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2018-2019学年江西省赣州市五校协作体高二(下)期中数学试卷(理科)含详细解答

1、2018-2019 学年江西省赣州市五校协作体高二(下)期中数学试卷(理科)一、选择题:本题共有 12 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1 (5 分)若复数 z 满足(i 为虚数单位) ,则|z|等于( ) A1 B2 C D 2 (5 分)已知命题 p:方程 ax2+by21 表示双曲线;命题 q:b0a命题 p 是命题 q 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 (5 分)已知命题 p:存在 x00,命题 q:对任意 xR,x2x

2、+10,下 列命题为真命题的是( ) Aq Bp 且 q Cp 或(q) D (p)且 q 4 (5 分)已知平面 内有一点 M(1,1,2) ,平面 的一个法向量 (2,1,2) , 则下列点 P 在平面 内的是( ) A (4,4,0) B (2,0,1) C (2,3,3) D (3,3,4) 5 (5 分)4 种不同产品排成一排参加展览,要求甲、乙两种产品之间至少有 1 种其它产品, 则不同排列方法的种数是( ) A12 B10 C8 D6 6 (5 分)直线 y4x 与曲线 yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A4 B4 C2 D2 7 (5 分)函数的图象大致为( )

3、A B 第 2 页(共 19 页) C D 8 (5 分)已知 f(x)+6ax+b 的两个极值点分别为 x1,x2(x1x2) ,且 x2 ,则函数 f(x1)f(x2)( ) A1 B C1 D与 b 有关 9 (5 分) 已知动圆 C 经过点 A (2, 0) , 且截 y 轴所得的弦长为 4, 则圆心 C 的轨迹是 ( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 10 (5 分)用数学归纳法证明不等式+(n1,nN*)的过程中, 从 nk 到 nk+1 时左边需增加的代数式是( ) A B C+ D 11 (5 分)如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有 n(n1, n

4、N*) 个点, 相应的图案中总的点数记为 an, 则 等于( ) A B C D 12 (5 分)已知双曲线的一个焦点与抛物线 y28x 的焦点 F 重 合,抛物线的准线与双曲线交于 A,B 两点,且OAB 的面积为 6(O 为原点) ,则双曲 线的方程为( ) 第 3 页(共 19 页) A B C D 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分分. 13 (5 分)已知函数 f(x)x3+2x2,则曲线 yf(x)在点(1,f(1) )处的切线方 程为 14 (5 分)某次考试结束,甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天甲说: “你们的成绩都没有 我高 ”乙说: “

5、我的成绩一定比丙高 ”丙说: “你们的成绩都比我高 ”成绩公布后,三 人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对,若将三人成绩从高到低排序,则甲排在第 名 15 (5 分)设 F 是双曲线 C:1 的一个焦点若 C 上存在点 P,使线段 PF 的中 点恰为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为 16 (5 分)已知函数 f(x)及其导数 f(x) ,若存在 x0,使得 f(x0)f(x0) ,则 x0 称为 f(x)的一个“巧值点” ,则下列函数中有“巧值点”的是 f(x)x2;f(x)e x;f(x)lnx;f(x)tanx;f(x) 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共

6、 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 (10 分) (1)设 ab0,用综合法证明:a3+b3a2b+ab2; (2)用分析法证明: 18 (12 分)如图 1,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AB,BC 的中点,点 M 在 AD 上,且 AMAD将AED,DCF 分别沿 DE,DF 折叠使 A,C 点重合于 点 P,如图 2 所示 (1)试判断 PB 与平面 MEF 的位置关系,并给出证明; (2)求二面角 MEFD 的余弦值 第 4 页(共 19 页) 19 (12 分)已知函数 f(x)x3x (1

7、)求函数 f(x)的单调区间; (2)求函数 f(x)在区间1,2上的最大值和最小值 20 (12 分)已知物线 C:y22px(p0)过点 M(4,4) (1)求抛物线 C 的方程; (2)设 F 为抛物线 C 的焦点,直线 l:y2x8 与抛物线 C 交于 A,B 两点,求FAB 的面积 21 (12 分)已知椭圆 C 过点,两个焦点 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,且|AB|6,求AOB 面积的最大值 22 (12 分)已知函数 f(x)x3+ax (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若函数 g(x)f(x)xlnx 在上有零点,求 a

8、的取值范围 第 5 页(共 19 页) 2018-2019 学年江西省赣州市五校协作体高二(下)期中数学试学年江西省赣州市五校协作体高二(下)期中数学试 卷(理科)卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:一、选择题:本题共有本题共有 12 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1 (5 分)若复数 z 满足(i 为虚数单位) ,则|z|等于( ) A1 B2 C D 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 【解答】解: |z|1 故选:A 【点评】本题考

9、查了复数的运算法则、模的计算公式,属于基础题 2 (5 分)已知命题 p:方程 ax2+by21 表示双曲线;命题 q:b0a命题 p 是命题 q 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】命题 p 等价为 ab0,在和命题 q 对比即可 【解答】解:方程 ax2+by21 表示双曲线等价于 ab0,即命题 p:ab0, 由 ab0 推不出 ba0,充分性不具备, 由 ba0 能推出 ab0,必要性具备, 故命题 p 是命题 q 的必要不充分条件, 故选:B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用好双曲线方程系数的关系是解 决本题的关

10、键,比较基础 第 6 页(共 19 页) 3 (5 分)已知命题 p:存在 x00,命题 q:对任意 xR,x2x+10,下 列命题为真命题的是( ) Aq Bp 且 q Cp 或(q) D (p)且 q 【分析】首先,分别判断给定的两个命题的真假,然后,结合复合命题的真假进行进一 步的判断 【解答】解:因为当 x0 时,函数 y1,故命题 p 为假命题; 当 xR 时,函数 y,故命题 q 为真命题; 因此选项 D 正确, 故选:D 【点评】本题考查了复合命题的真假判断,关键是对指数函数和二次函数的理解,属基 础题 4 (5 分)已知平面 内有一点 M(1,1,2) ,平面 的一个法向量 (

11、2,1,2) , 则下列点 P 在平面 内的是( ) A (4,4,0) B (2,0,1) C (2,3,3) D (3,3,4) 【分析】若点 P 在平面 内,则0,经过验证即可判断出结论 【解答】解:若点 P 在平面 内,则0,设 P(x,y,z) , 则 2(x1)(y+1)+2(z2)0, 经过验证只有点(2,3,3)满足 故选:C 【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、法向量的应用、线面垂直的判定,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题 5 (5 分)4 种不同产品排成一排参加展览,要求甲、乙两种产品之间至少有 1 种其它产品, 则不同排列方法的种数是( ) A12 B10 C

12、8 D6 【分析】先求出所有的排法,再排除甲乙相邻的排法,即得甲、乙两种产品之间至少有 1 种其它产品,则不同排列方法的种数 【解答】解:4 种不同产品排成一排所有的排法共有 A4424 种, 其中甲、乙两种产品相邻的排法有 A22A3312 种, 第 7 页(共 19 页) 故甲、乙两种产品之间至少有 1 种其它产品,则不同排列方法的种数是排法有 2412 12 种 故选:A 【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用,相邻的问题用捆绑法,属于 中档题 6 (5 分)直线 y4x 与曲线 yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A4 B4 C2 D2 【分析】由题意首先求出第

13、一象限的交点,然后利用定积分表示围成的图形的面积,然 后计算即可 【解答】解:先根据题意画出图形,两个图形在第一象限的交点为(2,8) , 所以曲线 yx3与直线 y4x 在第一象限所围成的图形的面积是02(4xx3)dx, 而02(4xx3)dx(2x2x4)|02844 曲封闭图形的面积是 4, 故选:B 【点评】本题考查学生利用定积分求曲边梯形的面积,会求出原函数的能力,同时考查 了数形结合的思想,属于基础题 7 (5 分)函数的图象大致为( ) A B C D 【分析】根据函数是否存在零点,以及 f(1)的符号,利用排除法进行判断即可 【解答】解:f(1)0,排除 C,D, 由0,则方

14、程无解,即函数没有零点,排除 B, 第 8 页(共 19 页) 故选:A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用排除法是解决本题的关键 8 (5 分)已知 f(x)+6ax+b 的两个极值点分别为 x1,x2(x1x2) ,且 x2 ,则函数 f(x1)f(x2)( ) A1 B C1 D与 b 有关 【分析】求出函数的导数,求出 a1,x12,x23,从而求出 f(x1)f(x2)的值即 可 【解答】解:f(x)x25ax+6a, 故 x1+x25a,x1x26a,而 x2, 联立解得:a1,x12,x23, 故 f(x)x2+6x+b, 故 f(x1)f(x2) 84+12+b(2

15、79+18+b) , 故选:B 【点评】本题考查了函数的单调性,极值问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道 常规题 9 (5 分) 已知动圆 C 经过点 A (2, 0) , 且截 y 轴所得的弦长为 4, 则圆心 C 的轨迹是 ( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 【分析】设圆心 C(x,y) ,弦为 BD,过点 C 作 CEy 轴,垂足为 E,则|BE|2,又|CA|2 |BC|2|BE|2+|CE|2,利用两点间的距离公式即可得出 【解答】解:设圆心 C(x,y) ,弦为 BCD 过点 C 作 CEy 轴,垂足为 E,则|BE|2, |CA|2|BC|2|BE|2+|CE|2, (

16、x2)2+y222+x2,化为 y24x,y24x 为抛物线 故选:D 第 9 页(共 19 页) 【点评】本题综合考查了抛物线的标准方程及其性质、垂径定理、两点间的距离公式, 考查学生的计算能力,属于中档题 10 (5 分)用数学归纳法证明不等式+(n1,nN*)的过程中, 从 nk 到 nk+1 时左边需增加的代数式是( ) A B C+ D 【分析】求出当 nk 时,左边的代数式,当 nk+1 时,左边的代数式,相减可得结果 【解答】解:当 nk 时,左边的代数式为+, 当 nk+1 时,左边的代数式为+, 故用 nk+1 时左边的代数式减去 nk 时左边的代数式的结果为: + 故选:B

17、 【点评】本题考查用数学归纳法证明不等式,注意式子的结构特征,以及从 nk 到 n k+1 项的变化 11 (5 分)如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有 n(n1, nN*) 个点, 相应的图案中总的点数记为 an, 则 等于( ) 第 10 页(共 19 页) A B C D 【分析】本题要先根据图象找规律,列出前几项即可发现规律,然后写出一般项 an,在 计算求和式时先对一般项进行化简再进行裂项相消法就会更简单 【解答】解:由题意及图,可知: a23, a33(31)6, a43(41)9, a53(51)12, an3(n1)3(n1) 1+ 1 故选:C 【点

18、评】本题主要考查对图形点的归律个观察、归纳出一般项,以及运用裂项相消法进 行求和本题属中档题 12 (5 分)已知双曲线的一个焦点与抛物线 y28x 的焦点 F 重 合,抛物线的准线与双曲线交于 A,B 两点,且OAB 的面积为 6(O 为原点) ,则双曲 第 11 页(共 19 页) 线的方程为( ) A B C D 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程,可得双曲线的 c,由三角形的面积公式可得 A 的坐标,由双曲线的定义可得 a,进而得到 b,可得双曲线的方程 【解答】解:抛物线 y28x 的焦点 F 为(2,0) , 可得双曲线的焦点分别为)2,0) , (2,0) , 抛物线的准线为 x

19、2, 由OAB 的面积为 6,可得2|AB|6, 即|AB|6,可设 A(2,3) , 可得 A 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为 |3|2, 即 2a2,可得 a1, 由 b, 可得双曲线的方程为 x21 故选:D 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分分. 13 (5 分)已知函数 f(x)x3+2x2,则曲线 yf(x)在点(1,f(1) )处的切线方 程为 x+y0 【分析】分别求出 f(1)及 f(x)3x2+4x,即可求得 f(1) ,利用点斜式即可 得到所求切线

20、方程,问题得解 【解答】解:由题可得:f(1)1,点(1,f(1) )化为: (1,1) 又 f(x)3x2+4x, 所以 f(1)1,所以所求切线斜率为1, 所以函数 f(x)x3+2x2,则曲线 yf(x)在点(1,1)处的切线方程为:x+y0, 第 12 页(共 19 页) 故答案为:x+y0 【点评】本题主要考查了导数的几何意义及直线方程的点斜式,考查计算能力,属于基 础题 14 (5 分)某次考试结束,甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天甲说: “你们的成绩都没有 我高 ”乙说: “我的成绩一定比丙高 ”丙说: “你们的成绩都比我高 ”成绩公布后,三 人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对

21、,若将三人成绩从高到低排序,则甲排在第 2 名 【分析】分别讨论三人中一人说的不对,另外 2 人正确,然后进行验证是否满足条件即 可 【解答】解:若甲说的不对,乙,丙说的正确,则甲不是最高的, 乙的成绩比丙高,则乙最高,丙若正确,则丙最低,满足条件, 此时三人成绩从高到底为乙,甲,丙, 若乙说的不对,甲丙说的正确,则甲最高,乙最小,丙第二,此时丙错误,不满足条件 若丙说的不对,甲乙说的正确,则甲最高,乙第二,丙最低,此时丙也正确,不满足条 件 故三人成绩从高到底为乙,甲,丙, 则甲排第 2 位, 故答案为:2 【点评】本题主要考查合情推理的应用,利用三人中恰有一人说得不对,分别进行讨论 是解决

22、本题的关键 15 (5 分)设 F 是双曲线 C:1 的一个焦点若 C 上存在点 P,使线段 PF 的中 点恰为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为 【分析】设 F(c,0) ,P(m,n) , (m0) ,设 PF 的中点为 M(0,b) ,即有 mc, n2b,将中点 M 的坐标代入双曲线方程,结合离心率公式,计算即可得到 【解答】解:设 F(c,0) ,P(m,n) , (m0) , 设 PF 的中点为 M(0,b) , 即有 mc,n2b, 将点(c,2b)代入双曲线方程可得, 第 13 页(共 19 页) 1, 可得 e25, 解得 e 故答案为: 【点评】本题考查双曲线的方程和性质

23、,主要考查双曲线的离心率的求法,同时考查中 点坐标公式的运用,属于中档题 16 (5 分)已知函数 f(x)及其导数 f(x) ,若存在 x0,使得 f(x0)f(x0) ,则 x0 称为 f(x)的一个“巧值点” ,则下列函数中有“巧值点”的是 f(x)x2;f(x)e x;f(x)lnx;f(x)tanx;f(x) 【分析】求出函数的导数,使 f(x)f(x) ,如果有解,则存在存在“巧值点” 【解答】解:中的函数 f(x)x2,f(x)2x要使 f(x)f(x) ,则 x22x, 解得 x0 或 2,可见函数有巧值点; 对于中的函数,要使 f(x)f(x) ,则 e xex,由对任意的

24、x,有 ex0,可 知方程无解,原函数没有巧值点; 对于中的函数,要使 f(x)f(x) ,则 lnx, 由函数 f(x)lnx 与 y的图象知,它们有交点,因此方程有解,原函数有巧值点; 对于中的函数,f (x)tanx,f(x),要使 f(x)f(x) , 则 tanx,即 sinxcosx1,即 sin2x2,无解,原函数没有巧值点,故错误; 对于中的函数,要使 f(x)f(x) ,则,解得 x1,原函数有巧值点; 故有“巧值点”的函数为 故答案为: 第 14 页(共 19 页) 【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查导数的应用,突出等价转化思想与数形 结合思想的考查,属于中档题 三

25、、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 (10 分) (1)设 ab0,用综合法证明:a3+b3a2b+ab2; (2)用分析法证明: 【分析】 (1)由 ab0,由(ab)20,可得(a+b) (ab)20,展开后,即可得 证; (2)运用分析法证明,注意两边平方和不等式的性质,即可得证 【解答】证明: (1)ab0, 由(ab)20,可得: (a+b) (ab)20, 即为(a2b2) (ab)0, 即有 a3+b3a2bab20, 可得 a3+b3a2b+ab2; (

26、2)要证, 即证(+)2(2+)2, 即为 13+213+4, 即为 24, 即为 4240,显然成立, 上式均可逆, 则原不等式成立 【点评】本题考查不等式的证明,合理运用分析法和综合法,注意解题步骤,考查推理 第 15 页(共 19 页) 能力,属于基础题 18 (12 分)如图 1,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AB,BC 的中点,点 M 在 AD 上,且 AMAD将AED,DCF 分别沿 DE,DF 折叠使 A,C 点重合于 点 P,如图 2 所示 (1)试判断 PB 与平面 MEF 的位置关系,并给出证明; (2)求二面角 MEFD 的余弦值 【分析】 (

27、1)由折叠前后的图形证明 MNPB,由线面平行的判定可得 PB平面 MEF; (2)图 2 中的三角形 PDE 与三角形 PDF 分别是图 1 中的 RtADE 与 RtCDF,说明 PDPE,PDPF,可得 PD平面 PEF,则 PDEF,进一步得到 EF平面 PBD,从 而可得MND 为二面角 MEFD 的平面角求解三角形得答案 【解答】解: (1)PB平面 MEF 证明如下:在图 1 中,连接 BD,交 EF 于 N,交 AC 于 O,则 BN, 在图 2 中,连接 BD 交 EF 于 N,连接 MN, 在DPB 中,有 BN,PM,MNPB PB平面 MEF,MN平面 MEF,故 PB

28、平面 MEF; (2)图 2 中的三角形 PDE 与三角形 PDF 分别是图 1 中的 RtADE 与 RtCDF, PDPE,PDPF, 又 PEPEP,PD平面 PEF,则 PDEF, 又 EFBD,EF平面 PBD, 则MND 为二面角 MEFD 的平面角 可知 PMPN,则在 RtMND 中,PM1,PN,则 MN 在MND 中,MD3,DN,由余弦定理,得 cosMND 第 16 页(共 19 页) 二面角 MEFD 的余弦值为 【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力,考查二面角 的平面角的求法,正确找出二面角的平面角是关键,是中档题 19 (12 分)已知

29、函数 f(x)x3x (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)求函数 f(x)在区间1,2上的最大值和最小值 【分析】 (1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可; (2)根据函数的单调性求出函数的极值点,从而求出函数的最值即可 【解答】解: (1)令 f(x)3x210,得 x或 x, 令 f(x)0,解得x, 所以 f(x)的递增区间为(,) , (,+) ,递减区间为(,) (2)由(1)知 x分别是 f(x)的极大值点和极小值点, 所以 f(x)极大值f(),f(x)极小值f(), 而 f(1)0,f(2)4, 所以 f(x)最大值f(2)4,f(x)最小值f

30、() 【点评】本题考查了函数的单调性,极值,最值问题,考查导数的应用,是一道基础题 20 (12 分)已知物线 C:y22px(p0)过点 M(4,4) (1)求抛物线 C 的方程; (2)设 F 为抛物线 C 的焦点,直线 l:y2x8 与抛物线 C 交于 A,B 两点,求FAB 的面积 【分析】 (1)将点的坐标代入抛物线,进行求解即可 (2)联立方程组,利用根与系数之间的关系结合三角形的面积公式进行求解 【解答】解: (1)因为抛物线 C:y22px(p0)过点 M(4,4) , 第 17 页(共 19 页) 所以(4)28p32,解得 p4, 所以抛物线 C 的方程为 y28x (2)

31、由抛物线的方程可知 F(2,0) , 直线 l:y2x8 与 x 轴交于点 P(4,0) , 联立直线与抛物线方程, 消去 x 可得 y24y320, 所以 y1+y24,y1y232, 所以 SFAB|PF|y1y1|12, 所以FAB 的面积为 12 【点评】本题主要考查抛物线方程的求解,以及直线和抛物线位置关系的应用,利用设 而不求思想结合三角形的面积公式是解决本题的关键 21 (12 分)已知椭圆 C 过点,两个焦点 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,且|AB|6,求AOB 面积的最大值 【分析】 (1)由已知可设椭圆方程为(ab0) ,且

32、 c,再由椭圆定 义求得 a,结合隐含条件求得 b,则椭圆方程可求; (2)当直线 AB 的斜率不存在时,设直线方程为 xm,由弦长求得 m,可得三角形 AOB 的面积;当直线 AB 的斜率存在时,设直线方程为 ykx+m,联立直线方程与椭圆方程, 结合根与系数的关系及弦长可得 m 与 k 的关系,再由点到直线的距离公式求出原点 O 到 AB 的距离,代入三角形面积公式,化简后利用二次函数求最值,则答案可求 【解答】解: (1)由题意,设椭圆方程为(ab0) , 且 c,2a12, 则 a6,b2a2c212 椭圆 C 的标准方程为; (2)当直线 AB 的斜率不存在时,设直线方程为 xm,

33、第 18 页(共 19 页) 得|AB|, 由|AB|6,解得 m3, 此时; 当直线 AB 的斜率存在时,设直线方程为 ykx+m, 联立,得(3k2+1)x2+6kmx+3m2360 36k2m24(3k2+1) (3m236)432k212m2+144 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则, 由|AB|6, 整理得:,原点 O 到 AB 的距离 d 当时,AOB 面积有最大值为9 综上,AOB 面积的最大值为 【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,考查计算能力, 是中档题 22 (12 分)已知函数 f(x)x3+ax (1)讨论 f(x)的单调性;

34、(2)若函数 g(x)f(x)xlnx 在上有零点,求 a 的取值范围 【分析】 (1)对 f(x)求导,然后分 a0 和 a0 两种情况讨论单调性即可; (2) 原式等价于方程 x3+axxlnx0 在上有解, 然后构造函数 h (x) x2+lnx, 第 19 页(共 19 页) 求出 h(x)的最大值和最小值即可 【解答】解: (1)f(x)x3+ax,f(x)3x2+a, 当 a0 时,f(x)3x2+a0,f(x)在 R 上单调递增; 当 a0 时,令 f(x)0,解得或, 令 f(x)0,解得, 则 f(x)在,上单调递增; 在上单调递减, (2)g(x)f(x)xlnx,g(x)x3+axxlnx, g(x)f(x)xlnx 在上有零点, 等价于关于 x 的方程 g(x)0 在上有解, 即 x3+axxlnx0 在上有解, x3+axxlnx0,ax2+lnx 令 h(x)x2+lnx,则, 令 h(x)0,解得; 令 h(x)0,解得, 则上单调递减,在上单调递增, ,h(2)22+ln24+ln2, , 则 h(x)minh(2)4+ln2, 故 a 的取值范围为 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值,考查了分类讨论思想和构造法, 属中档题