1、2018-2019 学年江西省赣州市十五县（市）高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题包括 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.每小题只有一个选项符合题意每小题只有一个选项符合题意.） 1 （5 分）若直线 l1，l2的方向向量分别为，则（ ） Al1l2 Bl1l2 Cl1，l2相交但不垂直 Dl1，l2异面但不垂直 2 （5 分）用数学归纳法证明 1+2+22+2n+12n+21（nN*）的过程中，在验证 n1 时， 左端计算所得的项为（ ） A1 B1+2 C1+2+22 D1+2+22+23 3 （5 分） 在三棱锥 OABC 中， ， ， ， D 为
2、 BC 的中点， 则 （ ） A B2 C D 4 （5 分）函数 f（x）xlnx 的单调递减区间为（ ） A B C （，e） D 5 （5 分）已知曲线 C 的方程为，给定下列两个命题：p：若 k3，则曲线 C 为双曲线；q：若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，则 3k4，其中是真命题的是（ ） Apq B （p）q Cp（q） D （p）（q） 6 （5 分）函数 yf（x）的导函数 yf（x）的图象如图所示，则函数 yf（x）的图象可 能是（ ） A B 第 2 页（共 21 页） C D 7 （5 分）已知椭圆1 （ab0） ，M 为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则 线段 M
3、F1的中点 P 的轨迹是（ ） A椭圆 B圆 C双曲线的一支 D线段 8 （5 分）已知 f（x）+2xf（2019）2019lnx，则 f（2019）（ ） A2018 B2018 C2019 D2019 9 （5 分）设 F1，F2为双曲线 x21 的左、右焦点，过 F1作圆 x2+y21 的切线 l，切 点为 T， 且 l 交双曲线的右支于点 P， M 是线段 F1P 的中点， O 为坐标原点， 则|OM|TM| 的值为（ ） A1 B2 C1 D2 10 （5 分）在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，n，则|EF|的 最小值为（ ） A B C D 11 （5 分）设函
4、数 f（x）是奇函数 f（x） （xR）的导函数，f（1）0，当 x0 时，xf （x）2f（x）0，则使得 f（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ） A （，1）（0，1） B （1，0）（1，+） C （，1）（1，+） D （1，0）（0，1） 12 （5 分）设 O 为坐标原点，F1，F2是双曲线1（a0，b0）的焦点，若在 双曲线上存在点 P， 满足F1PF260， |OP|a， 则该双曲线的渐近线方程为 （ ） Axy0 Bxy0 Cxy0 Dxy0 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）已知抛物
5、线 y4x2，则此抛物线的准线方程为 第 3 页（共 21 页） 14 （5 分）已知四面体 PABC 四个顶点都在球 O 的球面上，若 PB平面 ABC，ABAC， 且 AC1，ABPB2，则球 O 的表面积为 15 （5 分）已知 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以 F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆 中心并且交椭圆于点 M、N，若过 F1的直线 MF1是圆 F2的切线，则椭圆的离心率 为 16 （5 分）已知函数 f（x）（2x1）ex+ax23a（x0）在（0，+）上为增函数，则 a 的取值范围是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答时应写出必要
6、的文字说明、证明过程或演算分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤步骤.） 17 （10 分）观察sin210+cos240+sin10cos40；sin26+cos236+sin6 cos36；sin215+cos245+sin15cos45，猜想一个一般的式子，并证明 18 （12 分）已知函数 f（x）ex+ax+b（xR）在点 A（0，f（0） ）处的切线 l 的方程为 x+y 20 （）求函数 f（x）解析式； （）求 f（x）在 R 上的极值 19 （12 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的渐近线方程为 yx，O 为 坐标原点，点 M（，）在双曲线上 （1）求双曲线
7、C 的方程 （2）若斜率为 1 的直线 l 与双曲线交于 P，Q 两点，且0，求直线 l 方程 20 （12 分）如图，平面 ABCD平面 ABE，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE1， F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE （1）求证：AE平面 BCE； （2）点 M 在线段 AD 上，且 ME2，求平面 ABE 与平面 MCE 所成角的余弦值 第 4 页（共 21 页） 21 （12 分）已知椭圆 C：的两个焦点分别为 F1，F2，离心率为， 过 F1的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，且MNF2的周长为 8 （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 m 过点（1，
8、0） ，且与椭圆 C 交于 P、Q 两点，求PQF2面积的最大值 22 （12 分）已知函数 f（x）lnxax（aR） （1）若对 f（x）的定义域内的任意 x 都有 f（x）0，求实数 a 的取值范围； （2）若 a1，记函数 g（x）f（x）+bx，设 x1，x2（x1x2）是函数 g（x）的 两个极值点，若 b，且 g（x1）g（x2）k 恒成立，求实数 k 的最大值 第 5 页（共 21 页） 2018-2019 学年江西省赣州市十五县（市）高二（下）期中数学学年江西省赣州市十五县（市）高二（下）期中数学 试卷（理科）试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选一、选择
9、题（本题包括择题（本题包括 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.每小题只有一个选项符合题意每小题只有一个选项符合题意.） 1 （5 分）若直线 l1，l2的方向向量分别为，则（ ） Al1l2 Bl1l2 Cl1，l2相交但不垂直 Dl1，l2异面但不垂直 【分析】根据 l1l2 0 可得 【解答】解： （1，3，2） （2，2，4）12+32+2（4）0， l1l2 故选：B 【点评】本题考查了共线向量与共面向量，属基础题 2 （5 分）用数学归纳法证明 1+2+22+2n+12n+21（nN*）的过程中，在验证 n1 时， 左端计算所得的项为（ ） A1 B1+2
10、 C1+2+22 D1+2+22+23 【分析】通过表达式的特点，直接写出结果即可 【解答】解：用数学归纳法证明 1+2+22+2n+12n+21（nN*）的过程中， 左侧的特点是，由 1 一直加到 2n+1项结束 所以在验证 n1 时，左端计算所得的项为：1+2+22 故选：C 【点评】本题考查数学归纳法的应用，判断表达式的特征的解题的关键，是基础题 3 （5 分） 在三棱锥 OABC 中， ， ， ， D 为 BC 的中点， 则 （ ） A B2 C D 【分析】 可画出图形， 根据条件可以得出， 带入即 可 【解答】解：如图， 第 6 页（共 21 页） D 为 BC 的中点，且； 故选
11、：A 【点评】考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，以及向量的数乘运算 4 （5 分）函数 f（x）xlnx 的单调递减区间为（ ） A B C （，e） D 【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于等于 0 求出 x 的范围， 写出区间形式即得到函数 yxlnx 的单调递减区间 【解答】解：函数的定义域为 x0 f（x）lnx+1 令 lnx+10 得 0x， 函数 f（x）xlnx 的单调递减区间是（ 0，） ， 故选：A 【点评】本题考查函数的单调区间的问题，一般求出导函数，令导函数大于 0 求出 x 的 范围为单调递增区间；令导函数小于 0 求出 x 的范围
12、为单调递减区间；注意单调区间是 函数定义域的子集 5 （5 分）已知曲线 C 的方程为，给定下列两个命题：p：若 k3，则曲线 C 为双曲线；q：若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，则 3k4，其中是真命题的是（ ） Apq B （p）q Cp（q） D （p）（q） 第 7 页（共 21 页） 【分析】根据双曲线和椭圆的性质分别判断命题 p，q 的真假，结合复合命题真假关系进 行判断即可 【解答】解：若方程表示双曲线，则（k3） （4k）0， 即（k3） （k4）0，得 k4 或 k3， 即当 k3 时，曲线表示双曲线，即 p 是真命题， 若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，则得，得 3
13、k，即 q 是假命 题， 则 p（q）是真命题，其余为假命题， 故选：C 【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题 p，q 的真假是解决 本题的关键 6 （5 分）函数 yf（x）的导函数 yf（x）的图象如图所示，则函数 yf（x）的图象可 能是（ ） A B C D 【分析】根据导数与函数单调性的关系，当 f（x）0 时，函数 f（x）单调递减，当 f （x）0 时，函数 f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据 函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数 yf（x）的图象可能 【解答】解：由当 f（x）0 时，函数 f（x）单调递减，当
14、 f（x）0 时，函数 f（x） 第 8 页（共 21 页） 单调递增， 则由导函数 yf（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减， 最后单调递增，排除 A，C， 且第二个拐点（即函数的极大值点）在 x 轴上的右侧，排除 B， 故选：D 【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断， 考查数形结合思想，属于基础题 7 （5 分）已知椭圆1 （ab0） ，M 为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则 线段 MF1的中点 P 的轨迹是（ ） A椭圆 B圆 C双曲线的一支 D线段 【分析】设 M（acos，bsin） ，由 F1（c，0） ，求出线段
15、 MF1的中点 P 的坐标，由此 求出线段 MF1的中点 P 的轨迹是椭圆 【解答】解：设 M（acos，bsin） F1（c，0） ，线段 MF1的中点 P（，） ， x，y， cos，sin， 点 P 的轨迹方程为， 线段 MF1的中点 P 的轨迹是椭圆 故选：A 【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的参 数方程的合理运用 8 （5 分）已知 f（x）+2xf（2019）2019lnx，则 f（2019）（ ） A2018 B2018 C2019 D2019 【分析】求函数的导数，令 x2019 建立方程进行求解即可 第 9 页（共 21 页） 【解答】
16、解：函数的导数 f（x）x+2f（2019）， 令 x2019 得 f（2019）2019+2f（2019）， 即 f（2019）2019+12018， 故选：B 【点评】本题主要考查函数值的计算，结合函数的导数公式建立方程是解决本题的关键 9 （5 分）设 F1，F2为双曲线 x21 的左、右焦点，过 F1作圆 x2+y21 的切线 l，切 点为 T， 且 l 交双曲线的右支于点 P， M 是线段 F1P 的中点， O 为坐标原点， 则|OM|TM| 的值为（ ） A1 B2 C1 D2 【分析】由双曲线方程，算出 c，根据三角形中位线定理和圆的切线的 性质，并结合双曲线的定义可得|MO|M
17、T|2a1 【解答】解：MO 是PF1F2的中位线， |MO|PF2|，|MT|PF1|F1T|， 根据双曲线的方程得： a1，b2，c，|OF1|， PF1是圆 x2+y21 的切线，|OT|1， RtOTF1中，|TF1|2， |MO|MT|PF2|（|PF1|F1T|） |F1T|（|PF1|PF2|）2a1 故选：C 【点评】 本题给出双曲线与圆的方程， 求|MO|MT|的值， 着重考查了双曲线的简单性质、 第 10 页（共 21 页） 三角形中位线定理和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题 10 （5 分）在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，n，则|EF|的 最小值为
18、（ ） A B C D 【分析】以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，|EF| 的最小值即为异面直线 A1C，AB 间的距离，利用向量法能求出|EF|的最小值 【解答】解：在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，n， 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A1（1，0，1） ，A（1，0，0） ，B（1，1，0） ，C（0，1，0） ， （1，1，1） ，（0，1，0） ，（0，0，1） ， |EF|的最小值即为异面直线 A1C，AB 间的距离， 设异面直线 A1C，AB
19、的公共法向量为 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，0，1） ， |EF|的最小值为： d| | 1 故选：C 【点评】本题考查两点间距离的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题 第 11 页（共 21 页） 11 （5 分）设函数 f（x）是奇函数 f（x） （xR）的导函数，f（1）0，当 x0 时，xf （x）2f（x）0，则使得 f（x）0 成立的 x 的取值范围是（ ） A （，1）（0，1） B （1，0）（1，+） C （，1）（1，+） D （1，0）（0，1） 【分析】令 g（x），可得 g（x
20、），当 x0 时，有 xf（x） 2f（x）0，可得 g（x）0，即函数 g（x）在（0，+）上单调递减又 f（x）是 R 上的奇函数，可得函数 g（x）为奇函数，又 f（1）0，可得 g（1）0，g（1） 0，画出图象即可解出不等式 【解答】解：令 g（x），则 g（x）， 当 x0 时，有 xf（x）2f（x）0，g（x）0， 即函数 g（x）在（0，+）上单调递减 又 f（x）是 R 上的奇函数，f（x）f（x） ， g（x）g（x） ， 故函数 g（x）为奇函数， 又 f（1）0，f（1）0，g（1）0，g（1）g（1）0 由 f（x）0 可得，g（x）， 即要使 f（x）0 成立，只
21、需 g（x）0 成立； 作出函数 g（x）的简图如下： 由图象可得，当 x（，1）（0，1）时，g（x）0，即 f（x）0 故选：A 第 12 页（共 21 页） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，方程与不等式的解法、数 形结合方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 12 （5 分）设 O 为坐标原点，F1，F2是双曲线1（a0，b0）的焦点，若在 双曲线上存在点 P， 满足F1PF260， |OP|a， 则该双曲线的渐近线方程为 （ ） Axy0 Bxy0 Cxy0 Dxy0 【分析】假设|F1P|x，进而分别根据中线定理和余弦定理建立等式求得 c2+5a214
22、a2 2c2， 求得 a 和 c 的关系， 进而根据 b求得 a 和的关系进而求得渐近线的方程 【解答】解：假设|F1P|x OP 为三角形 F1F2P 的中线， 根据三角形中线定理可知 x2+（2a+x）22（c2+7a2） 整理得 x（x+2a）c2+5a2 由余弦定理可知 x2+（2a+x）2x（2a+x）4c2 整理得 x（x+2a）14a22c2 进而可知 c2+5a214a22c2 求得 3a2c2 ca ba 那么渐近线为 yx，即xy0 故选：D 【点评】本题将解析几何与三角知识相结合，主要考查了双曲线的定义、标准方程，几 何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中
23、档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）已知抛物线 y4x2，则此抛物线的准线方程为 【分析】由抛物线的准线方程的定义可求得 【解答】解：因为抛物线 y4x2， 第 13 页（共 21 页） 可化为：， 则抛物线的准线方程为 故答案为： 【点评】本题主要考查抛物线的定义和性质 14 （5 分）已知四面体 PABC 四个顶点都在球 O 的球面上，若 PB平面 ABC，ABAC， 且 AC1，ABPB2，则球 O 的表面积为 9 【分析】由 PB平面 ABC，ABAC 可得四个直角三角形，可知 PC 的中点 O
24、 为外接球 球心，不难求解 【解答】解：由 PB平面 ABC，ABAC， 可得图中四个直角三角形， 且 PC 为PBC，PAC 的公共斜边， 故球心 O 为 PC 的中点， 由 AC1，ABPB2， PC3， 球 O 的半径为， 其表面积为：9 故答案为：9 【点评】此题考查了线面垂直，三棱锥的外接球面积，难度不大 15 （5 分）已知 F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，现以 F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆 中心并且交椭圆于点 M、 N， 若过 F1的直线 MF1是圆 F2的切线， 则椭圆的离心率为 1 第 14 页（共 21 页） 【分析】如图所示，由题意可得：MF1MF2，|MF2|c，|
25、MF1|2ac，|F1F2|2c，利 用勾股定理可得 c2+（2ac）24c2，即可得出 【解答】解：如图所示， 由题意可得：MF1MF2， |MF2|c，|MF1|2ac，|F1F2|2c， c2+（2ac）24c2， 化为 c2+2ac2a20，即 e2+2e20，e（0，1） 解得 e1 故答案为： 【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、勾股定理，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题 16 （5 分）已知函数 f（x）（2x1）ex+ax23a（x0）在（0，+）上为增函数，则 a 的取值范围是 2，+） 【分析】f（x）（2x1）ex+ax23a，在（0，+）上为增函数，f（
26、x）0，可得 2a，x（0，+） 令 g（x），x（0，+） 利用导数 研究函数的单调性极值与最值即可得出 【解答】解：f（x）（2x1）ex+ax23a，在（0，+）上为增函数， f（x）（2x+1）ex+2ax0， 2a，x（0，+） 令 g（x），x（0，+） 则 g（x），可得 x时，函数 g（x）取得极大值 g（）4 第 15 页（共 21 页） 2a4，解得 a2 a 的取值范围是2，+） 故答案为：2，+） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，方程与不等式的解法、等 价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小
27、题，共小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤步骤.） 17 （10 分）观察sin210+cos240+sin10cos40；sin26+cos236+sin6 cos36；sin215+cos245+sin15cos45，猜想一个一般的式子，并证明 【分析】观察所给的等式，写出结果 sin2+cos2（30+）+sincos（30+），再 进行证明即可 【解答】解：sin2+cos2（30+）+sincos（30+） 可以证明此结论是正确的，证明如下： sin2+cos2（30+）+sincos（30+） +sin（30
28、+2）sin30 1+cos（60+2）cos2+sin（30+2） 1+2sin（30+2）sin30+sin（30+2） sin（30+2）+sin（30+2） 【点评】本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、 类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力 18 （12 分）已知函数 f（x）ex+ax+b（xR）在点 A（0，f（0） ）处的切线 l 的方程为 x+y 20 （）求函数 f（x）解析式； （）求 f（x）在 R 上的极值 【分析】 （）求得 f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由切线方程可得 a，b，进而 得到所求解析式；
29、 （）求得 f（x）的导数，由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0，可得减区间，即可 第 16 页（共 21 页） 得到所求极值 【解答】解： （）函数 f（x）ex+ax+b 的导数为 f（x）ex+a， 可得在点 A（0，f（0） ）处的切线斜率为 1+a， 且 f（0）1+b， 由切线 l 的方程为 x+y20， 可得 1+a1，1+b2， 解得 a2，b1， 则 f（x）ex2x+1； （）f（x）ex2x+1 的导数为 f（x）ex2， f（x）0，可得 xln2， 当 xln2，f（x）0，f（x）单调递减， xln2，f（x）0，f（x）单调递增， 所以 f（x）有极小值，且为
30、 f（ln2）32ln2，无极大值 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值，考查方程思想和运算能 力，属于基础题 19 （12 分）已知双曲线 C：1（a0，b0）的渐近线方程为 yx，O 为 坐标原点，点 M（，）在双曲线上 （1）求双曲线 C 的方程 （2）若斜率为 1 的直线 l 与双曲线交于 P，Q 两点，且0，求直线 l 方程 【分析】 （1）由渐近线方程可得关于 a、b 的一个方程，再把点 M（，）代入双曲 线的方程又得到关于 a、b 的一个方程，将以上方程联立即可解得 a、b 的值； （2）利用且0 得 x1x2+y1y20、一元二次方程的根与系数的关系，即可求出
31、直 线方程 【解答】解： （1）双曲线 C 的渐近线方程为 yx， ba，双曲线的方程可设为 3x2y23a2 点 M（，）在双曲线上，可解得 a2， 双曲线 C 的方程为1 第 17 页（共 21 页） （2）设直线 PQ 的方程为 yx+m，点 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 将直线 PQ 的方程代入双曲线 C 的方程，可化为 2x22mxm2120 x1+x2m，x1x2 由0 得 x1x2+y1y20， 把 y1x1+m，y2x2+m 代入上式可得 2x1x2+m（x1+x2）+m20， 2+m+m20， 化简得 m212 直线方程或 【点评】本题考查了掌握待定系数法求圆锥曲
32、线，一元二次方程的根与系数的关系、属 于中档题 20 （12 分）如图，平面 ABCD平面 ABE，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE1， F 为 CE 上的点，且 BF平面 ACE （1）求证：AE平面 BCE； （2）点 M 在线段 AD 上，且 ME2，求平面 ABE 与平面 MCE 所成角的余弦值 【分析】 （1）根据面面垂直得出 BC平面 ABE，得出 BCAE，根据 BF平面 ACE 可 得 AEBF，故而 AE平面 BCE； （2）以 E 为原点建立空间坐标系，求出平面 ABE 和平面 MCE 的法向量，计算法向量的 夹角得出二面角的大小 【解答】 （1）证明：四边形
33、 ABCD 是正方形，BCAB， 平面 ABCD平面 ABE，平面 ABCD平面 ABEAB，BC平面 ABCD， BC平面 ABE，又 AE平面 ABE， BCAE， 第 18 页（共 21 页） BF平面 ACE，AE平面 ABE， BFAE， 又 BF平面 BCE，BC平面 BCE，BCBFF， AE平面 BCE （2）ME2，AE1，AM， 由（1）知 AEBCE，AEBE，EB， 以 E 为原点，以 EA，EB 和平面 ABE 过 E 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系 Exyz， 则 E（0，0，0） ，M（1，0，） ，C（0，2） ， （1，0，） ，（0，2） ， 设平面 MC
34、E 的法向量为 （x，y，z） ，则，即， 令 z1 可得 （，1） ， 又平面 ABE 的一个法向量为 （0，0，1） ， cos 平面 ABE 与平面 MCE 所成角的余弦值为 【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档 题 21 （12 分）已知椭圆 C：的两个焦点分别为 F1，F2，离心率为， 过 F1的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，且MNF2的周长为 8 第 19 页（共 21 页） （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 m 过点（1，0） ，且与椭圆 C 交于 P、Q 两点，求PQF2面积的最大值 【分析】 （1）由题意知，4a8，则
35、 a2，结合椭圆离心率及隐含条件求得 b，则椭圆方 程可求； （2）设直线 m 的方程为：xty1，P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，联立直线方程与椭圆方 程，利用根与系数的关系可得 P，Q 纵坐标的和与积，再由三角形面积公式得到PQF2 面积关于 t 的关系式，换元后利用函数单调性求最值 【解答】解： （1）由题意知，4a8，则 a2， 由椭圆离心率，得 c1，b23 椭圆 C 的方程为； （2）设直线 m 的方程为：xty1，P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 由，得（4+3t2）y26ty90 ， 令，则 n1， ，而 3n+在1，+）上单调递增， 当 n1 时取等号，即当
36、t0 时，PQF2的面积最大值为 3 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用函数 的单调性求最值，是中档题 22 （12 分）已知函数 f（x）lnxax（aR） （1）若对 f（x）的定义域内的任意 x 都有 f（x）0，求实数 a 的取值范围； 第 20 页（共 21 页） （2）若 a1，记函数 g（x）f（x）+bx，设 x1，x2（x1x2）是函数 g（x）的 两个极值点，若 b，且 g（x1）g（x2）k 恒成立，求实数 k 的最大值 【分析】 （1）由 x0 时，f（x）lnxax0 恒成立，可得 alnx设 h（x）， 利用导数研究函数的单调性
37、极值与最值，即可得出 a 的取值范围 （2）a1，函数 g（x）f（x）+bxlnx+（b+1）x可得 g（x） 由 x1，x2（x1x2）是函数 g（x）的两个极值点，可得 x1+x2b+1，x1x2 1 x2 由， 可得， 且， 联立解得： g （x1） g （x2）设 F （t） 2lnt， 利 用导数研究其单调性极值即可得出 【解答】解： （1）x0 时，f（x）lnxax0 恒成立，a 设 h（x），h（x） 令 h（x）0，解得 xe x（0，e）时，h（x）0，函数 h（x）单调递增；x（e，+）时，h（x）0， 函数 h（x）单调递减h（x）maxh（e）， （2）a1，函数
38、g（x）f（x）+bxlnx+（b+1）x g（x）+x（b+1） x1，x2（x1x2）是函数 g（x）的两个极值点， x1，x2是方程 x2（b+1）x+10 的两个实数根， x1+x2b+1，x1x21x2 ，且， 联立解得： g （x1） g （x2） lnx1+ （b+1） x1lnx2+ （b+1） x2+ 第 21 页（共 21 页） （b+1） （x1x2） +（x1+x2） （x1x2） 设 F（t）2lnt， F（t）0， F（t）在上单调递减， F（t）2ln2 （tx1时取等号） k2ln2 实数 k 的最大值为2ln2 【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值、方程与不等式的解法、等价转化方法， 考查了推理能力与计算能力，属于难题