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2018-2019学年江西省南昌一中、十中、铁一中高二(下)期末数学试卷(理科)含详细解答

1、2018-2019 学年江西省南昌一中、十中、铁一中高二(下)期末数学试卷(理科)一选择题:本大题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 (3 分)袋中有大小相同的 5 个球,分别标有 1,2,3,4,5 五个号码,现在有放回抽取 的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量 ,则 所有可能取值的个数是 ( ) A5 B9 C10 D25 2 (3 分)随机变量 服从正态分布 N(,2) ,若 P(2)0.2,P(26)0.6, 则 ( ) A3 B

2、4 C5 D6 3 (3 分)从某高中随机选取 5 名高三男生,其身高和体重的数据如表所示: 身高 x(cm) 160 165 170 175 180 体重 y(kx) 63 66 70 72 74 根据上表可得回归直线方程, 据此模型预报身高为 172cm 的高三男生的体重 为( ) A70.09 kg B70.12 kg C70.55 kg D71.05 kg 4 (3 分)设随机变量 B(2,p) ,B(4,p) ,若,则 P(2)的值 为( ) A B C D 5 (3 分)在(x+) (x2)5的展开式中,x 的系数为( ) A32 B8 C8 D48 6(3 分) 有 m 位同学按

3、照身高由低到高站成一列, 现在需要在该队列中插入另外 n 位同学, 但是不能改变原本的 m 位同学的顺序,则所有排列的种数为( ) A B C D 7 (3 分)高三毕业时,甲,乙,丙等五位同学站成一排合影留念,在甲和乙相邻的条件下, 第 2 页(共 21 页) 丙和乙也相邻的概率为( ) A B C D 8 (3 分)设 0a1随机变量 X 的分布列是 X 0 a 1 P 则当 a 在(0,1)内增大时, ( ) AD(X)增大 BD(X)减小 CD(X)先增大后减小 DD(X)先减小后增大 9 (3 分)函数 f(x)|x+2017|x2016|的最大值为( ) A1 B1 C4033 D

4、4033 10 (3 分)若(x2)53x4a0+a1(x3)+a2(x3)2+a3(x3)3+a4(x3)4+a5 (x3)5,则 a3( ) A70 B28 C26 D40 11 (3 分)箱中装有标号为 1,2,3,4,5,6 且大小相同的 6 个球,从箱中一次摸出两个 球,记下号码并放回,如果两球号码之积是 4 的倍数,则获奖,现有 4 人参与摸奖,恰 好有 3 人获奖的概率是( ) A B C D 12 (3 分) 中国诗词大会 (第二季)亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场 诗词,在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味若将进酒 山居秋暝 望 岳 送杜少府之任蜀州和另确

5、定的两首诗词排在后六场,且将进酒排在望岳 的前面, 山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后,则后六场的排法 有( ) A144 种 B288 种 C360 种 D720 种 二、填空题(每题二、填空题(每题 5 分,满分分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)分,将答案填在答题纸上) 13 (5 分)设随机变量 X 的概率分布列为 X 1 2 3 4 P a 则 P(|X3|1) 第 3 页(共 21 页) 14 (5 分)在区间3,3上随机取一个数 x,使得|x1|+|x+2|5 成立的概率为 15 (5 分)从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,中任取 5 个不同数,则这 5

6、 个数的中位数 是 6 的概率为 16 (5 分)浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外,考生须从政治、历史、地 理、物理、化学、生物、技术这 7 门高中学考科目中选择 3 门作为高考选考科目,成绩 计入高考总分已知报考某高校 A、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可,A 专业: 物理、化学、技术;B 专业:历史、地理、技术考生小李今年打算报考该高校这两个 专业的选考方式有 种 (用数字作答) 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17已知函数 f(x)|xa|+2|x1| (1)当 a2 时,求关于 x 的不等式 f(

7、x)5 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)|x1|a2|有解,求 a 的取值范围 182016 年 6 月 22 日, “国际教育信息化大会”在山东青岛开幕为了解哪些人更关注“国 际教育信息化大会” ,某机构随机抽取了年龄在 1575 岁之间的 100 人进行调查,某机 构随机抽取了在 1575 之间的 100 人进行调查,经统计“青少年”与“中老年”的人数 之比为 9:11 ()根据已知条件完成下面的 22 列联表,并判断能否有 99%的把握认为“中老年” 比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会” 关注 不关注 合计 青少年 15 中老年 合计 50 50 100 ()现从抽取

8、的青少年中采取分层抽样的办法选取 9 人进行问卷调查,在这 9 人中再 选取 3 人进行面对面询问,记选取的 3 人中关注“国际教育信息化大会”的人数为 X, 求 X 的分布列及数学期望 附:参考公式:,其中 na+b+c+d 临界值表: P(K2k0) 0.05 0.010 0.001 第 4 页(共 21 页) k0 3.841 6.635 10.828 19在矩形 ABCD 中,AB1,AD2,E 为线段 AD 的中点,如图 1,沿 BE 将ABE 折起 至PBE,使 BPCE,如图 2 所示 (1)求证:平面 PBE平面 BCDE; (2)求二面角 CPDE 的余弦值 20甲、乙、丙三

9、人组成一个小组参加电视台主办的听曲猜哥歌名活动,在每一轮活动中, 依次播放三首乐曲,然后甲猜第一首,乙猜第二首,丙猜第三首若有一人猜错,则活 动立即结束;若三人均猜对,则该小组进入下一轮该小组最多参加三轮活动已知每 一轮甲猜对歌名的概率是,乙猜对歌名的概率是,丙猜对歌名的概率是甲、乙、 丙猜对互不影响 (1)求该小组未能进入第二轮的概率; (2)记乙猜歌曲的次数为随机变量 ,求 的分布列和数学期望 212019 年 2 月 13 日烟台市全民阅读促进条例全文发布,旨在保障全民阅读权利,培 养全民阅读习惯,提高全民阅读能力,推动文明城市和文化强市建设某高校为了解条 例发布以来全校学生的阅读情况,

10、随机调查了 200 名学生每周阅读时间 X(单位:小时) 并绘制如图所示的频率分布直方图 (1)求这 200 名学生每周阅读时间的样本平均数 和样本方差 s2(同一组中的数据用该 组区间的中间值代表) ; (2)由直方图可以认为,目前该校学生每周的阅读时间 X 服从正态分布 N(,2) , 其中 近似为样本平均数 ,2近似为样本方差 s2 (i)一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算:若 XN(, 2) ,令 Y ,则 YN(0,1) ,且 P(Xa)P(Y) 利用直方图得到的正态分布,求 P(X10) 第 5 页(共 21 页) (ii)从该高校的学生中随机抽取 20 名,

11、记 Z 表示这 20 名学生中每周阅读时间超过 10 小时的人数,求 P(Z2) (结果精确到 0.0001)以及 Z 的数学期望 参考数据:若 YN(0,1) ,则 P(Y0.75) 0.7734 22已知函数 f(x)ax,aR (1)若 f(x)0,求 a 的取值范围; (2)若 yf(x)的图象与 ya 相切,求 a 的值 第 6 页(共 21 页) 2018-2019 学年江西省南昌一中、十中、铁一中高二(下)期末学年江西省南昌一中、十中、铁一中高二(下)期末 数学试卷(理科)数学试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题:本大题共一选择题:本大题共 12 个小题,

12、每小题个小题,每小题 3 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 (3 分)袋中有大小相同的 5 个球,分别标有 1,2,3,4,5 五个号码,现在有放回抽取 的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量 ,则 所有可能取值的个数是 ( ) A5 B9 C10 D25 【分析】由题意,这是有放回抽样,将号码之和可能的情况列举可得答案 【解答】解:根据题意,分析可得, 这是有放回抽样,号码之和可能的情况为:2、3、4、5、6、7、8、9、10, 共 9 种; 故选:B 【点评】本题考查列举法的运

13、用,难度不大,注意又放回与不放回抽样的区别 2 (3 分)随机变量 服从正态分布 N(,2) ,若 P(2)0.2,P(26)0.6, 则 ( ) A3 B4 C5 D6 【分析】由对称性得图象关于 x 对称且结合题意得到 P(2)+P(26)+P( 6)1,从而得出 2 和 6 关于直线 x 对称,利用中点坐标公式求出 的值 【解答】解:由正太曲线的图象关于 x 对称且结合题意得到 P(2)+P(26) +P(6)1, P(2)P(6)0.2, P(2)P(6)表明 2 和 6 关于直线 x 对称, 4 故选:B 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、正态分布正态曲线有两 个

14、特点: (1)正态曲线关于直线 x 对称; (2)在正态曲线下方和 x 轴上方范围内的区 第 7 页(共 21 页) 域面积为 1 3 (3 分)从某高中随机选取 5 名高三男生,其身高和体重的数据如表所示: 身高 x(cm) 160 165 170 175 180 体重 y(kx) 63 66 70 72 74 根据上表可得回归直线方程, 据此模型预报身高为 172cm 的高三男生的体重 为( ) A70.09 kg B70.12 kg C70.55 kg D71.05 kg 【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点,根据样本中心点在线性回归直线 上,利用待定系数法做出 的值,现在方程

15、是一个确定的方程,根据所给的 x 的值,代入 线性回归方程,预报身高为 172cm 的高三男生的体重 【解答】解:由表中数据可得 170 69 ( , )一定在回归直线方程上 故 690.56170+ 解得 26.2 故 当 x172 时,70.12 故选:B 【点评】本题主要考查线性回归方程的求解与运用,解题的关键是线性回归方程 经过样 本点的中心 同时注意理解线性回归方程中相关系数的意义 4 (3 分)设随机变量 B(2,p) ,B(4,p) ,若,则 P(2)的值 为( ) A B C D 【分析】根据随机变量 B(2,p) ,写出概率的表示式,求出其中 P 第 8 页(共 21 页)

16、的值,把求得的 P 的值代入 B(4,p) ,求出概率 【解答】解:随机变量 B(2,p) , 1p0 (1p)2, P, B(4,) , P(2)+, 故选:B 【点评】本题考查二项分布及独立重复试验的模型,本题解题的关键是首先根据条件求 出题目中要用的 P 的值,在根据二项分布的概率公式 得到结果 5 (3 分)在(x+) (x2)5的展开式中,x 的系数为( ) A32 B8 C8 D48 【分析】把(x2)5按照二项展开,可得(x+) (x2)5的展开式中,x 的系数 【解答】解:在(x+) (x2)5(x+x 2) (x510x4+40x380x2+80x32)展开式 中, x 的系

17、数为32+408, 故选:C 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质, 属于基础题 6(3 分) 有 m 位同学按照身高由低到高站成一列, 现在需要在该队列中插入另外 n 位同学, 但是不能改变原本的 m 位同学的顺序,则所有排列的种数为( ) A B C D 【分析】根据题意,原问题转化为在 m+n 个位置中,任选 n 个安排后来插入 n 位同学, 由排列数公式分析可得答案 【解答】解:根据题意,原来有 m 位同学,现在有插入 n 位同学,一共有(m+n)位同 学, 第 9 页(共 21 页) 原问题可以转化为在 m+n 个位置中,任选 n 个安排后来插

18、入 n 位同学,有种情况, 即有种排列; 故选:B 【点评】本题考查排列组合的应用,关键是将原问题转化为组合问题 7 (3 分)高三毕业时,甲,乙,丙等五位同学站成一排合影留念,在甲和乙相邻的条件下, 丙和乙也相邻的概率为( ) A B C D 【分析】在甲和乙相邻的条件下,基本事件总数 n48,丙和乙也相邻包含的基 本事件个数 m12,由此能求出丙和乙也相邻的概率 【解答】解:甲,乙,丙等五位同学站成一排合影留念, 在甲和乙相邻的条件下, 基本事件总数 n48, 丙和乙也相邻包含的基本事件个数 m12, 丙和乙也相邻的概率为 p 故选:B 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等

19、基础知识,考查运算求解能 力,是基础题 8 (3 分)设 0a1随机变量 X 的分布列是 X 0 a 1 P 则当 a 在(0,1)内增大时, ( ) AD(X)增大 BD(X)减小 CD(X)先增大后减小 DD(X)先减小后增大 【分析】方差公式结合二次函数的单调性可得结果 【解答】解:E(X)0+a+1, 第 10 页(共 21 页) D(X)()2+(a)2+(1)2 (a+1)2+(2a1)2+(a2)2(a2a+1)(a)2+ 0a1,D(X)先减小后增大 故选:D 【点评】本题考查方差的求法,利用二次函数是关键,考查推理能力与计算能力,是中 档题 9 (3 分)函数 f(x)|x+

20、2017|x2016|的最大值为( ) A1 B1 C4033 D4033 【分析】利用绝对值不等式,即可得出结论 【解答】解:f(x)|x+2017|x2016|x+2017x+2016|4033, 函数 f(x)|x+2017|x2016|的最大值为 4033, 故选:C 【点评】本题考查绝对值不等式,考查学生的计算能力,比较基础 10 (3 分)若(x2)53x4a0+a1(x3)+a2(x3)2+a3(x3)3+a4(x3)4+a5 (x3)5,则 a3( ) A70 B28 C26 D40 【分析】令 tx3,把等式化为关于 t 的展开式,再求展开式中 t3的系数 【解答】解:令 t

21、x3,则(x2)53x4a0+a1(x3)+a2(x3)2+a3(x3)3+a4 (x3)4+a5(x3)5, 可化为(t+1)53(t+3)4a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5, 则 a333103626 故选:C 【点评】本题主要考查了二项式定理以及思维的灵活性应用问题,是基础题 11 (3 分)箱中装有标号为 1,2,3,4,5,6 且大小相同的 6 个球,从箱中一次摸出两个 球,记下号码并放回,如果两球号码之积是 4 的倍数,则获奖,现有 4 人参与摸奖,恰 好有 3 人获奖的概率是( ) A B C D 【分析】首先做出摸一次中奖的概率,摸一次中奖是一个等可能事件的

22、概率,做出所有 第 11 页(共 21 页) 的结果数和列举出符合条件的结果数,得到概率,4 个人摸奖相当于发生 4 次试验,根 据每一次发生的概率,利用独立重复试验的公式得到结果 【解答】解:由题意知首先做出摸一次中奖的概率, 从 6 个球中摸出 2 个,共有 C6215 种结果, 两个球的号码之积是 4 的倍数, 共有(1,4) (3,4) , (2,4) (2,6) (4,5) (4,6) , 摸一次中奖的概率是, 4 个人摸奖相当于发生 4 次试验,且每一次发生的概率是, 有 4 人参与摸奖,恰好有 3 人获奖的概率是()3, 故选:B 【点评】本题考点等可能事件的概率,考查独立重复试

23、验的概率,解题时主要是看清摸 奖 4 次,相当于做了 4 次独立重复试验,利用公式做出结果 12 (3 分) 中国诗词大会 (第二季)亮点颇多,十场比赛每场都有一首特别设计的开场 诗词,在声光舞美的配合下,百人团齐声朗诵,别有韵味若将进酒 山居秋暝 望 岳 送杜少府之任蜀州和另确定的两首诗词排在后六场,且将进酒排在望岳 的前面, 山居秋暝与送杜少府之任蜀州不相邻且均不排在最后,则后六场的排法 有( ) A144 种 B288 种 C360 种 D720 种 【分析】根据题意,分 2 步进行分析:、用倍分法分析将进酒 、 望岳和另两首 诗词的排法数目,、用插空法分析山居秋暝与送杜少府之任蜀州的排

24、法数目, 由分步计数原理计算可得答案 【解答】解:根据题意,分 2 步进行分析: 、将将进酒 、 望岳和另两首诗词的 4 首诗词全排列,有 A4424 种顺序, 由于将进酒排在望岳前面, 则这 4 首诗词的排法有12 种, 、这 4 首诗词排好后,不含最后,有 4 个空位, 在 4 个空位中任选 2 个,安排山居秋暝与送杜少府之任蜀州 , 有 A4212 种安排方法, 第 12 页(共 21 页) 则后六场的排法有 1212144 种; 故选:A 【点评】本题考查排列、组合的应用,关键是分析题意,找到满足题意的分步分析的步 骤 二、填空题(每题二、填空题(每题 5 分,满分分,满分 20 分,

25、将答案填在答题纸上)分,将答案填在答题纸上) 13 (5 分)设随机变量 X 的概率分布列为 X 1 2 3 4 P a 则 P(|X3|1) 【分析】 本题中因为 a 是未知的, 所以先根据随机变量取各个值的概率之和等于 1 求出 a 的值,然后根据 P(|X3|1)P(X2,或 X4)进行计算 【解答】解:随机变量取各个值的概率之和等于 1a1(+) P(|X3|1)P(X2,或 X4) 【点评】本题考查了随机变量取各个值的概率之和等于 1,互斥事件的概率公式,属于基 础题 14 (5 分)在区间3,3上随机取一个数 x,使得|x1|+|x+2|5 成立的概率为 【分析】求出|x1|+|x

26、+2|5 成立的等价条件,利用几何概型的概率公式即可得到结论 【解答】解:在区间3,3上随机取一个数 x,则3x3, 当3x2 时,不等式|x1|+|x+2|5 等价为(x1)(x+2)5,即 x3, 此时3x2, 当2x1 时,不等式|x1|+|x+2|5 等价为(x1)+(x+2)5,即 35,此时 2x1, 当 1x3 时,不等式|x1|+|x+2|5 等价为(x1)+(x+2)5,即 x2,此时 1x 2, 综上3x2, 则由几何概型的概率公式可得使得|x1|+|x+2|5 成立的概率为, 故答案为: 第 13 页(共 21 页) 【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算,根据不等

27、式的解法求出对应的解集 是解决本题的关键 15 (5 分)从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,中任取 5 个不同数,则这 5 个数的中位数 是 6 的概率为 【分析】先基本事件总数 n504,这 5 个数的中位数是 6 是指取到的 5 个数中含 有 6,且先在 0,1,2,3,4,5 取 2 个不同的数,后在 7,8,9 中取两个不同的数,或 先在 7,8,9 取 2 个不同的数,后在 0,1,2,3,4,5 中取两个不同的数,由此能求出 这 5 个数的中位数是 6 的不同取法 【解答】解:从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,中任取 5 个不同数, 基本事件总数 n504, 这

28、 5 个数的中位数是 6 是指取到的 5 个数中含有 6, 且先在 0,1,2,3,4,5 取 2 个不同的数,后在 7,8,9 中取两个不同的数, 或先在 7,8,9 取 2 个不同的数,后在 0,1,2,3,4,5 中取两个不同的数, 这 5 个数的中位数是 6 的不同取法有:m290, 故答案为:p 故答案为: 【点评】本题考查实数值求法,是基础题,解题时要认真审题,注意平面向量坐标运算 法则和向量垂直的性质的合理运用 16 (5 分)浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外,考生须从政治、历史、地 理、物理、化学、生物、技术这 7 门高中学考科目中选择 3 门作为高考选考科目,成绩

29、 计入高考总分已知报考某高校 A、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可,A 专业: 物理、化学、技术;B 专业:历史、地理、技术考生小李今年打算报考该高校这两个 专业的选考方式有 27 种 (用数字作答) 【分析】由题意,可以分四类,根据分类计数原理即可求出 【解答】解:若选技术,则从剩余的 6 门中,任选 2 门即可,故有 C6215 种, 若不选技术,从物理、化学选一门,从历史、地理选一门,再从政治、生物中选一门, 有 C21C21C218, 当考生同时选物理、化学时,还要从历史、地理中选择一门,有 2 种, 第 14 页(共 21 页) 当考生同时选历史、地理物理、化学时,还要从物理、

30、化学中选择一门,有 2 种, 根据分类计数原理可得共有 15+8+2+227 种, 故答案为:27 【点评】本题考查了分类计数原理,关键是分类,属于中档题 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17已知函数 f(x)|xa|+2|x1| (1)当 a2 时,求关于 x 的不等式 f(x)5 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f(x)|x1|a2|有解,求 a 的取值范围 【分析】 (1)当 a2 时,化简不等式,去掉绝对值符号,然后求解关于 x 的不等式 f(x) 5 的解集; (2)利用绝对值的几何意义,求出 f(x)|x

31、1|的最值,即可推出 a 的取值范围 【解答】解: (1)当 a2 时,不等式为|x2|+2|x1|5, 若 x1,则3x+45,即,若 1x2,则 x5,舍去, 若 x2,则 3x45,即 x3,(4 分) 综上,不等式的解集为; (5 分) (2)f(x)|x1|xa|+|x1|1a|当且仅当(xa) (x1)0 时等号成立, 题意等价于|1a|a2|,(4 分) a 的取值范围为(5 分) 【点评】本题考查绝对值不等式的解法,绝对值的几何意义,考查计算能力 182016 年 6 月 22 日, “国际教育信息化大会”在山东青岛开幕为了解哪些人更关注“国 际教育信息化大会” ,某机构随机抽

32、取了年龄在 1575 岁之间的 100 人进行调查,某机 构随机抽取了在 1575 之间的 100 人进行调查,经统计“青少年”与“中老年”的人数 之比为 9:11 ()根据已知条件完成下面的 22 列联表,并判断能否有 99%的把握认为“中老年” 比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会” 关注 不关注 合计 青少年 15 中老年 第 15 页(共 21 页) 合计 50 50 100 ()现从抽取的青少年中采取分层抽样的办法选取 9 人进行问卷调查,在这 9 人中再 选取 3 人进行面对面询问,记选取的 3 人中关注“国际教育信息化大会”的人数为 X, 求 X 的分布列及数学期望 附:参考

33、公式:,其中 na+b+c+d 临界值表: P(K2k0) 0.05 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 【分析】 ()依题意完成 22 列联表,计算 K2,对照临界值得出结论; ()根据分层抽样法,得出随机变量 X 的可能取值,计算对应的概率值, 写出 X 的分布列,计算数学期望值 【解答】解: ()依题意知, “青少年人”共有 10045 人, “中老年人”共有 1004555 人, 完成 22 列联表如下: 关注 不关注 合计 青少年人 15 30 45 中老年人 35 20 55 合计 50 50 100 结合列联表的数据, 计算 K2 9.091, P

34、(K26.635)0.01,且 9.0916.635, 有 99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“国际教育信息化大会” ; ()从抽取的青少年中采取分层抽样法选取 9 人,其中关注的有 93,不关注的 有 936 人; 在这 9 人中再选取 3 人,记选取的 3 人中关注“国际教育信息化大会”的人数为 X, 则 X 的可能取值为 0,1,2,3; 第 16 页(共 21 页) 计算 P(X0),P(X1),P(X2), P(X3); X 的分布列为: X 0 1 2 3 p 数学期望为 EX0+1+2+31 【点评】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列问题,是中档题 19

35、在矩形 ABCD 中,AB1,AD2,E 为线段 AD 的中点,如图 1,沿 BE 将ABE 折起 至PBE,使 BPCE,如图 2 所示 (1)求证:平面 PBE平面 BCDE; (2)求二面角 CPDE 的余弦值 【分析】 (1)在图 1 中连接 EC,推导出 BECE,PBCE,从而 CE平面 PBF,由此 能证明平面 PBE平面 BCDE (2)取 BE 中点 O,连接 PO,由 POBE,得 PO平面 BCDE以 O 为坐标原点,以 过点 O 且平行于 CD 的直线为 x 轴,过点 O 且平行于 BC 的直线为 y 轴,直线 PO 为 z 轴,建立直角坐标系,利用向量法能求出二面角

36、CPDE 的余弦值 【解答】解: (1)证明:在图 1 中连接 EC,则AEBCEB45,BEC90, 第 17 页(共 21 页) BECE PBCE,PBPEP,CE平面 PBF, CE平面 BCDE,平面 PBE平面 BCDE (2)解:取 BE 中点 O,连接 PO,PBPE,POBE, 平面 PBE平面 BCDE,PO平面 BCDE 以 O 为坐标原点,以过点 O 且平行于 CD 的直线为 x 轴, 过点 O 且平行于 BC 的直线为 y 轴,直线 PO 为 z 轴,建立如图所示的直角坐标系, 则, , , 设 平 面PDE的 法 向 量 为, 平 面PCD的 法 向 量 为 , 由

37、,可得, 由,可得, 则, 由图形知二面角 CPDE 的平面角为钝角二面角, 第 18 页(共 21 页) 所以二面角 CPDE 的余弦值为 【点评】本题考查线面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 20甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台主办的听曲猜哥歌名活动,在每一轮活动中, 依次播放三首乐曲,然后甲猜第一首,乙猜第二首,丙猜第三首若有一人猜错,则活 动立即结束;若三人均猜对,则该小组进入下一轮该小组最多参加三轮活动已知每 一轮甲猜对歌名的概率是,乙猜对歌名的概率是,丙猜对歌名的概率是甲、乙、 丙猜对互不影响

38、(1)求该小组未能进入第二轮的概率; (2)记乙猜歌曲的次数为随机变量 ,求 的分布列和数学期望 【分析】 (1)设“该小组未能进入第二轮”为事件 A,其对立事件为 ,则 P(A)1 P,即可得出 (2)利用相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式即可得出 【解答】解: (1)设“该小组未能进入第二轮”为事件 A,其对立事件为 ,则 P(A) 1P1 (2)由题意可得: 的可能取值为 0,1,2,3 P(0),P(1)+ +, P(3), P(2)1P(0)P(1)P(3) 的分布列为: 0 1 2 3 P E0+1+3 【点评】本题考查了相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计

39、算公式、随机变 量的分布列的概率与数学期望计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 第 19 页(共 21 页) 212019 年 2 月 13 日烟台市全民阅读促进条例全文发布,旨在保障全民阅读权利,培 养全民阅读习惯,提高全民阅读能力,推动文明城市和文化强市建设某高校为了解条 例发布以来全校学生的阅读情况,随机调查了 200 名学生每周阅读时间 X(单位:小时) 并绘制如图所示的频率分布直方图 (1)求这 200 名学生每周阅读时间的样本平均数 和样本方差 s2(同一组中的数据用该 组区间的中间值代表) ; (2)由直方图可以认为,目前该校学生每周的阅读时间 X 服从正态分布 N(,

40、2) , 其中 近似为样本平均数 ,2近似为样本方差 s2 (i)一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算:若 XN(, 2) ,令 Y ,则 YN(0,1) ,且 P(Xa)P(Y) 利用直方图得到的正态分布,求 P(X10) (ii)从该高校的学生中随机抽取 20 名,记 Z 表示这 20 名学生中每周阅读时间超过 10 小时的人数,求 P(Z2) (结果精确到 0.0001)以及 Z 的数学期望 参考数据:若 YN(0,1) ,则 P(Y0.75) 0.7734 【分析】 (1)直接由平均数公式及方差公式求解; (2) (i)由题知 9,21.78,则 XN(9,1.78

41、) ,求出,结合已知公式求解 P (X10) ()由(i)知 P(X10)1P(X10)0.2266,可得 ZB(20,0.2266) ,由 P (Z2)1P(Z0)P(Z1)求解 P(Z2) ,再由正态分布的期望公式求 Z 的 第 20 页(共 21 页) 数学期望 E(Z) 【解答】解:(1) , s2(69) 20.03+(79)20.1+(89)20.2+(99)20.35+(109)20.19+ (119)20.09+(129)20.041.78; (2) (i)由题知 9,21.78,XN(9,1.78) , ; ()由(i)知 P(X10)1P(X10)0.2266, 可得 ZB

42、(20,0.2266) ,P(Z2)1P(Z0)P(Z1) 1(0.7734+200.2266)0.0076 0.9597 Z 的数学期望 E(Z)200.22664.532 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查离散型随机变量得期 望,是中档题 22已知函数 f(x)ax,aR (1)若 f(x)0,求 a 的取值范围; (2)若 yf(x)的图象与 ya 相切,求 a 的值 【分析】 (1)由题意可得 a,设 g(x),求得导数和单调性、极值和最值, 即可得到所求范围; (2)设 yf(x)的图象与 ya 相切于点(t,a) ,求得 f(x)的导数,可得切线的斜率 和切

43、点满足曲线方程,解方程即可得到所求值 【解答】解: (1)由 f(x)0 得 ax0, 从而 ax,即 a, 设 g(x),则 g(x), (x0) 所以 0x时,g(x)0,g(x)单调递增; 第 21 页(共 21 页) x时,g(x)0,g(x)单调递减, 所以当 x时,g(x)取得最大值 g(), 故 a 的取值范围是 a; (2)设 yf(x)的图象与 ya 相切于点(t,a) , 依题意可得 因为 f(x)a, 所以, 消去 a 可得 t1(2t1)lnt0 令 h(t)t1(2t1)lnt, 则 h(t)1(2t1) 2lnt2lnt1, 显然 h(t)在(0,+)上单调递减,且 h(1)0, 所以 0t1 时,h(t)0,h(t)单调递增; t1 时,h(t)0,h(t)单调递减, 所以当且仅当 t1 时 h(t)0 故 a1 【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调性、极值和最值,考查方程思想和 运算能力、推理能力,属于中档题