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2018-2019学年江西省南昌十中高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(3月份)含详细解答

1、2018-2019 学年江西省南昌十中高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(3 月份)一单选题(本大题共 12 题,每小题题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.) 1 (5 分)下列说法正确的是( ) A三点确定一个平面  B四边形一定是平面图形  C梯形一定是平面图形  D一条直线和一个点确定一个平面 2 (5 分)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( ) A B C D 3 (5 分)如图所示的直观图中,OAOB2,则其平面图形的面积是( ) A4 B C D8 4 (5 分)设有直线 m,n 和平面 ,下列四个命题中,正确的是( ) A若

2、 m,n,则 mn  B若 m,n,m,l,则  C若 ,m,则 m  D若 ,m,m,则 m 5 (5 分)圆台上、下底面面积分别是 、4,侧面积是 6,这个圆台的体积是( ) A B2 C D 第 2 页(共 22 页) 6 (5 分)已知:空间四边形 ABCD 如图所示,E、F 分别是 AB、AD 的中点,G、H 分别 是 BC,CD 上的点,且,则直线 FH 与直线 EG( ) A平行 B相交 C异面 D垂直 7 (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A B3 C D 8 (5 分)已知四面体 ABCD 中,ABCD,ACBD,

3、则点 A 在平面 BCD 上的射影 H 是 BCD 的( ) A外心 B内心 C垂心 D重心 9 (5 分)如图,在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,则在下列命题中,错误的为 ( ) AACBD  BAC截面 PQMN  第 3 页(共 22 页) CACBD  D异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45 10 (5 分)若 f(x)x2+bln(x+2)在(1,+)上是减函数,则 b 的取值范围是 ( ) A1,+) B (1,+) C (,1 D (,1) 11 (5 分)A 是抛物线 y22px(p0)上的一点,F 为抛物线的焦点,O 为坐标

4、原点,当 |AF|4 时,OFA120,则抛物线的准线方程是( ) Ax1 By1 Cx2 Dy2 12 (5 分)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,E 为棱 CC1的中点,F 为棱 AA1上 的点,且满足 A1F:FA1:2,点 F、B、E、G、H 为面 MBN 过三点 B、E、F 的截面与 正方体 ABCDA1B1C1D1在棱上的交点,则下列说法错误的是( ) AHFBE B  CMBN 的余弦值为 DMBN 的面积是 二填空题(本大题共二填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.) 13 (5 分)已知 f(x)x3+2xf(

5、1) ,则 f(1)   14 (5 分)已知三棱锥 PABC 的三条侧棱两两垂直,且分别长为 2、4、4,则三棱锥 P ABC 外接球的表面积为   15(5分) 已知双曲线的一条渐近线与直线x2y+30平行, 则实数m    16 (5 分)表面积为 60 的球面上有四点 S、A、B、C,且ABC 是等边三角形,球心 O 到平面 ABC 的距离为,若平面 SAB平面 ABC,则棱锥 SABC 体积的最大值 为   第 4 页(共 22 页) 三解答题(本大题共三解答题(本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.请在答题卷上写出必要的推理过

6、程或演算步骤)请在答题卷上写出必要的推理过程或演算步骤) 17 (10 分)已知直线 l 的参数方程为(t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 ,直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 P (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)求|PA|PB|的值 18 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,PD底面 ABCD,底面 ABCD 中,ABDC,AB AD,又 CD6,ABADPD3,E 为 PC 中点 (1)求证:BE平面 PAD; (2)求异面直线 PA 与 CB 所成角 19 (12 分)如图,PA平面 ABC,AEPB,ABBC,AFPC,PAABBC2 (1

7、)求证:平面 AEF平面 PBC; (2)求二面角 APCB 的大小 20(12 分) 如图, 在斜三棱柱 ABCA1B1C1中, 点 O 是 A1C1的中点, AO平面 A1B1C1 已 知BCA90,AA1ACBC2 (1)证明:A1C平面 AB1C1; (2)求 C1到侧面 ABB1A1的距离 第 5 页(共 22 页) 21 (12 分)已知椭圆 C 的焦点为 F1(1,0) ,F2(1,0) ,点 P(1,)在椭圆 C 上 ()求椭圆 C 的标准方程; ()若斜率为的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,点 Q 满足,求ABQ 面积的最大值 22 (12 分)设函数 f(x)x

8、3+ax2+bx+c (1)求曲线 yf(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (2)设 ab4,若函数 f(x)有三个不同零点,求 c 的取值范围; (3)求证:a23b0 是 f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件 第 6 页(共 22 页) 2018-2019 学年江西省南昌十中高二(下)第一次月考数学试卷学年江西省南昌十中高二(下)第一次月考数学试卷 (理科) (理科) (3 月份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一单选题(本大题共一单选题(本大题共 12 题,每小题题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.) 1 (5 分)下列说法正确的是( ) A三点确定一个平

9、面  B四边形一定是平面图形  C梯形一定是平面图形  D一条直线和一个点确定一个平面 【分析】不共线的三点确定一个平面;四边形有可能是空间图形;梯形中两条平行线确 定一个平面,故梯形一定是平面图形;直线与直线外一点确定一个平面 【解答】解:不共线的三点确定一个平面,共线的三点确定无数个平面,故 A 不正确; 四边形有可能是平面图形,有可能是空间图形,故 B 不正确; 梯形中两条平行线确定一个平面,故梯形一定是平面图形,故 C 正确; 直线与直线外一点确定一个平面,直线与直线上一点确定无数个平面,故 D 不正确 故选:C 【点评】本题考查命题的真假判断,是基础题解

10、题时要注意平面的公理及其推论的灵 活运用 2 (5 分)如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( ) A B C D 【分析】几何体是一个圆柱、两个圆台和一个圆锥的组合体,由此能求出结果 【解答】解:几何体是一个圆柱、两个圆台和一个圆锥的组合体, 第 7 页(共 22 页) 它是由 A 选项中的平面图形旋转而成的 故选:A 【点评】本题考查旋转形成几何体的平面图形的判断,考查旋转体等基础知识,考查运 算求解能力及数形结合思想,是基础题 3 (5 分)如图所示的直观图中,OAOB2,则其平面图形的面积是( ) A4 B C D8 【分析】由斜二测画法还原出原图,求面积也可利用原图和直

11、观图的面积关系,先求 直观图面积,再求原图面积 【解答】解:由斜二测画法可知原图应为: 其面积为:S4, 故选:A 【点评】本题考查直观图与平面图形的画法,注意两点:一是角度的变化;二是长度的 变化;考查计算能力 4 (5 分)设有直线 m,n 和平面 ,下列四个命题中,正确的是( ) A若 m,n,则 mn  B若 m,n,m,l,则  C若 ,m,则 m  D若 ,m,m,则 m 【分析】在 A 中,m 与 n 相交、平行或异面; 第 8 页(共 22 页) 在 B 中, 与 相交或平行; 在 C 中,m 或 m 或 m 与 相交; 在 D 中,由直线与平面垂

12、直的性质与判定定理可得 m 【解答】解:由直线 m、n,和平面 、,知: 对于 A,若 m,n,则 m 与 n 相交、平行或异面,故 A 错误; 对于 B,若 m,n,m,n,则 或 与 相交,故 B 错误; 对于中,若 ,m,则 m 或 m 或 m 与 相交,故 C 错误; 对于 D,若 ,m,m,则由直线与平面垂直的性质与判定定理得 m,故 D 正确 故选:D 【点评】本题考查了命题真假的判断问题,也考查了符号语言与图形语言的转换问题, 是中档题 5 (5 分)圆台上、下底面面积分别是 、4,侧面积是 6,这个圆台的体积是( ) A B2 C D 【分析】通过圆台的底面面积,求出上下底面半

13、径,利用侧面积公式求出母线长,然后 求出圆台的高,即可求得圆台的体积 【解答】解:S1,S24,r1,R2, S6(r+R)l,l2,h V(1+4+2) 故选:D 【点评】本题是基础题,通过底面面积求出半径,转化为求圆台的高,是本题的难点, 考查计算能力,常考题 6 (5 分)已知:空间四边形 ABCD 如图所示,E、F 分别是 AB、AD 的中点,G、H 分别 是 BC,CD 上的点,且,则直线 FH 与直线 EG( ) A平行 B相交 C异面 D垂直 第 9 页(共 22 页) 【分析】由已知 EF 为三角形 ABD 的中位线,从而 EFBD 且 EFBD,由 .,得在四边形 EFHG

14、中,EFHG,即 E,F,G,H 四点共面,且 EF HG,由此能得出结论 【解答】解: :四边形 ABCD 是空间四边形,E、F 分别是 AB、AD 的中点, EF 为三角形 ABD 的中位线 EFBD 且 EFBD 又., CHGCDB,且 HGBD,HGBD 在四边形 EFHG 中,EFHG 即 E,F,G,H 四点共面,且 EFHG, 四边形 EFGH 是梯形, 直线 FH 与直线 EG 相交, 故选:B 【点评】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理,是基础题,根据已知条件,判 断出 EFHG 且 EFHG,是解答本题的关键 7 (5 分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的

15、体积为( ) A B3 C D 【分析】首先由三视图得到几何体的形状,然后由几何体的体积公式解之 【解答】解:由几何体的三视图得到几何体如, 第 10 页(共 22 页) 是圆柱被截取一部分,所以几何体的体积为:3 故选:B 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知判断出几何体的形状是解 答本题的关键 8 (5 分)已知四面体 ABCD 中,ABCD,ACBD,则点 A 在平面 BCD 上的射影 H 是 BCD 的( ) A外心 B内心 C垂心 D重心 【分析】运用线面垂直的判断和性质,以及三角形的垂心概念可得所求 【解答】解:由 AH平面 BCD,ABCD,可得 CDAH, 即

16、有 CD平面 ABH,可得 CDBH, 同理可得 BDCH,BCDH,即有 H 为BCD 的垂心, 故选:C 【点评】本题考查空间线面垂直的判断和性质,考查三角形的垂心的定义,推理能力, 属于基础题 9 (5 分)如图,在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,则在下列命题中,错误的为 ( ) 第 11 页(共 22 页) AACBD  BAC截面 PQMN  CACBD  D异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45 【分析】首先由正方形中的线线平行推导线面平行,再利用线面平行推导线线平行,这 样就把 AC、BD 平移到正方形内,即可利用平面图形知识做出

17、判断 【解答】解:因为截面 PQMN 是正方形,所以 PQMN、QMPN, 则 PQ平面 ACD、QM平面 BDA, 所以 PQAC,QMBD, 由 PQQM 可得 ACBD,故 A 正确; 由 PQAC 可得 AC截面 PQMN,故 B 正确; 异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 QM 所成的角,故 D 正确; BDPN,PQAC , 而当 ANDN 时,由 PNMN,知 BDAC, 故 C 错误 故选:C 【点评】本题主要考查线面平行的性质与判定 10 (5 分)若 f(x)x2+bln(x+2)在(1,+)上是减函数,则 b 的取值范围是 ( ) A1,+) B (1,+)

18、 C (,1 D (,1) 【分析】先对函数进行求导,根据导函数小于 0 时原函数单调递减即可得到答案 【解答】解:由题意可知,在 x(1,+)上恒成立, 第 12 页(共 22 页) 即 bx(x+2)在 x(1,+)上恒成立, 由于 yx(x+2)在(1,+)上是增函数且 y(1)1,所以 b1, 故选:C 【点评】本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题即导数大于 0 时原函数单 调递增,当导数小于 0 时原函数单调递减 11 (5 分)A 是抛物线 y22px(p0)上的一点,F 为抛物线的焦点,O 为坐标原点,当 |AF|4 时,OFA120,则抛物线的准线方程是( ) Ax1

19、By1 Cx2 Dy2 【分析】当|AF|4 时,OFA120,结合抛物线的定义可求得 p,进而根据抛物线的 性质求得抛物线的准线方程 【解答】解:由题意BFAOFA9030, 过 A 作准线的垂线 AC,过 F 作 AC 的垂线,垂足分别为 C,B如图, A 点到准线的距离为:d|AB|+|BC|p+24, 解得 p2, 则抛物线的准线方程是 x1 故选:A 【点评】本题主要考查了直线与抛物线的关系,当涉及抛物线的焦点弦的问题时,常利 用抛物线的定义来解决 12 (5 分)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1,E 为棱 CC1的中点,F 为棱 AA1上 的点,且满足 A1F:FA

20、1:2,点 F、B、E、G、H 为面 MBN 过三点 B、E、F 的截面与 正方体 ABCDA1B1C1D1在棱上的交点,则下列说法错误的是( ) 第 13 页(共 22 页) AHFBE B  CMBN 的余弦值为 DMBN 的面积是 【分析】利用直线与平面平行的判断与性质判断 A 正误;通过求解三角形判断 B、C 的 正误;通过三角形的面积判断 D 的正误; 【解答】解:因为面 AD1面 BC1,且面 AD1与面 MBN 的交线为 FH,面 BC1与面 MBN 的交线为 BE,所以 HFBE,A 正确; 因为 A1FBB1, 且 A1F: FA1: 2, 所以 MA1: A1B1

21、1: 2, 所以, 所以, 在 RtBB1M 中,所以 B 正确; 在 RtBB1N 中,E 为棱 CC1的中点,所以 C1为棱 NB1上的中点,所以 C1N1,在 Rt C1EN 中,所以;因为,在 BMN 中,所以 C 错误; 因 为, 所 以, 所 以SBMN 所以 D 正确 故选:C 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用,考查空间想象能力以及计算能力 二填空题(本大题共二填空题(本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.) 13 (5 分)已知 f(x)x3+2xf(1) ,则 f(1) 3 【分析】求函数的导数,令 x0 即可得到结论 【解答】解:函数的

22、导数 f(x)3x2+2f(1) , 令 x1, 第 14 页(共 22 页) 则 f(1)3+2f(1) , 解得 f(1)3, 故答案为:3 【点评】本题主要考查到导数的计算,利用导数公式进行求解是解决本题的关键 14 (5 分)已知三棱锥 PABC 的三条侧棱两两垂直,且分别长为 2、4、4,则三棱锥 P ABC 外接球的表面积为 36 【分析】由三线垂直联想长方体,利用长方体外接球直径为其体对角线长可得解 【解答】解:三棱锥 PABC 的三条侧棱两两垂直, 可看作长方体的一角, 其外接球直径即为长方体的体对角线长, 为6, S球4936, 故答案为:36 【点评】此题考查了长方体外接球

23、问题,难度不大 15 (5 分)已知双曲线的一条渐近线与直线 x2y+30 平行,则实数 m 【分析】求得双曲线的渐近线方程,由两直线平行的条件:斜率相等,即可得到所求值  【解答】解:双曲线的渐近线方程为 ymx, 一条渐近线与直线 x2y+30 平行,可得 m, 故答案为: 【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程,考查运算能力,属于基础 题 16 (5 分)表面积为 60 的球面上有四点 S、A、B、C,且ABC 是等边三角形,球心 O 到平面 ABC 的距离为,若平面 SAB平面 ABC,则棱锥 SABC 体积的最大值为 27 【分析】棱锥 SABC 的底面积为定

24、值,欲使棱锥 SABC 体积体积最大,应有 S 到平 面 ABC 的距离取最大值,由此能求出棱锥 SABC 体积的最大值 第 15 页(共 22 页) 【解答】解:表面积为 60 的球,球的半径为, 设ABC 的中心为 D,则 OD,所以 DA,则 AB6 棱锥 SABC 的底面积 S为定值, 欲使其体积最大,应有 S 到平面 ABC 的距离取最大值, 又平面 SAB平面 ABC, S 在平面 ABC 上的射影落在直线 AB 上,而 SO,点 D 到直线 AB 的距离为,  则 S 到平面 ABC 的距离的最大值为 3, V 故答案为:27 【点评】本小题主要考查棱锥的体积的最大值的

25、求法,考查化归与转化的数学思想方法, 以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力 三解答题(本大题共三解答题(本大题共 6 小题,共小题,共 70 分分.请在答题卷上写出必要的推理过程或演算步骤)请在答题卷上写出必要的推理过程或演算步骤) 17 (10 分)已知直线 l 的参数方程为(t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 ,直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 P (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)求|PA|PB|的值 【分析】 (1)由 2sin(+)得 22(sincos+cossin) ,x2+y2 2y+2x,即(x1)2+(y1)22 (2)利用参

26、数 t 的几何意义可得 【解答】解: (1)由 2sin(+)得 22(sincos+cossin) ,x2+y2 2y+2x,即(x1)2+(y1)22 (2)将直线 l 的参数方程代入(x1)2+(y1)22,得 t2t10, 设 A,B 对应的参数为 t1,t2,则|PA|PB|t1|t2|t1t2|1 【点评】本题考查了简单的极坐标方程,属中档题 18 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,PD底面 ABCD,底面 ABCD 中,ABDC,AB 第 16 页(共 22 页) AD,又 CD6,ABADPD3,E 为 PC 中点 (1)求证:BE平面 PAD; (2)求异面直线 PA

27、 与 CB 所成角 【分析】 (1)取 PD 的中点为 F,连接 EF,AF,推导出四边形 ABEF 为平行四边形,从 而 BEAF,由此能证明 BE平面 ADP (2)取 CD 中点 G,连接 AG、PG,推导出 ABCG 为平行四边形,从而 BCAG,进而 PAG(或其补角)为 PA 与 CB 所成角,由此能求出 PA 与 CB 所成角 【解答】 (本大题 12 分) 解: (1)取 PD 的中点为 F,连接 EF,AF, 则在PCD 中, 由已知,ABEF 且 ABEF, 四边形 ABEF 为平行四边形, BEAF,而 AF平面 ADP,BE平面 PAD, BE平面 ADP(6 分) 解

28、: (2)取 CD 中点 G,连接 AG、PG, ABGC 且 ABGC,ABCG 为平行四边形, BCAG,PAG(或其补角)为 PA 与 CB 所成角, 由题意得,PAG60, PA 与 CB 所成角为 60(12 分) 第 17 页(共 22 页) 【点评】本题考查线面平行的证明,考查异面直线所成角的求法,考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 19 (12 分)如图,PA平面 ABC,AEPB,ABBC,AFPC,PAABBC2 (1)求证:平面 AEF平面 PBC; (2)求二面角 APCB 的大小 【分析】 (1)推导出 PABC,ABBC,

29、从而 BC平面 PAB,进而 BCAE,再由 AE PB,得 AE平面 PBC,由此能证明平面 AEF平面 PBC (2)以 B 为原点,BC 为 x 轴,BA 为 y 轴,过 B 作平面 ABC 的垂线为 z 轴,建立空间 直角坐标系,利用向量法能求出二面角 APCB 的大小 【解答】证明: (1)PA平面 ABC,BC平面 ABC, PABC, ABBC,PAABA, BC平面 PAB, AE平面 PAB,BCAE, AEPB,BCPBB, AE平面 PBC, AE平面 AEF,平面 AEF平面 PBC 解: (2)以 B 为原点,BC 为 x 轴,BA 为 y 轴,过 B 作平面 ABC

30、 的垂线为 z 轴,建立空 间直角坐标系, AFPC,PAABBC2A(0,2,0) ,B(0,0,0) ,C(2,0,0) ,P(0,2, 第 18 页(共 22 页) 2) , (0,0,2) ,(0,2,2) ,(2,2,2) , 设平面 PAC 的法向量 (x,y,z) , 则,取 x1,得 (1,1,0) , 设平面 PBC 的法向量 (x,y,z) , 则,取 x1,得 (0,1,1) , 设二面角 APCB 的大小为 , 则 cos,60, 二面角 APCB 的大小为 60 【点评】本题考查面面垂直的证明,考查二面角的求法,考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识,考查

31、运算求解能力,是中档题 20(12 分) 如图, 在斜三棱柱 ABCA1B1C1中, 点 O 是 A1C1的中点, AO平面 A1B1C1 已 知BCA90,AA1ACBC2 (1)证明:A1C平面 AB1C1; (2)求 C1到侧面 ABB1A1的距离 第 19 页(共 22 页) 【分析】 (1)先证明:A1CAC1,A1CB1C1,再根据直线与平面垂直的判定定理可证;  (2)利用等体积法可求得点到平面的距离 【解答】解(1)证明:AA1A1C1,四边形 AA1C1C 为菱形,A1CAC1, AO平面 A1B1C1,AOB1C1,又 B1C1A1C1, 且 AOA1C1O, B

32、1C1平面 AA1C1C,B1C1A1C, A1C平面 AB1C1 (2)AOA1C1,O 为 A1C1的中点,AA1AC12, AB1A1B12, S2, 设 C1到平面 ABB1A1的距离为 d, 则 VV, dSAOS, d22,d 所以 C1到平面 ABB1A1的距离为 【点评】本题考查了点、线、面间的距离的计算属中档题 21 (12 分)已知椭圆 C 的焦点为 F1(1,0) ,F2(1,0) ,点 P(1,)在椭圆 C 上 第 20 页(共 22 页) ()求椭圆 C 的标准方程; ()若斜率为的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,点 Q 满足,求ABQ 面积的最大值 【分

33、析】 () 设椭圆 C 的标准方程为1 (ab0) , 由椭圆 C 的焦点为 F1( 1,0) ,F2(1,0) ,点 P(1,)在椭圆 C 上,列方程组求出 a2,b,由此能求 出椭圆 C 的标准方程 ()设直线 l:y+m,联立,得 x2+mx+m230,由此利用根的判 别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式,能求出ABQ 面积的最大值 【解答】解: ()设椭圆 C 的标准方程为1(ab0) , 椭圆 C 的焦点为 F1(1,0) ,F2(1,0) ,点 P(1,)在椭圆 C 上 ,解得 a2,b, 椭圆 C 的标准方程为1 ()设直线 l:y+m,A(x1,y1) ,B(x2,y2

34、) , 联立,消去 y,得 x2+mx+m230, 由m24(m23)3(4m2)0, 解得2m2, |AB| , 由2,知 Q(1,) , 第 21 页(共 22 页) 点 Q 到直线 l 的距离为 d, ABQ 的面积 S|AB|d , 当且仅当 m时,S ABQ 面积的最大值为 【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查三角形面积的最大值的求法,考查椭圆、直线 方程、根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式等基础知识,考查运算 求解能力、推理论证能力,是中档题 22 (12 分)设函数 f(x)x3+ax2+bx+c (1)求曲线 yf(x)在点(0,f(0) )处的切线方程; (2

35、)设 ab4,若函数 f(x)有三个不同零点,求 c 的取值范围; (3)求证:a23b0 是 f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件 【分析】 (1)求出 f(x)的导数,求得切线的斜率和切点,进而得到所求切线的方程; (2)由 f(x)0,可得cx3+4x2+4x,由 g(x)x3+4x2+4x,求得导数,单调区间 和极值,由c 介于极值之间,解不等式即可得到所求范围; (3)先证若 f(x)有三个不同零点,令 f(x)0,可得单调区间有 3 个,求出导数, 由导数的图象与 x 轴有两个不同的交点,运用判别式大于 0,可得 a23b0;再由 ab 4,c0,可得若 a23b0,不能推出

36、f(x)有 3 个零点 【解答】解: (1)函数 f(x)x3+ax2+bx+c 的导数为 f(x)3x2+2ax+b, 可得 yf(x)在点(0,f(0) )处的切线斜率为 kf(0)b, 切点为(0,c) ,可得切线的方程为 ybx+c; (2)设 ab4,即有 f(x)x3+4x2+4x+c, 由 f(x)0,可得cx3+4x2+4x, 由 g(x)x3+4x2+4x 的导数 g(x)3x2+8x+4(x+2) (3x+2) , 当 x或 x2 时,g(x)0,g(x)递增; 当2x时,g(x)0,g(x)递减 即有 g(x)在 x2 处取得极大值,且为 0; 第 22 页(共 22 页

37、) g(x)在 x处取得极小值,且为 由函数 f(x)有三个不同零点,可得c0, 解得 0c, 则 c 的取值范围是(0,) ; (3)证明:若 f(x)有三个不同零点,令 f(x)0, 可得 f(x)的图象与 x 轴有三个不同的交点 即有 f(x)有 3 个单调区间, 即为导数 f(x)3x2+2ax+b 的图象与 x 轴有两个交点, 可得0,即 4a212b0,即为 a23b0; 若 a23b0,即有导数 f(x)3x2+2ax+b 的图象与 x 轴有两个交点, 当 c0,ab4 时,满足 a23b0, 即有 f(x)x(x+2)2,图象与 x 轴交于(0,0) , (2,0) ,则 f(x)的零点为 2 个  故 a23b0 是 f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件 【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程和单调区间、极值,考查函数的零点的判 断,注意运用导数求得极值,考查化简整理的能力,属于中档题