1、2018-2019 学年江苏省南通市海安高中高二（下）段考数学试卷（三）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分.请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上. 1 （5 分）复数 zi （1+i） （i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于第 象限 2 （5 分）若复数 z13+4i，z2a+i，且 z1是实数（其中为 z2的共轭复数） ，则实数 a 3 （5 分）某工厂生产的 A、B、C 三种不同型号的产品数量之比依次为 2：3：5，为研究这 三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的 A、B、C 三
2、种产品中抽出样本容 量为 n 的样本，若样本中 A 型产品有 16 件，则 n 的值为 4 （5 分）现有 10 个数，其平均数为 3，且这 10 个数的平方和是 100，则这组数据的标准 差是 5 （5 分）已知一个三角形的三边长分别是 5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂 蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2 的概率是 6 （5 分）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小 组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 7 （5 分）如图程序输出的结果是 &n
3、bsp; 8 （5 分）如图是一个算法流程图，则输出的 k 的值是 第 2 页（共 28 页） 9 （5 分）已知 10 （5 分）在等差数列an中，a1+3a8+a15120，则 3a9a11的值为 11 （5 分）平行四边形 ABCD 中，BAD60，AB1，AD，P 为平行四边形内一 点，且 AP，若+（，R） ，则 + 的最大值为 12 （5 分）设（ax+3） （x2b）0 对任意 x0，+）恒成立，其中 a、b 是整数，则 a+b 的取值的集合为 13 （5 分）若点 P 在曲线 C1：y28x 上，点 Q 在曲
4、线 C： （x2）2+y21 上，点 O 为坐标 原点，则的最大值是 14 （5 分）已知定义在 R 上的函数 yf（x）存在零点，且对任意 m，nR 都满足 fmf（m） +f（n）f2（m）+n若关于 x 的方程|ff（x）3|1logax（a0，a1）恰有三个 不同的根，则实数 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说 明、证明过明、证明过程或演算步骤程或演算步骤. 15 （14 分）已知：f（x） （1）求 f（x）的
5、最小正周期及单调递增区间 （2）已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f（A），a3， 求 BC 边上的高的最大值 16 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，且 BC2AD，ADCD，PBCD， 点 E 在棱 PD 上，且 PE2ED 第 3 页（共 28 页） （1）求证：平面 PCD平面 PBC； （2）求证：PB平面 AEC 17 （14 分）某中学有学生 500 人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了 50 名 学生，收集了他们 2018 年 10 月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整 理，分为 5 组：10，12）
6、，12，14） ，14，16） ，16，18） ，18，20，得到如图所示的 频率分布直方图 （）试估计该校所有学生中，2018 年 10 月课外阅读时间不小于 16 小时的学生人数； （）已知这 50 名学生中恰有 2 名女生的课外阅读时间在18，20，现从课外阅读时间 在18，20的样本对应的学生中随机抽取 2 人，求至少抽到 1 名女生的概率； （）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生 2018 年 10 月 课外阅读时间的平均数 18 （16 分）如图，曲线由两个椭圆 T1：和椭圆 T2： 组成，当 a，b，c 成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线” （1）若猫眼曲线
7、过点，且 a，b，c 的公比为，求猫眼曲线的方程； （2）对于题（1）中的求猫眼曲线，任作斜率为 k（k0）且不过原点的直线与该曲线 相交，交椭圆 T1所得弦的中点为 M，交椭圆 T2所得弦的中点为 N，求证：为与 k 第 4 页（共 28 页） 无关的定值； （3）若斜率为的直线 l 为椭圆 T2的切线，且交椭圆 T1于点 A，B，N 为椭圆 T1上的 任意一点（点 N 与点 A，B 不重合） ，求ABN 面积的最大值 19 （16 分）已知数列an中 a11，an+1 （1）是否存在实数 ，使数列a2n是等比数列？若存在，求 的值；若不存在，请 说明理由； （2）若 Sn是数列
8、an的前 n 项和，求满足 Sn0 的所有正整数 n 20 （16 分）已知函数 f（x）ex，g（x）ax2+bx+c （1）若 f（x）的图象与 g（x）的图象所在两条曲线的一个公共点在 y 轴上，且在该点处 两条曲线的切线互相垂直，求 b 和 c 的值； （2）若 ac1，b0，试比较 f（x）与 g（x）的大小，并说明理由； （3）若 bc0，证明：对任意给定的正数 a，总存在正数 m，使得当 x（m，+）时， 恒有 f（x）g（x）成立 【选做题】在相应的答题区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤【选做题】在相应的答题区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修
9、选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21已知矩阵的一个特征值 3 所对应的一个特征向量，求矩阵 A 的逆矩 阵 A 1 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 在平面直角坐标系 xOy 中， 以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系， 曲线 C 为 4cos+2sin曲线 C 上的任意一点的直角坐标为（x，y） ，求 xy 的取值 范围 23 （1）有物理、化学、生物三个学科竞赛各设冠军一名，现有 5 人参赛可报任意学科并且 第 5 页（共 28 页） 所报学科数不限，则最终决出冠军的结果共有多少种可能？ （2）有 1，2，3，4，5，6，7，8，9
10、 共 9 个数，从中取 6 个数排成一个六位数，要求奇 数位上只能是奇数，则共可排成多少个六位数？ （3）有 1，2，3，4，5，6，7，8，9 共 9 个数，从中取 6 个数排成一个六位数，要求奇 数只在奇数位上，则共可排成多少个六位数？ 24设 f（n）是定义在 N*上的增函数，f（4）5，且满足：任意 nN*，f（n）Z； 任意 m，nN*，有 f（m）f（n）f（mn）+f（m+n1） （1）求 f（1） ，f（2） ，f（3）的值； （2）求 f（n）的表达式 第 6 页（共 28 页） 2018-2019 学年江苏省南通市海安高中高二（下）段考数学试卷学年江苏省南通市海安高中高二（
11、下）段考数学试卷 （三） （三） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分.请把答案填写在答题卡相应位置上请把答案填写在答题卡相应位置上. 1 （5 分）复数 zi （1+i） （i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于第 二 象限 【分析】由 i（1+i）1+i，由此能求出复数 i（1+i）的复数在复平面内对应的点所在 的象限 【解答】解：i（1+i）i+i21+i， i（1+i）即复数为1+i， 1+i 在复平面内对应的点（1，1）位于第二象限 故答案为：二 【点评】本题考
12、查复数的代数形式的乘除运算，解题时要认真审题，熟练掌握共轭复数 的概念，合理运用复数的几何意义进行解题 2 （5 分）若复数 z13+4i，z2a+i，且 z1是实数（其中为 z2的共轭复数） ，则实数 a 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、复数为实数的充要条件即可得出 【解答】解：z1（3+4i） （ai）3a+4+（4a3）i 是实数，可得 4a30，解得 a 故答案为： 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数为实数的充要条件，考查 了推理能力与计算能力，属于基础题 3 （5 分）某工厂生产的 A、B、C 三种不同型号的产品数量之比依次为 2：3：5，为研究这 三
13、种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的 A、B、C 三种产品中抽出样本容 量为 n 的样本，若样本中 A 型产品有 16 件，则 n 的值为 80 【分析】求出抽样比，然后求解 n 的值即可 【解答】解：某工厂生产的 A、B、C 三种不同型号产品的数量之比为 2：3：5， 第 7 页（共 28 页） 分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本， 则 A 被抽的抽样比为：， A 产品有 16 件，所以 n80， 故答案为：80 【点评】本题考查分层抽样的应用，基本知识的考查 4 （5 分）现有 10 个数，其平均数为 3，且这 10 个数的平方和是 100，则这组数据的标准 差是 1 【分
14、析】设这 10 个数为 x1，x2，x3，x10，则3， 100，这组数据的方差为：S2（）2+（） 2+（ ）2+（）2（）6（x1+x2+x3+ +x10）+910，由此能求出这组数据的标准差 【解答】解：现有 10 个数，其平均数为 3，且这 10 个数的平方和是 100， 设这 10 个数为 x1，x2，x3，x10， 则3， 100， 这组数据的方差为： S2（）2+（）2+（）2+（）2 （）6（x1+x2+x3+x10）+9101， 这组数据的标准差 S1 故答案为：1 【点评】本题考查一组娄据的标准差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算 求解能力，考查函数与方程思想，是
15、基础题 5 （5 分）已知一个三角形的三边长分别是 5，5，6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂 蚁的大小， 则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2 的概率是 1 【分析】分别求出对应事件对应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论 【解答】解：三角形的三边长分别是 5，5，6， 第 8 页（共 28 页） 三角形的高 AD4， 则三角形 ABC 的面积 S， 则该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2，对应的区域为图中阴影部分， 三个小扇形的面积之和为一个整圆的面积的，圆的半径为 2， 则阴影部分的面积为 S112122， 则根据几何概型的概率公式可得所求是概率为
16、， 故答案为：1 【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关 键 6 （5 分）有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小 组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 【分析】由于每位同学参加各个小组的可能性相同，故这两位同学同时参加一个兴趣小 组的概率为 3（ ） ，运算求得结果 【解答】解：由于每位同学参加各个小组的可能性相同，故这两位同学同时参加一个兴 趣小组的概率为 3（ ）， 故答案为 【点评】本题主要考查相互独立事件的概率，等可能事件的概率，属于基础题 7 （5 分）如图程序输出的结果是 10 第 9 页
17、（共 28 页） 【分析】模拟程序语言的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果 【解答】解：模拟程序的运行，可得 S1 I1，S1+12， I3，S2+35 I5，S5+510 退出循环，输出 S 的值为 10 故答案为：10 【点评】本题考查了程序语言的应用问题，对于循环次数较少的程序，可以模拟运行过 程，以便得出结论，属于基础题 8 （5 分）如图是一个算法流程图，则输出的 k 的值是 5 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 k 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 第 10 页（共 28
18、 页） k1 不满足条件 k24k0，执行循环体，k2 不满足条件 k24k0，执行循环体，k3 不满足条件 k24k0，执行循环体，k4 不满足条件 k24k0，执行循环体，k5 此时，满足条件 k24k0，退出循环，输出 k 的值为 5 故答案为：5 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 9 （5 分）已知 【分析】观察题中角之间的关系，x+与是互补的关系，x+与是互余 关系，这是解题的突破口，用诱导公式求出结论中要用的结果，题目得解 【解答】解：， ， ， 故答案为： 【点评】在三角函数中除了诱导公式和作八个基本恒等式之外，
19、还有两角和与差公式、 倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积，此外，还有万能公式，在一般的求 值或证明三角函数的题中，只要熟练的掌握以上公式，用一般常用的方法都能解决我们 的问题 10 （5 分）在等差数列an中，a1+3a8+a15120，则 3a9a11的值为 48 【分析】an为等差数列，所以 a1+3a8+a151205a1+35d120a824，然后将 3a9 a11也表示为用 a8表示即可 【解答】解：因为数列an为等差数列，所以 a1+3a8+a15120 可化为 5a1+35d120 可 第 11 页（共 28 页） 化为 a824，又因为 3a9a112a1+14d2a
20、848， 故填：48 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题 11 （5 分）平行四边形 ABCD 中，BAD60，AB1，AD，P 为平行四边形内一 点，且 AP，若+（，R） ，则 + 的最大值为 【分析】利用数量积定义及其运算性质、不等式的性质即可得出 【解答】解：+ 丨丨 2（ +）2， 2丨丨 2+2 丨丨 2+2 ， 2丨丨 2+2 丨丨 2+2丨 丨丨丨 cosBAD， 由BAD60，AB1，AD，AP， 2+22+， （+）2+（）2， +， 故答案为： 【点评】本题考查了数量积定义及其运算性质、不等式的性质、平行四边形的性质，属 于中档题 12 （5 分）设（ax+
21、3） （x2b）0 对任意 x0，+）恒成立，其中 a、b 是整数，则 a+b 的取值的集合为 8，2 【分析】利用换元法设 f（x）ax+3，g（x）x2b，根据一元一次函数和一元二次函 数的图象和性质进行判断求解即可 【解答】解：（ax+3） （x2b）0 对任意 x0，+）恒成立， 当 x0 时，不等式等价为3b0，即 b0， 当 x+时，x2b0，此时 ax+30，则 a0， 设 f（x）ax+3，g（x）x2b， 若 b0，则 g（x）x20， 第 12 页（共 28 页） 函数 f（x）ax+3 的零点为 x，则函数 f（x）在（0，）上 f（x）0，此时不 满足条件 若 a0，则
22、 f（x）30，而此时 x+时，g（x）0 不满足条件 故 b0， 函数 f（x）在（0，）上 f（x）0，则（，+） ）上 f（x）0， 而 g（x）在（0，+）上的零点为 x，且 g（x）在（0， ）上 g（x）0，则（， +） ）上 g（x）0， 要使（ax+3） （x2b）0 对任意 x0，+）恒成立， 则函数 f（x）与 g（x）的零点相同，即， a，b，是整数， a 是 3 的约数，即a1，或a3， 即 a1，或 a3， 当 a1 时，3，即 b9， 当 a3 时，1，即 b1， 即 a+b1+98 或 a+b3+12， 即 a+b 的取值的集合为8，2， 故答案为：8，2 【点评
23、】本题考查不等式恒成立等知识，考查考生分类讨论思想、转化与化归思想及运 算求解能力，属于较难题，根据一元一次函数和一元二次函数的图象和性质，得到两个 函数的零点相同是解决本题的关键 第 13 页（共 28 页） 13 （5 分）若点 P 在曲线 C1：y28x 上，点 Q 在曲线 C： （x2）2+y21 上，点 O 为坐标 原点，则的最大值是 【分析】设 P（x，y） ，利用点 P 在曲线 C1：y28x 上，点 Q 在曲线 C： （x2）2+y21 上，求出|PO|2x2+y2x2+8x，|PQ|minx+21x+1，由此能求出的最大值 【解答】解：设 P（x，y） ，曲线 C1：y28x
24、 焦点 F（2，0） ， 点 P 在曲线 C1：y28x 上，点 Q 在曲线 C： （x2）2+y21 上， |PO|2x2+y2x2+8x， |PQ|minx+21x+1， （抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 再减去半径） ， 设 tx+1，则 xt1， ， 设 a，则 当 a时，取得最大值 故的最大值是 故答案为： 【点评】本题考查圆与圆锥曲线的综合运用，具体涉及到圆的简单性质、抛物线的简单 性质、配方法等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答 14 （5 分）已知定义在 R 上的函数 yf（x）存在零点，且对任意 m，nR 都满足 fmf（m） +f（n）f2（m）
25、+n若关于 x 的方程|ff（x）3|1logax（a0，a1）恰有三个 不同的根，则实数 a 的取值范围是 （3，+） 【分析】令函数 yf（x）的零点为 m，即 f（m）0，则由对任意 m，nR 都满足 fmf （m）+f（n）f2（m）+n可得 ff（x）x，进而 x 的方程|ff（x）3|1logax（a 0，a1）恰有三个不同的根，可转化为|x3|1logax（a0，a1）恰有三个不同 的根，根据对数函数的图象和性质分类讨论后，可得答案 【解答】解：令函数 yf（x）的零点为 m，即 f（m）0， 第 14 页（共 28 页） 对任意 m，nR 都满足 fmf（m）+f（n）f2（m
26、）+n 则 ff（n）n 恒成立， 即 ff（x）x， 若关于 x 的方程|ff（x）3|1logax（a0，a1）恰有三个不同的根， 即|x3|1logax（a0，a1）恰有三个不同的根， 当 0a1 时，函数 y|x3|与 y1logax 的图象如下图所示： 由图可知，函数 y|x3|与 y1logax 的图象有两个交点，即关于 x 的方程|ff（x） 3|1logax（a0，a1）恰有两个不同的根，不满足条件； 当 1a3 时，函数 y|x3|与 y1logax 的图象如下图所示： 由图可知，函数 y|x3|与 y1logax 的图象有一个交点，即关于 x 的方程|ff（x） 3|1lo
27、gax（a0，a1）恰有一个不同的根，不满足条件； 当 a3 时，函数 y|x3|与 y1logax 的图象如下图所示： 第 15 页（共 28 页） 由图可知，函数 y|x3|与 y1logax 的图象有两个交点，即关于 x 的方程|ff（x） 3|1logax（a0，a1）恰有两个不同的根，不满足条件； 当 a3 时，函数 y|x3|与 y1logax 的图象如下图所示： 由图可知，函数 y|x3|与 y1logax 的图象有三个交点，即关于 x 的方程|ff（x） 3|1logax（a0，a1）恰有三个不同的根，满足条件； 综上所述，实数 a 的取值范围是（3，+） ， 故答案为： （3
28、，+） 【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数零点的判定，其中根据 已知确定出 ff（x）x，是解答的关键 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 90 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤. 15 （14 分）已知：f（x） （1）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间 （2）已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f（A），a3， 求 BC 边上的高的最大值 第 16 页（共 28 页） 【分析】 （1）利用三角函数公式
29、化简 f（x） ，即可求解 f（x）的最小正周期及单调递增区 间 （2）根据 f（A），a3，求解 A，利用余弦定理建立关系，结合不等式的性质 求解 bc 的最大值，根据三角形面积的最大值即可求解 BC 边上的高的最大值 【解答】解： （1）由 f（x） 化简可得：f（x）cos2x2sinxcosx， 即， f（x）的最小正周期 T 由，kZ 得，kZ f（x）的增区间是，kZ （2）由，得， 由余弦定理得：a2b2+c22bccosA， 则 9b2+c2bcbc 即 bc9（当且仅当 bc 取等号） 设 BC 边上的高为 h， 则 得 即 h 的最大值为 【点评】本题主要考查三角函数的图象
30、和性质以及余弦定理，基本不等式的运用，利用 第 17 页（共 28 页） 三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键 16 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC，且 BC2AD，ADCD，PBCD， 点 E 在棱 PD 上，且 PE2ED （1）求证：平面 PCD平面 PBC； （2）求证：PB平面 AEC 【分析】 （1）由 CDBC，CDPB 得出 CD平面 PBC，故而平面 PCD平面 PBC； （2）连结 BD 交 AC 于 O，连结 EO利用三角形相似得出，从而得到 OE PB，得出结论 【解答】证明： （1）ADBC，ADCD， CDBC，又 CDPB，BC平面 P
31、BC，PB平面 PBC，BCPBB， CD平面 PBC， 又 CD平面 PCD， 平面 PCD平面 PBC （2）连结 BD 交 AC 于 O，连结 EO ADBC， AODCOB， ， 又 PE2ED，即， OEPB， OE平面 EAC，PB平面 EAC， PB平面 AEC 第 18 页（共 28 页） 【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题 17 （14 分）某中学有学生 500 人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了 50 名 学生，收集了他们 2018 年 10 月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整 理，分为 5 组：10，12） ，12，14）
32、，14，16） ，16，18） ，18，20，得到如图所示的 频率分布直方图 （）试估计该校所有学生中，2018 年 10 月课外阅读时间不小于 16 小时的学生人数； （）已知这 50 名学生中恰有 2 名女生的课外阅读时间在18，20，现从课外阅读时间 在18，20的样本对应的学生中随机抽取 2 人，求至少抽到 1 名女生的概率； （）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生 2018 年 10 月 课外阅读时间的平均数 【分析】 （）由频率分布直方图求出课外阅读时间不小于 16 小时的样本的频率为 0.30， 由此能估计该校所有学生中，2018 年 10 月课外阅读时间
33、不小于 16 小时的学生人数 （）阅读时间在18，20的样本的频率为 0.10从而课外阅读时间在18，20的样本对 应的学生人数为 5这 5 名学生中有 2 名女生，3 名男生，设女生为 A，B，男生为 C，D， E，从中抽取 2 人，利用列举法能求出至少抽到 1 名女生的概率 （）由频率分布直方图能估计该校学生 2018 年 10 月课外阅读时间的平均数 【解答】解： （）0.102+0.0520.30， 即课外阅读时间不小于 16 小时的样本的频率为 0.30 因为 5000.30150， 第 19 页（共 28 页） 所以估计该校所有学生中， 2018年10月课外阅读时间不小于16小时的
34、学生人数为150（5 分） （）阅读时间在18，20的样本的频率为 0.0520.10 因为 500.105，即课外阅读时间在18，20的样本对应的学生人数为 5 这 5 名学生中有 2 名女生，3 名男生，设女生为 A，B，男生为 C，D，E， 从中抽取 2 人的所有可能结果是： （A，B） ， （A，C） ， （A，D） ， （A，E） ， （B，C） ， （B， D） ， （B，E） ， （C，D） ， （C，E） ， （D，E） 其中至少抽到 1 名女生的结果有 7 个， 所以从课外阅读时间在18， 20的样本对应的学生中随机抽取 2 人， 至少抽到 1 名女生的 概率为 p（11 分
35、） （）根据题意，0.08211+0.12213+0.15215+0.10217+0.05219 14.68（小时） 由此估计该校学生 2018 年 10 月课外阅读时间的平均数为 14.68 小时 （13 分） 【点评】本题考查频数、概率、平均数的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知 识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 18 （16 分）如图，曲线由两个椭圆 T1：和椭圆 T2： 组成，当 a，b，c 成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线” （1）若猫眼曲线过点，且 a，b，c 的公比为，求猫眼曲线的方程； （2）对于题（1）中的求猫眼曲线，任作斜率为 k（k0）
36、且不过原点的直线与该曲线 相交，交椭圆 T1所得弦的中点为 M，交椭圆 T2所得弦的中点为 N，求证：为与 k 无关的定值； （3）若斜率为的直线 l 为椭圆 T2的切线，且交椭圆 T1于点 A，B，N 为椭圆 T1上的 任意一点（点 N 与点 A，B 不重合） ，求ABN 面积的最大值 第 20 页（共 28 页） 【分析】 （1）由题意知，从而求猫眼曲线的方程； （2）设交点 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ，从而可得，联立方 程化简可得，kkON2；从而解得； （3）设直线l的方程为，联立方程化简 ，从而可得，同 理可得，从而利用两平行线间距离表示三角形的高，再求 ；从而求最大面积
37、 【解答】解： （1）由题意知， a2，c1， ，； （2）证明：设斜率为 k 的直线交椭圆 T1于点 C（x1，y1） ，D（x2，y2） ，线段 CD 中点 M （x0，y0） ， ， 由得， k 存在且 k0， x1x2，且 x00， 第 21 页（共 28 页） ， 即； 同理，kkON2； ； （3）设直线 l 的方程为， 联立方程得， 化简得， 由0 化简得 m2b2+2c2， ， 联立方程得， 化简得， 由0 得 m2b2+2a2， ， 两平行线间距离：， ； ABN 的面积最大值为 【点评】本题考查了学生的化简运算的能力及椭圆与直线的位置关系的判断与应用 19 （16 分）已知
38、数列an中 a11，an+1 第 22 页（共 28 页） （1）是否存在实数 ，使数列a2n是等比数列？若存在，求 的值；若不存在，请 说明理由； （2）若 Sn是数列an的前 n 项和，求满足 Sn0 的所有正整数 n 【分析】 （1）设 bna2n，依题意，可得，若数列 a2n是等比数列，则必须q（常数） ，整理得，求得 ，于是存在实数 ，使数列a2n是等比数列； （2）由（1）得bn是以为首项，为公比的等比数列，于是 a2n1+a2n +6n+926n+9，利用分组求和的方法，分别用等比数 列的求和公式与等差数列的求和公式即可求得 S2n3（n1） 2+2，分 n1 与 2 讨论，计算
39、即可得到答案 【解答】解： （1）设 bna2n， 因 为 2 分 若数列a2n是等比数列，则必须q（常数） ， 即（q）a2n+（q1）+10，即5 分 此时 b1a2a1+10， 所以存在实数 ，使数列a2n是等比数列6 分 （2）由（1）得bn是以为首项，为公比的等比数列， 第 23 页（共 28 页） 故 bn（） ，即 a2n+8 分 由 a2na2n1+（2n1）得 a2n13a2n3（2n1）6n+，10 分 所以 a2n1+a2n+6n+926n+9， S2n（a1+a2）+（a3+a4）+（a2n1+a2n） 2+6（1+2+n）+9n 26+9n 13n2+6n3（n1）2
40、+212 分 显然，当 nN*时，S2n单调递减， 又当 n1 时，S20，当 n2 时，S40，所以当 n2 时，S2n0； S2n1S2na2n3n2+6n 同理，当且仅当 n1 时，S2n10， 综上，满足满足 Sn0 的所有正整数 n 为 1 和 216 分 【点评】本题考查数列递推关系式的应用，综合考查等比数列的性质、分组求和，考查 分类讨论思想及抽象思维、逻辑思维、综合运算能力，属于难题 20 （16 分）已知函数 f（x）ex，g（x）ax2+bx+c （1）若 f（x）的图象与 g（x）的图象所在两条曲线的一个公共点在 y 轴上，且在该点处 两条曲线的切线互相垂直，求 b 和
41、c 的值； （2）若 ac1，b0，试比较 f（x）与 g（x）的大小，并说明理由； （3）若 bc0，证明：对任意给定的正数 a，总存在正数 m，使得当 x（m，+）时， 恒有 f（x）g（x）成立 【分析】 （1）求出 f（x） 、g（x）的导数，由题意可得 f（0）g（0） ，且 f（0）g（0） 1，即可求得 b，c； （2）对 x 讨论，当 x0，x0，x0，运用指数函数的单调性，同时结合构造函数求得 导数和单调区间、极值和最值，求得值域即可比较； （3）方法一、对 a 讨论，若 0a1，若 a1，通过（2）的结论和作差，构造函 第 24 页（共 28 页） 数求出导数和单调区间、极
42、值及最值，即可得证； 方法二、设，求出导数，求得 h（x）的最小值，对 a 讨论，若， 若，若，结合不等式恒成立思想，取 m 的特殊值，即可得证 【解答】 （1）解：由题意可得，f（0）1， f'（x）ex，f'（0）1， g（0）c，g'（x）2ax+b，g'（0）b， 依题意：f（0）g（0） ，且 f（0）g（0）1， 解得 b1，c1； （2）解：ac1，b0 时，g（x）x2+1， x0 时，f（0）1，g（0）1，即 f（x）g（x） ； x0 时，f（x）1，g（x）1，即 f（x）g（x）
43、； x0 时，令 h（x）f（x）g（x）exx21， 则 h'（x）ex2x 设 k（x）h'（x）ex2x，则 k'（x）ex2， 当 xln2 时，k'（x）0，k（x）单调递减； 当 xln2 时，k'（x）0，k（x）单调递增 所以当 xln2 时，k（x）取得极小值，且极小值为 k（ln2）eln22ln22ln40， 即 k（x）h'（x）ex2x0 恒成立，故 h（x）在 R 上单调递增，又 h（0）0， 因此，当 x0 时，h（x）h（0）0，即 f（x）g（x） 综上，当 x0 时，f（x）g（x） ； 当 x0 时，f（x）
44、g（x） ；当 x0 时，f（x）g（x） （3）证法一：若 0a1，由（2）知，当 x0 时，exx2+1即 exx2ax2， 所以，0a1 时，取 m0，即有当 x（m，+） ，恒有 exax2 若 a1，f（x）g（x）即 exax2，等价于 xln（ax2）即 x2lnx+lna 令 t（x）x2lnxlna，则 当 x2 时，t'（x）0，t（x）在（2，+）内单调递增 取，则，所以 t（x）在（x0，+）内单调递增 第 25 页（共 28 页） 又4（a1）+3（alna） 0 即存在 mae2，当 x（m，+）时，恒有 f（x）g（x） 综上，对任意给定的正
45、数 a，总存在正数 m，使得当 x（m，+） ，恒有 f（x）g（x） 证法二：设，则， 当 x（0，2）时，h'（x）0，h（x）单调减，当 x（2，+）时，h'（x）0，h（x） 单调增， 故 h（x）在（0，+）上有最小值， 若，则 h（x）a 在（0，+）上恒成立， 即当时，存在 m0，使当 x（m，+）时，恒有 f（x）g（x） ； 若，存在 m2，使当 x（m，+）时，恒有 f（x）g（x） ； 若，同证明一的， 综上可得，对任意给定的正数 a，总存在正数 m，当 x（m，+）时，恒有 f（x）g （x） 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和求单调区间、极值和最值，同时考查函 数的单调性的运用和不等式恒成立问题，运用分类讨论的思想方法是解题的关键 【选做题】在相应的答题区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程【选做题】在相应的答题区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤或演算步骤选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21已知矩阵的一个特征值 3 所对应的一个特征向量，求矩阵 A 的逆矩 阵 A 1 【分析】利用特征值与特征向量的定义，建立方程，求出矩阵 A；求出|A|，即可写出矩 阵 A 的逆矩阵