1、2018-2019 学年江西省南昌十中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 题，每小题题，每小题 5 分，共计分，共计 60 分在每小题列出的四个选项中只有分在每小题列出的四个选项中只有 一项是最符合题目要求的）一项是最符合题目要求的） 1 （5 分）已知，则复数 z 的虚部为（ ） A B C D 2 （5 分）命题“x0R，sinx01”的否定为（ ） Ax0R，sinx01 Bx0R，sinx01 Cx0R，sinx01 Dx0R，sinx01 3 （5 分）函数 f（x）2x21 在区间（1，1+x）上的平均变化率等于（ ） A4 B4+2x C4+2（
2、x）2 D4x 4 （5 分）如果“（pq） ”为真命题，则（ ） Ap，q 都是真命题 Bp，q 都是假命题 Cp，q 中至少有一个是真命题 Dp，q 中至多有一个是真命题 5 （5 分）f（x）的导函数 f（x）的图象如图所示，则函数 f（x）的图象最有可能的是图 中的（ ） A B C D 6 （5 分）与直线 2xy+40 的平行的抛物线 yx2的切线方程是（ ） 第 2 页（共 18 页） A2xy+30 B2xy30 C2xy+10 D2xy10 7 （5 分）f（x）是定义在（0，+）上的可导函数，且满足 xf（x）f（x）0，对任
3、 意的正数 a、b，若 ab，则必有（ ） Aaf（b）bf（a） Bbf（a）af（b） Caf（a）bf（b） Dbf（b）af（a） 8 （5 分）设椭圆（m0，n0）的右焦点与抛物线 y28x 的焦点相同，离心 率为，则此椭圆的方程为（ ） A B C D 9 （5 分）若函数 f（x）x2+x+1 在区间（，3）上单调递减，则实数 a 的取值范 围为（ ） A （，） B （，+） C，+） D2，+） 10 （5 分）由直线 yx+1 上的点向圆（x3）2+（y+2）21 引切线，则切线长的最小值 为（ ） A B C D 11 （5 分）已知函数 f（x）
4、x3+ax2+（a+6）x+1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围 是（ ） A1a2 B3a6 Ca3 或 a6 Da1 或 a2 12 （5 分）已知双曲线1（a0，b0）的两顶点为 A1，A2，虚轴两端点为 B1， B2，两焦点为 F1，F2若以 A1A2为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2，则双曲线的离心率 为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 题，每小题题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分把答案填在答题纸的横线上）分把答案填在答题纸的横线上） 13 （5 分）已知2，3，4，若6， （a， 第 3 页（共 18 页） t 均为正实数）
5、，则类比以上等式，可推测 a，t 的值，a+t 14 （5 分） “若 x1，则 x210”为 命题 （填“真” 、 “假” ） 15 （5 分）椭圆+1 的左右焦点为 F1，F2，一直线过 F1交椭圆于 A、B 两点，则 ABF2的周长为 16 （5 分）若直线 ykx+b 是曲线 ylnx+2 的切线，也是曲线 yln（x+1）的切线，则 b 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 题，共计题，共计 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知 Px|x23x
6、+20，Sx|1mx1+m （1）是否存在实数 m，使 xP 是 xS 的充要条件？若存在，求出 m 的取值范围，若不 存在，请说明理由； （2）是否存在实数 m，使 xP 是 xS 的必要条件？若存在，求出 m 的取值范围，若不 存在，请说明理由 18 （12 分）已知椭圆 4x2+y21 及直线 yx+m （1）当 m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程 19 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数） ，在 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2的极坐标方程为 4cos+2sin （1）
7、求 C1的极坐标方程与 C2的直角坐标方程； （2）设点 P 的极坐标为（2，） ，C1与 C2相交于 A，B 两点，求PAB 的面积 20 （12 分）已知函数 f（x）ax+b，在点 M（1，f（1） ）处的切线方程为 9x+3y 100，求 （1）实数 a，b 的值； （2）函数 f（x）的单调区间以及在区间0，3上的最值 21 （12 分）如图抛物线顶点在原点，圆（x2）2+y24 的圆心恰是抛物线的焦点 （1）求抛物线的方程； 第 4 页（共 18 页） （2）一直线的斜率等于 2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于 A、B、C
8、、D 四点， 求|AB|+|CD|的值 22 （12 分）设函数 f（x）lnx+ax2+x+1 （1）当 a2 时，求函数 f（x）的极值点； （2）当 a0 时，证明：xexf（x）在（0，+）上恒成立 第 5 页（共 18 页） 2018-2019 学年江西省南昌十中高二（上）期末数学试卷（文科）学年江西省南昌十中高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 题，每小题题，每小题 5 分，共计分，共计 60 分在每小题列出的四个选项中只有分在每小题列出的四个选项中只有 一项是最符合题目要求的）一项是最符合题目要求的）
9、 1 （5 分）已知，则复数 z 的虚部为（ ） A B C D 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【解答】解：+i，则复数 z 的虚部为 故选：B 【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 2 （5 分）命题“x0R，sinx01”的否定为（ ） Ax0R，sinx01 Bx0R，sinx01 Cx0R，sinx01 Dx0R，sinx01 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x0R，sinx01”的否定 为：x0R，sinx01 故选：D 【点评】本
10、题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题 3 （5 分）函数 f（x）2x21 在区间（1，1+x）上的平均变化率等于（ ） A4 B4+2x C4+2（x）2 D4x 【分析】根据题意，由平均变化率的定义可得，计 算即可得答案， 【解答】解：根据题意，函数 f（x）2x21 在区间（1，1+x）上， 其平均变化率4+2x， 故选：B 第 6 页（共 18 页） 【点评】本题考查平均变化率的计算，关键是掌握平均变化率的计算公式 4 （5 分）如果“（pq） ”为真命题，则（ ） Ap，q 都是真命题 Bp，q 都是假命题 Cp，q 中至少有一个是真命题
11、 Dp，q 中至多有一个是真命题 【分析】根据命题的否定关系，先由 （pq） ”为真命题，可得 pq 为假命题 再根据 pq 与 p 和 q 的真假性可得 p，q 中至多有一个是真命题 【解答】解：若原命题和命题的否定的真假性是相对的 所以“ （pq） ”为真命题，可得“ （pq） ”为假命题 要使 pq 为假命题，则 p 和 q 同时为假命题，或 p 和 q 中一真一假， 即 p，q 中至多有一个是真命题 故选：D 【点评】此题考查命题的否定和 pq 的真假性的判断 5 （5 分）f（x）的导函数 f（x）的图象如图所示，则函数 f（x）的图象最有可能的是图 中的（ ） A B &
12、nbsp;C D 【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于 0 的范围和小于 0 的 x 的范围，进而根据 当导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减确定原函数的单 调增减区间 【解答】解：x2 时，f（x）0，则 f（x）单减； 第 7 页（共 18 页） 2x0 时，f（x）0，则 f（x）单增； x0 时，f（x）0，则 f（x）单减 则符合上述条件的只有选项 A 故选：A 【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减重点是理解函数图象及函数的 单调性 6 （5 分）与直线
13、 2xy+40 的平行的抛物线 yx2的切线方程是（ ） A2xy+30 B2xy30 C2xy+10 D2xy10 【分析】根据切线与直线 2xy+40 的平行，可利用待定系数法设出切线，然后与抛物 线联立方程组，使方程只有一解即可 【解答】解：由题意可设切线方程为 2xy+m0 联立方程组得 x22xm0 4+4m0 解得 m1， 切线方程为 2xy10， 故选：D 【点评】本题主要考查了两条直线平行的判定，以及直线的一般式方程，属于基础题 7 （5 分）f（x）是定义在（0，+）上的可导函数，且满足 xf（x）f（x）0，对任 意的正数 a、b，若 ab，则必有（ ） Aaf（b）bf（
14、a） Bbf（a）af（b） Caf（a）bf（b） Dbf（b）af（a） 【分析】令 g（x），可得到 g（x）在（0，+）上单调递增，结合任意正数 a b，即可得答案 【解答】解：令 g（x）， f（x）是定义在（0，+）上的可导函数，且满足 xf（x）f（x）0， g（x）0， g（x）在（0，+）上单调递增，又 ab0， g（a）g（b） ， 第 8 页（共 18 页） ， ab0， bf（a）af（b） 故选：A 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，着重考查构造函数的思想与观察分析问 题的能力，属于中档题 8 （5 分）设椭圆（m0，n0）的右焦点与抛物线 y28
15、x 的焦点相同，离心 率为，则此椭圆的方程为（ ） A B C D 【分析】先求出抛物线的焦点，确定椭圆的焦点在 x 轴，然后对选项进行验证即可得到 答案 【解答】解：抛物线的焦点为（2，0） ，椭圆焦点在 x 轴上，排除 A、C， 由排除 D， 故选：B 【点评】本题主要考查抛物线焦点的求法和椭圆的基本性质圆锥曲线是高考的必考内 容，其基本性质一定要熟练掌握 9 （5 分）若函数 f（x）x2+x+1 在区间（，3）上单调递减，则实数 a 的取值范 围为（ ） A （，） B （，+） C，+） D2，+） 【分析】求出函数 f（x）的导数，问题转化为 ax+在（，3）恒成立，令
16、 g（x） x+，x（，3） ，根据函数的单调性求出 a 的范围即可 【解答】解：函数 f（x）x2+x+1， f（x）x2ax+1， 第 9 页（共 18 页） 若函数 f（x）在区间（，3）上递减， 故 x2ax+10 在（，3）恒成立， 即 ax+在（，3）恒成立， 令 g（x）x+，x（，3） ， g（x）， 令 g（x）0，解得：x1，令 g（x）0，解得：x1， g（x）在（，1）递减，在（1，3）递增， 而 g（），g（3）， 故 a 故选：C 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，是中档题 10 （5 分）由直线 yx+1 上的点向圆（
17、x3）2+（y+2）21 引切线，则切线长的最小值 为（ ） A B C D 【分析】要使切线长最小，需直线 yx+1 上的点和圆心之间的距离最短，求出圆心到直 线 yx+1 的距离 d， 切线长的最小值为 【解答】解：要使切线长最小，需直线 yx+1 上的点和圆心之间的距离最短，此最小值 即为圆心（3，2）到直线 yx+1 的距离 d， d3，故切线长的最小值为 ， 故选：A 【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用以及直线和圆的位置关系，求切线长的方 法 11 （5 分）已知函数 f（x）x3+ax2+（a+6）x+1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围 是（ ） A1a2 B3a6
18、 Ca3 或 a6 Da1 或 a2 第 10 页（共 18 页） 【分析】题目中条件： “函数 f（x）x3+ax2+（a+6）x+1 有极大值和极小值”告诉我们 其导数有两个不等的实根，利用二次方程根的判别式可解决 【解答】解：由于 f（x）x3+ax2+（a+6）x+1， 有 f（x）3x2+2ax+（a+6） 若 f（x）有极大值和极小值， 则4a212（a+6）0， 从而有 a6 或 a3， 故选：C 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，导数的引入，为研究高次函数的极值 与最值带来了方便 12 （5 分）已知双曲线1（a0，b0）的两顶点为 A1，A2，虚轴两端点为 B1，
19、B2，两焦点为 F1，F2若以 A1A2为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2，则双曲线的离心率 为（ ） A B C D 【分析】由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可 得2b2ca4，再由 a，b，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值 【解答】解：由题意可得 A1（a，0） ，A2（a，0） ，B1（0，b） ，B2（0，b） ， F1（c，0） ，F2（c，0） ， 且 a2+b2c2，菱形 F1B1F2B2的边长为， 由以 A1A2为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2， 运用面积相等，可得 2b2ca4， 即为 b2c2a2（b2+c2
20、） ， 即有 c4+a43a2c20， 由 e，可得 e43e2+10， 解得 e2， 第 11 页（共 18 页） 可得 e， （舍去） 故选：A 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运 算能力，属于中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 题，每小题题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分把答案填在答题纸的横线上）分把答案填在答题纸的横线上） 13 （5 分）已知2，3，4，若6， （a， t 均为正实数） ，则类比以上等式，可推测 a，t 的值，a+t 41 【 分 析 】 观 察 所 给 的 等 式 ， 等 号 右 边 是， 第 n
21、个 应 该 是 ，左边的式子，写出结果 【解答】解：观察下列等式 2，3，4， 照此规律，第 5 个等式中：a6，ta2135 a+t41 故答案为：41 【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项 的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题 14 （5 分） “若 x1，则 x210”为 假 命题 （填“真” 、 “假” ） 【分析】根据不等式的性质进行判断即可 【解答】解：当 x1 时，满足 x1，但 x210，则 x210 不成立， 即命题是假命题， 故答案为：假 【点评】本题主要考查命题的真假关系，根据不等式的解法是解决本题的关键比较基 础 15
22、（5 分）椭圆+1 的左右焦点为 F1，F2，一直线过 F1交椭圆于 A、B 两点，则 ABF2的周长为 16 【分析】由椭圆的方程知，长半轴 a4，利用椭圆的定义知，ABF2的周长为 4a，从 第 12 页（共 18 页） 而可得答案 【解答】解：椭圆+1 中 a4 又过焦点 F1的直线与椭圆交于 A，B 两点，A，B 与椭圆的另一个焦点 F2构成ABF2， 则ABF2的周长 l|AB|+|AF2|+|BF2|（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）2a+2a4a16 故答案为：16 【点评】本题考查椭圆的简单性质，着重考查椭圆定义的应用，属于基础题 16 （5 分
23、）若直线 ykx+b 是曲线 ylnx+2 的切线，也是曲线 yln（x+1）的切线，则 b 1ln2 【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联 立求解即可 【解答】解：设 ykx+b 与 ylnx+2 和 yln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b） 、 （x2， kx2+b） ； 由导数的几何意义可得 k，得 x1x2+1 再由切点也在各自的曲线上，可得 联立上述式子解得； 从而 kx1+blnx1+2 得出 b1ln2 【点评】本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要 求，中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共
24、 6 题，共计题，共计 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （10 分）已知 Px|x23x+20，Sx|1mx1+m （1）是否存在实数 m，使 xP 是 xS 的充要条件？若存在，求出 m 的取值范围，若不 存在，请说明理由； （2）是否存在实数 m，使 xP 是 xS 的必要条件？若存在，求出 m 的取值范围，若不 存在，请说明理由 【分析】 （1）根据充要条件的定义，转化为集合关系进行求解判断即可 第 13 页（共 18 页） （2）根据必要条件的定义，转化为集合关系进行求解判断即可 【解答】解：Px|x23x+20x|1x
25、2 （1）要使 xP 是 xS 的充要条件，则 PS，即此方程组无解， 则不存在实数 m，使 xP 是 xS 的充要条件；（5 分） （2）要使 xP 是 xS 的必要条件，则 SP， 当 S时，1m1+m，解得 m0；（6 分） 当 S时，1m1+m，解得 m0 要使 SP，则有，解得 m0，所以 m0， 综上可得，当实数 m0 时，xP 是 xS 的必要条件（10 分） 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件转化为集合关系是解决本 题的关键 18 （12 分）已知椭圆 4x2+y21 及直线 yx+m （1）当 m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦
26、长为，求直线的方程 【分析】 （1）将直线的方程 yx+m 与椭圆的方程 4x2+y21 联立，得到 5x2+2mx+m21 0，利用16m2+200 即可求得 m 的取值范围； （2） 利用两点间的距离公式， 再借助于韦达定理即可得到： 两交点 AB 之间的距离|AB| ，从而可求得 m 的值 【解答】解： （1）把直线 yx+m 代入椭圆方程得：4x2+（x+m）21 即：5x2+2mx+m210， （2m）245（m21）16m2+200 解得： （2）设该直线与椭圆相交于两点 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1，x2是方程 5x2+2mx+m2 10 的两根，由韦达定理可
27、得：， 第 14 页（共 18 页） |AB| ； m0 直线的方程为 yx 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与弦长问题，难点在于弦长公式的灵活应 用，属于中档题 19 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数） ，在 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2的极坐标方程为 4cos+2sin （1）求 C1的极坐标方程与 C2的直角坐标方程； （2）设点 P 的极坐标为（2，） ，C1与 C2相交于 A，B 两点，求PAB 的面积 【分析】 （1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转 换
28、 （2）利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果 【解答】解： （1）曲线 C1表示过原点，且倾斜角为的直线， 从而其极坐标方程 由曲线 C2的极坐标方程为 4cos+2sin 得 x2+y24x+2y，即曲线 C2的直角坐标方程为（x2）2+（y1）25 （2）将代入曲线 C2的极坐标方程 4cos+2sin， 得， 故， 因为点 P 的极坐标为（） ， 所以点 P 到 AB 的距离为， 所以 第 15 页（共 18 页） 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 20 （12
29、分）已知函数 f（x）ax+b，在点 M（1，f（1） ）处的切线方程为 9x+3y 100，求 （1）实数 a，b 的值； （2）函数 f（x）的单调区间以及在区间0，3上的最值 【分析】 （1）求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，利用导函数值域斜率的关 系，即可求出 a，b （2）求出导函数的符号，判断函数的单调性以及求解闭区间的函数的最值 【解答】解： （1）因为在点 M（1，f（1） ）处的切线方程为 9x+3y100， 所以切线斜率是 k3（1 分） 且 91+3f（1）100， 求得，即点（2 分） 又函数，则 f（x）x2a （3
30、分） 所以依题意得（5 分） 解得（6 分） （2）由（1）知 所以 f（x）x24（x+2） （x2） （7 分） 令 f（x）0，解得 x2 或 x2 当 f（x）0x2 或 x2；当 f（x）02x2 所以函数 f（x）的单调递增区间是（，2） ， （2，+） 单调递减区间是（2，2）（9 分） 第 16 页（共 18 页） 又 x0，3 所以当 x 变化时，f（x）和 f（x）变化情况如下表： X 0 （0，2） 2 （2，3） 3 f（x） 0 + 0 f（x） 4 极小值 1 所以当 x0，3时，f（x）maxf（0）4， （12 分） 【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以
31、及闭区间上函数的最值求法，考查转 化思想以及计算能力 21 （12 分）如图抛物线顶点在原点，圆（x2）2+y24 的圆心恰是抛物线的焦点 （1）求抛物线的方程； （2）一直线的斜率等于 2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于 A、B、C、D 四点， 求|AB|+|CD|的值 【分析】 （1）设抛物线方程为 y22px（p0） ，由已知得 p4即可得抛物线的方程； （2）依题意直线 AB 的方程为 y2x4，设 A（x1，y1） ，D（x2，y2） ，则，得 x26x+40，由抛物线的定义可得|AD|x1+x2+p可得|AB|+|CD|AD|CB|，计算即可 得到所求和 【解答】解： （1）
32、设抛物线方程为 y22px（p0） ， 圆（x2）2+y222的圆心恰是抛物线的焦点， 2 即 p4 抛物线的方程为：y28x； 第 17 页（共 18 页） （2）依题意直线 AB 的方程为 y2x4， 设 A（x1，y1） ，D（x2，y2） ， 则，得 x26x+40， x1+x26，|AD|x1+x2+p6+410 则|AB|+|CD|AD|CB|1046 【点评】本题考查了抛物线的方程、性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题 22 （12 分）设函数 f（x）lnx+ax2+x+1 （1）当 a2 时，求函数 f（x）的极值点； （2）当 a0 时，证明：xexf（x）在（0，+）
33、上恒成立 【分析】 （1）首先对 f（x）求导，求出导函数零点，根据导数判断函数的单调性与极值 即可； （ 2 ） 令F （ x ） xex f （ x ） xex lnx x 1 （ x 0 ）， 则 ；再令 G（x）xex1，利用 G（x）的单调 性来判断 F（x）的单调性 【解答】解： （1）由题意得， 当 f'（x）0 时，0x1，f（x）在（0，1）上为增函数； 当 f'（x）0 时，x1，f（x）在（1，+）上为减函数； 所以 x1 是 f（x）的极大值点，无极小值点 （2）证明：令 F（x）xexf（x）xexlnxx1（x0） ， 则， 令 G（x）xex1，则
34、因为 G'（x）（x+1）ex0（x0） ， 所以函数 G（x）在（0，+）上单调递增，G（x）在（0，+）上最多有一个零点， 又因为 G（0）10，G（1）e10，所以存在唯一的 c（0，1）使得 G（c） 第 18 页（共 18 页） 0， 且当 x（0，c）时，G（x）0；当 x（c，+）时，G（x）0， 即当 x（0，c）时，F'（x）0；当 x（c，+）时，F'（0）0， 所以 F（x）在（0，c）上单调递减，在（c，+）上单调递增，从而 F（x）F（c） ceclncc1， 由 G（c）0 得 cex10 即 cec1，两边取对数得：lnc+c0， 所以 F（c）0，F（x）F（c）0，从而证得 xexf（x） 【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性与极值，以及构造新函数判断原函 数的单调性，对数等知识点，属中等题