当=3时，求点M的坐标； （2）当12OA OB= uur uu u r 时，求直线l的方程. 解：（1）因为(1, 2)P在 2 2ypx=上，代入方程可得2p =， 所以C的方程为 2 4yx=，焦点为 (1,0)F ， 2 分 设 00 (,)M x y ，当=3时，由 3OMOPOF+= uuuruu u ruuu r ，可得 (2,2)M ， 4 分 （2）（法一）设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B x y， 00 (,)M x y， 由OM OPOF+= uuuruu u ruuu r ，可得 00 (1,2)( ,0)xy+=，所以 0=2 y， 所以l的斜率存在且斜
27、率 12 12120 42 =1 yy k xxyyy = + ， 7 分 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 7 页 共 16页 可设l方程为y xb=+ ， 联立 2 4 yxb yx =+ = 得 22 (24)0xbxb+=， 22 44=16 160bbb=（2），可得 1b， 9 分 则 12 42xxb+=， 2 12 x xb=， 2 121 212 ()4y yx xb xxbb=+=， 所以 2 1212= 412OA OBx xy ybb=+= uur uu u r ， 11 分 解得6b = ，或2b =（舍去）， 所以直线l的
28、方程为6yx=. 12 分 （法二）设l的方程为x myn=+ ， 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 00 (,)M x y， 联立 2 4 xmyn yx =+ = 得 2 440ymyn=， 2 16160mn=+， 6 分 则 12 4yym+=， 12 4y yn=， 2 1212 ()242xxm yynmn+=+=+， 所以 2 (2,2 )Mmnm+， 7 分 由OM OPOF+= uuuruu u ruuu r ，得 2 (21,22)( ,0)mnm+=，所以1m=， 8 分 所以l的方程为x yn=+ ， 由16 160n=+可得，1n， 9 分 由 12
29、 4y yn= 得 2 2 12 12 () 16 y y x xn=， 所以 2 1212= 412OA OBx xy ynn=+= uur uu u r ， 11 分 解得6n =，或2n = （舍去）， 所以直线l的方程为6yx=. 12 分 【命题意图】本题以直线与抛物线为载体，考查抛物线方程，直线与抛物线的位置关系、向量 的数量积运算，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力. 20（本小题满分 12 分） 在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始 呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期. 一研究团队统计了某地区名患者的
30、 相关信息，得到如下表格： 潜伏期（单位:天） 2 , 0 4 , 2( 6 , 4( 8 , 6( 10, 8( 12,10( 14,12( 人数 85 205 310 250 130 15 5 （1） 求这名患者的潜伏期的样本平均数 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） ； 1000 1000x 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 8 页 共 16页 （2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否 超过 6 天为标准进行分层抽样，从上述名患者中抽取人，得到如下列联表. 请将列联表补 充完整，并根据列联表判断
31、是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关； 潜伏期6天 潜伏期6天 总计 岁以上（含岁） 100 岁以下 总计 （3）以这名患者的潜伏期超过天的频率，代替该地区 名患者潜伏期超过天发生的概 率，每名患者的潜伏期是否超过天相互独立. 为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者， 其中潜伏期超过天的人数最有可能 （即概率最大 ）是多少？ 附： 0.05 0.025 0.010 3.841 5.024 6.635 )()()( )( 2 2 dbcadcba bcadn K + =，其中dcban+=. 解：（1）5.451315111309250731052053851 1000 1 =+=）（x天
32、. 2 分 （2）根据题意，补充完整的列联表如下： 潜伏期6天 潜伏期6天 总计 50岁以上 （含50岁） 65 35 100 50 岁以下 55 45 100 总计 120 80 200 则 21 25 10001080120 200)35554565( 2 2 = =K2.083 ， 5 分 经查表，得3.8412.083 2 K，所以没有95%的把握认为潜伏期与年龄有关. 6 分 （3）由题可知，该地区每 1 名患者潜伏期超过 6 天发生的概率为 5 2 1000 400 =， 7 分 设调查的 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数为X， 则) 5 2 , 02( BX, kk k C
33、kXP = 02 02 5 3 5 2 )(，0=k，1，2，20， 8 分 1000200 95% 5050 5055 200 1000616 6 6 )( 0 2 kKP 0 k 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 9 页 共 16页 由 = += ) 1()( ) 1()( kXPkXP kXPkXP 得 + + kk k kk k kk k kk k CC CC 121 1 02 02 02 911 1 02 02 02 5 3 5 2 5 3 5 2 5 3 5 2 5 3 5 2 ， 10 分 化简得 + kk kk 3)12(2 )02(
34、2) 1(3 ，解得 5 42 5 37 k, 又Nk,所以8=k,即这 20 名患者中潜伏期超过 6 天的人数最有可能是 8 人.12 分 【命题意图】以医学案例为实际背景，考查频数分布表，考查平均数，二项分布的随机变量概 率最大时的取值；考查分析问题、解决问题的能力；处理数据能力、建模能力和核心素养. 21（本小题满分 12 分） 已知函数( )eln(1) x f xax=.（其中常数e=2.718 28，是自然对数的底数） （1）若aR，求函数( )f x的极值点个数； （2）若函数( )f x在区间(1,1+e ) a 上不单调，证明： 11 1 a aa + + . 解：（1）易知
35、 (1)e ( ) 1 x xa fx x = ，1x ， 1 分 若0a，则( )0fx，函数( )f x在(1,)+上单调递增， 函数( )f x无极值点，即函数( )f x的极值点个数为0； 2 分 若0a ， （法一）考虑函数(1)e(1) x yxa x=， Q 1 (1)e0 a yaaaaa + +=，(1)0ya= ， 函数(1)e(1) x yxa x=有零点 0 x，且 0 11xa +， Qe0 x yx = ，函数(1)e(1) x yxa x=为单调递增函数， 函数(1)e(1) x yxa x=有唯一零点 0 x， (1)e ( ) 1 x xa fx x = 亦存
36、在唯一零点 0 x， 4 分 当 0 (1,)xx时，易知( )0fx，即函数( )f x在 0 (1,)x上单调递减， 当 0 (,)xx+时，易知( )0fx，即函数( )f x在 0 (,)x +上单调递增， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 10 页 共 16页 函数( )f x有极小值点 0 x，即函数( )f x的极值点个数为1， 5 分 综上所述， 当0a时， 函数( )f x的极值点个数为0； 当0a 时， 函数( )f x的极值点个数为1. （法二）易知函数exy =的图象与 1 a y x = (0)a 的图象有唯一交点 00 (
37、,)M x y， 0 0 e 1 x a x = ，且 0 1x ，3 分 当 0 (1,)xx时，易知( )0fx，即函数( )f x在 0 (1,)x上单调递减， 当 0 (,)xx+时，易知( )0fx，即函数( )f x在 0 (,)x +上单调递增， 函数( )f x有极小值点 0 x，即函数( )f x的极值点个数为1， 4 分 综上所述， 当0a时， 函数( )f x的极值点个数为0； 当0a 时， 函数( )f x的极值点个数为1. （注：第（注：第（1）问采用法二作答的考生应扣采用法二作答的考生应扣 1 分，即总分不得超过分，即总分不得超过 4 分）分） （法三）对于0a ，
38、必存在 * nN，使得 2lna n a ，即2lnnaa， Qe1 na ， 1e2ln eee0 na nanaa aaa + =， 1 e ee (1e)0 e na na na na a f + +=， 又 1 1 e (1)=e10 a a aa fa a + + += ， 函数 (1)e ( ) 1 x xa fx x = 有零点，不妨设其为 0 x， 显然( )e(1) 1 x a fxx x = 为递增函数， 0 x为函数( )fx的唯一零点， 4 分 当 0 (1,)xx时，易知( )0fx，即函数( )f x在 0 (1,)x上单调递减， 当 0 (,)xx+时，易知( )
39、0fx，即函数( )f x在 0 (,)x +上单调递增， 函数( )f x有极小值点 0 x，即函数( )f x的极值点个数为1， 5 分 综上所述， 当0a时， 函数( )f x的极值点个数为0； 当0a 时， 函数( )f x的极值点个数为1. （2）Q函数( )f x在区间(1,1+e ) a 上不单调， 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 11 页 共 16页 存在 0 (1,1+e ) a x 为函数( )f x的极值点， 6 分 由（1）可知0a ，且 1+e ee (1+e )0 e a a a a a f =，即 1+e e a a
40、a ， 两边取对数得1+eln a aa ，即1+eln a aa ， 7 分 （法一）欲证 11 1 a aa + + ，不妨考虑证 11 1+eln 1 a a aa + + ， 先证明一个熟知的不等式：e1 x x +， 令g( )e1 x xx=，则g( )e1 x x=，g (0)0=， 不难知道函数g( )x的极小值（即最小值）为g(0)0=， e10 x x ，即e1 x x +， 8 分 （思路 1：放缩思想） 11 e= e1 a a a + ， 即 1 e 1 a a + ， 9 分 又 1 1 1 ea a ， 1 1 e a a ， 1 1lna a ，即 1 1lna
41、 a ， 11 分 11 1+eln 1 a a aa + + ， 11 1 a aa + + . 12 分 （思路 2：构造函数）令 1 ( )ln1aa a =+，则 22 111 ( ) a a aaa =， 不难知道，函数( )a有最小值(1)0=，( )0a， 10 分 当0a 时， 1e1 e0 1(1)e a a a a aa = + ， 11 分 11 ln1e0 1 a a aa + + + ，即 11 1+eln 1 a a aa + + ， 11 1 a aa + + . 12 分 （法二）令( )1+eln x F xxx =，则 1 ( )e10 x F x x =
42、， 函数( )F x为单调递减函数， 显然(2)2ln220F，且( )0F a ，02a， 若01a，则 111 1 a aaa + + ，即 11 1 a aa + + 成立； 8 分 若12a，只需证 11 1+eln 1 a a aa + + ， 不难证明 1114 173aaa + + ，只需证明 14 1+eln 73 a a a + ， 9 分 深圳市 2020 年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）试题参考答案 第 12 页 共 16页 令 14 ( )eln1 73 a G aa a =+ + ，12a，则 22 198198 ( )e (73)(73) a G a aaaa =+ + ， 当12a时， 2 22 19849569 (73)(73) aa aaaa + = + ， 显然函数 2 49569y