1、2018-2019 学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位分，请将答案填写在答题卷相应的位 置上）置上） 1 （5 分）命题“x（0，） ，sinx1”的否定是 2 （5 分）已知直线 l 过点 A（1，1） 、B（2，0） ，则直线 l 的斜率为 3 （5 分）一质点的运动方程为 st2+10（位移单位：米，时间单位：秒） ，则该质点在 t 3 秒的瞬时速度为 4 （5 分）课题组进行城市空气质量调查，按地域把 24 个城市分成甲、乙、丙三组
2、，对应 的城市数分别为 4，12，8，若用分层抽样抽取 6 个城市，则丙组中应抽取的城市数 为 5 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y28x 的准线方程为 6 （5 分）执行如图所示的伪代码，若输出的 y 的值为 10，则输入的 x 的值是 7 （5 分）若 aR，则“a3”是“直线 l1：ax+y10 与 l2： （a+1）x+2ay+40 垂直” 的 条件 （注：在“充要” 、 “既不充分也不必要” 、 “充分不必要” 、 “必要不充分” 中选填一个） 8 （5 分）函数 f（x）x33x+2 的单调递减区间为 &nb
3、sp; 9 （5 分）设椭圆的右焦点为 F1，右准线为 l1，若过 F1且垂直于 x 轴的弦长等于点 F1到 l1的距离，则椭圆的离心率是 10 （5 分）有一个质地均匀的正四面体木块 4 个面分别标有数字 1，2，3，4将此木块在 水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于 2 的概率为 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线的一个焦点为（3，0） ，则 双曲线的渐近线方程为 第 2 页（共 16 页） 12 （5 分）已知可导函数 f（x）的定义域为 R，f（1）2，其导函数 f'（x）满足 f'（x） 3x2，则
4、不等式 f（2x）8x3+1 的解集为 13 （5 分）已知圆 C：x2+（y1）26，AB 为圆 C 上的两个动点，且，G 为弦 AB 的中点直线 l：xy20 上有两个动点 PQ，且 PQ2当 AB 在圆 C 上运动时， PGQ 恒为锐角，则线段 PQ 中点 M 的横坐标取值范围为 14 （5 分）函数 f（x）x|exa|在（1，2）上单调递增，则实数 a 的取值范围是 二、解答题： （本大题共二、解答题： （本大题共 6 道题，计道题，计 90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步
5、骤）步骤） 15 （14 分） 已知 m 为实数 命题 p： 方程1 表示双曲线； 命题 q： 对任意 xR， x2+（m2）x+0 恒成立 （1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若命题“p 或 q”为真命题、 “p 且 q”为假命题，求实数 m 的取值范围 16 （14 分）某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭在进行资产清算时发现有 3000 名客户办理的充值会员卡上还有余额为了了解客户充值卡上的余额情况，从中抽取了 300 名客户的充值卡余额进行统计其中余额分组区间为500，600） ，600，700） ，700， 800） ，800，900） ，900，1000
6、，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题： （1）求 a 的值； （2）求余额不低于 900 元的客户大约为多少人？ （3） 根据频率分布直方图， 估计客户人均损失多少？ （用组中值代替各组数据的平均值） 17 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：kxy42k0，kR （1）直线 l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由； （2）已知点 A（2，0） ，B（1，0） ，若直线 l 上存在点 P 满足条件 PA2PB，求实数 k 第 3 页（共 16 页） 的取值范围 18 （16 分）2019 年扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛
7、中建一喷泉，该花坛的 边界是两个半径为 12 米的圆弧围成，两圆心 O1、O2之间的距离为 12 米在花坛中建矩 形喷泉，四个顶点 A，B，C，D 均在圆弧上，O1O2AB 于点 M设AO2M， （1）当 时，求喷泉 ABCD 的面积 S； （2）求 cos 为何值时，可使喷泉 ABCD 的面积 S 最大？ 19 （16 分）已知椭圆 C：1（ab0）的长轴长为 2，离心率为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过动点 M（0，m） （m0）的直线交 x 轴于点 N，交椭圆 C 于点 A，P（P 在第一 象限） ，且 M 是线段 PN 的中点过点 P 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于另一点 Q，延
8、长 QM 交椭圆 C 于点 B 设直线 PM、QM 的斜率分别为 k，k'，证明为定值； 求直线 AB 斜率取最小值时，直线 PA 的方程 20 （16 分）已知函数 f（x），（x）m（x+1）f（x）x（mR） （1）求 f（x）在 x1 处的切线方程； （2）当 m0 时，求 （x）在1，2上的最大值； （3）求证：f（x）的极大值小于 1 第 4 页（共 16 页） 2018-2019 学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本一、填空题（本大题共大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5
9、分，共分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位分，请将答案填写在答题卷相应的位 置上）置上） 1 （5 分）命题“x（0，） ，sinx1”的否定是 x（0，） ，sinx1 【分析】通过全称命题的否定的特称命题，先否定题设，再否定结论 【解答】解“sinx1”的否定是“sinx1” ， “x（0，） ，sinx1”的否定是“x（0，） ，sinx1” 故答案为：x（0，） ，sinx1 【点评】本题考查命题的否定，解题时要注意审题，认真解答注意全称命题与特称命 题的否定关系 2 （5 分）已知直线 l 过点 A（1，1） 、B（2，0） ，则直线 l 的斜率为 1 【分析】根据直线的斜
10、率公式计算斜率的值即可 【解答】解：由题意得： k1， 故答案为：1 【点评】本题考查了求直线斜率问题，考查对应思想，是一道常规题 3 （5 分）一质点的运动方程为 st2+10（位移单位：米，时间单位：秒） ，则该质点在 t 3 秒的瞬时速度为 6m/s 【分析】此类运动问题中瞬时速度问题的研究一般借助函数的导数求其某一时刻的瞬时 速度，解答本题可以先求质点的运动方程为 st2+10 的导数，再求得 t3 秒时的导数， 即可得到所求的瞬时速度 【解答】解：质点的运动方程为 st2+10 s2t 该质点在 t3 秒的瞬时速度为 236 故答案为 6m/s 【点评】本题考查变化的快慢与变化率，正
11、确解答本题关键是理解导数的物理意义，即 第 5 页（共 16 页） 了解函数的导数与瞬时速度的关系本题是导数在物理的应用，是近几年高考的热点， 利用数学知识解决物理问题，在高考试卷中的份量在逐年加重，对此类题解题规律应好 好把握 4 （5 分）课题组进行城市空气质量调查，按地域把 24 个城市分成甲、乙、丙三组，对应 的城市数分别为 4， 12， 8， 若用分层抽样抽取 6 个城市， 则丙组中应抽取的城市数为 2 【分析】根据本市的甲、乙、丙三组的数目，做出全市共有组的数目，因为要抽取 6 个 城市作为样本，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以丙组的数目，得到结果 【解答】解：某城
12、市有甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为 4，12，8 本市共有城市数 24， 用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 6 的样本 每个个体被抽到的概率是 ， 丙组中对应的城市数 8， 则丙组中应抽取的城市数为82， 故答案为 2 【点评】本题考查分层抽样，是一个基础题，解题的关键是理解在抽样过程中每个个体 被抽到的概率相等，做出一种情况的概率，问题可以解决 5 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y28x 的准线方程为 x2 【分析】直接利用抛物线的标准方程，求解抛物线的焦点坐标 【解答】解：抛物线 y28x 的开口向右，P4，所以抛物线的准线方程：x2 故答案为：x2 【点评】本题考
13、查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查 6 （5 分）执行如图所示的伪代码，若输出的 y 的值为 10，则输入的 x 的值是 3 【分析】分析出算法的功能是求分段函数的值，根据输出的值为 10，分别求出当 x3 时和当 x3 时的 x 值即可 第 6 页（共 16 页） 【解答】解：由程序语句知：算法的功能是求 y的值， 当 x3 时，yx2+110，解得 x3， （或3，不合题意舍去） ； 当 x3 时，y2x10，解得 x5，舍去； 综上，x 的值为 3 故答案为：3 【点评】本题考查了选择结构的程序语句应用问题，根据语句判断算法的功能是解题的 关键，属于基础题 7 （5 分）若 aR
14、，则“a3”是“直线 l1：ax+y10 与 l2： （a+1）x+2ay+40 垂直” 的 充分不必要 条件 （注：在“充要” 、 “既不充分也不必要” 、 “充分不必要” 、 “必要 不充分”中选填一个） 【分析】由两直线垂直的充要条件，有 a（a+1）+1（2a）0，即 a0 或 a3，再 判断： “a3”与“a0 或 a3”的充分必要性即可 【解答】 解： “直线 l1： ax+y10 与 l2： （a+1） x+2ay+40 垂直” 的充要条件为： a （a+1） +1（2a）0，即 a0 或 a3， 又易知： “a3”是“a0 或 a3”的充分不必要条件， 即“a3”是“直线 l1
15、：ax+y10 与 l2： （a+1）x+2ay+40 垂直”的充分不必要条 件， 故答案为：充分不必要 【点评】本题考查了两直线垂直的充要条件，属简单题 8 （5 分）函数 f（x）x33x+2 的单调递减区间为 （1，1） 【分析】由 f（x）x33x+2，知 f'（x）3x23，由此能求出 f（x）x33x+2 的单 调递减区间 【解答】解： （1）f（x）x33x+2， f'（x）3x23， 由 f'（x）0 得，1x1， f（x）x33x+2 的单调递减区间为： （1，1） ； 故答案为： （1，1） 【点评】本题考查函数的单调性的求法，解题时要认真审题，仔细
16、解答 第 7 页（共 16 页） 9 （5 分）设椭圆的右焦点为 F1，右准线为 l1，若过 F1且垂直于 x 轴的弦长等于点 F1到 l1的距离，则椭圆的离心率是 【分析】先求出过 F1且垂直于 x 轴的弦长和点 F1到 l1的距离，由条件：F1且垂直于 x 轴的弦长等于点 F1到 l1的距离，建立方程， 再利用 a、b、c 的关系求出 的值 【解答】解：过 F1且垂直于 x 轴的弦长等于 ，点 F1到 l1的距离为 c，由条 件知， c，即 ， 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质，通过解方程求出离心率值 10 （5 分）有一个质地均匀的正四面体木块 4 个面分别标有数字 1，2，3
17、，4将此木块在 水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于 2 的概率为 【分析】 基本事件总数 n4416， 两次看不到的数字都大于 2 包含的基本事件个数 m 224，由此能两次看不到的数字都大于 2 的概率 【解答】解：有一个质地均匀的正四面体木块 4 个面分别标有数字 1，2，3，4 将此木块在水平桌面上抛两次， 基本事件总数 n4416， 两次看不到的数字都大于 2 包含的基本事件个数 m224， 则两次看不到的数字都大于 2 的概率为 p 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 11 （5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知
18、双曲线的一个焦点为（3，0） ，则 双曲线的渐近线方程为 yx 第 8 页（共 16 页） 【分析】利用双曲线的一个焦点为（3，0） ，即可求出 m 的值，然后求解渐 近线方程 【解答】解：双曲线的一个焦点为（3，0） ，m+m+19， m4，双曲线方程化为：，可得渐近线方程：yx 故答案为：yx 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，是基本知识的考查 12 （5 分）已知可导函数 f（x）的定义域为 R，f（1）2，其导函数 f'（x）满足 f'（x） 3x2，则不等式 f（2x）8x3+1 的解集为 （，） 【分析】先构造函数 F（x）f（x）x31，根据条
19、件求出函数 F（x）的单调性，结合 不等式 f（x）x3+1，变形得到 F（x）F（1） ，根据单调性解之即可 【解答】解：不等式 f（2x）8x3+1，令 t2x，可得 f（t）t3+1， 令 F（x）f（x）x31， F'（x）f'（x）3x20， 函数 F（x）在 R 上单调递增函数， f（x）x3+1， f（x）x31f（1） ，F（）f（2）8（）310， f（2x）8x310， 即 F（x）F（） ， 根据函数 F（x）在 R 上单调递增函数可知 x 故答案为： （，） 【点评】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，解决本题的关键是构造法的运用， 属于基础题 13
20、 （5 分）已知圆 C：x2+（y1）26，AB 为圆 C 上的两个动点，且，G 为弦 AB 的中点直线 l：xy20 上有两个动点 PQ，且 PQ2当 AB 在圆 C 上运动时， PGQ 恒为锐角，则线段 PQ 中点 M 的横坐标取值范围为 （，0）（3，+） 第 9 页（共 16 页） 【分析】由已知可得，G 在以 C 为圆心，以 2 为半径的圆上，把当 AB 在圆 C 上运动时， PGQ 恒为锐角转化为以 C 为圆心，以 2 为半径的圆与以 M 为圆心，以 1 为半径的圆 外离求解 【解答】解：圆 C：x2+（y1）26 的半径为，G 为弦 AB 的中点， CG2，设 PQ
21、中点为 M（a，a2） ， PQ2，且当 AB 在圆 C 上运动时，PGQ 恒为锐角， 则以 C 为圆心，以 2 为半径的圆与以 M 为圆心，以 1 为半径的圆外离， 则，即 a23a0，解得 a0 或 a3 线段 PQ 中点 M 的横坐标取值范围为（，0）（3，+） 故答案为： （，0）（3，+） 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，属中档题 14 （5 分）函数 f（x）x|exa|在（1，2）上单调递增，则实数 a 的取值范围是 （， e3e2，+） 【分析】分段去绝对值，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于 a 的不等式组， 求解后再取并集得答案 【解答】
22、解：f（x）x|exa| 当 exa 时，f（x）x（exa） ，f（x）exa+xex， 要使 f（x）在（1，2）上单调递增，则在（1，2）上恒成立， 即 ae； 当 exa 时，f（x）x（aex） ，f（x）aexxex， 要使 f（x）在（1，2）上单调递增，则在（1，2）上恒成立， 即 a3e2 综上，实数 a 的取值范围是（，e3e2，+） 故答案为： （，e3e2，+） 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题 二、解答题： （本大题共二、解答题： （本大题共 6 道题，计道题，计 90 分解答应写出分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算必要
23、的文字说明、证明过程或演算 第 10 页（共 16 页） 步骤）步骤） 15 （14 分） 已知 m 为实数 命题 p： 方程1 表示双曲线； 命题 q： 对任意 xR， x2+（m2）x+0 恒成立 （1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若命题“p 或 q”为真命题、 “p 且 q”为假命题，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）由 p 真可得（3m1） （m3）0，解不等式即可得到所求范围； （2）由 q 真可得判别式小于 0，解得 m 的范围，再由题意可得 p，q 中一真一假，解不 等式组，即可得到所求范围 【解答】解： （1）p 真，即方程1 表示双曲线， 即有
24、（3m1） （m3）0，可得m3； （2）q 真，对任意 xR，x2+（m2）x+0 恒成立， 可得（m2）240， 解得1m5， 命题“p 或 q”为真命题、 “p 且 q”为假命题， 可得 p，q 中一真一假， 若 p 真 q 假，可得，即为 m； 若 p 假 q 真，可得，即为1m或 3m5 综上可得 m 的范围是（1，3，5） 【点评】本题考查双曲线方程和不等式恒成立问题的解法，考查复合命题的真假，以及 运算能力，属于基础题 16 （14 分）某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭在进行资产清算时发现有 3000 名客户办理的充值会员卡上还有余额为了了解客户充值卡上的余额情况，从中抽
25、取了 300 名客户的充值卡余额进行统计其中余额分组区间为500，600） ，600，700） ，700， 800） ，800，900） ，900，1000，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题： 第 11 页（共 16 页） （1）求 a 的值； （2）求余额不低于 900 元的客户大约为多少人？ （3） 根据频率分布直方图， 估计客户人均损失多少？ （用组中值代替各组数据的平均值） 【分析】 （1）由频率分布直方图中小矩形的面积之和为 1，能求出 a （2）余额在900，1000之间的频率为 0.1，由此能估计余额不低于 900 元的客户数量 （3）利用频率分布直方图能求
26、出客户人均损失的估计值 【解答】解： （1）由频率分布直方图得： 100（0.0005+0.002+a+0.004+0.001）1， 解得 a0.0025 （2）余额在900，1000之间的频率为 0.1， 故可估计余额不低于 900 元的客户大约为 30000.1300（人） （3）客户人均损失的估计值为： 5500.05+6500.2+7500.4+8500.25+9500.1765（元） 【点评】本题考查频率、频数、平均数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查 运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题 17 （14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：kxy42
27、k0，kR （1）直线 l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由； （2）已知点 A（2，0） ，B（1，0） ，若直线 l 上存在点 P 满足条件 PA2PB，求实数 k 的取值范围 【分析】 （1）先在直线方程中分离参数，令参数的系数等于零，求得 x、y 的值，可得直 线 l 过定点的坐标 （2）直线 l 上存在点 P（x，y） ，求得（x2）2+y24，故点 P 在以（2，0）为圆心，2 为半径的圆上根据题意，该圆和直线 l 有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径， 第 12 页（共 16 页） 由此求得实数 k 的取值范围 【解答】解： （1）直线 l：kxy
28、42k0，kR，即 k（x2）y40， 令 x20，求得 x2，y4，可得直线 l 过定点（2，4） （2）已知点 A（2，0） ，B（1，0） ，若直线 l 上存在点 P（x，y） ， 满足条件 PA2PB，则 PA24PB2，则（x+2）2+y24（x1）2+y2， 化简可得（x2）2+y24，故点 P 在以（2，0）为圆心，2 为半径的圆上 故该圆和直线 l 有交点，即2，求得 k，或 k 即实数 k 的取值范围为（，+） 【点评】本题主要考查直线经过定点问题，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式 的应用，属于中档题 18 （16 分）2019 年扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形
29、花坛中建一喷泉，该花坛的 边界是两个半径为 12 米的圆弧围成，两圆心 O1、O2之间的距离为 12 米在花坛中建矩 形喷泉，四个顶点 A，B，C，D 均在圆弧上，O1O2AB 于点 M设AO2M， （1）当 时，求喷泉 ABCD 的面积 S； （2）求 cos 为何值时，可使喷泉 ABCD 的面积 S 最大？ 【分析】 （1）求出 AD12+12，AB2AM12，即可求出喷泉 ABCD 的面积 S （2）问要构造矩形的面积关于角 的函数，需要利用三角函数把矩形的长和宽用角 表示出来，进而利用矩形的面积公式表示面积，然后利用导数求函数的最值，在求解时 要注意角 的取值范围； 【解答】解： （1
30、）在直角AO2M 中，AM12sin6，O2M12cos6， 则 AD12+12，AB2AM12， SABAD12（12+12）288+144（平方米） （2）在直角AO2M 中，AM12sin，O2M12cos，则 AD24cos+12， 第 13 页（共 16 页） 所以矩形 ABCD 的面积 S24sin（20cos+12）288（2sincos+sin） ， 令 f（）2sincos+sin，0， 则 f'（）2cos2+cos4cos2+cos2，0， 令 f'（）0，得 cos设 cos0，且 0，列表如下： （0，0） 0 （0，） f'（） + 0 f（
31、） 极大值 所以当 0，f（）最大，即 S 最大，此时 cos0， 故 cos0，喷泉 ABCD 的面积最大 【点评】本题是一个应用题，关键是根据题意建立函数模型，在求最值时要特别注意变 量角 的取值范围 19 （16 分）已知椭圆 C：1（ab0）的长轴长为 2，离心率为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）过动点 M（0，m） （m0）的直线交 x 轴于点 N，交椭圆 C 于点 A，P（P 在第一 象限） ，且 M 是线段 PN 的中点过点 P 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于另一点 Q，延长 QM 交椭圆 C 于点 B 设直线 PM、QM 的斜率分别为 k，k'，证明为定值； 求直线
32、 AB 斜率取最小值时，直线 PA 的方程 【分析】 （1）结合题意分别求出 a，c 的值，再求出 b 的值，求出椭圆方程即可； （2）设出 P 的坐标，表示出直线 PM，QM 的斜率，作比即可； 第 14 页（共 16 页） 设出 A，B 的坐标，分别求出 PA，QB 的方程，联立方程组，求出直线 AB 的斜率的解 析式，根据不等式的性质计算即可 k 的最小值，再求出 m 的值即可 【解答】解： （1）由题意知 2a2，即 a， ， c1， b2a2c21， 椭圆 C 的方程为+y21 （2）证明：设 P（x0，y0） （x00，y00） ， 由 M（0，m） ，可得 P（x0，2m） ，Q
33、（x0，2m） 直线 PM 的斜率 k，直线 QM 的斜率 k， 此时 为定值 设 A （x1， y1） ， B （x2， y2） 直线 PA 的方程为 ykx+m， 直线 QB 的方程为 y3kx+m 联立，整理得（2k2+1）x2+4mkx+2m220 由16k2m28（m21） （2k2+1）0， x1x0，可得 x1， y1kx1+mk+m 同理 x2，y23kx2+m3k+m， x1x2，y1y23k+k 24（m21） 8k（m21）， 第 15 页（共 16 页） kAB（6k+） ， 由 m0，x00，可知 k0， 6k+2，等号当且 k仅当时取等号， 由 P（x0
34、，2m） ，m0，x00 在椭圆上可得 x0， k， 此时，即 m， 由0，得 m22k2+1， k，m符合题意， 故直线 AB 的斜率的最小值时，直线 PA 的方程为 yx+ 【点评】本题考查了椭圆的方程问题，考查直线的斜率以及椭圆的性质，考查函数求最 值问题，考查了运算求解能力转化与划归能力，属于难题 20 （16 分）已知函数 f（x），（x）m（x+1）f（x）x（mR） （1）求 f（x）在 x1 处的切线方程； （2）当 m0 时，求 （x）在1，2上的最大值； （3）求证：f（x）的极大值小于 1 【分析】 （1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求出； （2）求出 （x）
35、的解析式，通过讨论 m 的范围，求出 （x）的单调性，即可最大值； （3）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值，判断即可 【解答】解： （1）f（x）， f（1）， f（1）0， f（x）在 x1 处的切线方程 y0（x1） ，即 x2y10， （2）（x）m（x+1）f（x）xmlnxx，m0， 第 16 页（共 16 页） （x）1， 令 （x）0，解得 xm， 当 0xm，（x）0，函数 （x）单调递增， 当 xm，（x）0，函数 （x）单调递减， 故当 0m1，函数 （x）在1，2上单调递减，故 （x）max（1）1， 当 1m2 时，函数 （x）在1，m上单调递
36、增，在（m，2上单调递减，（x）max （m）mlnmm， 当 m2，函数 （x）在1，2上单调递增，故 （x）max（2）mln22， 证明： （3）f（x）， 令 g（x）1+lnx， g（x）0， 函数 g（x）在（0，+）上单调递减， g（1）20，g（e2）10， 存在唯一的 x0（1，e2） ，使得 g（x0）0，即 1+lnx00，即 lnx01+ 当 x（0，x0）时，f（x）0，函数 f（x）单调递增， 当 x（x0，+）时，f（x）0，函数 f（x）单调递减， 函数有极大值，f（x）极大值f（x0）， x0（1，e2） ， 1， f（x0）1， 即 f（x）的极大值小于 1 【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题