1、2019-2020 学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中、实验中学、南师附中五校高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求）一项符合题目要求） 1 （5 分）直线 y1 的倾斜角和斜率分别是（ ） A B0，0 C900，不存在 D不存在，不存在 2 （5 分）与椭圆的焦点坐标相同的是（ ） Ax215y215 B C D 3 （5 分）抛物线 y8x2的焦点坐标是（ ） A （0，2） B （2，0） C （0，）
2、 D （，0） 4 （5 分） 已知直线 mx+3y+m30 与直线 x+ （m+2） y+20 平行， 则实数 m 的值为 （ ） A3 B1 C3 或 1 D1 或 3 5 （5 分）已知方程表示双曲线，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm2 Cm1 或 m2 D1m2 6 （5 分）已知双曲线，四点 P1（4，2） ，P2（2，0） ，P3（4， 3） ，P4（4，3）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 7 （5 分）已知变量 x，y 满足则的取值范围是（ ） A B C D 8 （5 分）椭圆 ax2+by21 与直线 y12x 交于 A、
3、B 两点，过原点与线段 AB 中点的直线 第 2 页（共 21 页） 的斜率为，则的值为（ ） A B C D 9 （5 分）已知圆 A： （x+2）2+y2r2和点 B（2，0） ，P 是圆 A 上任意一点，线段 BP 的垂 直平分线交 AP 于点 M，r4，则点 M 的轨迹为（ ） A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 10 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若3，则|QF|（ ） A8 B4 C6 D3 11 （5 分）已知圆 C1： （x2）2+（y3）21，圆 C2： （x3）2+（y4）29，M，N
4、分 别是圆 C1，C2上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ） A1 B54 C62 D 12 （5 分）已知 F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，以原点为圆心，|OF1| 为半径的圆与双曲线左支的一个交点为 P，若 PF1与双曲线右支有交点，则双曲线的离 心率的取值范围为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题个小题.每小题每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知 x，y 满足约束条件，则 zx2y 的最小值为 14 （5 分）将参数方程（t 为参数） ，转化成普通方程为 &
5、nbsp; 15（5 分） 已知 F 是抛物线 y28x 的焦点， 点 A， 抛物线上有某点 P， 使得|PA|+|PF| 取得最小值，则点 P 的坐标为 16 （5 分）下列说法中所有正确的序号是 两直线的倾斜角相等，则斜率必相等； 若动点 M 到定点（1，2）和定直线 3x+2y70 的距离相等，则动点 M 的轨迹是抛 物线； 已知 F1，F2是椭圆 4x2+2y21 的两个焦点，过点 F1的直线与椭圆交于 A，B 两点， 第 3 页（共 21 页） 则ABF2的周长为； 曲线的参数方程为，则它表示双曲线且渐近线方程为； 已知正方形 AB
6、CD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为； 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程 或演算步骤）或演算步骤） 17 （10 分）平面直角坐标系中，已知ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，2） ，B（3， 4） ，C（0，6） （1）求 BC 边上的高所在的直线方程； （2）求ABC 的面积 18 （12 分） （1）求经过点，且焦点在坐标轴上的双曲 线的标准方程； （2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程 19 （12 分）在直角坐标系
7、 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，直线 l 的参数方程为（t 为参数） （1）求曲线 C 和直线 l 的普通方程； （2）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大距离 20 （12 分） （1）已知圆 C1过点 A（2，3） ，且与直线 4x3y+180 相切于点 B（3，2） ， 求圆 C1的方程； （2）已知圆 C2与 y 轴相切，圆心在直线 x2y0 上，且圆 C2被直线 yx 截得的弦长 为，求圆 C2的方程 21 （12 分）已知 E（2，2）是抛物线 C：y22px 上一点，经过点（2，0）的直线 l 与抛物 线 C 交于 A，B 两点（不同于点 E） ，直线
8、EA，EB 分别交直线2 于点 M，N （1）求抛物线方程及其焦点坐标； （2）已知 O 为原点，求证：以 MN 为直径的圆恰好经过原点 22 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，动圆 P 与圆 M： （x+1）2+y21 外切，与圆 N： （x 1）2+y29 内切 （1）求动圆圆心 P 的轨迹方程； （2）直线 l 过点 E（1，0）且与动圆圆心 P 的轨迹交于 A，B 两点是否存在AOB 第 4 页（共 21 页） 面积的最大值，若存在，求出AOB 的面积；若不存在，说明理由 第 5 页（共 21 页） 2019-2020 学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中、实学年江西省南
9、昌市八一中学、洪都中学、十七中、实 验中学、南师附中五校高二（上）期中数学试卷（理科）验中学、南师附中五校高二（上）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求）一项符合题目要求） 1 （5 分）直线 y1 的倾斜角和斜率分别是（ ） A B0，0 C900，不存在 D不存在，不存在 【分析】 由定义知平行于 x 轴的直线的倾斜角为 0， 再由斜率等于倾斜角的正切值可得直 线的斜率 【解
10、答】解：直线 y1 是平行于 x 轴的直线，则其倾斜角为 0， 斜率 ktan00 故选：B 【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率，是基础题 2 （5 分）与椭圆的焦点坐标相同的是（ ） Ax215y215 B C D 【分析】运用椭圆和双曲线的标准方程，求得焦点坐标，即可得到所求结论 【解答】解：椭圆的焦点坐标为（，0） ，即（4，0） ， x215y215，即y21 的焦点坐标为（，0） ，即（4，0） ； 1 的焦点坐标为（，0） ，即（，0） ； 第 6 页（共 21 页） +1 的焦点坐标为（，0） ，即（2，0） ； +1 的焦点坐标为（0，） ，即（0，4） ， 可得与
11、椭圆的焦点坐标相同的是 A 故选：A 【点评】本题考查椭圆和双曲线的性质，主要是焦点坐标，考查方程思想和运算能力， 属于基础题 3 （5 分）抛物线 y8x2的焦点坐标是（ ） A （0，2） B （2，0） C （0，） D （，0） 【分析】化简抛物线方程，然后求解焦点坐标 【解答】解：抛物线 y8x2的标准方程为：x2y，所以抛物线的焦点坐标（0， ） 故选：C 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查 4 （5 分） 已知直线 mx+3y+m30 与直线 x+ （m+2） y+20 平行， 则实数 m 的值为 （ ） A3 B1 C3 或 1 D1 或 3
12、【分析】根据直线平行的等价条件，建立方程关系进行求解即可 【解答】解：当 m+20 时，m2 时，两直线方程分别为：2x+3y50，和 x+2 0，此时两直线相交，不满足平行， 当 m2 时，若两直线平行， 则满足， 由得 m（m+2）3， 得 m2+2m30， 得（m1） （m+3）0， 得 m1 或 m3， 第 7 页（共 21 页） 由得 2mm3，得 m3， 综上 m1 满足条件， 故选：B 【点评】本题主要考查直线平行关系的应用，结合直线平行的等价条件建立方程是解决 本题的关键难度不大 5 （5 分）已知方程表示双曲线，则 m 的取值范围是（ ） Am1 Bm2 Cm1 或 m2 D
13、1m2 【分析】由方程表示双曲线，知（m2） （m+1）0，由此能求出 m 的取 值范围 【解答】解：方程， （m2） （m+1）0， 解得1m2， m 的取值范围是（1，2） 故选：D 【点评】本题考查实数 m 的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲 线的简单性质的灵活运用，是基本知识的考查 6 （5 分）已知双曲线，四点 P1（4，2） ，P2（2，0） ，P3（4， 3） ，P4（4，3）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 【分析】先判断 P3（4，3） ，P4（4，3）中在双曲线上，则 P1（4，2）一定不在双曲 线上，则 P2（2，0）在
14、双曲线上，则可得 a2，1，求出 b 和 c，再根据离 心率公式计算即可 【解答】解：根据双曲线的性质可得 P3（4，3） ，P4（4，3）中在双曲线上， 则 P1（4，2）一定不在双曲线上，则 P2（2，0）在双曲线上， 第 8 页（共 21 页） a2，1， 解得 b23， c2a2+b27， c， e， 故选：C 【点评】本题考查了双曲线的简单性质和离心率，属于基础题 7 （5 分）已知变量 x，y 满足则的取值范围是（ ） A B C D 【分析】先画出变量 x，y 满足的可行域，然后分析的几何意义，结 合图象，用数形结合的思想，即可求解 【解答】解：变量 x，y 满足表示的区域如图，
15、 1+的几何意义是可行域内的点与点（2，2）构成的直线的斜率问题 当取得点 A（0，1）时， s， 当取得点 B（1，0）时， s， 则的取值范围是， 故选：B 第 9 页（共 21 页） 【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确 地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出 满足条件的点的坐标，即可求出答案 8 （5 分）椭圆 ax2+by21 与直线 y12x 交于 A、B 两点，过原点与线段 AB 中点的直线 的斜率为，则的值为（ ） A B C D 【分析】 设出 A， B 两点的坐标， 把直线方程和椭圆方程联立后利用
16、根与系数关系得到 A， B 两点的横纵坐标的和，则 A，B 中点坐标可求，由斜率公式列式可得的值 【解答】解：设点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 把 y12x 代入椭圆 ax2+by21 得： （a+4b）x24bx+b10， （4b）24（a+4b） （b1）4a+16b4ab x1+x2，x1x2， 1（x1+x2）1 设 M 是线段 AB 的中点，M（，） 直线 OM 的斜率为： 则2代入满足0（a0，b0） 第 10 页（共 21 页） 故选：C 【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了一元二次方程的根与系数关系，训 练了斜率公式的应用，是中档题 9 （5 分）已知圆
17、 A： （x+2）2+y2r2和点 B（2，0） ，P 是圆 A 上任意一点，线段 BP 的垂 直平分线交 AP 于点 M，r4，则点 M 的轨迹为（ ） A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 【分析】 根据线段中垂线的性质可得， |MB|MP|， 又|MP|+|MA|r， 故有|MA|+|MB|BA|， 根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，得到结果 【解答】解：由圆的方程可知，圆心 A（2，0） ，半径等于 r，r4，设点 M 的坐标为 （x，y ） ， BP 的垂直平分线交 AP 于点 M， |MB|MP| 又|MP|+|MA|r，|MA|+|MB|BA|依据椭圆的定义可得， 点 M 的轨迹是以 B、
18、A 为焦点的椭圆 故选：A 【点评】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，得出|MA|+|MB|BA|，是解题的关键 和难点 10 （5 分）已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若3，则|QF|（ ） A8 B4 C6 D3 【分析】由题意求得直线 PF 的方程，与 y24x 联立可得 x2，利用抛物线的定义可得 |QF|的值 【解答】解：设 Q 到 l 的距离为 d，则由抛物线的定义可得|QF|d， 3， 第 11 页（共 21 页） |QP|3d， 直线 PF 的斜率为， F（1，0） ，准线 l：x1， 直线 PF
19、的方程为 y（x1） ， 与 y24x 联立可得 x（舍）或 x2， |QF|2+13 故选：D 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和简单性质，同时考查直线与抛物线的位置关系 和向量共线的性质，属于中档题 11 （5 分）已知圆 C1： （x2）2+（y3）21，圆 C2： （x3）2+（y4）29，M，N 分 别是圆 C1，C2上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ） A1 B54 C62 D 【分析】求出圆 C1关于 x 轴的对称圆的圆心坐标 A，以及半径，然后求解圆 A 与圆 C2 的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值 【解答】解：
20、如图圆 C1关于 x 轴的对称圆的圆心坐标 A（2，3） ，半径为 1， 圆 C2的圆心坐标（3，4） ，半径为 3， 由图象可知当 P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值， |PM|+|PN|的最小值为圆 C3与圆 C2的圆心距减去两个圆的半径和， 即：|AC2|314454 故选：B 第 12 页（共 21 页） 【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用， 考查转化思想与计算能力 12 （5 分）已知 F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，以原点为圆心，|OF1| 为半径的圆与双曲线左支的一个交点为 P，若 PF1与双曲线右支
21、有交点，则双曲线的离 心率的取值范围为（ ） A B C D 【分析】设双曲线的方程为1（a0，b0） ，F1（c，0） ，直线 PF 的方程 为 yk（x+c） ，由直线和圆相交，可得 k 不为 0，求得圆和双曲线的交点 P，运用两点的 斜率公式，由题意可得 k，解不等式可得 b2a，结合离心率公式计算即可得到所求 范围 【解答】解：设双曲线的方程为1（a0，b0） ，F1（c，0） ， 设直线 PF1的方程为 yk（x+c） ，即 kxy+kc0， 由直线和圆有交点，可得c，即 kR， 联立直线 kxy+kc0 和圆 x2+y2c2与双曲线方程1， 可设交点 P 在第二象限，则 P（，）
22、第 13 页（共 21 页） 可得此时 k0， 由题意可得 k， 结合 a2+b2c2，ac2ab， 化简可得 b2a，即有 b24a2， 可得 c25a2， 即有 e 故选：A 【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用直线和圆相交的条件：dr，考查 联立圆方程和双曲线的方程求得交点， 运用直线 PF 的斜率小于渐近线的斜率是解题的关 键，综合性较强，有一定的难度 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题个小题.每小题每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知 x，y 满足约束条件，则 zx2y 的最小值为 2 【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直
23、线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】解：画出 x，y 满足约束条件，表示的可行域，由图可知， 当直线 yx，过 A 点（0，1）时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值为 02 12 故答案为：2 第 14 页（共 21 页） 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 14 （5 分）将参数方程（t 为参数） ，转化成普通方程为 【分析】直接利用转换关系求出结果，进一步求出函数的定义域 【解答】解：参数方程（t 为参数） ，整理得， 即 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标
24、方程和直角坐标方程之间的转换，定义 域的确定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 15（5 分） 已知 F 是抛物线 y28x 的焦点， 点 A， 抛物线上有某点 P， 使得|PA|+|PF| 取得最小值，则点 P 的坐标为 【分析】 求出准线方程， 把|PA|+|PF|转化为|PA|+d， 利用当 PAl 时， |PA|+|PF|最小， 2， 代入 y28x，得 x，就能得出答案 【解答】解：抛物线 y28x 的准线为 x2， 设抛物线上点 P 到准线 l：x2 的距离为 d， 则|PA|+|PF|PA|+d， 当 PAl 时， （|PA|+d）最小2（2）4， 此时
25、P 点纵坐标为 2，代入 y28x，得 x 第 15 页（共 21 页） 故答案为： （，2） 【点评】本题考查抛物线的定义，以及最值的分析，属于基础题 16 （5 分）下列说法中所有正确的序号是 两直线的倾斜角相等，则斜率必相等； 若动点 M 到定点（1，2）和定直线 3x+2y70 的距离相等，则动点 M 的轨迹是抛 物线； 已知 F1，F2是椭圆 4x2+2y21 的两个焦点，过点 F1的直线与椭圆交于 A，B 两点， 则ABF2的周长为； 曲线的参数方程为，则它表示双曲线且渐近线方程为； 已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为； 【分
26、析】根据倾斜角和斜率的关系进行判断， 根据抛物线的定义进行判断， 根据椭圆的定义进行判断， 消去参数，结合双曲线的渐近线方程进行求解， 结合椭圆的定义以及离心率的定义进行求解判断 【解答】解：当直线的倾斜角为 90时，直线斜率不存在，此时斜率相等不成立，故 错误， 定点（1，2）在定直线 3x+2y70 上，动点 M 的轨迹不是抛物线，故错误， 第 16 页（共 21 页） 椭圆的标准方程为+1，则椭圆的焦点在 y 轴，其中 a2，则 a， 过点 F1的直线与椭圆交于 A，B 两点，则ABF2的周长为 4a4；故正 确， 曲线的参数方程为，则， 代入 1+tan2t得 1+， 即1
27、，对应的轨迹为双曲线，由0 得 yx，即双曲线的渐近线 方程为 yx，故正确， 设正方形的边长为 2，则 AB2c2，则 c1，对角线 BD2， 则由椭圆的定义得 AD+BD2a，即 2+22a，则 a+1，则椭圆的离心率 e 1，故正确， 故答案为： 【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及解析几何中的直线，椭圆，双曲线以及抛 物线的定义和性质，综合性较强，难度不大 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答题应根据要求写出必要的文字说明解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程，证明过程 或演算步骤）或演算步骤） 17 （10 分）平面直角坐标系中，
28、已知ABC 三个顶点的坐标分别为 A（1，2） ，B（3， 4） ，C（0，6） （1）求 BC 边上的高所在的直线方程； （2）求ABC 的面积 【分析】 （1）直线 BC 的斜率，可得 BC 边上高所在直线斜率， 利用点斜式即可得出 BC 边上的高所在的直线方程 第 17 页（共 21 页） （2）BC 的方程为，2x3y+180利用点到直线的距离公式可得：点 A 到直 线 BC 的距离 d，利用两点之间的距离公式即可得出|BC|，即可得出ABC 的面积 【解答】解： （1）直线 BC 的斜率，则 BC 边上高所在直线斜率， 则 BC 边上的高所在的直线方程为，即 3x+2y1
29、0 （2）BC 的方程为，2x3y+180 点A到直线BC的距离， ， 则ABC 的面积 【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、点到直线的距离公式、 两点之间的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 18 （12 分） （1）求经过点，且焦点在坐标轴上的双曲 线的标准方程； （2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程 【分析】 （1）设双曲线的方程为 Ax2By21（AB0） ，将 P，Q 的坐标代入，解方程可 得 A，B，即可得到所求双曲线的方程； （2）求得已知双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程为，可得 a2+b23，再将点
30、代入所求双曲线方程，可得 a，b，即可得到所求双曲线方 程 【解答】解： （1）依题意，设双曲线的方程为 Ax2By21（AB0） ， 双曲线过点， 可得解得， 故双曲线的标准方程为 （2）双曲线双曲线的焦点为， 第 18 页（共 21 页） 设双曲线的方程为，可得 a2+b23， 将点代入上式双曲线方程可得， 解得 a1， 即有所求双曲线的方程为： 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查待定系数法和方程思想，化简运算能力， 属于基础题 19 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，直线 l 的参数方程为（t 为参数） （1）求曲线 C 和直线 l 的普通
31、方程； （2）求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大距离 【分析】 （1）由 x8+4t 和 y1t 消去 t 即可得出直线 l 的普通方程为 x+4y120， 根据 cos2+sin21 消去 即可得出曲线 C 的普通方程； （2）可设曲线 C 上的点的坐标为（3cos，sin） ，根据点到直线的距离即可得出： ，从而可得出 d 的最大值 【解答】解： （1）直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 由 y1t 得，t1y，带入 x8+4t 得，x8+44y， 整理得，直线 l 的普通方程为：x+4y120； 由得，根据 cos2+sin21 得，曲线 C 的普通方程为： ； （ 2 ）
32、 依 题 意 可 得 ： 点 （ 3cos ， sin ） 到 直 线x+4y 12 0的 距 离 ，其中， 当 sin（+）1 时，椭圆 C 上的点到 l 的距离的最大值为 【点评】本题考查了把参数方程转化为普通方程的方法，点到直线的距离公式，两角和 的正弦公式，考查了计算能力，属于基础题 第 19 页（共 21 页） 20 （12 分） （1）已知圆 C1过点 A（2，3） ，且与直线 4x3y+180 相切于点 B（3，2） ， 求圆 C1的方程； （2）已知圆 C2与 y 轴相切，圆心在直线 x2y0 上，且圆 C2被直线 yx 截得的弦长 为，求圆 C2的方程 【分析】 （1）先根据
33、直线和圆相切的性质、圆心在弦的中垂线上，联立方程组求出圆心 坐标，可得半径，从而求出圆的标准方程 （2）设圆心 C2（2y0，y0） ，半径 r|2y0|，由半径、弦心距、半径的关系求出 y0的值， 可得圆 C2的方程 【解答】解： （1）由题意知圆心必在过切点 B（3，2）且垂直切线 4x3y+180 的直 线上， 可求得此直线为 3x+4y+10， 又圆心必在 AB 垂直平分线 yx 上， 联立，可求得圆心（1，1） ，则， 故圆 C1的方程为（x1）2+（y+1）225 （2）设圆心 C2（2y0，y0） ，半径 r|2y0|， 圆心到直线 xy0 的距离为， 由半径、弦心距、半径的关系
34、得，y02 当 y02 时，圆心（4，2） ，半径 r4，此时圆 C2为（x4）2+（y2）216， 当 y02 时，圆心（4，2） ，半径 r4，此时圆 C2为（x+4）2+（y+2）216 【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，求圆的标准方程，直线和圆相较的性质， 属于中档题 21 （12 分）已知 E（2，2）是抛物线 C：y22px 上一点，经过点（2，0）的直线 l 与抛物 线 C 交于 A，B 两点（不同于点 E） ，直线 EA，EB 分别交直线2 于点 M，N （1）求抛物线方程及其焦点坐标； （2）已知 O 为原点，求证：以 MN 为直径的圆恰好经过原点 【分析】 （1）将
35、E（2，2）代入 y22px，可得抛物线方程及其焦点坐标； （2）设出直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理及向量知识，计算0，即可 第 20 页（共 21 页） 得到结论 【解答】 （1）解：将 E（2，2）代入 y22px，得 p1 所以抛物线方程为 y22x，焦点坐标为 （2）证明：设，M（xM，yM） ，N（xN，yN） ， 设直线 l 方程为 xmy+2，与抛物线方程联立，消去 x，得：y22my40 则由韦达定理得：y1y24，y1+y22m 直线 AE 的方程为：，即， 令 x2，得 同理可得： 4+yMyN4+4+0 OMON，即MON 为定值 【点评】本题考查抛物线方程，考查直
36、线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用， 考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 22 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，动圆 P 与圆 M： （x+1）2+y21 外切，与圆 N： （x 1）2+y29 内切 （1）求动圆圆心 P 的轨迹方程； （2）直线 l 过点 E（1，0）且与动圆圆心 P 的轨迹交于 A，B 两点是否存在AOB 面积的最大值，若存在，求出AOB 的面积；若不存在，说明理由 【分析】 （1）设动圆圆心 P（x，y） ，半径为 r利用已知条件转化判断动圆圆心 P 在以 M，N 为焦点的椭圆上，求出 a，b 然后求解椭圆的方程、 （2）存在AOB 面积的最大值设直
37、线 l 的方程为 xmy1 或 y0（舍） 联立直线 与椭圆的方程，利用韦达定理弦长公式表示三角形的面积，利用换元法以及函数的单调 性求解表达式的最大值即可 第 21 页（共 21 页） 【解答】解： （1）设动圆圆心 P（x，y） ，半径为 r 由题意知，|PM|r+1，|PN|3r，|PM|+|PN|4， 由椭圆定义可知，动圆圆心 P 在以 M，N 为焦点的椭圆上， 且 a2，c1， b2a2c23， 动圆圆心 P 的轨迹方程为 （2）存在AOB 面积的最大值 因为直线 l 过点 E（1，0） ，可设直线 l 的方程为 xmy1 或 y0（舍） 则整理得 （3m2+4）y26my90 由（6m）2+36（3m2+4）0设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） 则， 则 因为 设，则 m2t21，则 设在区间1，+）上为增函数所以 g（t）4 所以，当且仅当 m0 时取等号，即 所以 SAOB的最大值为 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的标准方程的求法，考查转 化思想以及计算能力，是中档题