1、2018-2019 学年江西省南昌十中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）（3 月份）一单选题（本大题共 12 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.） 1 （5 分）下列说法正确的是（ ） A三点确定一个平面 B四边形一定是平面图形 C梯形一定是平面图形 D一条直线和一个点确定一个平面 2 （5 分）如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的（ ） A B C D 3 （5 分）如图所示的直观图中，OAOB2，则其平面图形的面积是（ ） A4 B C D8 4 （5 分）设有直线 m，n 和平面 ，下列四个命题中，正确的是（ ） A若
2、 m，n，则 mn B若 m，n，m，l，则 C若 ，m，则 m D若 ，m，m，则 m 5 （5 分）圆台上、下底面面积分别是 、4，侧面积是 6，这个圆台的体积是（ ） A B2 C D 第 2 页（共 22 页） 6 （5 分）已知：空间四边形 ABCD 如图所示，E、F 分别是 AB、AD 的中点，G、H 分别 是 BC，CD 上的点，且，则直线 FH 与直线 EG（ ） A平行 B相交 C异面 D垂直 7 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B3 C D 8 （5 分）已知四面体 ABCD 中，ABCD，ACBD，
3、则点 A 在平面 BCD 上的射影 H 是 BCD 的（ ） A外心 B内心 C垂心 D重心 9 （5 分）如图，在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为 （ ） AACBD BAC截面 PQMN 第 3 页（共 22 页） CACBD D异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45 10 （5 分）若 f（x）x2+bln（x+2）在（1，+）上是减函数，则 b 的取值范围是 （ ） A1，+） B （1，+） C （，1 D （，1） 11 （5 分）A 是抛物线 y22px（p0）上的一点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标
4、原点，当 |AF|4 时，OFA120，则抛物线的准线方程是（ ） Ax1 By1 Cx2 Dy2 12 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E 为棱 CC1的中点，F 为棱 AA1上 的点，且满足 A1F：FA1：2，点 F、B、E、G、H 为面 MBN 过三点 B、E、F 的截面与 正方体 ABCDA1B1C1D1在棱上的交点，则下列说法错误的是（ ） AHFBE B CMBN 的余弦值为 DMBN 的面积是 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）已知 f（x）x3+2xf（
5、1） ，则 f（1） 14 （5 分）已知三棱锥 PABC 的三条侧棱两两垂直，且分别长为 2、4、4，则三棱锥 P ABC 外接球的表面积为 15（5分） 已知双曲线的一条渐近线与直线x2y+30平行， 则实数m 16 （5 分）表面积为 60 的球面上有四点 S、A、B、C，且ABC 是等边三角形，球心 O 到平面 ABC 的距离为，若平面 SAB平面 ABC，则棱锥 SABC 体积的最大值 为 第 4 页（共 22 页） 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.请在答题卷上写出必要的推理过
6、程或演算步骤）请在答题卷上写出必要的推理过程或演算步骤） 17 （10 分）已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，曲线 C 的极坐标方程为 ，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 P （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）求|PA|PB|的值 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，底面 ABCD 中，ABDC，AB AD，又 CD6，ABADPD3，E 为 PC 中点 （1）求证：BE平面 PAD； （2）求异面直线 PA 与 CB 所成角 19 （12 分）如图，PA平面 ABC，AEPB，ABBC，AFPC，PAABBC2 （1
7、）求证：平面 AEF平面 PBC； （2）求二面角 APCB 的大小 20（12 分） 如图， 在斜三棱柱 ABCA1B1C1中， 点 O 是 A1C1的中点， AO平面 A1B1C1 已 知BCA90，AA1ACBC2 （1）证明：A1C平面 AB1C1； （2）求 C1到侧面 ABB1A1的距离 第 5 页（共 22 页） 21 （12 分）已知椭圆 C 的焦点为 F1（1，0） ，F2（1，0） ，点 P（1，）在椭圆 C 上 （）求椭圆 C 的标准方程； （）若斜率为的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，点 Q 满足，求ABQ 面积的最大值 22 （12 分）设函数 f（x）x
8、3+ax2+bx+c （1）求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）设 ab4，若函数 f（x）有三个不同零点，求 c 的取值范围； （3）求证：a23b0 是 f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件 第 6 页（共 22 页） 2018-2019 学年江西省南昌十中高二（下）第一次月考数学试卷学年江西省南昌十中高二（下）第一次月考数学试卷 （理科） （理科） （3 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一单选题（本大题共一单选题（本大题共 12 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.） 1 （5 分）下列说法正确的是（ ） A三点确定一个平
9、面 B四边形一定是平面图形 C梯形一定是平面图形 D一条直线和一个点确定一个平面 【分析】不共线的三点确定一个平面；四边形有可能是空间图形；梯形中两条平行线确 定一个平面，故梯形一定是平面图形；直线与直线外一点确定一个平面 【解答】解：不共线的三点确定一个平面，共线的三点确定无数个平面，故 A 不正确； 四边形有可能是平面图形，有可能是空间图形，故 B 不正确； 梯形中两条平行线确定一个平面，故梯形一定是平面图形，故 C 正确； 直线与直线外一点确定一个平面，直线与直线上一点确定无数个平面，故 D 不正确 故选：C 【点评】本题考查命题的真假判断，是基础题解
10、题时要注意平面的公理及其推论的灵 活运用 2 （5 分）如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的（ ） A B C D 【分析】几何体是一个圆柱、两个圆台和一个圆锥的组合体，由此能求出结果 【解答】解：几何体是一个圆柱、两个圆台和一个圆锥的组合体， 第 7 页（共 22 页） 它是由 A 选项中的平面图形旋转而成的 故选：A 【点评】本题考查旋转形成几何体的平面图形的判断，考查旋转体等基础知识，考查运 算求解能力及数形结合思想，是基础题 3 （5 分）如图所示的直观图中，OAOB2，则其平面图形的面积是（ ） A4 B C D8 【分析】由斜二测画法还原出原图，求面积也可利用原图和直
11、观图的面积关系，先求 直观图面积，再求原图面积 【解答】解：由斜二测画法可知原图应为： 其面积为：S4， 故选：A 【点评】本题考查直观图与平面图形的画法，注意两点：一是角度的变化；二是长度的 变化；考查计算能力 4 （5 分）设有直线 m，n 和平面 ，下列四个命题中，正确的是（ ） A若 m，n，则 mn B若 m，n，m，l，则 C若 ，m，则 m D若 ，m，m，则 m 【分析】在 A 中，m 与 n 相交、平行或异面； 第 8 页（共 22 页） 在 B 中， 与 相交或平行； 在 C 中，m 或 m 或 m 与 相交； 在 D 中，由直线与平面垂
12、直的性质与判定定理可得 m 【解答】解：由直线 m、n，和平面 、，知： 对于 A，若 m，n，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 A 错误； 对于 B，若 m，n，m，n，则 或 与 相交，故 B 错误； 对于中，若 ，m，则 m 或 m 或 m 与 相交，故 C 错误； 对于 D，若 ，m，m，则由直线与平面垂直的性质与判定定理得 m，故 D 正确 故选：D 【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了符号语言与图形语言的转换问题， 是中档题 5 （5 分）圆台上、下底面面积分别是 、4，侧面积是 6，这个圆台的体积是（ ） A B2 C D 【分析】通过圆台的底面面积，求出上下底面半
13、径，利用侧面积公式求出母线长，然后 求出圆台的高，即可求得圆台的体积 【解答】解：S1，S24，r1，R2， S6（r+R）l，l2，h V（1+4+2） 故选：D 【点评】本题是基础题，通过底面面积求出半径，转化为求圆台的高，是本题的难点， 考查计算能力，常考题 6 （5 分）已知：空间四边形 ABCD 如图所示，E、F 分别是 AB、AD 的中点，G、H 分别 是 BC，CD 上的点，且，则直线 FH 与直线 EG（ ） A平行 B相交 C异面 D垂直 第 9 页（共 22 页） 【分析】由已知 EF 为三角形 ABD 的中位线，从而 EFBD 且 EFBD，由 .，得在四边形 EFHG
14、中，EFHG，即 E，F，G，H 四点共面，且 EF HG，由此能得出结论 【解答】解： ：四边形 ABCD 是空间四边形，E、F 分别是 AB、AD 的中点， EF 为三角形 ABD 的中位线 EFBD 且 EFBD 又.， CHGCDB，且 HGBD，HGBD 在四边形 EFHG 中，EFHG 即 E，F，G，H 四点共面，且 EFHG， 四边形 EFGH 是梯形， 直线 FH 与直线 EG 相交， 故选：B 【点评】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，是基础题，根据已知条件，判 断出 EFHG 且 EFHG，是解答本题的关键 7 （5 分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的
15、体积为（ ） A B3 C D 【分析】首先由三视图得到几何体的形状，然后由几何体的体积公式解之 【解答】解：由几何体的三视图得到几何体如， 第 10 页（共 22 页） 是圆柱被截取一部分，所以几何体的体积为：3 故选：B 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知判断出几何体的形状是解 答本题的关键 8 （5 分）已知四面体 ABCD 中，ABCD，ACBD，则点 A 在平面 BCD 上的射影 H 是 BCD 的（ ） A外心 B内心 C垂心 D重心 【分析】运用线面垂直的判断和性质，以及三角形的垂心概念可得所求 【解答】解：由 AH平面 BCD，ABCD，可得 CDAH， 即
16、有 CD平面 ABH，可得 CDBH， 同理可得 BDCH，BCDH，即有 H 为BCD 的垂心， 故选：C 【点评】本题考查空间线面垂直的判断和性质，考查三角形的垂心的定义，推理能力， 属于基础题 9 （5 分）如图，在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为 （ ） 第 11 页（共 22 页） AACBD BAC截面 PQMN CACBD D异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45 【分析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这 样就把 AC、BD 平移到正方形内，即可利用平面图形知识做出
17、判断 【解答】解：因为截面 PQMN 是正方形，所以 PQMN、QMPN， 则 PQ平面 ACD、QM平面 BDA， 所以 PQAC，QMBD， 由 PQQM 可得 ACBD，故 A 正确； 由 PQAC 可得 AC截面 PQMN，故 B 正确； 异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 QM 所成的角，故 D 正确； BDPN，PQAC ， 而当 ANDN 时，由 PNMN，知 BDAC， 故 C 错误 故选：C 【点评】本题主要考查线面平行的性质与判定 10 （5 分）若 f（x）x2+bln（x+2）在（1，+）上是减函数，则 b 的取值范围是 （ ） A1，+） B （1，+）
18、 C （，1 D （，1） 【分析】先对函数进行求导，根据导函数小于 0 时原函数单调递减即可得到答案 【解答】解：由题意可知，在 x（1，+）上恒成立， 第 12 页（共 22 页） 即 bx（x+2）在 x（1，+）上恒成立， 由于 yx（x+2）在（1，+）上是增函数且 y（1）1，所以 b1， 故选：C 【点评】本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题即导数大于 0 时原函数单 调递增，当导数小于 0 时原函数单调递减 11 （5 分）A 是抛物线 y22px（p0）上的一点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，当 |AF|4 时，OFA120，则抛物线的准线方程是（ ） Ax1
19、By1 Cx2 Dy2 【分析】当|AF|4 时，OFA120，结合抛物线的定义可求得 p，进而根据抛物线的 性质求得抛物线的准线方程 【解答】解：由题意BFAOFA9030， 过 A 作准线的垂线 AC，过 F 作 AC 的垂线，垂足分别为 C，B如图， A 点到准线的距离为：d|AB|+|BC|p+24， 解得 p2， 则抛物线的准线方程是 x1 故选：A 【点评】本题主要考查了直线与抛物线的关系，当涉及抛物线的焦点弦的问题时，常利 用抛物线的定义来解决 12 （5 分）已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E 为棱 CC1的中点，F 为棱 AA1上 的点，且满足 A1F：FA
20、1：2，点 F、B、E、G、H 为面 MBN 过三点 B、E、F 的截面与 正方体 ABCDA1B1C1D1在棱上的交点，则下列说法错误的是（ ） 第 13 页（共 22 页） AHFBE B CMBN 的余弦值为 DMBN 的面积是 【分析】利用直线与平面平行的判断与性质判断 A 正误；通过求解三角形判断 B、C 的 正误；通过三角形的面积判断 D 的正误； 【解答】解：因为面 AD1面 BC1，且面 AD1与面 MBN 的交线为 FH，面 BC1与面 MBN 的交线为 BE，所以 HFBE，A 正确； 因为 A1FBB1， 且 A1F： FA1： 2， 所以 MA1： A1B1
21、1： 2， 所以， 所以， 在 RtBB1M 中，所以 B 正确； 在 RtBB1N 中，E 为棱 CC1的中点，所以 C1为棱 NB1上的中点，所以 C1N1，在 Rt C1EN 中，所以；因为，在 BMN 中，所以 C 错误； 因 为， 所 以， 所 以SBMN 所以 D 正确 故选：C 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，考查空间想象能力以及计算能力 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）已知 f（x）x3+2xf（1） ，则 f（1） 3 【分析】求函数的导数，令 x0 即可得到结论 【解答】解：函数的
22、导数 f（x）3x2+2f（1） ， 令 x1， 第 14 页（共 22 页） 则 f（1）3+2f（1） ， 解得 f（1）3， 故答案为：3 【点评】本题主要考查到导数的计算，利用导数公式进行求解是解决本题的关键 14 （5 分）已知三棱锥 PABC 的三条侧棱两两垂直，且分别长为 2、4、4，则三棱锥 P ABC 外接球的表面积为 36 【分析】由三线垂直联想长方体，利用长方体外接球直径为其体对角线长可得解 【解答】解：三棱锥 PABC 的三条侧棱两两垂直， 可看作长方体的一角， 其外接球直径即为长方体的体对角线长， 为6， S球4936， 故答案为：36 【点评】此题考查了长方体外接球
23、问题，难度不大 15 （5 分）已知双曲线的一条渐近线与直线 x2y+30 平行，则实数 m 【分析】求得双曲线的渐近线方程，由两直线平行的条件：斜率相等，即可得到所求值 【解答】解：双曲线的渐近线方程为 ymx， 一条渐近线与直线 x2y+30 平行，可得 m， 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查运算能力，属于基础 题 16 （5 分）表面积为 60 的球面上有四点 S、A、B、C，且ABC 是等边三角形，球心 O 到平面 ABC 的距离为，若平面 SAB平面 ABC，则棱锥 SABC 体积的最大值为 27 【分析】棱锥 SABC 的底面积为定
24、值，欲使棱锥 SABC 体积体积最大，应有 S 到平 面 ABC 的距离取最大值，由此能求出棱锥 SABC 体积的最大值 第 15 页（共 22 页） 【解答】解：表面积为 60 的球，球的半径为， 设ABC 的中心为 D，则 OD，所以 DA，则 AB6 棱锥 SABC 的底面积 S为定值， 欲使其体积最大，应有 S 到平面 ABC 的距离取最大值， 又平面 SAB平面 ABC， S 在平面 ABC 上的射影落在直线 AB 上，而 SO，点 D 到直线 AB 的距离为， 则 S 到平面 ABC 的距离的最大值为 3， V 故答案为：27 【点评】本小题主要考查棱锥的体积的最大值的
25、求法，考查化归与转化的数学思想方法， 以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.请在答题卷上写出必要的推理过程或演算步骤）请在答题卷上写出必要的推理过程或演算步骤） 17 （10 分）已知直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，曲线 C 的极坐标方程为 ，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 P （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）求|PA|PB|的值 【分析】 （1）由 2sin（+）得 22（sincos+cossin） ，x2+y2 2y+2x，即（x1）2+（y1）22 （2）利用参
26、数 t 的几何意义可得 【解答】解： （1）由 2sin（+）得 22（sincos+cossin） ，x2+y2 2y+2x，即（x1）2+（y1）22 （2）将直线 l 的参数方程代入（x1）2+（y1）22，得 t2t10， 设 A，B 对应的参数为 t1，t2，则|PA|PB|t1|t2|t1t2|1 【点评】本题考查了简单的极坐标方程，属中档题 18 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，PD底面 ABCD，底面 ABCD 中，ABDC，AB 第 16 页（共 22 页） AD，又 CD6，ABADPD3，E 为 PC 中点 （1）求证：BE平面 PAD； （2）求异面直线 PA
27、 与 CB 所成角 【分析】 （1）取 PD 的中点为 F，连接 EF，AF，推导出四边形 ABEF 为平行四边形，从 而 BEAF，由此能证明 BE平面 ADP （2）取 CD 中点 G，连接 AG、PG，推导出 ABCG 为平行四边形，从而 BCAG，进而 PAG（或其补角）为 PA 与 CB 所成角，由此能求出 PA 与 CB 所成角 【解答】 （本大题 12 分） 解： （1）取 PD 的中点为 F，连接 EF，AF， 则在PCD 中， 由已知，ABEF 且 ABEF， 四边形 ABEF 为平行四边形， BEAF，而 AF平面 ADP，BE平面 PAD， BE平面 ADP（6 分） 解
28、： （2）取 CD 中点 G，连接 AG、PG， ABGC 且 ABGC，ABCG 为平行四边形， BCAG，PAG（或其补角）为 PA 与 CB 所成角， 由题意得，PAG60， PA 与 CB 所成角为 60（12 分） 第 17 页（共 22 页） 【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）如图，PA平面 ABC，AEPB，ABBC，AFPC，PAABBC2 （1）求证：平面 AEF平面 PBC； （2）求二面角 APCB 的大小 【分析】 （1）推导出 PABC，ABBC，
29、从而 BC平面 PAB，进而 BCAE，再由 AE PB，得 AE平面 PBC，由此能证明平面 AEF平面 PBC （2）以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，过 B 作平面 ABC 的垂线为 z 轴，建立空间 直角坐标系，利用向量法能求出二面角 APCB 的大小 【解答】证明： （1）PA平面 ABC，BC平面 ABC， PABC， ABBC，PAABA， BC平面 PAB， AE平面 PAB，BCAE， AEPB，BCPBB， AE平面 PBC， AE平面 AEF，平面 AEF平面 PBC 解： （2）以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，过 B 作平面 ABC
30、 的垂线为 z 轴，建立空 间直角坐标系， AFPC，PAABBC2A（0，2，0） ，B（0，0，0） ，C（2，0，0） ，P（0，2， 第 18 页（共 22 页） 2） ， （0，0，2） ，（0，2，2） ，（2，2，2） ， 设平面 PAC 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，1，0） ， 设平面 PBC 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （0，1，1） ， 设二面角 APCB 的大小为 ， 则 cos，60， 二面角 APCB 的大小为 60 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查
31、运算求解能力，是中档题 20（12 分） 如图， 在斜三棱柱 ABCA1B1C1中， 点 O 是 A1C1的中点， AO平面 A1B1C1 已 知BCA90，AA1ACBC2 （1）证明：A1C平面 AB1C1； （2）求 C1到侧面 ABB1A1的距离 第 19 页（共 22 页） 【分析】 （1）先证明：A1CAC1，A1CB1C1，再根据直线与平面垂直的判定定理可证； （2）利用等体积法可求得点到平面的距离 【解答】解（1）证明：AA1A1C1，四边形 AA1C1C 为菱形，A1CAC1， AO平面 A1B1C1，AOB1C1，又 B1C1A1C1， 且 AOA1C1O， B
32、1C1平面 AA1C1C，B1C1A1C， A1C平面 AB1C1 （2）AOA1C1，O 为 A1C1的中点，AA1AC12， AB1A1B12， S2， 设 C1到平面 ABB1A1的距离为 d， 则 VV， dSAOS， d22，d 所以 C1到平面 ABB1A1的距离为 【点评】本题考查了点、线、面间的距离的计算属中档题 21 （12 分）已知椭圆 C 的焦点为 F1（1，0） ，F2（1，0） ，点 P（1，）在椭圆 C 上 第 20 页（共 22 页） （）求椭圆 C 的标准方程； （）若斜率为的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，点 Q 满足，求ABQ 面积的最大值 【分
33、析】 （） 设椭圆 C 的标准方程为1 （ab0） ， 由椭圆 C 的焦点为 F1（ 1，0） ，F2（1，0） ，点 P（1，）在椭圆 C 上，列方程组求出 a2，b，由此能求 出椭圆 C 的标准方程 （）设直线 l：y+m，联立，得 x2+mx+m230，由此利用根的判 别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式，能求出ABQ 面积的最大值 【解答】解： （）设椭圆 C 的标准方程为1（ab0） ， 椭圆 C 的焦点为 F1（1，0） ，F2（1，0） ，点 P（1，）在椭圆 C 上 ，解得 a2，b， 椭圆 C 的标准方程为1 （）设直线 l：y+m，A（x1，y1） ，B（x2，y2
34、） ， 联立，消去 y，得 x2+mx+m230， 由m24（m23）3（4m2）0， 解得2m2， |AB| ， 由2，知 Q（1，） ， 第 21 页（共 22 页） 点 Q 到直线 l 的距离为 d， ABQ 的面积 S|AB|d ， 当且仅当 m时，S ABQ 面积的最大值为 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查椭圆、直线 方程、根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算 求解能力、推理论证能力，是中档题 22 （12 分）设函数 f（x）x3+ax2+bx+c （1）求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2
35、）设 ab4，若函数 f（x）有三个不同零点，求 c 的取值范围； （3）求证：a23b0 是 f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件 【分析】 （1）求出 f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程； （2）由 f（x）0，可得cx3+4x2+4x，由 g（x）x3+4x2+4x，求得导数，单调区间 和极值，由c 介于极值之间，解不等式即可得到所求范围； （3）先证若 f（x）有三个不同零点，令 f（x）0，可得单调区间有 3 个，求出导数， 由导数的图象与 x 轴有两个不同的交点，运用判别式大于 0，可得 a23b0；再由 ab 4，c0，可得若 a23b0，不能推出
36、f（x）有 3 个零点 【解答】解： （1）函数 f（x）x3+ax2+bx+c 的导数为 f（x）3x2+2ax+b， 可得 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线斜率为 kf（0）b， 切点为（0，c） ，可得切线的方程为 ybx+c； （2）设 ab4，即有 f（x）x3+4x2+4x+c， 由 f（x）0，可得cx3+4x2+4x， 由 g（x）x3+4x2+4x 的导数 g（x）3x2+8x+4（x+2） （3x+2） ， 当 x或 x2 时，g（x）0，g（x）递增； 当2x时，g（x）0，g（x）递减 即有 g（x）在 x2 处取得极大值，且为 0； 第 22 页（共 22 页
37、） g（x）在 x处取得极小值，且为 由函数 f（x）有三个不同零点，可得c0， 解得 0c， 则 c 的取值范围是（0，） ； （3）证明：若 f（x）有三个不同零点，令 f（x）0， 可得 f（x）的图象与 x 轴有三个不同的交点 即有 f（x）有 3 个单调区间， 即为导数 f（x）3x2+2ax+b 的图象与 x 轴有两个交点， 可得0，即 4a212b0，即为 a23b0； 若 a23b0，即有导数 f（x）3x2+2ax+b 的图象与 x 轴有两个交点， 当 c0，ab4 时，满足 a23b0， 即有 f（x）x（x+2）2，图象与 x 轴交于（0，0） ， （2，0） ，则 f（x）的零点为 2 个 故 a23b0 是 f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值，考查函数的零点的判 断，注意运用导数求得极值，考查化简整理的能力，属于中档题