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2019-2020学年江苏省徐州市高二(上)期中数学试卷(含详细解答)

1、2019-2020 学年江苏省徐州市高二(上)期中数学试卷一共 10 道小题,每题只有一个正确答案,每题道小题,每题只有一个正确答案,每题 4 分,共分,共 40 分)分) 1 (4 分)数列 3,6,11,20,的一个通项公式为( ) Aan3n Bann(n+2) Cann+2n Dan2n+1 2 (4 分)在等差数列an中,a5+a1340,则 a7+a8+a9+a10+a11( ) A40 B60 C80 D100 3 (4 分)已知 x3,yx+,则 y 的最小值为( ) A2 B3 C4 D5 4 (4 分)已知 p:x+12;q:5x6x2,则 p 是 q 的( ) A充分不必

2、要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5 (4 分)已知 Sn为等差数列an的前 n 项之和,且 S315,S648,则 S9的值为( ) A63 B81 C99 D108 6 (4 分) 若关于 x 的不等式 x24xa0 在 1x4 内有解, 则实数 a 的取值范围 ( ) Aa3 Ba0 Ca4 Da4 7 (4 分)已知数列 3,y,x,9 是等差数列,数列 1,a,b,c,4 是等比数列,则 ( ) A B C D 8 (4 分) 算法统宗是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普 及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著,在这部

3、著作中,许多数 学问题都是以歌诀形式呈现的 “九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生 年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问小儿多少岁?试问这位公公年龄最 小的儿子年龄为( ) A8 岁 B11 岁 C20 岁 D35 岁 9 (4 分)已知点 A(2,1)在直线 ax+by10(a0b0)上,若存在满足该条件的 a, b 使得不等式+2m 成立,则实数 m 的取值范围是( ) A (,42,+) B (,24,+) C (,64,+) D (,46,+) 第 2 页(共 15 页) 10 (4 分)已知等比数列an的公比为 q,且|q|1,数列bn满足 bnan1,若数列b

4、n 有连续四项在集合28,19,13,7,17,23中,则 q( ) A B C D 二、多选题: (本大题一共二、多选题: (本大题一共 3 道小题,每题道小题,每题 4 分,共分,共 12 分,每题漏选得分,每题漏选得 2 分,错分,错选或多选选或多选 不得分)不得分) 11 (4 分)给出下面四个推断,其中正确的为( ) A若 a,b(0,+) ,则2 B若 x,y(0,+) ,则 lgx+lgy2 C若 aR,a0,则 D若 x,yR,xy0,则2 12 (4 分)下列命题的是真命题的是( ) A若 ab,则 B若 xy,mn,则 xnym C若 xy,mn,则 xmyn D若 ac2

5、bc2,则 ab 13 (4 分)在公比 q 为整数的等比数列an中,Sn是数列an的前 n 项和,若 a1a432, a2+a312,则下列说法正确的是( ) Aq2 B数列Sn+2是等比数列 CS8510 D数列lgan是公差为 2 的等差数列 三、填空题: (本大题一共三、填空题: (本大题一共 4 道小题,每题道小题,每题 4 分,共分,共 16 分)分) 14 (4 分)已知命题 p: “xR,exx10” ,命题 p 的否定为 15 (4 分)在数列an中,a22,a51,数列是等差数列,则 a8 16 (4 分)已知实数 x0,y0,且 x+3y4 则的最小值为 17 (4 分)

6、已知函数 f(x)x2,g(x)2xm,mR 若x11,2,x20,2都有 f(x2)g(x1) ,则实数 m 的取值范围是 三、解答题: (本大题一共三、解答题: (本大题一共 6 道题,共道题,共 82 分)分) 18 (12 分)记 Sn为等差数列an的前 n 项和,已知 a120,S348, 第 3 页(共 15 页) (1)求an的通项公式; (2)求 Sn,并指出当 Sn的取得最小值时对应的 n 的值 19 (12 分)已知:函数 f(x)lgkx26kx+(k+4), (1)当 k1 时,求函数 yf(x)的定义域 (2)当函数 yf(x)的定义域为 R 时,求实数 k 的取值范

7、围 20 (14 分)如图,有一壁画,最高点 A 处离地面 6 米,最低点 B 处离地面 3 米若从离地 高 2 米的 C 处观赏它,视角为 (1)若 tan时,求 C 点到墙壁的距离 (2)当 C 点离墙壁多远时,视角 最大? 21 (14 分)记 Sn为正项等比数列an的前 n 项和,若80 (1)求数列an的公比 q 的值; (2)若 a516,设 S2n为该数列的前 2n 项的和,Tn为为数列an2的前 n 项和,若 S2n tTn,试求实数 t 的值 22 (15 分)记 Sn为等差数列an的前 n 项和,满足 Sn2an+n(nN*) (1)证明数列an1是等比数列,并求出通项公式

8、 an (2)数列nan的前 n 项和 Tn 23 (15 分)已知函数 f(x)x2+ax+ba(a,bR) (1)设 a4,若不等式 f(x)b23b 对于任意的 x 都成立,求实数 b 的取值范围 (2)设 b3,解关于 x 的不等式组 第 4 页(共 15 页) 2019-2020 学年江苏省徐州市高二(上)期中数学试卷学年江苏省徐州市高二(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题: (本大题一共一、单选题: (本大题一共 10 道小题,每题只有一个正确答案,每题道小题,每题只有一个正确答案,每题 4 分,共分,共 40 分)分) 1 (4 分)数列 3,6,

9、11,20,的一个通项公式为( ) Aan3n Bann(n+2) Cann+2n Dan2n+1 【分析】根据根据数列的项的特点归纳即可得到通项公式 【解答】解:依题意,a131+21; a262+22; a3113+23; a4204+24; 所以 ann+2n 故选:C 【点评】 本题主要考查数列的通项公式的求解, 根据数列项的规律是解决本题的关键 本 题属于基础题 2 (4 分)在等差数列an中,a5+a1340,则 a7+a8+a9+a10+a11( ) A40 B60 C80 D100 【分析】由等差数列的性质可得:a5+a132a940,解得 a9,可得 a7+a8+a9+a10

10、+a11 5a9,即可得出 【解答】解:由等差数列的性质可得:a5+a132a940, 解得 a920, 所以 a7+a8+a9+a10+a115a9100, 故选:D 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题 3 (4 分)已知 x3,yx+,则 y 的最小值为( ) A2 B3 C4 D5 第 5 页(共 15 页) 【分析】x+x3+3,由基本不等式可知 y5,即可得最小值 【解答】解:因为 yx+x3+3,又因为 x3,所以 x30, 所以 y5,当且仅当 x4 时,等号成立, 故选:D 【点评】本题主要考查基本不等式的应用,属于基础题 4

11、 (4 分)已知 p:x+12;q:5x6x2,则 p 是 q 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 分别求解一元一次不等式与一元二次不等式化简 p 与 q, 再由充分必要条件的判 定得答案 【解答】解:由 x+12,得 x1,p:x1; 由 5x6x2,得 x25x+60,解得 2x3,q:2x3 (2,3)(1,+) , p 不能推出 q,qp 则 p 是 q 的必要不充分条件 故选:B 【点评】本题考查不等式的解法,考查充分必要条件的判定,是基础题 5 (4 分)已知 Sn为等差数列an的前 n 项之和,且 S315,S648,则 S

12、9的值为( ) A63 B81 C99 D108 【分析】根据等差数列的性质,Sm,S2mSm,S3mS2m也成等差数列,进而可得 S9 的值 【解答】解:依题意,数列an为等差数列, 所以 S3,S6S3,S9S6也成等差数列, 又 S315,S6S3481533, 所以 S9S62(S6S3)S3661551, 所以 S9S3+S6S3+S9S615+33+5199 故选:C 【点评】本题考查了等差数列的性质,考查了分析解决问题的能力和计算能力,属于基 础题 第 6 页(共 15 页) 6 (4 分) 若关于 x 的不等式 x24xa0 在 1x4 内有解, 则实数 a 的取值范围 ( )

13、 Aa3 Ba0 Ca4 Da4 【分析】把不等式化为 ax24x,求出 f(x)x24x 在 x(1,4)的取值范围,即 可求得 a 的取值范围 【解答】解:不等式 x24xa0 可化为 ax24x; 设 f(x)x24x,其中 x(1,4) ; 则 f(x)(x2)24, 所以 f(x)f(4)0; 所以不等式在 1x4 内有解,实数 a 的取值范围是 a0 故选:B 【点评】本题考查了不等式在某一范围内有解的应用问题,是基础题 7 (4 分)已知数列 3,y,x,9 是等差数列,数列 1,a,b,c,4 是等比数列,则 ( ) A B C D 【分析】由题意利用等差数列的定义和性质,求得

14、 x+y 和 b 的值,可得的值 【解答】解:数列 3,x,y,9 是等差数列,x+y3+912; 数列 1,a,b,c,4 是等比数列,b2ac4, b 为正值故 b2, 则, 故选:A 【点评】本题考查了等差中项与等比中项的性质,考查了分析解决问题的能力和推理能 力,解题时要注意,等比数列奇数项的符号相同本题属于基础题 8 (4 分) 算法统宗是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普 及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著,在这部著作中,许多数 学问题都是以歌诀形式呈现的 “九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生 年总不知,自长排来差三岁,共年二

15、百又零七,借问小儿多少岁?试问这位公公年龄最 小的儿子年龄为( ) A8 岁 B11 岁 C20 岁 D35 岁 第 7 页(共 15 页) 【分析】设这位公公 9 个儿子的年龄从小到大成等差数列,设年龄最小的儿子年龄为 a1, 则公差为 d3,再利用 S9207,求得 a1的值,可得结论 【解答】解:设这位公公 9 个儿子的年龄从小到大成等差数列,设年龄最小的儿子年龄 为 a1,则公差为 d3, 由题意,S99a1+9a1+363207,求得 a111, 故选:B 【点评】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式的应用,属于基础题 9 (4 分)已知点 A(2,1)在直线 ax+by10(a0

16、b0)上,若存在满足该条件的 a, b 使得不等式+2m 成立,则实数 m 的取值范围是( ) A (,42,+) B (,24,+) C (,64,+) D (,46,+) 【 分 析 】 由 A ( 2 , 1 ) 在 直 线 ax+by 1 0 上 , 可 得 到 2a+b 1 , 所 以 8,又因为存在满足该条件的 a,b 使得不等式 +2m 成立,所以 m2+2m8,即可得到 m 的取值范围 【解答】解:因为 A(2,1)在直线 ax+by10 上,所以 2a+b1, 8,当且仅当 a,b时等号成立; 又因为存在满足该条件的 a,b 使得不等式+2m 成立, 所以所以 m2+2m8,

17、即可得 m2+2m80,所以,m2 或 m4; 故选:A 【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值及一元二次不等式的解法 10 (4 分)已知等比数列an的公比为 q,且|q|1,数列bn满足 bnan1,若数列bn 有连续四项在集合28,19,13,7,17,23中,则 q( ) A B C D 【分析】推导出数列an有连续四项在集合27,18,12,8,18,24中,从而 q 0进而1q0,由此能求出结果 【解答】解:数列bn有连续四项在集合28,19,13,7,17,23中,bnan1, 数列an有连续四项在集合27,18,12,8,18,24中, 第 8 页(共 15 页) 数列an的

18、连续四项不同号,即 q0 |q|1,1q0, 按此要求在集合27,18,12,8,18,24中取四个数排成数列, 有27,24,18,8;27,24,12,8;27,18,12,8 三种情况, 27,24,12,8 和27,24,18,8 不是等比数列, 数列an的连续四项为27,18,12,8, 数列an的公比为 故选:A 【点评】本题考查等比数列的公比的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算 求解能力,是基础题 二、多选题: (本大题一共二、多选题: (本大题一共 3 道小题,每题道小题,每题 4 分,共分,共 12 分分,每题漏选得,每题漏选得 2 分,错选或多选分,错选或多选 不

19、得分)不得分) 11 (4 分)给出下面四个推断,其中正确的为( ) A若 a,b(0,+) ,则2 B若 x,y(0,+) ,则 lgx+lgy2 C若 aR,a0,则 D若 x,yR,xy0,则2 【分析】根据基本不等式的应用条件一正,二定,三相等逐个判断即可 【解答】解:A 正确,a0、b0,故22,当且仅当 ab 时上式取 等号; B 不正确,lgx 和 lgy 不一定是正实数,故不可用基本不等式; C 不正确,a0 时,则不成立; D 正确, 若 x, yR, xy0, 则, , 则2,当且仅当 x 与 y 互为相反数时取等号 故选:AD 【点评】本题考查了基本不等式的应用,考查对数

20、函数的性质及计算能力属于基础题 12 (4 分)下列命题的是真命题的是( ) 第 9 页(共 15 页) A若 ab,则 B若 xy,mn,则 xnym C若 xy,mn,则 xmyn D若 ac2bc2,则 ab 【分析】利用不等式性质和特殊值法判断即可 【解答】解:A错误,a2,b1,不成立; B 正确,若 xy,nm,根据同向不等式可加性,则 xnym 成立; C 错误,没有规定 x,y,m,n0; D 正确,因为 c 不等于 0,所以 c20,ac2bc2,则 ab 成立 故选:BD 【点评】本题考查不等式性质,基础题 13 (4 分)在公比 q 为整数的等比数列an中,Sn是数列an

21、的前 n 项和,若 a1a432, a2+a312,则下列说法正确的是( ) Aq2 B数列Sn+2是等比数列 CS8510 D数列lgan是公差为 2 的等差数列 【分析】利用等比数列的前 n 项和公式,列出方程组,求出 a12,q2,由此能求出结 果 【解答】解:在公比 q 为整数的等比数列an中,Sn是数列an的前 n 项和, a1a432,a2+a312, , 解得(舍)或 a12,q2, 故 A 正确, Sn+2+22n+1,数列Sn+2是等比数列,故 B 正确; S8510,故 C 正确; ,lgannlg2,数列lgan不是公差为 2 的等差数列,故 D 错误 故选:ABC 【点

22、评】本题考查命题真假的判断,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能 第 10 页(共 15 页) 力,是基础题 三、填空题: (本大题一共三、填空题: (本大题一共 4 道小题,每题道小题,每题 4 分分,共,共 16 分)分) 14 (4 分)已知命题 p: “xR,exx10” ,命题 p 的否定为 xR,exx10 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以:命题 p: “xR,exx10” 的否定是:xR,exx10 故答案为:xR,exx10 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系,属于基础题, 15 (

23、4 分)在数列an中,a22,a51,数列是等差数列,则 a8 【分析】根据数列是等差数列,结合已知条件,求出其公差 d,进而得到, 求出 an,即可得到 a8 【解答】解:依题意,数列是等差数列,设其公差为 d, 则 3d, 所以 d, 所以+(n2),即 an, 所以 a8, 故答案为: 【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查运算求解能力,是基础题 16 (4 分)已知实数 x0,y0,且 x+3y4 则的最小值为 【分析】由 x+3y4 可知 x+2y+y4,由一正二定三相等配凑乘积为定值,即可得最值 【解答】解:因为实数 x0,y0,且 x+3y4, 所以() (x+y+2y)(3

24、+),当 且仅当 x106,y2(1)时等号成立, 故填: 【点评】本题主要考查基本不等式的应用,属于中档题 17 (4 分)已知函数 f(x)x2,g(x)2xm,mR 若x11,2,x20,2都有 第 11 页(共 15 页) f(x2)g(x1) ,则实数 m 的取值范围是 0,+) 【分析】根据题意可知, “f(x)在0,2上的最大值“大于等于“g(x)在1,2上的 最大值“,可看出 f(x)在0,2上单调递增,g(x)在1,2上单调递增,从而可求 出最值,从而得出关于 m 的不等式,解出 m 的范围即可 【解答】解:x11,2,x20,2都有 f(x2)g(x1) , “f(x)在0

25、,2上的最大值“大于等于“g(x)在1,2上的最大值“, f(x)在0,2上的最大值为 4,g(x)在1,2上的最大值为 4m, 44m,解得 m0, 实数 m 的取值范围是0,+) 故答案为:0,+) 【点评】本题考查了二次函数、指数函数的单调性,考查了推理能力和计算能力,属于 中档题 三、解答题: (本大题一共三、解答题: (本大题一共 6 道题,共道题,共 82 分)分) 18 (12 分)记 Sn为等差数列an的前 n 项和,已知 a120,S348, (1)求an的通项公式; (2)求 Sn,并指出当 Sn的取得最小值时对应的 n 的值 【分析】 (1)设等差数列an的公差为 d,由

26、已知列式求得 d,则通项公式可求; (2)写出等差数列的前 n 项和,再由二次函数求最值 【解答】解: (1)设等差数列an的公差为 d, 由 a120,S348,得,解得 an20+4(n1)4n24; (2)由 a120,d4, 得 其对称轴方程为 n, nN*,当 n5 或 6 时,Sn取得最小值 【点评】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和,训练了利用二次函数求最值,是基 础题 19 (12 分)已知:函数 f(x)lgkx26kx+(k+4), 第 12 页(共 15 页) (1)当 k1 时,求函数 yf(x)的定义域 (2)当函数 yf(x)的定义域为 R 时,求实数 k 的

27、取值范围 【分析】 (1)根据根式成立的条件进行求解即可 (2)根据定义域为 R 转化为不等式恒成立进行求解即可 【解答】解: (1)当 k1 时,f(x)lg(x26x+5) , 由题意得 x26x+50, 即(x1) (x5)0,即 x5 或 x1, 定义域为(,1)(5,+) ; (2)由题意得 kx26kx+k+40 对一切 xR 都成立, 当 k0 时,f(x)2lg2,满足要求; k0 时,36k24k(k+4)0,解得:0k1, 综上得:实数 k 的取值范围是0,1) 【点评】本题主要考查函数定义域的求解和应用,结合条件转化为不等式恒成立是解决 本题的关键 20 (14 分)如图

28、,有一壁画,最高点 A 处离地面 6 米,最低点 B 处离地面 3 米若从离地 高 2 米的 C 处观赏它,视角为 (1)若 tan时,求 C 点到墙壁的距离 (2)当 C 点离墙壁多远时,视角 最大? 【分析】 (1)设 C 点到墙壁的距离 CDx(x0) ,由条件可得 tantan(ACD BCD),再结合 tan,解出 x; (2)根据(1)可得 tan,然后利用基本不等式求出 tan 的最大值,从而确定 C 点距离墙壁的距离多远时,视角最大 【解答】解: (1)设 C 点到墙壁的距离 CDx(x0) , 第 13 页(共 15 页) 由条件知 BD1,AD4,则 tanACD,tanB

29、CD, 所以 tantan(ACDBCD) 因为 tan,所以,所以 x2, 所以当 tan时,C 点到墙壁的距离为 2 米; (2)由(1)知,tan(x0) , 所以 tan, 当且仅当 x,即 x2 时取等号,所以 tanmax, 所以当 C 点离墙壁为 2 米时,视角 最大 【点评】本题考查了解三角形以及利用基本不等式求最值的问题,考查了转化思想和计 算能力,属中档题 21 (14 分)记 Sn为正项等比数列an的前 n 项和,若80 (1)求数列an的公比 q 的值; (2)若 a516,设 S2n为该数列的前 2n 项的和,Tn为为数列an2的前 n 项和,若 S2n tTn,试求

30、实数 t 的值 【分析】 (1)设正项等比数列an的公比为 q,则 q0,80, q1,所以 q2 (2)求出 a11,q2,Tn,由 S2ntTn, 代入即可 【解答】解: (1)设正项等比数列an的公比为 q,则 q0, 80,得, 若 q1,则,1780 不成立,所以 q1, 第 14 页(共 15 页) 由, (q3)27q380, 所以 q38(负已舍) ,所以 q2 (2)a516,a11,q2,所以, , 40+41+4n 1 , 因为 S2ntTn,所以 t 【点评】 (1)利用了等比数列的性质,前 n 项和公式; (2)考察了等比数列通项公式和 等比数列求和,中档题 22 (

31、15 分)记 Sn为等差数列an的前 n 项和,满足 Sn2an+n(nN*) (1)证明数列an1是等比数列,并求出通项公式 an (2)数列nan的前 n 项和 Tn 【分析】 (1)考察等比数列的判断和证明; (2)考察错位相减法与分组求和求和求数列 前 n 项和 【解答】解: (1)由 Sn2an+n,当 n1 时,S12a1+1,得 a11, 当 n2 时,Sn12an1+(n1) , 两式作差可得:an2an2an1+1,即 an2an11,an12(an11) 数列an1是以 a112 为首项,以 2 为公比的等比数列, , (2)根据题意,1+2+n(12+222+n 2n)

32、设,两式作差化简得 , 所以 【点评】 (1)基础题,注意等比数列的构造; (2)这里用了错位相减法与分组求和,中 第 15 页(共 15 页) 档题 23 (15 分)已知函数 f(x)x2+ax+ba(a,bR) (1)设 a4,若不等式 f(x)b23b 对于任意的 x 都成立,求实数 b 的取值范围 (2)设 b3,解关于 x 的不等式组 【分析】 (1)由 a 的值已知,x 为变量,b 为参数,参变分离转化为恒成立问题; (2)由 x 满足方程组可转化为在 x1,f(x)0 恒成立 【解答】解: (1)当 a4,f(x)x24x+b+4,当 f(x)b23b 时,x24x+b+4 b23b,即 x24x+4b24b 恒成立, (x24x+4)minb24b,则 b24b0,所以实数 b 的取值范围为(0,4) ; (2)b3,f(x)x2+ax+3a, 当0 时,a2 或 a6,方程的根, 又因为轴,x1, 所以 a2 时,解集为(1,+) ,a6 时,解集为x|1xx1或 xx2, 当0 时,6a2 时,解集为(1,+) , 综上,当 a6 时,不等式的解集为(1,+) , 当 a6 时,解集为x|1xx1或 xx2 【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法,图象及性质