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2018-2019学年江西省赣州市南康区高二(下)期中数学试卷(理科)含详细解答

1、2018-2019 学年江西省赣州市南康中学高二(下)期中数学试卷(理科)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)设,则 在复平面对应的点位于第( )象限 A一 B二 C三 D四 2 (5 分) “x1”是“ln(x+1)0”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D不充分也不必要条件 3 (5 分)曲线 f(x)+lnxx 在 x1 处的切线的倾斜角是( ) A B C D 4 (5 分)二项式的展开式的常数

2、项为( ) A5 B5 C10 D10 5 (5 分)用 0、1、2、3、4 这 5 个数字,组成无重复数字的五位数,其中偶数有( ) A36 个 B72 个 C48 个 D60 个 6 (5 分)函数 f(x)xcosxsinx 在 x3,3的大致图象为( ) A B C D 7 (5 分)已知椭圆(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2M 为椭圆上一动点,F1MF2面积的最大值为,则椭圆的离心率为( ) 第 2 页(共 21 页) A B1 C D 8 (5 分)已知ABC 中,tanA(sinCsinB)cosBcosC,则ABC 为( ) A等腰三角形 BA60的三角形 C等腰三角形或

3、A60的三角形 D等腰直角三角形 9 (5 分)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目,2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺 序,则同类节目不相邻的排法种数是( ) A72 B120 C144 D168 10 (5 分)某四棱锥的三视图如图所示,其俯视图为等腰直角三角形,则该四棱锥的体积 为( ) A B C D4 11 (5 分)已知双曲线1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线 y22px(p0) 的准线分别交于 A、 B 两点, O 为坐标原点 若双曲线的离心率为 2, AOB 的面积为, 则 p( ) A1 B C2 D3 12 (5 分)已知函数 f(x)2x33x,若过点 P(1,

4、t)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相 切,则 t 的取值范围为( ) A (,3) B (3,1) C (1,+) D (0,1) 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)分,将答案填在答题纸上) 第 3 页(共 21 页) 13 (5 分)某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生,现从中任选 2 名学生去参加活动,则至少 选中一名男生的选法种数是 14 (5 分)如图所示,在正方形 ABCD 内,随机投入一个质点,则所投质点恰好落在 CE 与 y 轴及抛物线 yx2所围成的区域内的概率是 15 (5 分)已

5、知,若(a, b 均为实数) ,请推测 a ,b 16 (5 分)已知函数 f(x)的定义域为(0,+) ,若 y在(0,+)上为增函数, 则称 f(x)为“一阶比增函数” ;若 y在(0,+)上为增函数,则称 f(x)为 “二阶比增函数” 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 1,所有“二阶比增 函数” 组成的集合记为 2已知函数 f(x) x32mx2mx, 若 f(x)1,且 f (x)2, 实数 m 的取值范围 三、解答题(共三、解答题(共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17 (10 分)已知函数 f(x)x33ax1

6、,a0 (1)当 a4,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在 x1 处取得极值,直线 ym 与 yf(x)的图象有三个不同的交点, 求 m 的取值范围 18 (12 分)己知等差数列an中,a13,前 n 项和为 Sn,数列bn是首项为 1,公比为 q (q1) ,各项均为正数的等比数列,且 b2+S212,q (l)求 an与 bn; (2)证明: 第 4 页(共 21 页) 19 (12 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin(A+C)8sin2 (1)求 cosB; (2)若 a+c6,ABC 的面积为 2,求 b 20 (12 分)如图,在梯形

7、 ABCD 中,ABCD,ADDCCB1,ABC60EA FC,且 FC平面 ABCD,FC2,AE1,点 M 为 EF 上任意一点 ()求证:AMBC; ()点 M 在线段 EF 上运动(包括两端点) ,若平面 MAB 与平面 FBC 所成的锐二面角 为 60,试确定点 M 的位置 21 (12 分)已知椭圆 C:1(ab0)的两焦点在 x 轴上,且短轴的两个顶点 与其中一个焦点的连线构成斜边为 2 的等腰直角三角形 (1)求椭圆的方程; (2)动直线 l:3mx+3ny+n0(mR,nR,m,n 不全为零)交椭圆 C 于 A,B 两点, 试问: 在坐标平面上是否存在一个定点 Q, 使得以线

8、段 AB 为直径的圆恒过点 Q?若存在, 求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 22 (12 分)已知函数 f(x)alnx(a+2)x+x2 (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若对于任意 a4,10,x1,x21,2,恒有|成立,试求 的取值范围 第 5 页(共 21 页) 2018-2019 学年江西省赣州市南康中学高二(下)期中数学试卷学年江西省赣州市南康中学高二(下)期中数学试卷 (理科)(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题个小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只在每

9、小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 (5 分)设,则 在复平面对应的点位于第( )象限 A一 B二 C三 D四 【分析】根据复数的运算法则先进行化简,结合复数的几何意义进行判断即可 【解答】解:+i+i1+2i+i1+3i, 13i,对应点 的坐标为(1,3) , 位于第四象限, 故选:D 【点评】本题主要考查复数的几何意义,根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关 键 2 (5 分) “x1”是“ln(x+1)0”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D不充分也不必要条件 【分析】求出 ln(x+1)0 的等价条件,结合充分条件和

10、必要条件的定义进行判断即可 【解答】解:由 ln(x+1)0 得 0x+11,得1x0, 则 x1”是“ln(x+1)0”的必要不充分条件, 故选:B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式的关系是解决本题的关 键 3 (5 分)曲线 f(x)+lnxx 在 x1 处的切线的倾斜角是( ) A B C D 【分析】根据题意,设切线的斜率为 k,其倾斜角是 ,求出函数 f(x)的导数,利用导 数的几何意义可得 kf(1) ,即 tan,结合 的范围,分析可得答案 第 6 页(共 21 页) 【解答】解:根据题意,设切线的斜率为 k,其倾斜角是 , f(x)+lnxx,则 f(x

11、)x2+1, 则有 kf(1), 则 tan, 又由 0,则 , 故选:C 【点评】本题考查利用导数分析切线的方程,关键是掌握导数的几何意义,属于基础题 4 (5 分)二项式的展开式的常数项为( ) A5 B5 C10 D10 【分析】根据题意,求出二项式的展开式的通项为 Tr+1(1)r C5r,令0,解可得 r4,将 r4 代入通项中,计算即可得答案 【解答】解:根据题意,二项式的展开式的通项为 Tr+1C5r(x6)5 r( )r(1)rC5r, 令0,解可得 r4, 则其展开式的常数项为 T5C545; 故选:B 【点评】本题考查二项式定理的应用,关键是掌握二项式展开式通项的形式 5

12、(5 分)用 0、1、2、3、4 这 5 个数字,组成无重复数字的五位数,其中偶数有( ) A36 个 B72 个 C48 个 D60 个 【分析】根据题意,分析可得五位偶数的个位数字必须为 0 或 2、4,分 2 种情况讨论: 、当个位数字为 0 时,、当个位数字为 2 或 4 时,求出每种情况下的五位偶数的个 数,由加法原理计算可得答案 【解答】解:根据题意,要求组成五位偶数,则其个位数字必须为 0 或 2、4, 分 2 种情况讨论: 、当个位数字为 0 时,将剩下的数字全排列,作为这个五位数的前四位,有 A4424 种情况, 第 7 页(共 21 页) 则此时有 24 个五位偶数, 、当

13、个位数字为 2 或 4 时,个位数字有 2 种情况, 首位数字不能为 0,有 3 种情况,将剩下的数字全排列,作为这个五位数的中间三位,有 A336 种情况, 共有 23636 种情况,则此时有 36 个五位偶数, 则可以组成 24+3660 个无重复数字的五位偶数; 故选:D 【点评】本题考查排列、组合的应用,注意需要对 0 进行分类讨论 6 (5 分)函数 f(x)xcosxsinx 在 x3,3的大致图象为( ) A B C D 【分析】判断函数的奇偶性和对称性,利用 f()的符号进行排除即可 【解答】解:f(x)xcosx+sinx(xcosxsinx)f(x) ,函数 f(x)是奇函

14、 数,图象关于原点对称,排除 B,D f()cossin0,排除 C, 故选:A 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用函数的奇偶性以及特殊值的符号是 否一致利用排除法是解决本题的关键 7 (5 分)已知椭圆(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2M 为椭圆上一动点,F1MF2面积的最大值为,则椭圆的离心率为( ) A B1 C D 【分析】当 M 为椭圆的短轴端点时,MF1F2的面积取得最大值,列方程得出 a,c 的 第 8 页(共 21 页) 关系即可求出离心率 【解答】解:显然当 M 为椭圆的短轴端点时,MF1F2的面积取得最大值, 故ab,于是 ca, e 故选:A 【点评】本

15、题考查了椭圆的简单性质,离心率的计算,属于基础题 8 (5 分)已知ABC 中,tanA(sinCsinB)cosBcosC,则ABC 为( ) A等腰三角形 BA60的三角形 C等腰三角形或A60的三角形 D等腰直角三角形 【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换,变换成 cos(AC)cos(AB) ,进 一步利用诱导公式求出两种情况, 【解答】解:tanA(sinCsinB)cosBcosC, 整理得:, 则:sinAsinCsinAsinBcosAcosBcosAcosC, sinAsinC+cosAcosCsinAsinB+cosAcosB, 即:cos(AC)cos(AB) , 则

16、:ACAB,解得:BC 所以:ABC 是等腰三角形 ACBA,解得:2AB+C, 由于:A+B+C180, 则:A60, 所以:ABC 是A60的三角形 综上所述:ABC 是等腰三角形或A60的三角形 故选:C 【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,三角形内角和定理的应用 及相关的运算问题 9 (5 分)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目,2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺 第 9 页(共 21 页) 序,则同类节目不相邻的排法种数是( ) A72 B120 C144 D168 【分析】根据题意,分 2 步进行分析:、先将 3 个歌舞类节目全排列,、因为 3 个 歌舞

17、类节目不能相邻,则分 3 种情况讨论中间 2 个空位安排情况,由分步计数原理计算 每一步的情况数目,进而由分类计数原理计算可得答案 【解答】解:分 2 步进行分析: 1、先将 3 个歌舞类节目全排列,有 A336 种情况,排好后,有 4 个空位, 2、因为 3 个歌舞类节目不能相邻,则中间 2 个空位必须都安排节目, 分 3 种情况讨论: 将中间 2 个空位安排 1 个小品类节目和 1 个相声类节目,有 C21A224 种情况, 排好后,最后 1 个小品类节目放在 2 端,有 2 种情况, 此时同类节目不相邻的排法种数是 428 种; 将中间 2 个空位安排 2 个小品类节目,有 A222 种

18、情况, 相声类节目放在 2 端,有 2 种情况, 此时有 4 种安排方法; 将中间 2 个空位安排 3 个节目, 将一个小品类节目和相声类节目作为一个整体放在其中一共空位,剩下一个空位安排令 一个小品类节目, 此时有 C21228 种安排方法, 则中间空位的安排方法有 8+4+820 种, 则同类节目不相邻的排法种数是 620120 种, 故选:B 【点评】本题考查计数原理的运用,注意分步方法的运用,既要满足题意的要求,还要 计算或分类简便 10 (5 分)某四棱锥的三视图如图所示,其俯视图为等腰直角三角形,则该四棱锥的体积 为( ) 第 10 页(共 21 页) A B C D4 【分析】由

19、三视图知:几何体为四棱锥,且四棱锥的高为,底面是边长为 2,矩形, 把数据代入锥体的体积公式计算 【解答】解:由三视图知:几何体为四棱锥,且四棱锥的高为,底面是边长为 2, 矩形, 几何体的体积 V 故选:B 【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积,判断几何体的形状及数据所对应的几何 量是关键 11 (5 分)已知双曲线1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线 y22px(p0) 的准线分别交于 A、 B 两点, O 为坐标原点 若双曲线的离心率为 2, AOB 的面积为, 则 p( ) A1 B C2 D3 【分析】求出双曲线的渐近线方程与抛物线 y22px(p0)的准线方程,进 而求出 A,

20、B 两点的坐标,再由双曲线的离心率为 2,AOB 的面积为,列出方程, 由此方程求出 p 的值 【解答】解:双曲线, 双曲线的渐近线方程是 yx 第 11 页(共 21 页) 又抛物线 y22px(p0)的准线方程是 x, 故 A,B 两点的纵坐标分别是 y,双曲线的离心率为 2,所以, 则, A,B 两点的纵坐标分别是 y, 又,AOB 的面积为,x 轴是角 AOB 的角平分线 ,得 p2 故选:C 【点评】 本题考查圆锥曲线的共同特征, 解题的关键是求出双曲线的渐近线方程, 解出 A, B 两点的坐标,列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键,有一定的运算 量,做题时要严谨,防运算

21、出错 12 (5 分)已知函数 f(x)2x33x,若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 yf(x)相 切,则 t 的取值范围为( ) A (,3) B (3,1) C (1,+) D (0,1) 【分析】设出切点,由斜率的两种表示得到等式,化简得三次函数,将题目条件化为函 数有三个零点,得解 【解答】解:设过点 P(1,t)的直线与曲线 yf(x)相切于点(x,2x33x) , 则6x23, 化简得,4x36x2+3+t0, 令 g(x)4x36x2+3+t, 则令 g(x)12x(x1)0, 则 x0,x1 g(0)3+t,g(1)t+1, 又过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线

22、 yf(x)相切, 则(t+3) (t+1)0, 解得,3t1 故选:B 【点评】本题主要考查利用导数求切线方程等知识,考查转化思想的运用能力和运算能 第 12 页(共 21 页) 力,属中档题 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,满分分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)分,将答案填在答题纸上) 13 (5 分)某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生,现从中任选 2 名学生去参加活动,则至少 选中一名男生的选法种数是 7 【分析】根据题意,用间接法分析:先计算从 2 名男生和 3 名女生任选 2 名学生的选法 数目,在排除其中没有男生即全部为女生

23、的选法,分析可得答案 【解答】解:根据题意,从 2 名男生和 3 名女生,共 5 人中任选 2 名学生,有 C5210 种选法, 其中没有男生即全部为女生的选法有 C323 种, 则至少选中一名男生的选法有 1037 种; 故选: 【点评】本题考查排列、组合的应用,注意用间接法分析,避免分类讨论 14 (5 分)如图所示,在正方形 ABCD 内,随机投入一个质点,则所投质点恰好落在 CE 与 y 轴及抛物线 yx2所围成的区域内的概率是 【分析】利用定积分求出阴影部分的面积,再由测度比为面积比得答案 【解答】解:如图,阴影部分的面积为 S 正方形 ABCD 的面积为 S224 所求概率为 P

24、故答案为: 【点评】本题考查几何概型概率的求法,考查定积分的求法,是基础题 第 13 页(共 21 页) 15 (5 分)已知,若(a, b 均为实数) ,请推测 a 6 ,b 35 【分析】观察各个等式的特点归纳出等式两边的规律,求出 a 和 b 的值即可 【解答】解:观察各个等式可得,各个等式左边的分数的分子与前面的整数相同、分母 是分子平方减 1, 等式右边的分数与左边的分数相同,前面的整数与左边的整数相同, 等式中的 a6、b36135, 故答案为:6;35 【点评】本题考查归纳推理,难点是根据能够找出数之间的内在规律,考查观察、分析、 归纳的能力,是基础题 16 (5 分)已知函数

25、f(x)的定义域为(0,+) ,若 y在(0,+)上为增函数, 则称 f(x)为“一阶比增函数” ;若 y在(0,+)上为增函数,则称 f(x)为 “二阶比增函数” 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 1,所有“二阶比增 函数” 组成的集合记为 2已知函数 f(x) x32mx2mx, 若 f(x)1,且 f (x)2, 实数 m 的取值范围 (,0) 【分析】因为 f(x)1且 f(x)2,即 g(x)x22mxm 在(0,+) 是增函数,所以 h0而 h(x)x2m在(0,+)不是增函数,而 h (x)1+,所以当 h(x)是增函数时,有 h0,所以当 h(x)不是增函数时,有 h

26、0综上所述,可得 h 的取值范围是(,0) 【解答】解:f(x)1且 f(x)2, 即 g(x)x22mxm 在(0,+)是增函数, m0 而 h(x)x2m在(0,+)不是增函数, 而 h(x)1+, 当 h(x)是增函数时,有 m0, 当 h(x)不是增函数时,有 m0 第 14 页(共 21 页) 综上所述,可得 m 的取值范围是(,0) 故答案为: (,0) 【点评】本题考查新定义的理解和运用,主要考察了函数的单调性,导数的应用,是一 道中档题 三、解答题(共三、解答题(共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17 (10 分)

27、已知函数 f(x)x33ax1,a0 (1)当 a4,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在 x1 处取得极值,直线 ym 与 yf(x)的图象有三个不同的交点, 求 m 的取值范围 【分析】 (1)a4 时,f(x)3x2123(x+2) (x2) ,由此利用导数性质能求出 f(x)的单调区间 (2) 由 f(x) 在 x1 处取得极值,求出 f(x)x33x1,f (x)3x233(x+1) (x1) ,由此求出 f(x)极小值f(1)3,f(x)极大值f(1)1,再由直线 ym 与 yf(x)的图象有三个不同的交点,能求出 m 的取值范围是(3,1) 【解答】解: (1)a4 时

28、,f(x)x312x1, f(x)3x2123(x+2) (x2) , 由 f(x)0,得2x2, 由 f(x)0,得 x2 或 x2, f(x)的减区间是(2,2) ;f(x)的增区间是(,2) , (2,+) (2)f(x)x33ax1,a0, f(x)3x23a, f(x)在 x1 处取得极值, f(1)33a0,解得 a1, f(x)x33x1,f(x)3x233(x+1) (x1) , 由由 f(x)0,得1x1, 由 f(x)0,得 x1 或 x1, f(x)的减区间是(1,1) ;f(x)的增区间是(,1) , (1,+) f(x)极小值f(1)3,f(x)极大值f(1)1, 直

29、线 ym 与 yf(x)的图象有三个不同的交点, m 的取值范围是(3,1) 第 15 页(共 21 页) 【点评】本题考查函数的极大值和极小值的求法,考查实数的取值范围的求法,是中档 题,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用 18 (12 分)己知等差数列an中,a13,前 n 项和为 Sn,数列bn是首项为 1,公比为 q (q1) ,各项均为正数的等比数列,且 b2+S212,q (l)求 an与 bn; (2)证明: 【分析】 (1)利用等差数列以及等比数列列出方程求出公差与公比,然后求解通项公式 (2)化简通项公式利用裂项消项法,求解数列的和即可 【解答】解: (1)设an的公差

30、为 d,因为 所以解得 q3 或 q4(舍) ,d3 故 an3+3(n1)3n,bn3n 1 (2)证明:因为 Sn 所以() 故+(1)+()+()+()(1 ) 因为 n1,所以 0,于是 11, 所以(1), 即+ 【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用,数列求和以及数列与不等式的关系, 考查计算能力 19 (12 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sin(A+C)8sin2 (1)求 cosB; (2)若 a+c6,ABC 的面积为 2,求 b 第 16 页(共 21 页) 【分析】(1) 利用三角形的内角和定理可知 A+CB, 再利用诱导公式化简

31、sin (A+C) , 利用降幂公式化简 8sin2,结合 sin2B+cos2B1,求出 cosB, (2)由(1)可知 sinB,利用三角形的面积公式求出 ac,再利用余弦定理即可求出 b 【解答】解: (1)sin(A+C)8sin2, sinB4(1cosB) , sin2B+cos2B1, 16(1cosB)2+cos2B1, 16(1cosB)2+cos2B10, 16(cosB1)2+(cosB1) (cosB+1)0, (17cosB15) (cosB1)0, cosB; (2)由(1)可知 sinB, SABCacsinB2, ac, b2a2+c22accosBa2+c22

32、 a2+c215(a+c)22ac153617154, b2 【点评】本题考查了三角形的内角和定理,三角形的面积公式,二倍角公式和同角的三 角函数的关系,属于中档题 20 (12 分)如图,在梯形 ABCD 中,ABCD,ADDCCB1,ABC60EA FC,且 FC平面 ABCD,FC2,AE1,点 M 为 EF 上任意一点 ()求证:AMBC; ()点 M 在线段 EF 上运动(包括两端点) ,若平面 MAB 与平面 FBC 所成的锐二面角 为 60,试确定点 M 的位置 第 17 页(共 21 页) 【分析】 ()连接 AC,推导出 BCAC,FCBC,从而 BC平面 AEFC,由此能证

33、明 BCAM ()以 C 为坐标原点,分别以直线 CA,CB,CF 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐 标系,利用向量法能求出点 M 与点 E 重合 【解答】证明: ()ABCD,ADDCCB1,ABC60,AB2, 连接 AC,在ABC 中,AC2AB2+BC22ABBCcos604+123, AB2AC2+BC2,BCAC, FC平面 ABCD,FCBC,又 ACFCC, BC平面 AEFC,AM平面 AEFC,BCAM 解: ()以 C 为坐标原点,分别以直线 CA,CB,CF 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角 坐标系, 则 A(,0,0) ,B(0,1,0) ,C(0,0,

34、0) ,F(0,0,2) , E() , () ,设 M(x,y,z) , 则(x,y,z2)() , M() ,(,0,2) , 设平面 ABM 的法向量为 (x,y,z) , 则,取 x1,得 (1, 令 x1,得 (1,) 平面 FBC 的一个法向量为 (1,0,0) , 平面 MAB 与平面 FBC 所成的锐二面角为 60, 第 18 页(共 21 页) cos60, 解得 1点 M 与点 E 重合 【点评】本题考查线线垂直的证明,考查满足条件的点的位置的确定与求法,考查空间 中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算与求解能力,考查化归与转化 思想,是中档题 21 (12 分

35、)已知椭圆 C:1(ab0)的两焦点在 x 轴上,且短轴的两个顶点 与其中一个焦点的连线构成斜边为 2 的等腰直角三角形 (1)求椭圆的方程; (2)动直线 l:3mx+3ny+n0(mR,nR,m,n 不全为零)交椭圆 C 于 A,B 两点, 试问: 在坐标平面上是否存在一个定点 Q, 使得以线段 AB 为直径的圆恒过点 Q?若存在, 求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 【分析】 (1)利用椭圆的定义及等腰直角三角形的性质可得 a,在把点 P 的坐标代 入椭圆方程即可得出 b2,进而得到椭圆的方程; (2)先利用特殊位置的两个圆找出点 T(0,1) ,在证明点 T 符合条件即可对直线

36、l 的斜率分类讨论,当斜率存在时,把直线 l 的方程与椭圆的方程联立,利用根与系数的 关系及向量垂直与数量积的关系即可得出 【解答】解 (1)椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线构成等腰直角三角形, bc 又斜边长为 2,即 2b2,故 cb1,a, 椭圆方程为+y21 (2)由题意可知该动直线过定点, 第 19 页(共 21 页) 当 l 与 x 轴平行时,以线段 AB 为直径的圆的方程为; 当 l 与 y 轴平行时,以线段 AB 为直径的圆的方程为 x2+y21 由得 故若存在定点 Q,则 Q 的坐标只可能为 Q(0,1) 下面证明 Q(0,1)为所求: 若直线 l 的斜率不存在,上述已经

37、证明 若直线 l 的斜率存在,设直线 l:ykx, A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由得(9+18k2)x212kx160, 144k2+64(9+18k2)0,x1+x2,x1x2, (x1,y11) ,(x2,y21) , x1x2+(y11) (y21) (1+k2)x1x2(x1+x2)+ (1+k2) +0, ,即以线段 AB 为直径的圆恒过点 Q(0,1) 【点评】本题综合考查了椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为把直线的方 程与椭圆的方程联立得到一元二次方程得根与系数的关系、 向量垂直与数量积的关系 注 意分类讨论的思想方法的运用、特殊位置探究再证明本题需要较强

38、的推理能力和计算 能力 22 (12 分)已知函数 f(x)alnx(a+2)x+x2 (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若对于任意 a4,10,x1,x21,2,恒有|成立,试求 的取值范围 第 20 页(共 21 页) 【分析】 (1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间即可; (2)问题转化为 2x3(a+2)x2+ax+0 在 x1,2恒成立,根据 x 的范围得 2x3 12x2+10x+0 在 x1,2恒成立,设 h(x)2x312x2+10x+,根据函数的性质求出 的范围即可 【解答】解: (1)函数的定义域是(0,+) , f(x)(a+2)+2x, a

39、0 时,函数在(0,1)递减,在(1,+)递增, 0a2 时,函数在(0,) , (1,+)递增,在(,1)递减, a2 时,函数在(0,+)递增, a2 时,函数在(0,1) , (,+)递增,在(1,)递减; (2)|成立, 即|f(x1)f(x2)|恒成立, 不妨设 x2x1,a4,10时,f(x)在1,2递减, 则 f(x1)f(x2)() ,得 f(x1)f(x2), 设 g(x)f(x)alnx(a+2)x+x2, 故对于任意的 a4,10,x1,x21,2,x2x1,g(x1)g(x2)恒成立, 故 g(x)f(x)在1,2递增, g(x)0 在 x1,2恒成立, 故 2x3(a+2)x2+ax+0 在 x1,2恒成立, 即 a(x2+x)+2x32x2+0 在 x1,2恒成立, x1,2时,x2+x0, 只需 10(x2+x)+2x32x2+0 在 x1,2恒成立, 即 2x312x2+10x+0 在 x1,2恒成立, 设 h(x)2x312x2+10x+,则 h(2)12+0, 故 12, 第 21 页(共 21 页) 故实数 的范围是12,+) 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,转 化思想,是一道综合题