1、2018-2019 学年江西省赣州市南康中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设，则 在复平面对应的点位于第（ ）象限 A一 B二 C三 D四 2 （5 分） “x1”是“ln（x+1）0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D不充分也不必要条件 3 （5 分）曲线 f（x）+lnxx 在 x1 处的切线的倾斜角是（ ） A B C D 4 （5 分）二项式的展开式的常数
2、项为（ ） A5 B5 C10 D10 5 （5 分）用 0、1、2、3、4 这 5 个数字，组成无重复数字的五位数，其中偶数有（ ） A36 个 B72 个 C48 个 D60 个 6 （5 分）函数 f（x）xcosxsinx 在 x3，3的大致图象为（ ） A B C D 7 （5 分）已知椭圆（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2M 为椭圆上一动点，F1MF2面积的最大值为，则椭圆的离心率为（ ） 第 2 页（共 21 页） A B1 C D 8 （5 分）已知ABC 中，tanA（sinCsinB）cosBcosC，则ABC 为（ ） A等腰三角形 BA60的三角形 C等腰三角形或
3、A60的三角形 D等腰直角三角形 9 （5 分）某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺 序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ） A72 B120 C144 D168 10 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积 为（ ） A B C D4 11 （5 分）已知双曲线1（a0，b0）的两条渐近线与抛物线 y22px（p0） 的准线分别交于 A、 B 两点， O 为坐标原点 若双曲线的离心率为 2， AOB 的面积为， 则 p（ ） A1 B C2 D3 12 （5 分）已知函数 f（x）2x33x，若过点 P（1，
4、t）存在 3 条直线与曲线 yf（x）相 切，则 t 的取值范围为（ ） A （，3） B （3，1） C （1，+） D （0，1） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 第 3 页（共 21 页） 13 （5 分）某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则至少 选中一名男生的选法种数是 14 （5 分）如图所示，在正方形 ABCD 内，随机投入一个质点，则所投质点恰好落在 CE 与 y 轴及抛物线 yx2所围成的区域内的概率是 15 （5 分）已
5、知，若（a， b 均为实数） ，请推测 a ，b 16 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为（0，+） ，若 y在（0，+）上为增函数， 则称 f（x）为“一阶比增函数” ；若 y在（0，+）上为增函数，则称 f（x）为 “二阶比增函数” 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 1，所有“二阶比增 函数” 组成的集合记为 2已知函数 f（x） x32mx2mx， 若 f（x）1，且 f （x）2， 实数 m 的取值范围 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）已知函数 f（x）x33ax1
6、，a0 （1）当 a4，求 f（x）的单调区间； （2）若 f（x）在 x1 处取得极值，直线 ym 与 yf（x）的图象有三个不同的交点， 求 m 的取值范围 18 （12 分）己知等差数列an中，a13，前 n 项和为 Sn，数列bn是首项为 1，公比为 q （q1） ，各项均为正数的等比数列，且 b2+S212，q （l）求 an与 bn； （2）证明： 第 4 页（共 21 页） 19 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin（A+C）8sin2 （1）求 cosB； （2）若 a+c6，ABC 的面积为 2，求 b 20 （12 分）如图，在梯形
7、 ABCD 中，ABCD，ADDCCB1，ABC60EA FC，且 FC平面 ABCD，FC2，AE1，点 M 为 EF 上任意一点 （）求证：AMBC； （）点 M 在线段 EF 上运动（包括两端点） ，若平面 MAB 与平面 FBC 所成的锐二面角 为 60，试确定点 M 的位置 21 （12 分）已知椭圆 C：1（ab0）的两焦点在 x 轴上，且短轴的两个顶点 与其中一个焦点的连线构成斜边为 2 的等腰直角三角形 （1）求椭圆的方程； （2）动直线 l：3mx+3ny+n0（mR，nR，m，n 不全为零）交椭圆 C 于 A，B 两点， 试问： 在坐标平面上是否存在一个定点 Q， 使得以线
8、段 AB 为直径的圆恒过点 Q？若存在， 求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 22 （12 分）已知函数 f（x）alnx（a+2）x+x2 （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若对于任意 a4，10，x1，x21，2，恒有|成立，试求 的取值范围 第 5 页（共 21 页） 2018-2019 学年江西省赣州市南康中学高二（下）期中数学试卷学年江西省赣州市南康中学高二（下）期中数学试卷 （理科）（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每
9、小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）设，则 在复平面对应的点位于第（ ）象限 A一 B二 C三 D四 【分析】根据复数的运算法则先进行化简，结合复数的几何意义进行判断即可 【解答】解：+i+i1+2i+i1+3i， 13i，对应点 的坐标为（1，3） ， 位于第四象限， 故选：D 【点评】本题主要考查复数的几何意义，根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关 键 2 （5 分） “x1”是“ln（x+1）0”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D不充分也不必要条件 【分析】求出 ln（x+1）0 的等价条件，结合充分条件和
10、必要条件的定义进行判断即可 【解答】解：由 ln（x+1）0 得 0x+11，得1x0， 则 x1”是“ln（x+1）0”的必要不充分条件， 故选：B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关 键 3 （5 分）曲线 f（x）+lnxx 在 x1 处的切线的倾斜角是（ ） A B C D 【分析】根据题意，设切线的斜率为 k，其倾斜角是 ，求出函数 f（x）的导数，利用导 数的几何意义可得 kf（1） ，即 tan，结合 的范围，分析可得答案 第 6 页（共 21 页） 【解答】解：根据题意，设切线的斜率为 k，其倾斜角是 ， f（x）+lnxx，则 f（x
11、）x2+1， 则有 kf（1）， 则 tan， 又由 0，则 ， 故选：C 【点评】本题考查利用导数分析切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题 4 （5 分）二项式的展开式的常数项为（ ） A5 B5 C10 D10 【分析】根据题意，求出二项式的展开式的通项为 Tr+1（1）r C5r，令0，解可得 r4，将 r4 代入通项中，计算即可得答案 【解答】解：根据题意，二项式的展开式的通项为 Tr+1C5r（x6）5 r（ ）r（1）rC5r， 令0，解可得 r4， 则其展开式的常数项为 T5C545； 故选：B 【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式展开式通项的形式 5
12、（5 分）用 0、1、2、3、4 这 5 个数字，组成无重复数字的五位数，其中偶数有（ ） A36 个 B72 个 C48 个 D60 个 【分析】根据题意，分析可得五位偶数的个位数字必须为 0 或 2、4，分 2 种情况讨论： 、当个位数字为 0 时，、当个位数字为 2 或 4 时，求出每种情况下的五位偶数的个 数，由加法原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，要求组成五位偶数，则其个位数字必须为 0 或 2、4， 分 2 种情况讨论： 、当个位数字为 0 时，将剩下的数字全排列，作为这个五位数的前四位，有 A4424 种情况， 第 7 页（共 21 页） 则此时有 24 个五位偶数， 、当
13、个位数字为 2 或 4 时，个位数字有 2 种情况， 首位数字不能为 0，有 3 种情况，将剩下的数字全排列，作为这个五位数的中间三位，有 A336 种情况， 共有 23636 种情况，则此时有 36 个五位偶数， 则可以组成 24+3660 个无重复数字的五位偶数； 故选：D 【点评】本题考查排列、组合的应用，注意需要对 0 进行分类讨论 6 （5 分）函数 f（x）xcosxsinx 在 x3，3的大致图象为（ ） A B C D 【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用 f（）的符号进行排除即可 【解答】解：f（x）xcosx+sinx（xcosxsinx）f（x） ，函数 f（x）是奇函
14、 数，图象关于原点对称，排除 B，D f（）cossin0，排除 C， 故选：A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性以及特殊值的符号是 否一致利用排除法是解决本题的关键 7 （5 分）已知椭圆（ab0）的左、右焦点分别为 F1，F2M 为椭圆上一动点，F1MF2面积的最大值为，则椭圆的离心率为（ ） A B1 C D 【分析】当 M 为椭圆的短轴端点时，MF1F2的面积取得最大值，列方程得出 a，c 的 第 8 页（共 21 页） 关系即可求出离心率 【解答】解：显然当 M 为椭圆的短轴端点时，MF1F2的面积取得最大值， 故ab，于是 ca， e 故选：A 【点评】本
15、题考查了椭圆的简单性质，离心率的计算，属于基础题 8 （5 分）已知ABC 中，tanA（sinCsinB）cosBcosC，则ABC 为（ ） A等腰三角形 BA60的三角形 C等腰三角形或A60的三角形 D等腰直角三角形 【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，变换成 cos（AC）cos（AB） ，进 一步利用诱导公式求出两种情况， 【解答】解：tanA（sinCsinB）cosBcosC， 整理得：， 则：sinAsinCsinAsinBcosAcosBcosAcosC， sinAsinC+cosAcosCsinAsinB+cosAcosB， 即：cos（AC）cos（AB） ， 则
16、：ACAB，解得：BC 所以：ABC 是等腰三角形 ACBA，解得：2AB+C， 由于：A+B+C180， 则：A60， 所以：ABC 是A60的三角形 综上所述：ABC 是等腰三角形或A60的三角形 故选：C 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角形内角和定理的应用 及相关的运算问题 9 （5 分）某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺 第 9 页（共 21 页） 序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ） A72 B120 C144 D168 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：、先将 3 个歌舞类节目全排列，、因为 3 个 歌舞
17、类节目不能相邻，则分 3 种情况讨论中间 2 个空位安排情况，由分步计数原理计算 每一步的情况数目，进而由分类计数原理计算可得答案 【解答】解：分 2 步进行分析： 1、先将 3 个歌舞类节目全排列，有 A336 种情况，排好后，有 4 个空位， 2、因为 3 个歌舞类节目不能相邻，则中间 2 个空位必须都安排节目， 分 3 种情况讨论： 将中间 2 个空位安排 1 个小品类节目和 1 个相声类节目，有 C21A224 种情况， 排好后，最后 1 个小品类节目放在 2 端，有 2 种情况， 此时同类节目不相邻的排法种数是 428 种； 将中间 2 个空位安排 2 个小品类节目，有 A222 种
18、情况， 相声类节目放在 2 端，有 2 种情况， 此时有 4 种安排方法； 将中间 2 个空位安排 3 个节目， 将一个小品类节目和相声类节目作为一个整体放在其中一共空位，剩下一个空位安排令 一个小品类节目， 此时有 C21228 种安排方法， 则中间空位的安排方法有 8+4+820 种， 则同类节目不相邻的排法种数是 620120 种， 故选：B 【点评】本题考查计数原理的运用，注意分步方法的运用，既要满足题意的要求，还要 计算或分类简便 10 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥的体积 为（ ） 第 10 页（共 21 页） A B C D4 【分析】由
19、三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的高为，底面是边长为 2，矩形， 把数据代入锥体的体积公式计算 【解答】解：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的高为，底面是边长为 2， 矩形， 几何体的体积 V 故选：B 【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及数据所对应的几何 量是关键 11 （5 分）已知双曲线1（a0，b0）的两条渐近线与抛物线 y22px（p0） 的准线分别交于 A、 B 两点， O 为坐标原点 若双曲线的离心率为 2， AOB 的面积为， 则 p（ ） A1 B C2 D3 【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线 y22px（p0）的准线方程，进 而求出 A，
20、B 两点的坐标，再由双曲线的离心率为 2，AOB 的面积为，列出方程， 由此方程求出 p 的值 【解答】解：双曲线， 双曲线的渐近线方程是 yx 第 11 页（共 21 页） 又抛物线 y22px（p0）的准线方程是 x， 故 A，B 两点的纵坐标分别是 y，双曲线的离心率为 2，所以， 则， A，B 两点的纵坐标分别是 y， 又，AOB 的面积为，x 轴是角 AOB 的角平分线 ，得 p2 故选：C 【点评】 本题考查圆锥曲线的共同特征， 解题的关键是求出双曲线的渐近线方程， 解出 A， B 两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算 量，做题时要严谨，防运算
21、出错 12 （5 分）已知函数 f（x）2x33x，若过点 P（1，t）存在 3 条直线与曲线 yf（x）相 切，则 t 的取值范围为（ ） A （，3） B （3，1） C （1，+） D （0，1） 【分析】设出切点，由斜率的两种表示得到等式，化简得三次函数，将题目条件化为函 数有三个零点，得解 【解答】解：设过点 P（1，t）的直线与曲线 yf（x）相切于点（x，2x33x） ， 则6x23， 化简得，4x36x2+3+t0， 令 g（x）4x36x2+3+t， 则令 g（x）12x（x1）0， 则 x0，x1 g（0）3+t，g（1）t+1， 又过点 P（1，t）存在 3 条直线与曲线
22、 yf（x）相切， 则（t+3） （t+1）0， 解得，3t1 故选：B 【点评】本题主要考查利用导数求切线方程等知识，考查转化思想的运用能力和运算能 第 12 页（共 21 页） 力，属中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则至少 选中一名男生的选法种数是 7 【分析】根据题意，用间接法分析：先计算从 2 名男生和 3 名女生任选 2 名学生的选法 数目，在排除其中没有男生即全部为女生
23、的选法，分析可得答案 【解答】解：根据题意，从 2 名男生和 3 名女生，共 5 人中任选 2 名学生，有 C5210 种选法， 其中没有男生即全部为女生的选法有 C323 种， 则至少选中一名男生的选法有 1037 种； 故选： 【点评】本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论 14 （5 分）如图所示，在正方形 ABCD 内，随机投入一个质点，则所投质点恰好落在 CE 与 y 轴及抛物线 yx2所围成的区域内的概率是 【分析】利用定积分求出阴影部分的面积，再由测度比为面积比得答案 【解答】解：如图，阴影部分的面积为 S 正方形 ABCD 的面积为 S224 所求概率为 P
24、故答案为： 【点评】本题考查几何概型概率的求法，考查定积分的求法，是基础题 第 13 页（共 21 页） 15 （5 分）已知，若（a， b 均为实数） ，请推测 a 6 ，b 35 【分析】观察各个等式的特点归纳出等式两边的规律，求出 a 和 b 的值即可 【解答】解：观察各个等式可得，各个等式左边的分数的分子与前面的整数相同、分母 是分子平方减 1， 等式右边的分数与左边的分数相同，前面的整数与左边的整数相同， 等式中的 a6、b36135， 故答案为：6；35 【点评】本题考查归纳推理，难点是根据能够找出数之间的内在规律，考查观察、分析、 归纳的能力，是基础题 16 （5 分）已知函数
25、f（x）的定义域为（0，+） ，若 y在（0，+）上为增函数， 则称 f（x）为“一阶比增函数” ；若 y在（0，+）上为增函数，则称 f（x）为 “二阶比增函数” 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 1，所有“二阶比增 函数” 组成的集合记为 2已知函数 f（x） x32mx2mx， 若 f（x）1，且 f （x）2， 实数 m 的取值范围 （，0） 【分析】因为 f（x）1且 f（x）2，即 g（x）x22mxm 在（0，+） 是增函数，所以 h0而 h（x）x2m在（0，+）不是增函数，而 h （x）1+，所以当 h（x）是增函数时，有 h0，所以当 h（x）不是增函数时，有 h
26、0综上所述，可得 h 的取值范围是（，0） 【解答】解：f（x）1且 f（x）2， 即 g（x）x22mxm 在（0，+）是增函数， m0 而 h（x）x2m在（0，+）不是增函数， 而 h（x）1+， 当 h（x）是增函数时，有 m0， 当 h（x）不是增函数时，有 m0 第 14 页（共 21 页） 综上所述，可得 m 的取值范围是（，0） 故答案为： （，0） 【点评】本题考查新定义的理解和运用，主要考察了函数的单调性，导数的应用，是一 道中档题 三、解答题（共三、解答题（共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）
27、已知函数 f（x）x33ax1，a0 （1）当 a4，求 f（x）的单调区间； （2）若 f（x）在 x1 处取得极值，直线 ym 与 yf（x）的图象有三个不同的交点， 求 m 的取值范围 【分析】 （1）a4 时，f（x）3x2123（x+2） （x2） ，由此利用导数性质能求出 f（x）的单调区间 （2） 由 f（x） 在 x1 处取得极值，求出 f（x）x33x1，f （x）3x233（x+1） （x1） ，由此求出 f（x）极小值f（1）3，f（x）极大值f（1）1，再由直线 ym 与 yf（x）的图象有三个不同的交点，能求出 m 的取值范围是（3，1） 【解答】解： （1）a4 时
28、，f（x）x312x1， f（x）3x2123（x+2） （x2） ， 由 f（x）0，得2x2， 由 f（x）0，得 x2 或 x2， f（x）的减区间是（2，2） ；f（x）的增区间是（，2） ， （2，+） （2）f（x）x33ax1，a0， f（x）3x23a， f（x）在 x1 处取得极值， f（1）33a0，解得 a1， f（x）x33x1，f（x）3x233（x+1） （x1） ， 由由 f（x）0，得1x1， 由 f（x）0，得 x1 或 x1， f（x）的减区间是（1，1） ；f（x）的增区间是（，1） ， （1，+） f（x）极小值f（1）3，f（x）极大值f（1）1， 直
29、线 ym 与 yf（x）的图象有三个不同的交点， m 的取值范围是（3，1） 第 15 页（共 21 页） 【点评】本题考查函数的极大值和极小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档 题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用 18 （12 分）己知等差数列an中，a13，前 n 项和为 Sn，数列bn是首项为 1，公比为 q （q1） ，各项均为正数的等比数列，且 b2+S212，q （l）求 an与 bn； （2）证明： 【分析】 （1）利用等差数列以及等比数列列出方程求出公差与公比，然后求解通项公式 （2）化简通项公式利用裂项消项法，求解数列的和即可 【解答】解： （1）设an的公差
30、为 d，因为 所以解得 q3 或 q4（舍） ，d3 故 an3+3（n1）3n，bn3n 1 （2）证明：因为 Sn 所以（） 故+（1）+（）+（）+（）（1 ） 因为 n1，所以 0，于是 11， 所以（1）， 即+ 【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和以及数列与不等式的关系， 考查计算能力 19 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin（A+C）8sin2 （1）求 cosB； （2）若 a+c6，ABC 的面积为 2，求 b 第 16 页（共 21 页） 【分析】（1） 利用三角形的内角和定理可知 A+CB， 再利用诱导公式化简
31、sin （A+C） ， 利用降幂公式化简 8sin2，结合 sin2B+cos2B1，求出 cosB， （2）由（1）可知 sinB，利用三角形的面积公式求出 ac，再利用余弦定理即可求出 b 【解答】解： （1）sin（A+C）8sin2， sinB4（1cosB） ， sin2B+cos2B1， 16（1cosB）2+cos2B1， 16（1cosB）2+cos2B10， 16（cosB1）2+（cosB1） （cosB+1）0， （17cosB15） （cosB1）0， cosB； （2）由（1）可知 sinB， SABCacsinB2， ac， b2a2+c22accosBa2+c22
32、 a2+c215（a+c）22ac153617154， b2 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面积公式，二倍角公式和同角的三 角函数的关系，属于中档题 20 （12 分）如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，ADDCCB1，ABC60EA FC，且 FC平面 ABCD，FC2，AE1，点 M 为 EF 上任意一点 （）求证：AMBC； （）点 M 在线段 EF 上运动（包括两端点） ，若平面 MAB 与平面 FBC 所成的锐二面角 为 60，试确定点 M 的位置 第 17 页（共 21 页） 【分析】 （）连接 AC，推导出 BCAC，FCBC，从而 BC平面 AEFC，由此能证
33、明 BCAM （）以 C 为坐标原点，分别以直线 CA，CB，CF 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐 标系，利用向量法能求出点 M 与点 E 重合 【解答】证明： （）ABCD，ADDCCB1，ABC60，AB2， 连接 AC，在ABC 中，AC2AB2+BC22ABBCcos604+123， AB2AC2+BC2，BCAC， FC平面 ABCD，FCBC，又 ACFCC， BC平面 AEFC，AM平面 AEFC，BCAM 解： （）以 C 为坐标原点，分别以直线 CA，CB，CF 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角 坐标系， 则 A（，0，0） ，B（0，1，0） ，C（0，0，
34、0） ，F（0，0，2） ， E（） ， （） ，设 M（x，y，z） ， 则（x，y，z2）（） ， M（） ，（，0，2） ， 设平面 ABM 的法向量为 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1， 令 x1，得 （1，） 平面 FBC 的一个法向量为 （1，0，0） ， 平面 MAB 与平面 FBC 所成的锐二面角为 60， 第 18 页（共 21 页） cos60， 解得 1点 M 与点 E 重合 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定与求法，考查空间 中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化 思想，是中档题 21 （12 分
35、）已知椭圆 C：1（ab0）的两焦点在 x 轴上，且短轴的两个顶点 与其中一个焦点的连线构成斜边为 2 的等腰直角三角形 （1）求椭圆的方程； （2）动直线 l：3mx+3ny+n0（mR，nR，m，n 不全为零）交椭圆 C 于 A，B 两点， 试问： 在坐标平面上是否存在一个定点 Q， 使得以线段 AB 为直径的圆恒过点 Q？若存在， 求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）利用椭圆的定义及等腰直角三角形的性质可得 a，在把点 P 的坐标代 入椭圆方程即可得出 b2，进而得到椭圆的方程； （2）先利用特殊位置的两个圆找出点 T（0，1） ，在证明点 T 符合条件即可对直线
36、l 的斜率分类讨论，当斜率存在时，把直线 l 的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的 关系及向量垂直与数量积的关系即可得出 【解答】解 （1）椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线构成等腰直角三角形， bc 又斜边长为 2，即 2b2，故 cb1，a， 椭圆方程为+y21 （2）由题意可知该动直线过定点， 第 19 页（共 21 页） 当 l 与 x 轴平行时，以线段 AB 为直径的圆的方程为； 当 l 与 y 轴平行时，以线段 AB 为直径的圆的方程为 x2+y21 由得 故若存在定点 Q，则 Q 的坐标只可能为 Q（0，1） 下面证明 Q（0，1）为所求： 若直线 l 的斜率不存在，上述已经
37、证明 若直线 l 的斜率存在，设直线 l：ykx， A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由得（9+18k2）x212kx160， 144k2+64（9+18k2）0，x1+x2，x1x2， （x1，y11） ，（x2，y21） ， x1x2+（y11） （y21） （1+k2）x1x2（x1+x2）+ （1+k2） +0， ，即以线段 AB 为直径的圆恒过点 Q（0，1） 【点评】本题综合考查了椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为把直线的方 程与椭圆的方程联立得到一元二次方程得根与系数的关系、 向量垂直与数量积的关系 注 意分类讨论的思想方法的运用、特殊位置探究再证明本题需要较强
38、的推理能力和计算 能力 22 （12 分）已知函数 f（x）alnx（a+2）x+x2 （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若对于任意 a4，10，x1，x21，2，恒有|成立，试求 的取值范围 第 20 页（共 21 页） 【分析】 （1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间即可； （2）问题转化为 2x3（a+2）x2+ax+0 在 x1，2恒成立，根据 x 的范围得 2x3 12x2+10x+0 在 x1，2恒成立，设 h（x）2x312x2+10x+，根据函数的性质求出 的范围即可 【解答】解： （1）函数的定义域是（0，+） ， f（x）（a+2）+2x， a
39、0 时，函数在（0，1）递减，在（1，+）递增， 0a2 时，函数在（0，） ， （1，+）递增，在（，1）递减， a2 时，函数在（0，+）递增， a2 时，函数在（0，1） ， （，+）递增，在（1，）递减； （2）|成立， 即|f（x1）f（x2）|恒成立， 不妨设 x2x1，a4，10时，f（x）在1，2递减， 则 f（x1）f（x2）（） ，得 f（x1）f（x2）， 设 g（x）f（x）alnx（a+2）x+x2， 故对于任意的 a4，10，x1，x21，2，x2x1，g（x1）g（x2）恒成立， 故 g（x）f（x）在1，2递增， g（x）0 在 x1，2恒成立， 故 2x3（a+2）x2+ax+0 在 x1，2恒成立， 即 a（x2+x）+2x32x2+0 在 x1，2恒成立， x1，2时，x2+x0， 只需 10（x2+x）+2x32x2+0 在 x1，2恒成立， 即 2x312x2+10x+0 在 x1，2恒成立， 设 h（x）2x312x2+10x+，则 h（2）12+0， 故 12， 第 21 页（共 21 页） 故实数 的范围是12，+） 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想，是一道综合题