1、 一、选择题一、选择题 1. （2019乐山）乐山）如图，抛物线4 4 1 2 xy与x轴交于A、B两点，P是以点C（0,3）为圆心，2 为半径的 圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ.则线段OQ的最大值是（ ） A3 B 2 41 C 2 7 D4 【答案】【答案】C 【解析】【解析】连接 PB，令4 4 1 2 xy=0，得 x=4，故 A（-4， ） ， （4，0） ，O 是 AB 的中点，又Q是线段PA的 中点，OQ= 1 2 PB，点 B 是圆 C 外一点，当 PB 过圆心 C 时，PB 最大，OQ 也最大，此时 OC=3，OB=4， 由勾股定理可得 BC=5， PB=BC+PC
2、=5+2=7，OQ= 1 2 PB= 7 2 ，故选 C. 二、填空题二、填空题 1. （2019无锡）无锡）如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=4 5，D为边AB上一动点(B点除外)，以CD为一边 作正方形CDEF，连接BE，则BDE面积的最大值为 . 【答案】8 【解析】【解析】过 D 作 DGBC 于 G，过 A 作 ANBC 于 N，过 E 作 EHHG 于 H，延长 ED 交 BC 于 M.易证EHD DGC，可设 DG=HE=x，AB=AC=5，BC=4 5，ANBC，BN= 1 2 BC=25，AN= 22 5ABBN， GBC，ANBC，DGAN，2 BGBN DGAN ，
3、BG=2x，CG=HD=45- 2x；易证HEDGMD，于 是 HEHD GMGD ， 4 52xx GMx ，即 MG 2 4 52 x x ，所以 SBDE = 1 2 BMHD= 1 2 （2x 2 4 52 x x ）（4 5- 2x）= 2 5 4 5 2 xx= 2 54 5 8 25 x ，当 x= 4 5 5 时，SBDE的最大值为 8. 2. (2019 台州台州)如图,直线 l1l2l3,A,B,C 分别为直线 l1,l2,l3上的动点,连接 AB,BC,AC,线段 AC 交直线 l2于点 D. 设直线 l1,l2之间的距离为 m,直线 l2,l3之间的距离为 n,若ABC
4、90,BD4,且 2 3 m n ,则 m+n 的最大值为 _. 【答案】【答案】 25 3 【解析】【解析】 过点 B 作 BEl1于点 E,作 BFl3于点 F,过点 A 作 ANl2于点 N,过点 C 作 CMl2于点 M,设 AEx,CF y,则 BNx,BMy,BD4,DMy4,DN4x,ABC90,且AEBBFC90,CMD AND 90 ,易 得AEB BFC, CMD AND, AEBE BFCF , 即 xm ny ,mn xy, ANDN CMDM , 即 42 = 43 mx ny ,y10 3 2 x, 2 = 3 m n ,n 3 2 m,m+n 5 2 m,mnxy
5、x(10 3 2 x) 3 2 x2+10x 3 2 m2,当 x 10 3 时,mn 取得最大值为 50 3 , 3 2 m2 50 3 ,m最大 10 3 ,m+n 5 2 m 25 3 . 3. （2019凉山）凉山）如图，正方形 ABCD 中，AB=12, AE = 4 1 AB，点 P 在 BC 上运动 （不与 B、C 重合） ，过点 P 作 PQEP，交 CD 于点 Q，则 CQ 的最大值为 . 【答案】4 【解析】在正方形 ABCD 中，AB=12, AE = 4 1 AB=3，BC=AB=12，BE=9，设 BP=x，则 CP=12-x.PQEP， EPQ=B=C=90，BEP
6、+BPE=CPQ+BPE=90，BEP=CPQ，EBPPCQ， BE PC BP CQ ， 9 12x x CQ ，整理得 CQ=4)6( 9 1 2 x，当 x=6 时，CQ 取得最大值为 4.故答案为 4. 三、解答题三、解答题 25 （2019 山东烟台，山东烟台，25，13 分）分） 如图， 顶点为 M 的抛物线 2 3yaxbx与 x 轴交于( 1,0)A ，B两点， 与 y 轴交于点 C， 过点 C 作CDy 轴交抛物线与另一个点 D，作DEx轴，垂足为点 E双曲线 6 (0)yx x 经过点 D，连接 MD，BD (1)求抛物线的解析式 (2)点 N，F 分别是 x 轴，y 轴上
7、的两点，当 M，D，N，F 为顶点的四边形周长最小时，求出点 N，F 的坐标； (3)动点 P 从点 O 出发， 以每秒 1 个单位长度的速度沿 OC 方向运动， 运动时间为 t 秒， 当 t 为何值时，BPD 的度数最大？（请直接写出结果） 【解题过程】【解题过程】 （1）当）当0x时时 2 0033yab 所以所以3OC ，( 0 , 3)C， 因为因为CDy轴，DEx轴，COEO， 所以四边形所以四边形 OEDC 为矩形，为矩形， 又因为双曲线又因为双曲线 6 (0 )yx x 经过点经过点 D， 所以所以6 OEDC S 矩形 , 所以所以2 O E D C S CD OC 矩形 ,
8、所以所以( 2, 3)D 将点将点(1, 0 )A 、( 2, 3)D代入抛物线代入抛物线 2 3yaxbx得得 30 4233 ab ab 解得解得 1 2 a b 所以抛物线的表达式为所以抛物线的表达式为 2 23yxx （2）解：）解：作点作点 D 关于关于 x 轴的对称点轴的对称点H，作点，作点 M 关于关于 y 轴的对称点轴的对称点I，如图（，如图（1） 由图形轴对称的性质可知由图形轴对称的性质可知FMFI，NDNH， 所以四边形所以四边形 MDNF 的周长的周长MDDNFNFMMDNHFNFI， 因为因为MD是定值，所以当是定值，所以当NHFNFI最小时，四边形最小时，四边形 MD
9、NF 的周长最小，的周长最小， 因为两点之间线段最短，所以当因为两点之间线段最短，所以当 I、F、N、H 在同一条直线上时在同一条直线上时NHFNFI最小最小 所以当所以当 I、F、N、H 在同一条直线上时，四边形在同一条直线上时，四边形 MDNF 的周长最小，的周长最小， 连接连接HI，交，交 x 轴于点轴于点 N，交，交 y 轴于点轴于点 F， 因为抛物线的表达式为因为抛物线的表达式为 2 23yxx ，所以点，所以点 M 的坐标为的坐标为(1,4)， 由轴对称的性质可得，由轴对称的性质可得，( 1, 4 )I ，( 2 ,3)H， 设直线设直线 HI 的表达式为的表达式为ymxn， 所以
10、所以 4 23 mn mn ， 解得解得 7 3 5 3 m n ， 所以直线所以直线 HI 的表达式为的表达式为 75 33 yx ， 当当0x时，时， 5 3 y ， 当当0y 时，时， 75 0 33 x ，所以，所以 5 7 x ， 所以所以 5 (0, ) 3 F， 5 ( ,0) 7 N， 第 25 题答图（1） 所以当所以当 M，D，N，F 为顶点的四边形周长最小时，为顶点的四边形周长最小时， 5 (0, ) 3 F， 5 ( ,0) 7 N （3）解：本题的答案为）解：本题的答案为92 15 解题分析：如图（解题分析：如图（2） ，当两点） ，当两点 A、B 距离是定值，直线距
11、离是定值，直线 CD 是一条固定的直线，点是一条固定的直线，点 P 在直线在直线 CD 上移动，由下图可以看出只有当过上移动，由下图可以看出只有当过 A、B 的圆与直线的圆与直线 CD 相切时相切时APB最大最大 所以可作所以可作T过点过点 B、D，且与直线，且与直线 OC 相切，切点为相切，切点为 P，此时，此时BPD的度数最大，的度数最大， 由已知，可得由已知，可得OPt， (0, )Pt 因为直线因为直线 OC 与与T相切，相切， 所以所以TPOC， 所以直线所以直线 PT 的解析式为的解析式为yt 因为抛物线的表达式为因为抛物线的表达式为 2 23yxx ， 所以点所以点 B 的坐标为
12、的坐标为(3,0)， 因为点因为点 B(3,0)、点、点(2,3)D 可以求得直线可以求得直线 BD 的垂直平分线的解析式为的垂直平分线的解析式为 12 33 yx 联立联立yt与与 12 33 yx，得，得32xt，yt 直线直线 PT 与与直线直线 BD 的交点即为点的交点即为点 M，所以，所以(32, )Mtt 因为因为MBMC,可得可得 22 32(323)(0)ttt 解得解得92 15t 或或92 15t （舍去）（舍去） 所以当所以当92 15t 时时，BPD的度数最大的度数最大 第 25 题答图（2） 第 25 题答图（3） 27 （2019 江苏盐城卷，江苏盐城卷，27，14
13、）如图所示，二次函数 2 (1)2yk x的图象与一次函数2ykxk的图象交 于A,B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别于x轴、y轴交于C、D两点，且0k . （1）求A,B两点横坐标； （2）若OAB 是以OA为腰的等腰三角形，求k的值； （3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E,是否存在实数k，使得2ODCBEC ，若存在，求出k的值；若 不存在，说明理由. 【解题过程】【解题过程】 （1）A、B 是与的交点 ， ， 点在点的右侧 ， 点横坐标是 ，点横坐标. （2）由（1）可知和 由两点间距离公式可得： OAB 是以为腰的等腰三角形 分为两种情况：或 当时即 当时即 或 y x D C
14、 B A O 2 (1)2yk x2ykxk 2 (1)2 2 yk x ykxk 2 (1)2= (1)2k xk x(1)(2)0k xx 1 1x 2 2x 1 1 =1 2 x y 2 2 =2 2+ x yk BA (1,2)A(2,2+k)B A1B2 (1,2)A(2,2+k)B (0,0)O 22 = 5,4(2) ,1OAOBkABk OA =OA AB=OA OB =OA AB 2 5=1k 2 4k 2k 0k 2k =OA OB 2 54(2)k 2 (2)1k 1k 3k 综上所述，或或. （3）存在，或 【提示】由（1）可知和.根据题意分为两种情况：点在点左侧，点在
15、点右侧. 当点在点左侧时 如图 1，过点作轴于点，作的垂直平分线交轴于点，连接 设=m ，由（1）可知和. 在 RtBFH 中，由得 ， 当点在点右侧时 如图，过点作轴于点，作的垂直平分线交轴于点，连接 由（1）可知和. 1k 2k 3k 3k 47 3 k (1,2)A(2,2+k)B BCBC BC2+k00k-2 BBHxHBExFBF =BF EF2BFHBEC =BF EF (1,2)A(2,2+k)B(1,0)E(2,0)H 1EH 1FHm 222 =BHFHBF 222 (2)(1)kmm 2 45 2 kk m 2 43 =1 2 kk FHm 2 42 tan 43 BHk
16、 BFH FHkk 2ODCBEC =ODCBFHtantanODCBFH 2 (1,1)C k 2 =1OC k =2ODk 2 1 1 tan 2 OC k ODC ODkk 2 142 43 k kkk 3k 0k 3k 图图1 x y FH D C B A O E BC2+k m2 +4，CB2 + DB2CD2，CB D 为锐角，故同时考虑一下两种情况： 1当CDB 为锐角时，CD2 + DB2CB2，m2 +4 + 9m 2 +3616m2 +16 ，解得 -2m2， 2当BCD 为锐角时，CD2 +CB 2DB 2， m2 +4 +16m2 +16 9m 2 +36，解得 m 2
17、或 m-2（舍） ， 综上：2 m2 ，222m4， 22OA4. 第 27 题答图 【知识点】二次函数图像与性质【知识点】二次函数图像与性质；勾股定理；相似三角形判定与性质；锐角三角形的判定；数形结合思想；勾股定理；相似三角形判定与性质；锐角三角形的判定；数形结合思想 9.（2019岳阳）岳阳）如图 1，AOB 的三个顶点 A、O、B 分别落在抛物线 F1： 2 17 33 yxx的图象上，点 A 的横 坐标为4，点 B 的纵坐标为2 （点 A 在点 B 的左侧） （1）求点 A、B 的坐标； （2）将AOB 绕点 O 逆时针转 90得到AOB，抛物线 F2： 2 4yaxbx经过 A、B两
18、点，已知 点 M 为抛物线 F2的对称轴上一定点，且点 A恰好在以 OM 为直径的圆上，连接 OM、AM，求OAM 的 面积； （3）如图 2，延长 OB交抛物线 F2于点 C，连接 AC，在坐标轴上是否存在点 D，使得以 A、O、D 为顶点 的三角形与OAC 相似若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 【思路分析】【思路分析】 （1）分别将 A 点横坐标和 B 点纵坐标代入抛物线 F1可得； （2）通过 A、B的坐标求出抛物线 F2的函数关系式，根据点 M 在对称轴上求出点 M 的横坐标；延长 AM 交 x 轴于点 N，则AMN 为等腰直角 三角形，求出 N 点坐标，进一步求出直
19、线 AN 的解析式，得到点 M 的坐标，最后利用 SAOM SAONSOMN 求解 （3）根据点在直线 OB和抛物线 F2上求出点 C 的坐标，得到 AC 的长度及OAC 的度数，根据两 边成比例并且夹角相等证明三角形相似，分两种情况讨论求点 D 的坐标 【解题过程】【解题过程】 （1）将 x=4 代入 2 17 33 yxx，得： 2 17 ( 4)( 4)4 33 y ， A（4，4） 将 y=2 代入 2 17 33 yxx，得： 2 17 2 33 xx ， 解得：x1=1，x2=6 点 A 在点 B 的左侧， B（1，2） （2）由旋转可知：A（4，4） ，B（2，1） 代入抛物线
20、2 4yaxbx，得： 16444 4241 ab ab 解得： 1 4 3 a b 抛物线 F2： 2 1 34 4 yxx 对称轴为： 3 6 1 2 4 x 延长 AM 交 x 轴于点 N， 点 A恰好在以 OM 为直径的圆上， OAM=90 A（4，4） ， AON=45 AON 为等腰直角三角形 ON=42=8 N（8，0） 设直线 AN：y=mxn 则 44 80 mn mn 解得： 1 8 m n y=x8 当 x=6 时，y=2 M（6，2） SAOM SAONSOMN 11 8 48 2 22 8 所以，OAM 的面积为 8 （3）设直线 OB解析式为：y=kx，代入 B（2
21、，1） ， 得：2k=1 1 2 k 设直线 OB解析式为： 1 2 yx 解方程组： 2 1 34 4 1 2 yxx yx 得： 1 1 2 1 x y ， 2 2 8 4 x y B（2，1） C（8，4） A（4，4） ， ACx 轴，AC=84=4， OAC=135 若以 A、O、D 为顶点的三角形与OAC 相似则AOD 必有一个钝角 135，故点 O 与点 A是对应顶点 所以点 D 在 x 轴或 y 轴正半轴上 OA=OA= 22 444 2 若AODOAC，则 OAOD A OA C OD=AC=4 此时点 D 的坐标为（4，0）或（0，4） 若AODCAO，则 C OAOD A
22、A O 4 2 44 2 OD OD=8 此时点 D 的坐标为（8，0）或（0，8） 由可知，坐标轴上存在点 D，其坐标分别为（4，0） 、 （0，4） 、 （8，0）或（0，8） 【知识点】二次函数综合，【知识点】二次函数综合，图形的旋转，求二次函数解析式，相似三角形的判定，存在性问题，分类讨论思想图形的旋转，求二次函数解析式，相似三角形的判定，存在性问题，分类讨论思想 10. （2019怀化）怀化）如图，在直角坐标系中有 Rt AOB，O 为坐标原点，OB=1，tanABO=3，将此三角形绕原 点 O 顺时针旋转 90 ，得到 Rt COD，二次函数 y=-x2+bx+c 的图象刚好经过
23、A，B，C 三点. （1）求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标； （2）过定点 Q 的直线 l：y=kx-k+3 与二次函数图象相交于 M，N 两点. 若 S PMN=2，求 k 的值； 证明：无论 k 为何值， PMN 恒为直角三角形 当直线 l 绕着定点 Q 旋转时， PMN 外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出抛物线的表达式. 【思路分析】【思路分析】 （1）根据题意分别求出点 A 和点 C 的坐标，并把坐标代入 y=-x2+bx+c，解出 b 和 c 的值即可，进 而得出顶点 P 的坐标； （2）设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，首先求出定点 Q 的坐标，然后根据 S PM
24、N= 1 2 PQ (x2-x1)得出 x1和 x2的数量 关系，最后联立方程 y=-x2+2x+3 与方程 y=kx-k+3，根据根与系数的关系得出 x1+x2=2-k，x1x2=-k，进而求出 k 的值； 过点 P 作 PGx 轴，垂足为 G，分别过点 M、N 作 PG 的垂线，垂足分别为 E、F，首先表示出线段 PE，ME， PF， NF， 然后根据锐角三角函数的定义得出 tanPAE 与 tanFPN， 根据 x1+x2=2-k， x1 x2=-k， 可得 1-x1= 2 1 1x ， 进而推出 tanPAE=tanFPN，进而证明出结论； 设线段 MN 的中点（x，y） ，由可得 M
25、N 的中点为（ 2 2 k ， 2 6 2 k ）进而得出抛物线方程. 【解题过程】【解题过程】 （1）解：OB=1，tanABO=3， OA=OBtanABO=3， A（0，3）. 根据旋转的性质可得 Rt AOBRt COD， OC=OA=3， C（3，0） ， 根据题意可得 c=3 930bc ，解得 2 3 b c ， 二次函数的解析式为 y=-x2+2x+3，顶点坐标 P（1，4） （2）解：由直线 l 的方程 y=kx-k+3 可得定点 Q（1，3） ， 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 S PMN= 1 2 PQ (x2-x1)=2， x2-x1=4. 联立 y=-
26、x2+2x+3 与 y=kx-k+3 可得 x2+(k-2)x-k=0， x1+x2=2-k，x1x2=-k， (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=k2+4=16， k=2 3. 证明：过点 P 作 PGx 轴，垂足为 G，分别过点 M、N 作 PG 的垂线，垂足分别为 E、F. 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2）. M，N 在二次函数 y=-x2+2x+3 图象上， y1=-x12+2x1+3，y2=-x22+2x2+3. P（1，4） ， PE=4-y1=4+x12-2x1-3=(x1-1)2，ME=1-x1， PF=4-y2=4+x22-2x2-3=(x2-1)2，NF
27、=x2-1， tanPAE= 2 1 1 1 1 =1 1 xPE x MEx ， tanFPN= 2 2 2 2 11 1 1 xFN PFx x . 由可知 x1+x2=2-k，x1x2=-k， x1+x2=2+x1x2， (1-x1)(x2-1)=1， 1-x1= 2 1 1x ， tanPAE=tanFPN， PAE=FPN. PAE+APE=90， FPN+APE=90， 即APN=90， 无论 k 为何值， PMN 恒为直角三角形. 解：设线段 MN 的中点（x，y） ， 由可得 MN 的中点为（ 2 2 k ， 2 6 2 k ） ， 2 2 2 6 2 k x k y ，化简，
28、得 y=-2x2+4x+1. 抛物线的表达式为 y=-2x2+4x+1. 【知识点】【知识点】待定系数法求二次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点问题，锐角三角函数的定义，一元二次 方程根与系数的关系，中点坐标公式 25 （2019 山东省德州市，山东省德州市，25，14）如图，抛物线 ymx2mx4 与 x 轴交于 A（x1，0） ，B（x2，0）两点， 与 y 轴交于点 C，且 x2x1 （1）求抛物线的解析式； （2）若 P（x1，y1） ，Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当 ax1a+2，x2时，均有 y1y2，求 a 的取值范 围； （3）抛物线上一点 D（1，5） ，直线 BD
29、 与 y 轴交于点 E，动点 M 在线段 BD 上，当BDCMCE 时， 求点 M 的坐标 【思路分析】【思路分析】 （1）函数的对称轴为：x，而且 x2x1，将上述两式联立并解得： x1，x24，从而求出抛物线的解析式； （2）由（1）知，函数的对称轴为：x，则 x和 x2 关于对称轴对称，故其函数值相等，结合函数 图象求出 a 的取值范围； （3）确定BOC、CDG 均为等腰直角三角形来求解 【解题过程】【解题过程】解： （1）函数的对称轴为：x，而且 x2x1， 将上述两式联立并解得：x1，x24， 则函数的表达式为：ya（x+） （x4）a（x24x+x6） ， 即：6a4，解得：a，
30、 故抛物线的表达式为：yx2x4； （2）由（1）知，函数的对称轴为：x， 则 x和 x2 关于对称轴对称，故其函数值相等， 又 ax1a+2，x2时，均有 y1y2， 结合函数图象可得：，解得：2a； （3）如图，连接 BC、CM，过点 D 作 DGOE 于点 G， 而点 B、C、D 的坐标分别为： （4，0） 、 （0，4） 、 （1，5） ， 则 OBOC4，CGGC1，BC4，CD， 故BOC、CDG 均为等腰直角三角形， BCD180OCBGCD90， 在 RtBCD 中，tanBDC4， BDCMCE， 则 tanMCE4， 将点 B、D 坐标代入一次函数表达式：ymx+n 并解得
31、： 直线 BD 的表达式为：yx，故点 E（0，） ， 设点 M（n，n） ，过点 M 作 MFCE 于点 F， 则 MFn，CFOFOC， tanMCE4， 解得：n， 故点 M（，） 26 （2019 山东滨州，山东滨州，26，14 分）分）如图，抛物线 yx2+x+4 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，C，将 直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90，所得直线与 x 轴交于点 D （1）求直线 AD 的函数解析式； （2）如图，若点 P 是直线 AD 上方抛物线上的一个动点 当点 P 到直线 AD 的距离最大时，求点 P 的坐标和最大距离； 当点 P 到直线 AD 的距离为时，求
32、 sinPAD 的值 【思路分析】【思路分析】 （1）根据抛物线 yx2+x+4 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B，C，可以求得点 A、B、C 的坐标，再根据将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90，所得直线与 x 轴交于点 D，可以求得点 D 的坐标从而 可以求得直线 AD 的函数解析式； （2）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据二次函数的性质即可求得 点 P 到直线 AD 的距离最大值，进而可以得到点 P 的坐标；根据中关系式和题意，可以求得点 P 对应的 坐标，从而可以求得 sinPAD 的值 【解题过程】【解题过程】 解： （1）当 x0 时，y4，则点 A 的坐标为（0，
33、4） ，1 分 当 y0 时，0x2+x+4，解得 x14，x28， 则点 B 的坐标为（4，0） ，点 C 的坐标为（8，0） ， OAOB4，OBAOAB45 将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90得到直线 AD， BAD90，OAD45，ODA45，OAOD， 点 D 的坐标为（4，0） 2 分 设直线 AD 的函数解析式为 ykx+b， ，得， 即直线 AD 的函数解析式为 yx+44 分 （2）作 PNx 轴交直线 AD 于点 N，如右图所示， 设点 P 的坐标为（t，t2+t+4） ，则点 N 的坐标为（t，t+4） ， PN（t2+t+4）（t+4）t2+t，6 分 PNx 轴
34、，PNy 轴，OADPNH45 作 PHAD 于点 H，则PHN90， PH（t2+t）t（t6）2+， 当 t6 时，PH 取得最大值，此时点 P 的坐标为（6，） ，8 分 即当点 P 到直线 AD 的距离最大时，点 P 的坐标是（6，） ，最大距离是9 分 当点 P 到直线 AD 的距离为时，如右图所示， 则t， 解得 t12，t210，10 分 则 P1的坐标为（2，） ，P2的坐标为（10，） 当 P1的坐标为（2，） ，则 P1A， sinP1AD；12 分 当 P2的坐标为（10，） ，则 P2A， sinP2AD； 由上可得，sinPAD 的值是或14 分 20. （2019遂
35、宁）如图，顶点为 P（3,3）的二次函数图像与 x 轴交于点 A(6，0),点 B 在该图像上，OB 交其对 称轴 l 于点 M，点 M,N 关于点 P 对称，连接 BN,ON（1）求该二次函数的关系式； (1) 若点 B 在对称轴 l 右侧的二次函数图像上运动，请解答下列问题： 连接 op，当 OP= MN 2 1 时，请判断NOB 的形状，并求出此时点 B 的坐标; 求证：BNM=ONM 【解析】 （1）根据顶点为 P（3,3） ，可以设关系式为顶点式，将点 A（6,0）代入关系式，从而求出二次函数的关 系式； （2）OP= MN 2 1 ，点 M,N 关于点 P 对称OP=PM=PN，根
36、据等边对等角可以证明BON=90，从而证明NOB 是直角三角形.P（3,3）OP=23=PM，M(3，3-23)可以求出直线 OM 的解析式，直线与抛物线交点为 B， 从而可求得 B 点坐标. 点 N 在对称轴上，点 O,A 关于对称轴对称，ON=NA,BNM=ONM 解： （1）P(3，3), 设二次函数的关系式为 y=a(x-3) 2+3, A(6,0) a= 9 1 - 二次函数的关系式为 y= 9 1 -(x-3) 2+3； (2)OP= MN 2 1 ，点 M,N 关于点 P 对称 OP=PM=PN， OP=PM POM=OMP; 同理，PON=ONP; POM+OMP+PON+ON
37、P=180， POM+NOP=90 所以NOB 是直角三角形. P（3,3） OP= 23 =PM， M(3，3- 23 ) 直线 OM 的解析式为xy)21 ( ， 抛物线的解析式为 y= 9 1 -(x-3) 2+3 联立方程组可得 x=29-3， B（ 29-3 ， 212-22 ） 点 N 在对称轴上，点 O,A 关于对称轴对称， ON=NA, BNM=ONM. 24(2019广元)如图,直线 yx+4 与 x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点,过点 A,B 两点的抛物线 yax2+bx+c 与 x 轴 交于点 C(1,0). (1)求抛物线的解析式; (2)连接BC,若点E是线段AC
38、上一个动点(不与A,C重合),过点E作EFBC,交AB于点F,当BEF的面积是 5 2 时, 求点 E 的坐标; (3)在(2)的结论下,将BEF 绕点 F 旋转 180得BEF,试判断点 E是否在抛物线上,并说明理由. 解：(1)令 yx+4 中 x0,则 y4,B(0,4),令 y0,则x+40,x4,A(4,0),又C(1,0),将 A,B,C 代入抛物 线得 4 1640 0 c ab c ab c = + = -+ = ,解得 1 3 4 a b c =- = = ,抛物线的解析式为 yx2+3x+4; (2) 连接 OF,设 E(m,0),B(0,4),C(1,0),kBC ()
39、40 4 01 y x - = - - ,EFBC,kEFkBC4,设 lEF:y4x+b, E(m,0),解得 b4m,lEF:y4x4m,联立 yx+4,解得 44 55 416 55 xm ym =+ =-+ ,F( 44 55 m+, 416 55 m-+)SBEF S四边形OBFESOEBSOEF+SOBFSOEB 1 2 F OE y+ 1 2 F OB x 1 2 OB OE 1416 255 mm 骣 琪鬃-+ 琪 桫 + 144 4 255 m 骣 琪鬃+ 琪 桫 1 4 2 m鬃 2 268 555 mm-+, 2 2685 5552 mm-+=,解得 m 3 2 , E(
40、 3 2 ,0); (3)由(2)知 E( 3 2 ,0),F(2,2),BEF 绕点 F 旋转 180得BEF,E与 E 关于点 F 对称,E( 5 2 ,4),将 x 5 2 代 入抛物线 yx2+3x+4 得 y 21 4 4,点 E不在抛物线上. 一、选择题一、选择题 8. （2019宜宾）已知抛物线 2 1yx与y轴交于点A，与直线(ykx k为任意实数）相交于B，C两点，则 下列结论不正确的是( ) A存在实数k，使得ABC为等腰三角形 B存在实数k，使得ABC的内角中有两角分别为30和60 C任意实数k，使得ABC都为直角三角形 D存在实数k，使得ABC为等边三角形 【答案】【答
41、案】D 【解析】【解析】如图 1，可以得ABC为等腰三角形，选项 A 正确； 如图 3，30ACB，60ABC，可以得ABC的内角中有两角分别为30和60，选项 B 正确； 如图 2 和 3，90BAC，可以得ABC为直角三角形，选项 C 正确； 不存在实数k，使得ABC为等边三角形，选项 D 不正确； 故选：D 【知识点】【知识点】二次函数的性质；一次函数的图象；二次函数的图象；等腰三角形的判定；等边三角形的判定 二、填空题二、填空题 三、解答题三、解答题 28 （2019兰州）兰州） 【模型迁移】【模型迁移】 二次函数二次函数 2 2yaxbx的图象交的图象交 x 轴于点（轴于点（-1，0
42、） ，） ，B（4，0）两点，交）两点，交 y 轴于点轴于点 C，动点，动点 M 从点从点 A 出发，以出发，以 每秒每秒 2 个单位长度的速度沿个单位长度的速度沿 AB 方向运动， 过点方向运动， 过点 M 作作 MNx 轴交直线轴交直线 BC 于点于点 N， 交抛物线于点， 交抛物线于点 D， 连接， 连接 AC， 设运动的时间为设运动的时间为 t 秒秒. （1）求二次函数）求二次函数 2 2yaxbx的表达式；的表达式； （2）连接）连接 BD，当，当 t= 3 2 时，求时，求DNB 的面积；的面积； （3）在直线）在直线 MN 上存在一点上存在一点 P，当，当PBC 是以是以BPC
43、为直角的等腰直角三角形时，求此时点为直角的等腰直角三角形时，求此时点 D 的坐标；的坐标； （4）当）当 t= 5 4 时，在直线时，在直线 MN 上存在一点上存在一点 Q，使得，使得AQC+OAC=90,求点求点 Q 的坐标的坐标. 【思路分析】 （【思路分析】 （1）将点）将点 A（-1，0） ，） ，B（4，0）代入）代入 y=ax2+bx+2 即可求出解析式；即可求出解析式； （2）利用待定系数法求出直线）利用待定系数法求出直线 BC 的解析式，根据题意，求出点的解析式，根据题意，求出点 M，点，点 N，点，点 D 的坐标，利用的坐标，利用 SDNB=SDMB -S MNB即可得解；即可得解； （3）由已知可得）由已知可得 M （2t-1，0） ，设） ，设 P （2t-1，m） ，根据勾股定理可得） ，根据勾股定理可得 PC2= （2t-1） 2+ （ （m-2） 2， ，PB2= （2t-5） 2+m2， ， 再由再由 PB=PC，得到，得到 m 与与 t 的关系式：的关系式：m=4t-5，因为，因为 PC