1、2018-2019 学年江西省景德镇市八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分.每小题只有一个正确选项）每小题只有一个正确选项） 1 （3 分）的倒数是（ ） A3 B C D 2 （3 分）已知点 A（2，1） ，点 B 与点 A 关于 y 轴对称，则点 B 的坐标为（ ） A （2，1） B （2，1） C （2，1） D （1，2） 3 （3 分）在ABC 中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 a2b2c2，则（ ） AA90 BB90 CC90 D不确定哪个角是直角 4 （3 分）在 3.14，0.10010001
2、，3. ，中，无理数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 5 （3 分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点 O 出发，按向右， 向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动 1m其行走路线如图所示，第 1 次移 动到 A1，第 2 次移动到 A2，第 n 次移动到 An则OA2A2018的面积是（ ） A504m2 Bm2 Cm2 D1009m2 6 （3 分）如图，直角三角形 DEF 中，DFE90，在直角三角形外面作正方形 ABDE， CDFI，EFGH 的面积分别为 25，9，16，AEH，BDC，GFI 的面积分别为 S1，S2， S3，则 S1+S2+
3、S3（ ） A18 B21 C23.5 D26 第 2 页（共 23 页） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 7 （3 分）实数的平方根是 8 （3 分）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分 别是（4，1）和（2，3） ，那么“卒”的坐标为 9 （3 分）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地 2.5 米，当物体进入感应器 的感应范围内时，感应门就会自动打开一个身高 1.6 米的学生正对门，缓慢走到离门 1.2 米的地方时，感应门才自动打开，则感应器的最大感应距离是 米 10 （3
4、 分）已知两个连续整数 a，b 满足 ab，则 a+b 11 （3 分）如图，在ABC 中，BAC90，ABAC，ABC 的三个顶点在互相平行的 三条直线 l1，l2，l3上，且 l1，l2之间的距离是 1，l2，l3之间的距离是 2，则 BC 的长度 为 12 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（1，0） ，点 B（0，2） ，点 C 在 x 轴上， ABC 是以线段 AB 为腰的等腰三角形，则点 C 的坐标为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 13 （6 分）先化简，再求值： （a+b）2（a+b） （
5、ab）2b2，其中 a，b 14 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A（ 1，a） ，B（b，1） ，C（1，3） ，D（2，0） ，请回答下列问题： 第 3 页（共 23 页） （1）点 A 在第 象限，它的坐标是（1， ） ； （2）点 B 在第 象限，它的坐标是（ ，1） ； （3）将平行四边形 ABCD 上每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标都乘以1，再顺次连 接这些点，所得图形与平行四边形 ABCD 关于 轴对称 15 （6 分）如图，在 96 的正方形网格中，线段 AB，BC 的端点均在格点（每个小正方形 的顶点）上，请仅用无刻度的直尺按
6、下列要求画图 （1）在图中，选取一个格点 D，连接 AD，BD，CD，使ABD 和BCD 都是直角三 角形； （2）在图中，选取一个格点 E，连接 AE，BE，CE，使ABE 和BCE 都是以 BE 为 直角边的直角三角形，且其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的 2 倍 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 7 分，共分，共 28 分）分） 16 （7 分）如图，已知 OAOB，数轴上点 A 表示的数为 a （1）a ； （2）比较大小：a 2.4（填“”或“” ） （3）求的值 17 （7 分）如图，在长方形 ABCD 中，AB6，AD10，在 CD 上
7、取一点 F，将ADF 沿 AF 折叠后，点 D 恰好落在 BC 边上的点 E 处 第 4 页（共 23 页） （1）求线段 BE 的长； （2）求CEF 的面积 18 （7 分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为 1，请回答下列问题： （1）点 A 的坐标是 ，点 B 的坐标是 ； （2）分别求出线段 OB 和线段 AB 的长度 19 （7 分）已知：如图，ABC 中，C90，D 为 AB 的中点，E、F 分别在 AC、BC 上，且 DEDF求证：AE2+BF2EF2 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分分) 20 （
8、9 分）已知实数 a，b，c 满足+|b+a|+（c6）20，请回答下列问题： （1）求 a，b，c 的值； （2）判断以 a，b，c 为三边长的三角形的形状 21 （9 分）已知平面直角坐标系中一点 A（2a+3，a2） ，分别求出满足下列条件的 a 的值 （1）点 A 在 x 轴上； （2）点 A 在过点（1，2）且与 y 轴平行的直线上； 第 5 页（共 23 页） （3）点 A 到 x 轴的距离为 5； （4）点 A 到 x 轴与 y 轴的距离相等 六、附加题（本大题共六、附加题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 22 （10 分）我们已经知道
9、（+3） （3）4，因此，在计算时，可以将分 子，分母同时乘以（+3）进行化前如下： 2+6 请运用上述方法进行以下化简： （1） （直接填空） ； （2）+； （3）+ （提示：） 23 （10 分） 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力千百年来，人们对它 的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者向常春在 1994 年构造发 现了一个新的证法 【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图 1 放置，其三边长分别为 a，b，c显然， DABB90，ACDE请用 a，b，c 分别表示出梯形 ABCD，四边形 AECD， EBC 的面积， 再探究这三个图形面积之间的关系， 可得
10、到勾股定理： S梯形ABCD ， SEBC ，S四边形AECD ，则它们满足的关系式为 ，经化简，可得 到勾股定理 【知识运用】如图 2，河道上 A，B 两点（看作直线上的两点）相距 160 米，C，D 为两 个菜园（看作两个点） ，ADAB，BCAB，垂足分别为 A，B，AD70 米，BC50 米， 现在菜农要在 AB 上确定一个抽水点 P，使得抽水点 P 到两个菜园 C，D 的距离和最短， 则该最短距离为 米 【知识迁移】借助上面的思考过程，求代数式+的最小值（0x 12） 第 6 页（共 23 页） 第 7 页（共 23 页） 2018-2019 学年江西省景德镇市八年级（上）期中数学学
11、年江西省景德镇市八年级（上）期中数学试卷试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分.每小题只有一个正确选项）每小题只有一个正确选项） 1 （3 分）的倒数是（ ） A3 B C D 【分析】根据倒数的定义解答 【解答】解：的倒数是： 故选：B 【点评】 此题主要考查了倒数的定义： 若两个数的乘积是 1， 我们就称这两个数互为倒数 2 （3 分）已知点 A（2，1） ，点 B 与点 A 关于 y 轴对称，则点 B 的坐标为（ ） A （2，1） B （2，1） C （2，1） D （1，2） 【
12、分析】直接利用关于 y 轴对称点的性质得出答案 【解答】解：点 A（2，1） ，点 B 与点 A 关于 y 轴对称， 点 B 的坐标为： （2，1） 故选：C 【点评】此题主要考查了关于 y 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键 3 （3 分）在ABC 中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 a2b2c2，则（ ） AA90 BB90 CC90 D不确定哪个角是直角 【分析】利用勾股定理的逆定理进行判断 【解答】解：在ABC 中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 a2b2c2， b2+c2a2 b、c 是两直角边，c 是斜边， A90 故选：A 【点评】考查了勾股定理
13、的逆定理 ：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2c2，那 么这个三角形就是直角三角形 第 8 页（共 23 页） 4 （3 分）在 3.14，0.10010001，3. ，中，无理数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概 念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环 小数是无理数由此即可判定选择项 【解答】解：在所列的实数中，无理数有 ，这 2 个， 故选：B 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等； 开方开不尽的数；以及像 0.1
14、010010001，等有这样规律的数 5 （3 分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点 O 出发，按向右， 向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动 1m其行走路线如图所示，第 1 次移 动到 A1，第 2 次移动到 A2，第 n 次移动到 An则OA2A2018的面积是（ ） A504m2 Bm2 Cm2 D1009m2 【分析】由 OA4n2n 知 OA2017+11009，据此得出 A2A2018100911008， 据此利用三角形的面积公式计算可得 【解答】解：由题意知 OA4n2n， 201845042， OA2017+11009， A2A2018100911
15、008， 则OA2A2018的面积是11008504m2， 故选：A 【点评】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为 4 的倍 数时对应长度即为下标的一半，据此可得 6 （3 分）如图，直角三角形 DEF 中，DFE90，在直角三角形外面作正方形 ABDE， 第 9 页（共 23 页） CDFI，EFGH 的面积分别为 25，9，16，AEH，BDC，GFI 的面积分别为 S1，S2， S3，则 S1+S2+S3（ ） A18 B21 C23.5 D26 【分析】 过点 A 作 AMEH， 交 HE 的延长线于点 M， 由正方形的性质可得 AEDE5， EFFH4，DF
16、FI3，AEDHEF90MEF，由“AAS”可证AME DFE，可得 AMDF，即可得 S1SDEF，同理可得 S2SDEF，S3SDEF，即可求解 【解答】解：如图，过点 A 作 AMEH，交 HE 的延长线于点 M， 正方形 ABDE，CDFI，EFGH 的面积分别为 25，9，16， AEDE5，EFFH4，DFFI3，AEDHEF90MEF AEMDEF，且AMEDFE，AEDE AMEDFE（AAS） AMDF S1EHAM，SDEFEFDF S1SDEF， 同理可得：S2SDEF，S3SDEF， S1+S2+S33SDEF34318 故选：A 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三
17、角形的判定和性质，证明 S1S2S3SDEF 第 10 页（共 23 页） 是本题的关键 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 7 （3 分）实数的平方根是 【分析】根据平方根的定义即可得到结果 【解答】解：（）2 实数的平方根是 故答案是： 【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键 8 （3 分）如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分 别是（4，1）和（2，3） ，那么“卒”的坐标为 （1，0） 【分析】首先根据“相”和“兵”的坐标确定原点位置，然后建立坐标系，进而可得“卒
18、” 的坐标 【解答】解：如图所示， “卒”的坐标为（1，0） ， 故答案为： （1，0） 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，关键是正确确定原点位置 9 （3 分）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地 2.5 米，当物体进入感应器 的感应范围内时，感应门就会自动打开一个身高 1.6 米的学生正对门，缓慢走到离门 第 11 页（共 23 页） 1.2 米的地方时，感应门才自动打开，则感应器的最大感应距离是 1.5 米 【分析】过点 B 作 BCAD 于点 C，构造 RtABC，利用勾股定理求得 AB 的长度即可 【解答】解：如图，过点 B 作 BCAD 于点 C， 依题意知，BECD1
19、.6 米，EDBC1.2 米，AD2.5 米，则 ACADCDADBE 2.51.60.9（米） 在 RtABC 中，由勾股定理得到：AB1.5（米） 故答案是：1.5 【点评】考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾 股定理求得线段 AB 的长度 10 （3 分）已知两个连续整数 a，b 满足 ab，则 a+b 5 【分析】先估算出的范围，求出 a、b 的值，即可求出答案 【解答】解：23， 32， a3，b2， a+b5， 故答案为：5 【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，能估算出的范围是解此题的关键 11 （3 分）如图，在ABC 中，BAC90，ABA
20、C，ABC 的三个顶点在互相平行的 三条直线 l1，l2，l3上，且 l1，l2之间的距离是 1，l2，l3之间的距离是 2，则 BC 的长度 为 2 第 12 页（共 23 页） 【分析】过点 B 作 BEl1于点 E，过点 C 作 CFl1于点 F，由余角的性质可得CAF BAE，由“AAS”可证ABECAF，可得 AECF1，由勾股定理可求 AB 的长， BC 的长 【解答】解：如图，过点 B 作 BEl1于点 E，过点 C 作 CFl1于点 F， l1，l2之间的距离是 1，l2，l3之间的距离是 2， BE3，CF1， BAC90，BEAF BAE+CAF90，BAE+ABE90 C
21、AFBAE，且 ABAC，AEBAFC90 ABECAF（AAS） AECF1， 在 RtABE 中，AB BAC90，ABAC BCAB2 故答案为：2 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构 造全等三角形是本题的关键 12 （3 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（1，0） ，点 B（0，2） ，点 C 在 x 轴上， ABC 是以线段 AB 为腰的等腰三角形，则点 C 的坐标为 （1+，0）或（1，0） 或（1，0） 【分析】分 ABAC，BCAB 两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求点 C 坐标 【解答】解：点 A（1，0） ，点 B（0
22、，2） ， 第 13 页（共 23 页） OA1，OB2， AB 若 ABAC， 点 A（1，0） 点 C 坐标（1+，0）或（1，0） 若 BCAB，且 BOAC AOCO1 点 C 坐标（1，0） 综上所述：点 C 坐标为（1+，0）或（1，0）或（1，0） 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，坐标与图形性质，利用分类讨论思想解 决问题是本题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 13 （6 分）先化简，再求值： （a+b）2（a+b） （ab）2b2，其中 a，b 【分析】原式先利用完全平方公式、平方差公式进
23、行计算，再合并同类项得到最简结果， 然后把 a 与 b 的值代入计算即可求出值 【解答】解： （a+b）2（a+b） （ab）2b2， a2+2ab+b2a2+b22b2 2ab， 当 a，b时， 原式22 【点评】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 14 （6 分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A（ 1，a） ，B（b，1） ，C（1，3） ，D（2，0） ，请回答下列问题： （1）点 A 在第 三 象限，它的坐标是（1， 2 ） ； （2）点 B 在第 二 象限，它的坐标是（ 2 ，1） ； （3）将平行四边形 ABC
24、D 上每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标都乘以1，再顺次连 接这些点，所得图形与平行四边形 ABCD 关于 x 轴对称 第 14 页（共 23 页） 【分析】 （1）作 AEx 轴，延长 AE 交 BC 于点 G，作 BFx 轴，作 CFBF，据此知 AEDCFB90，AGCF，再由四边形 ABCD 是平行四边形知 ADBC，ADBC， 据此得DAEBGEBCF，结合以上条件证ADECBF 得 DEBF，AECF 据此列出关于 a、b 的方程，解之得出 a、b 的值，从而得出答案； （2）由（1）所求 b 的值得出点 B 的坐标，从而得出答案； （3）根据关于 x 轴对称点的横坐标相等、纵坐标互
25、为相反数可得答案 【解答】解： （1）如图所示，过点 A 作 AEx 轴于点 E，延长 AE 交 BC 于点 G，过 B 作 BFx 轴，过点 C 作 CFBF 于点 F， 则AEDCFB90，AGCF， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， 则DAEBGEBCF， 在ADE 和CBF 中， ， ADECBF（AAS） ， DEBF，AECF， 31b，a2， 解得：a2，b2， 第 15 页（共 23 页） 则点 A（1，2） ，在第三象限， 故答案为：三，2； （2）由（1）知，点 B 坐标为（2，1） ，在第二象限， 故答案为：二，2； （3）将平行四边形 ABCD 上
26、每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标都乘以1，再顺次连 接这些点，所得图形与平行四边形 ABCD 关于 x 轴对称 故答案为：x 【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握平行四边形的性质、全等三角形 的判定与性质及关于 x 轴对称点的坐标特点等知识点 15 （6 分）如图，在 96 的正方形网格中，线段 AB，BC 的端点均在格点（每个小正方形 的顶点）上，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图 （1）在图中，选取一个格点 D，连接 AD，BD，CD，使ABD 和BCD 都是直角三 角形； （2）在图中，选取一个格点 E，连接 AE，BE，CE，使ABE 和BCE 都是以 BE 为 直角边的直角
27、三角形，且其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的 2 倍 【分析】 （1）利用数形结合的思想，使得 BABD，CBCD，点 D 即为所求 （2）利用数形结合的思想解决问题即可 【解答】解： （1）点 D 如图所示 （2）点 E 如图所示 第 16 页（共 23 页） 【点评】本题考查作图应用与设计，直角三角形的性质，勾股定理以及逆定理等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 7 分，共分，共 28 分）分） 16 （7 分）如图，已知 OAOB，数轴上点 A 表示的数为 a （1）a ； （2）比
28、较大小：a 2.4（填“”或“” ） （3）求的值 【分析】 （1）根据数轴可以得到 OAOB，从而可以得到 a； （2）比较两个负数大小，先比较它们的绝对值，再根据“两个负数，绝对值大的反而小” 解题； （3）先根据算术平方根和立方根的概念去掉根号计算即可 【解答】解： （1）由勾股定理得 OB， OAOB； 点 A 在数轴上原点 O 的左侧， a； 故答案为 （2）2.425.765， 2.4 2.4， 即2.4a， a2.4 故答案为 （3）2.4a2，a+20， 原式（a+2）（a2）2a2 【点评】本题考查了实数与数轴、比较实数大小和实数计算，解题关键是理解算术平方 根的概念以及两个
29、负数大小比较的方法 17 （7 分）如图，在长方形 ABCD 中，AB6，AD10，在 CD 上取一点 F，将ADF 沿 第 17 页（共 23 页） AF 折叠后，点 D 恰好落在 BC 边上的点 E 处 （1）求线段 BE 的长； （2）求CEF 的面积 【分析】 （1）根据矩形以及折叠的性质，即可得到 RtABE 中，BE8； （2）设 CFx，则 DFEF6x，在 RtECF 中，由勾股定理可得：EF2CF2+CE2， 求得 CF 的长，即可得出CEF 的面积 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是矩形， ADBC10，CDAB6，B90， 由折叠可得：AE10，EFDF， RtAB
30、E 中，BE8； （2）CEBCBE1082， 设 CFx，则 DFEF6x， 在 RtECF 中，由勾股定理可得：EF2CF2+CE2， 即（6x）2x2+22， 3612x+x2x2+4， x， 即 CFcm CEF 的面积为2 【点评】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理等知识，解题时常常设要求的线 段长为 x， 然后根据折叠和轴对称的性质用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当 的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案 18 （7 分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为 1，请回答下列问题： （1）点 A 的坐标是 （4，3） ，点 B 的坐标是 （2，5）
31、； （2）分别求出线段 OB 和线段 AB 的长度 第 18 页（共 23 页） 【分析】 （1）根据平面直角坐标系、点的坐标的确定方法解答； （2）根据勾股定理计算即可 【解答】解： （1）点 A 的坐标是（4，3） ，点 B 的坐标是（2，5） ； （2）OB， AB10 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是 a，b，斜边长 为 c，那么 a2+b2c2 19 （7 分）已知：如图，ABC 中，C90，D 为 AB 的中点，E、F 分别在 AC、BC 上，且 DEDF求证：AE2+BF2EF2 【分析】过点 A 作 AMBC，交 FD 延长线于点 M，连接 EM
32、，通过证明 AMBF，EF EM 即可得出答案 【解答】证明：过点 A 作 AMBC，交 FD 延长线于点 M，连接 EM AMBC， MAEACB90，MADB ADBD，ADMBDF， ADMBDF 第 19 页（共 23 页） AMBF，MDDF 又DEDF， EFEM AE2+BF2AE2+AM2EM2EF2 【点评】本题考查了勾股定理与全等三角形的判定与性质，有一定难度，关键是正确作 出辅助线 五、解答题（本大题共五、解答题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 9 分，共分，共 18 分分) 20 （9 分）已知实数 a，b，c 满足+|b+a|+（c6）20，请回答下列问题：
33、（1）求 a，b，c 的值； （2）判断以 a，b，c 为三边长的三角形的形状 【分析】 （1）利用非负数的性质求得它们的值即可 （2）根据（1）中的数据进行判断 【解答】解： （1）由+|b+a|+（c6）20 得到： 2a60，b+a0 且c60， 解得 a3，b3，c3 （2）由（1）知，ab3，c3， 所以 a2+b2c218， 所以，该三角形是等腰直角三角形 【点评】考查了非负数的性质，三角形形状的判定几个非负数式子的和为零时，则每 一个式子的值都是零 21 （9 分）已知平面直角坐标系中一点 A（2a+3，a2） ，分别求出满足下列条件的 a 的值 （1）点 A 在 x 轴上； （
34、2）点 A 在过点（1，2）且与 y 轴平行的直线上； 第 20 页（共 23 页） （3）点 A 到 x 轴的距离为 5； （4）点 A 到 x 轴与 y 轴的距离相等 【分析】本题根据题目要求，按照平面坐标系中点的坐标规律即可求得 【解答】解： （1）点 A 在 x 轴上，则 a20，即 a2； （2）点 A 在过点（1，2）且与 y 轴平行的直线上， 则有 2a+31，解得：a2； （3）点 A 到 x 轴的距离为 5，则|a2|5， 解得：a7 或 a3； （4）点 A 到 x 轴与 y 轴的距离相等，可得：2a+3a2 或 2a+3（a2） ， 解得：a5 或 a； 故答案为： （1
35、）2； （2）2； （3）7 或3； （4）5 或 【点评】本题重点在于理解点到坐标轴的距离与点坐标之间的关系，关系清晰，则本题 很容易求解 六、附加题（本大题共六、附加题（本大题共 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 22 （10 分）我们已经知道（+3） （3）4，因此，在计算时，可以将分 子，分母同时乘以（+3）进行化前如下： 2+6 请运用上述方法进行以下化简： （1） 2 （直接填空） ； （2）+； （3）+ （提示：） 【分析】 （1）把分子分母都乘以 2即可； （2）利用分母有理化得到原式1+10，然后合并即可； （3）先把分子部分变形得到原式+，
36、再利用 约分得到原式+，然后分母有理化后合并即可 【解答】解： （1）原式2； 第 21 页（共 23 页） 故答案为 2； （2）原式1+10 101 9； （3）原式+ + （1）+（）+（3） （31） 1 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并 同类二次根式即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式 的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍 23 （10 分） 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力千百年来，人们对它 的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者向常春在 1994 年构造发 现了一个新的证法
37、 【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图 1 放置，其三边长分别为 a，b，c显然， DABB90，ACDE请用 a，b，c 分别表示出梯形 ABCD，四边形 AECD， EBC 的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理：S梯形ABCD a （a+b） ，SEBC b（ab） ，S四边形AECD c2 ，则它们满足的关系式为 a（a+b）b（ab）+c2 ，经化简，可得到勾股定理 【知识运用】如图 2，河道上 A，B 两点（看作直线上的两点）相距 160 米，C，D 为两 个菜园（看作两个点） ，ADAB，BCAB，垂足分别为 A，B，AD70 米，BC50 米， 现在菜农要在
38、AB 上确定一个抽水点 P，使得抽水点 P 到两个菜园 C，D 的距离和最短， 则该最短距离为 200 米 【知识迁移】借助上面的思考过程，求代数式+的最小值（0x 12） 第 22 页（共 23 页） 【分析】 【小试牛刀】 ：根据梯形的面积公式，三角形是面积公式计算即可解决问题 【知识运用】 ：作点 C 关于 AB 的对称点 F，连接 DF 交 AB 于点 P，连接 PC，点 P 即为 所求 【知识迁移】 ：先作出点 C 关于 AB 的对称点 F，连接 DF，使 AB12，AD6，BCBF 3，DF 就是代数式+的最小值， 【解答】 解： 【小试牛刀】 ： S梯形ABCDa （a+b） ，
39、 SEBCb （ab） ， S四边形AECDc2， 则它们满足的关系式为a（a+b）b（ab）+c2， 故答案为：a（a+b） ，b（ab） ，c2，a（a+b）b（ab）+c2 【知识运用】 ：作点 C 关于 AB 的对称点 F，连接 DF 交 AB 于点 P，连接 PC，点 P 即为 所求 作 DEBC 交 BC 的延长线于 E 在 RtDEF 中，DEAB160 米，EFAD+BC120 米， DF200（米） 故答案为 200 【知识迁移】 ：先作出点 C 关于 AB 的对称点 F，连接 DF，使 AB12，AD6，BCBF 3，DF 就是代数式+的最小值， 第 23 页（共 23 页） DF15， 代数式+的最小值为 15 【点评】本题考查轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结 合的思想解决问题，属于中考常考题型