1、2019-2020 学年江苏省徐州市高二（上）期中数学试卷一共 10 道小题，每题只有一个正确答案，每题道小题，每题只有一个正确答案，每题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）数列 3，6，11，20，的一个通项公式为（ ） Aan3n Bann（n+2） Cann+2n Dan2n+1 2 （4 分）在等差数列an中，a5+a1340，则 a7+a8+a9+a10+a11（ ） A40 B60 C80 D100 3 （4 分）已知 x3，yx+，则 y 的最小值为（ ） A2 B3 C4 D5 4 （4 分）已知 p：x+12；q：5x6x2，则 p 是 q 的（ ） A充分不必
2、要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 （4 分）已知 Sn为等差数列an的前 n 项之和，且 S315，S648，则 S9的值为（ ） A63 B81 C99 D108 6 （4 分） 若关于 x 的不等式 x24xa0 在 1x4 内有解， 则实数 a 的取值范围 （ ） Aa3 Ba0 Ca4 Da4 7 （4 分）已知数列 3，y，x，9 是等差数列，数列 1，a，b，c，4 是等比数列，则 （ ） A B C D 8 （4 分） 算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普 及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部
3、著作中，许多数 学问题都是以歌诀形式呈现的 “九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生 年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁？试问这位公公年龄最 小的儿子年龄为（ ） A8 岁 B11 岁 C20 岁 D35 岁 9 （4 分）已知点 A（2，1）在直线 ax+by10（a0b0）上，若存在满足该条件的 a， b 使得不等式+2m 成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A （，42，+） B （，24，+） C （，64，+） D （，46，+） 第 2 页（共 15 页） 10 （4 分）已知等比数列an的公比为 q，且|q|1，数列bn满足 bnan1，若数列b
4、n 有连续四项在集合28，19，13，7，17，23中，则 q（ ） A B C D 二、多选题： （本大题一共二、多选题： （本大题一共 3 道小题，每题道小题，每题 4 分，共分，共 12 分，每题漏选得分，每题漏选得 2 分，错分，错选或多选选或多选 不得分）不得分） 11 （4 分）给出下面四个推断，其中正确的为（ ） A若 a，b（0，+） ，则2 B若 x，y（0，+） ，则 lgx+lgy2 C若 aR，a0，则 D若 x，yR，xy0，则2 12 （4 分）下列命题的是真命题的是（ ） A若 ab，则 B若 xy，mn，则 xnym C若 xy，mn，则 xmyn D若 ac2
5、bc2，则 ab 13 （4 分）在公比 q 为整数的等比数列an中，Sn是数列an的前 n 项和，若 a1a432， a2+a312，则下列说法正确的是（ ） Aq2 B数列Sn+2是等比数列 CS8510 D数列lgan是公差为 2 的等差数列 三、填空题： （本大题一共三、填空题： （本大题一共 4 道小题，每题道小题，每题 4 分，共分，共 16 分）分） 14 （4 分）已知命题 p： “xR，exx10” ，命题 p 的否定为 15 （4 分）在数列an中，a22，a51，数列是等差数列，则 a8 16 （4 分）已知实数 x0，y0，且 x+3y4 则的最小值为 17 （4 分）
6、已知函数 f（x）x2，g（x）2xm，mR 若x11，2，x20，2都有 f（x2）g（x1） ，则实数 m 的取值范围是 三、解答题： （本大题一共三、解答题： （本大题一共 6 道题，共道题，共 82 分）分） 18 （12 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a120，S348， 第 3 页（共 15 页） （1）求an的通项公式； （2）求 Sn，并指出当 Sn的取得最小值时对应的 n 的值 19 （12 分）已知：函数 f（x）lgkx26kx+（k+4）， （1）当 k1 时，求函数 yf（x）的定义域 （2）当函数 yf（x）的定义域为 R 时，求实数 k 的取值范
7、围 20 （14 分）如图，有一壁画，最高点 A 处离地面 6 米，最低点 B 处离地面 3 米若从离地 高 2 米的 C 处观赏它，视角为 （1）若 tan时，求 C 点到墙壁的距离 （2）当 C 点离墙壁多远时，视角 最大？ 21 （14 分）记 Sn为正项等比数列an的前 n 项和，若80 （1）求数列an的公比 q 的值； （2）若 a516，设 S2n为该数列的前 2n 项的和，Tn为为数列an2的前 n 项和，若 S2n tTn，试求实数 t 的值 22 （15 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和，满足 Sn2an+n（nN*） （1）证明数列an1是等比数列，并求出通项公式
8、 an （2）数列nan的前 n 项和 Tn 23 （15 分）已知函数 f（x）x2+ax+ba（a，bR） （1）设 a4，若不等式 f（x）b23b 对于任意的 x 都成立，求实数 b 的取值范围 （2）设 b3，解关于 x 的不等式组 第 4 页（共 15 页） 2019-2020 学年江苏省徐州市高二（上）期中数学试卷学年江苏省徐州市高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题： （本大题一共一、单选题： （本大题一共 10 道小题，每题只有一个正确答案，每题道小题，每题只有一个正确答案，每题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）数列 3，6，
9、11，20，的一个通项公式为（ ） Aan3n Bann（n+2） Cann+2n Dan2n+1 【分析】根据根据数列的项的特点归纳即可得到通项公式 【解答】解：依题意，a131+21； a262+22； a3113+23； a4204+24； 所以 ann+2n 故选：C 【点评】 本题主要考查数列的通项公式的求解， 根据数列项的规律是解决本题的关键 本 题属于基础题 2 （4 分）在等差数列an中，a5+a1340，则 a7+a8+a9+a10+a11（ ） A40 B60 C80 D100 【分析】由等差数列的性质可得：a5+a132a940，解得 a9，可得 a7+a8+a9+a10
10、+a11 5a9，即可得出 【解答】解：由等差数列的性质可得：a5+a132a940， 解得 a920， 所以 a7+a8+a9+a10+a115a9100， 故选：D 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题 3 （4 分）已知 x3，yx+，则 y 的最小值为（ ） A2 B3 C4 D5 第 5 页（共 15 页） 【分析】x+x3+3，由基本不等式可知 y5，即可得最小值 【解答】解：因为 yx+x3+3，又因为 x3，所以 x30， 所以 y5，当且仅当 x4 时，等号成立， 故选：D 【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题 4
11、 （4 分）已知 p：x+12；q：5x6x2，则 p 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 分别求解一元一次不等式与一元二次不等式化简 p 与 q， 再由充分必要条件的判 定得答案 【解答】解：由 x+12，得 x1，p：x1； 由 5x6x2，得 x25x+60，解得 2x3，q：2x3 （2，3）（1，+） ， p 不能推出 q，qp 则 p 是 q 的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查不等式的解法，考查充分必要条件的判定，是基础题 5 （4 分）已知 Sn为等差数列an的前 n 项之和，且 S315，S648，则 S
12、9的值为（ ） A63 B81 C99 D108 【分析】根据等差数列的性质，Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，进而可得 S9 的值 【解答】解：依题意，数列an为等差数列， 所以 S3，S6S3，S9S6也成等差数列， 又 S315，S6S3481533， 所以 S9S62（S6S3）S3661551， 所以 S9S3+S6S3+S9S615+33+5199 故选：C 【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了分析解决问题的能力和计算能力，属于基 础题 第 6 页（共 15 页） 6 （4 分） 若关于 x 的不等式 x24xa0 在 1x4 内有解， 则实数 a 的取值范围 （ ）
13、 Aa3 Ba0 Ca4 Da4 【分析】把不等式化为 ax24x，求出 f（x）x24x 在 x（1，4）的取值范围，即 可求得 a 的取值范围 【解答】解：不等式 x24xa0 可化为 ax24x； 设 f（x）x24x，其中 x（1，4） ； 则 f（x）（x2）24， 所以 f（x）f（4）0； 所以不等式在 1x4 内有解，实数 a 的取值范围是 a0 故选：B 【点评】本题考查了不等式在某一范围内有解的应用问题，是基础题 7 （4 分）已知数列 3，y，x，9 是等差数列，数列 1，a，b，c，4 是等比数列，则 （ ） A B C D 【分析】由题意利用等差数列的定义和性质，求得
14、 x+y 和 b 的值，可得的值 【解答】解：数列 3，x，y，9 是等差数列，x+y3+912； 数列 1，a，b，c，4 是等比数列，b2ac4， b 为正值故 b2， 则， 故选：A 【点评】本题考查了等差中项与等比中项的性质，考查了分析解决问题的能力和推理能 力，解题时要注意，等比数列奇数项的符号相同本题属于基础题 8 （4 分） 算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普 及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数 学问题都是以歌诀形式呈现的 “九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生 年总不知，自长排来差三岁，共年二
15、百又零七，借问小儿多少岁？试问这位公公年龄最 小的儿子年龄为（ ） A8 岁 B11 岁 C20 岁 D35 岁 第 7 页（共 15 页） 【分析】设这位公公 9 个儿子的年龄从小到大成等差数列，设年龄最小的儿子年龄为 a1， 则公差为 d3，再利用 S9207，求得 a1的值，可得结论 【解答】解：设这位公公 9 个儿子的年龄从小到大成等差数列，设年龄最小的儿子年龄 为 a1，则公差为 d3， 由题意，S99a1+9a1+363207，求得 a111， 故选：B 【点评】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式的应用，属于基础题 9 （4 分）已知点 A（2，1）在直线 ax+by10（a0
16、b0）上，若存在满足该条件的 a， b 使得不等式+2m 成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A （，42，+） B （，24，+） C （，64，+） D （，46，+） 【 分 析 】 由 A （ 2 ， 1 ） 在 直 线 ax+by 1 0 上 ， 可 得 到 2a+b 1 ， 所 以 8，又因为存在满足该条件的 a，b 使得不等式 +2m 成立，所以 m2+2m8，即可得到 m 的取值范围 【解答】解：因为 A（2，1）在直线 ax+by10 上，所以 2a+b1， 8，当且仅当 a，b时等号成立； 又因为存在满足该条件的 a，b 使得不等式+2m 成立， 所以所以 m2+2m8，
17、即可得 m2+2m80，所以，m2 或 m4； 故选：A 【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值及一元二次不等式的解法 10 （4 分）已知等比数列an的公比为 q，且|q|1，数列bn满足 bnan1，若数列bn 有连续四项在集合28，19，13，7，17，23中，则 q（ ） A B C D 【分析】推导出数列an有连续四项在集合27，18，12，8，18，24中，从而 q 0进而1q0，由此能求出结果 【解答】解：数列bn有连续四项在集合28，19，13，7，17，23中，bnan1， 数列an有连续四项在集合27，18，12，8，18，24中， 第 8 页（共 15 页） 数列an的
18、连续四项不同号，即 q0 |q|1，1q0， 按此要求在集合27，18，12，8，18，24中取四个数排成数列， 有27，24，18，8；27，24，12，8；27，18，12，8 三种情况， 27，24，12，8 和27，24，18，8 不是等比数列， 数列an的连续四项为27，18，12，8， 数列an的公比为 故选：A 【点评】本题考查等比数列的公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 二、多选题： （本大题一共二、多选题： （本大题一共 3 道小题，每题道小题，每题 4 分，共分，共 12 分分，每题漏选得，每题漏选得 2 分，错选或多选分，错选或多选 不
19、得分）不得分） 11 （4 分）给出下面四个推断，其中正确的为（ ） A若 a，b（0，+） ，则2 B若 x，y（0，+） ，则 lgx+lgy2 C若 aR，a0，则 D若 x，yR，xy0，则2 【分析】根据基本不等式的应用条件一正，二定，三相等逐个判断即可 【解答】解：A 正确，a0、b0，故22，当且仅当 ab 时上式取 等号； B 不正确，lgx 和 lgy 不一定是正实数，故不可用基本不等式； C 不正确，a0 时，则不成立； D 正确， 若 x， yR， xy0， 则， ， 则2，当且仅当 x 与 y 互为相反数时取等号 故选：AD 【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查对数
20、函数的性质及计算能力属于基础题 12 （4 分）下列命题的是真命题的是（ ） 第 9 页（共 15 页） A若 ab，则 B若 xy，mn，则 xnym C若 xy，mn，则 xmyn D若 ac2bc2，则 ab 【分析】利用不等式性质和特殊值法判断即可 【解答】解：A错误，a2，b1，不成立； B 正确，若 xy，nm，根据同向不等式可加性，则 xnym 成立； C 错误，没有规定 x，y，m，n0； D 正确，因为 c 不等于 0，所以 c20，ac2bc2，则 ab 成立 故选：BD 【点评】本题考查不等式性质，基础题 13 （4 分）在公比 q 为整数的等比数列an中，Sn是数列an
21、的前 n 项和，若 a1a432， a2+a312，则下列说法正确的是（ ） Aq2 B数列Sn+2是等比数列 CS8510 D数列lgan是公差为 2 的等差数列 【分析】利用等比数列的前 n 项和公式，列出方程组，求出 a12，q2，由此能求出结 果 【解答】解：在公比 q 为整数的等比数列an中，Sn是数列an的前 n 项和， a1a432，a2+a312， ， 解得（舍）或 a12，q2， 故 A 正确， Sn+2+22n+1，数列Sn+2是等比数列，故 B 正确； S8510，故 C 正确； ，lgannlg2，数列lgan不是公差为 2 的等差数列，故 D 错误 故选：ABC 【点
22、评】本题考查命题真假的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能 第 10 页（共 15 页） 力，是基础题 三、填空题： （本大题一共三、填空题： （本大题一共 4 道小题，每题道小题，每题 4 分分，共，共 16 分）分） 14 （4 分）已知命题 p： “xR，exx10” ，命题 p 的否定为 xR，exx10 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题 p： “xR，exx10” 的否定是：xR，exx10 故答案为：xR，exx10 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，属于基础题， 15 （
23、4 分）在数列an中，a22，a51，数列是等差数列，则 a8 【分析】根据数列是等差数列，结合已知条件，求出其公差 d，进而得到， 求出 an，即可得到 a8 【解答】解：依题意，数列是等差数列，设其公差为 d， 则 3d， 所以 d， 所以+（n2），即 an， 所以 a8， 故答案为： 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查运算求解能力，是基础题 16 （4 分）已知实数 x0，y0，且 x+3y4 则的最小值为 【分析】由 x+3y4 可知 x+2y+y4，由一正二定三相等配凑乘积为定值，即可得最值 【解答】解：因为实数 x0，y0，且 x+3y4， 所以（） （x+y+2y）（3
24、+），当 且仅当 x106，y2（1）时等号成立， 故填： 【点评】本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题 17 （4 分）已知函数 f（x）x2，g（x）2xm，mR 若x11，2，x20，2都有 第 11 页（共 15 页） f（x2）g（x1） ，则实数 m 的取值范围是 0，+） 【分析】根据题意可知， “f（x）在0，2上的最大值“大于等于“g（x）在1，2上的 最大值“，可看出 f（x）在0，2上单调递增，g（x）在1，2上单调递增，从而可求 出最值，从而得出关于 m 的不等式，解出 m 的范围即可 【解答】解：x11，2，x20，2都有 f（x2）g（x1） ， “f（x）在0
25、，2上的最大值“大于等于“g（x）在1，2上的最大值“， f（x）在0，2上的最大值为 4，g（x）在1，2上的最大值为 4m， 44m，解得 m0， 实数 m 的取值范围是0，+） 故答案为：0，+） 【点评】本题考查了二次函数、指数函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于 中档题 三、解答题： （本大题一共三、解答题： （本大题一共 6 道题，共道题，共 82 分）分） 18 （12 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a120，S348， （1）求an的通项公式； （2）求 Sn，并指出当 Sn的取得最小值时对应的 n 的值 【分析】 （1）设等差数列an的公差为 d，由
26、已知列式求得 d，则通项公式可求； （2）写出等差数列的前 n 项和，再由二次函数求最值 【解答】解： （1）设等差数列an的公差为 d， 由 a120，S348，得，解得 an20+4（n1）4n24； （2）由 a120，d4， 得 其对称轴方程为 n， nN*，当 n5 或 6 时，Sn取得最小值 【点评】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和，训练了利用二次函数求最值，是基 础题 19 （12 分）已知：函数 f（x）lgkx26kx+（k+4）， 第 12 页（共 15 页） （1）当 k1 时，求函数 yf（x）的定义域 （2）当函数 yf（x）的定义域为 R 时，求实数 k 的
27、取值范围 【分析】 （1）根据根式成立的条件进行求解即可 （2）根据定义域为 R 转化为不等式恒成立进行求解即可 【解答】解： （1）当 k1 时，f（x）lg（x26x+5） ， 由题意得 x26x+50， 即（x1） （x5）0，即 x5 或 x1， 定义域为（，1）（5，+） ； （2）由题意得 kx26kx+k+40 对一切 xR 都成立， 当 k0 时，f（x）2lg2，满足要求； k0 时，36k24k（k+4）0，解得：0k1， 综上得：实数 k 的取值范围是0，1） 【点评】本题主要考查函数定义域的求解和应用，结合条件转化为不等式恒成立是解决 本题的关键 20 （14 分）如图
28、，有一壁画，最高点 A 处离地面 6 米，最低点 B 处离地面 3 米若从离地 高 2 米的 C 处观赏它，视角为 （1）若 tan时，求 C 点到墙壁的距离 （2）当 C 点离墙壁多远时，视角 最大？ 【分析】 （1）设 C 点到墙壁的距离 CDx（x0） ，由条件可得 tantan（ACD BCD），再结合 tan，解出 x； （2）根据（1）可得 tan，然后利用基本不等式求出 tan 的最大值，从而确定 C 点距离墙壁的距离多远时，视角最大 【解答】解： （1）设 C 点到墙壁的距离 CDx（x0） ， 第 13 页（共 15 页） 由条件知 BD1，AD4，则 tanACD，tanB
29、CD， 所以 tantan（ACDBCD） 因为 tan，所以，所以 x2， 所以当 tan时，C 点到墙壁的距离为 2 米； （2）由（1）知，tan（x0） ， 所以 tan， 当且仅当 x，即 x2 时取等号，所以 tanmax， 所以当 C 点离墙壁为 2 米时，视角 最大 【点评】本题考查了解三角形以及利用基本不等式求最值的问题，考查了转化思想和计 算能力，属中档题 21 （14 分）记 Sn为正项等比数列an的前 n 项和，若80 （1）求数列an的公比 q 的值； （2）若 a516，设 S2n为该数列的前 2n 项的和，Tn为为数列an2的前 n 项和，若 S2n tTn，试求
30、实数 t 的值 【分析】 （1）设正项等比数列an的公比为 q，则 q0，80， q1，所以 q2 （2）求出 a11，q2，Tn，由 S2ntTn， 代入即可 【解答】解： （1）设正项等比数列an的公比为 q，则 q0， 80，得， 若 q1，则，1780 不成立，所以 q1， 第 14 页（共 15 页） 由， （q3）27q380， 所以 q38（负已舍） ，所以 q2 （2）a516，a11，q2，所以， ， 40+41+4n 1 ， 因为 S2ntTn，所以 t 【点评】 （1）利用了等比数列的性质，前 n 项和公式； （2）考察了等比数列通项公式和 等比数列求和，中档题 22 （
31、15 分）记 Sn为等差数列an的前 n 项和，满足 Sn2an+n（nN*） （1）证明数列an1是等比数列，并求出通项公式 an （2）数列nan的前 n 项和 Tn 【分析】 （1）考察等比数列的判断和证明； （2）考察错位相减法与分组求和求和求数列 前 n 项和 【解答】解： （1）由 Sn2an+n，当 n1 时，S12a1+1，得 a11， 当 n2 时，Sn12an1+（n1） ， 两式作差可得：an2an2an1+1，即 an2an11，an12（an11） 数列an1是以 a112 为首项，以 2 为公比的等比数列， ， （2）根据题意，1+2+n（12+222+n 2n）
32、设，两式作差化简得 ， 所以 【点评】 （1）基础题，注意等比数列的构造； （2）这里用了错位相减法与分组求和，中 第 15 页（共 15 页） 档题 23 （15 分）已知函数 f（x）x2+ax+ba（a，bR） （1）设 a4，若不等式 f（x）b23b 对于任意的 x 都成立，求实数 b 的取值范围 （2）设 b3，解关于 x 的不等式组 【分析】 （1）由 a 的值已知，x 为变量，b 为参数，参变分离转化为恒成立问题； （2）由 x 满足方程组可转化为在 x1，f（x）0 恒成立 【解答】解： （1）当 a4，f（x）x24x+b+4，当 f（x）b23b 时，x24x+b+4 b23b，即 x24x+4b24b 恒成立， （x24x+4）minb24b，则 b24b0，所以实数 b 的取值范围为（0，4） ； （2）b3，f（x）x2+ax+3a， 当0 时，a2 或 a6，方程的根， 又因为轴，x1， 所以 a2 时，解集为（1，+） ，a6 时，解集为x|1xx1或 xx2， 当0 时，6a2 时，解集为（1，+） ， 综上，当 a6 时，不等式的解集为（1，+） ， 当 a6 时，解集为x|1xx1或 xx2 【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，图象及性质