1、第第 3 讲讲 平面向量平面向量 1.(2019 佛山模拟)已知向量 a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)，则 k 等于( ) A.8 B.6 C.6 D.8 答案 A 解析 a(2,1)，b(1，k)，2ab(3,2k)， a(2ab)，则 a()2ab 62k0， 解得 k8. 2.(2019 福建三校联考)若平面向量 a， b 满足 a (ab)3， 且 a 1 2， 3 2 ，| |b 2 5， 则|ab 等于( ) A.5 B.3 2 C.18 D.25 答案 A 解析 a 1 2， 3 2 ，|a|1， 又 a()ab 3| |a 2a b3a b2， (ab)2| |a 22
2、a b| | b 2142025， |ab 5. 3.(2019 乐山模拟)如图所示，AD 是ABC 的中线，O 是 AD 的中点，若CO AB AC，其 中 ，R，则 的值为( ) A.1 2 B.1 2 C.1 4 D.1 4 答案 A 解析 由题意知CO 1 2(CD CA )1 2 1 2CB CA 1 4(AB AC)1 2CA 1 4AB 3 4AC ， 则 1 4， 3 4，故 1 2. 4.(2019 宜昌模拟)已知| |a 1，| |b 3，且 a a2 3b ，则向量 a 与向量 b 的夹角为( ) A. 6 B. 5 6 C. 3 D. 2 3 答案 B 解析 a a2
3、3b ， a a2 3b 0， 即 a22 3a b0. 又| |a 1， a b3 2， 向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为 cosa，b a b | |a| |b 3 2 1 3 3 2 ， 又0a，b， 向量 a 与向量 b 的夹角为5 6 . 5.(2019 株洲模拟)在 RtABC 中，点 D 为斜边 BC 的中点，|AB|8，|AC|6，则AD AB 等于 ( ) A.48 B.40 C.32 D.16 答案 C 解析 因为点 D 为斜边 BC 的中点， 所以AD 1 2(AB AC)， 所以AD AB 1 2(AB AC) AB 1 2AB 21 2AC AB， 又 RtAB
4、C 中，ACAB， 所以AD AB 1 2AB 21 2|AB |232. 6.若向量 a(1,2)，b(1，m)，且 ab 与 b 的夹角为钝角，则实数 m 的取值范围是( ) A.(0,2) B.( ,2) C.(2,2) D.(，0)(2，) 答案 D 解析 ab()0，2m ，由于 ab 与 b 的夹角为钝角，由夹角公式得 ()ab b |ab | |b 2mm2 |2m 1m20，即 2mm 20，解得 m2.当向量 ab，b 共线时，0 m( )2m 1 0，m2，此时 ab()0，0 ，与 b 的夹角不是钝角，不合题意.故 m 的取值范围是 m2. 7.(2019 福州模拟)已知
5、点 O 是ABC 内部一点，且满足OA OB OC 0，又AB AC2 3， BAC60 ，则OBC 的面积为( ) A. 3 2 B.3 C.1 D.2 答案 C 解析 因为OA OB OC 0， 所以 O 为ABC 的重心， 所以OBC 的面积是ABC 面积的1 3， 因为AB AC2 3， 所以|AB | |AC|cosBAC2 3， 因为BAC60 ， 所以|AB | |AC|4 3， 所以 SABC1 2|AB | |AC|sinBAC3， 所以OBC 的面积为 1. 8.在ABC 中，AB1，ABC60 ，AC AB1，若 O 是ABC 的重心，则BO AC 的值 为( ) A.1
6、 B.5 2 C. 8 3 D.5 答案 D 解析 如图所示，以 B 为坐标原点，BC 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系. AB1，ABC60 ， A 1 2， 3 2 .设 C(a,0). AC AB1， a1 2， 3 2 1 2， 3 2 1 2 a1 2 3 4 1， 解得 a4. O 是ABC 的重心，延长 BO 交 AC 于点 D， BO 2 3BD 2 3 1 2( )BA BC 1 3 1 2， 3 2 4，0 3 2， 3 6 . BO AC 3 2， 3 6 7 2， 3 2 5. 9.(2019 长沙长郡中学模拟)已知 P 是边长为 3 的等边三角形 ABC 外接圆
7、上的动点，则 |PA PB2PC 的最大值为( ) A.2 3 B.3 3 C.4 3 D.5 3 答案 D 解析 设ABC 的外接圆的圆心为 O， 则圆的半径为 3 3 2 1 2 3， OA OB OC 0， 故PA PB2PC4PO OC . |4PO OC 2518PO OC 512475， 故| PA PB2PC 5 3， 当PO ，OC 同向共线时取最大值. 10.(2019 三湘名校联考)在等腰直角ABC中， ACBC， D在AB边上， 且CD tCA (1t)CB， ACD60 ，则 t 的值为( ) A. 31 2 B. 31 C.3 3 2 D. 31 2 答案 A 解析
8、CD tCA (1t)CB，A，B，D 三点共线， 以点 C 为坐标原点，AC，BC 所在直线分别为 x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系(图略)， 设 ACBC1，则 C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)， 直线 AB 的方程为 xy1，直线 CD 的方程为 y 3x， 联立解得 x 31 2 ，y3 3 2 ，故 D 31 2 ，3 3 2 ， 故CD 31 2 ，3 3 2 ，CA (1,0)，CB(0,1)， 故 tCA (1t)CB(t,1t)， 故 31 2 ，3 3 2 (t,1t)，故 t 31 2 . 11.(2019 黄山模拟)如图，在ABC 中，BAC 3，AD 2DB
9、 ，P 为 CD 上一点，且满足AP mAC 1 2AB ，若ABC 的面积为 2 3，则|AP|的最小值为( ) A. 2 B. 3 C.3 D.4 3 答案 B 解析 设| | AB 3a，| | AC b， 则ABC 的面积为1 23absin 32 3， 解得 ab8 3， 由AP mAC1 2AB mAC3 4AD ， 且 C，P，D 三点共线，可知 m3 41，即 m 1 4， 故AP 1 4AC 3 4AD . 以 AB 所在直线为 x 轴，以 A 为坐标原点，过 A 作 AB 的垂线为 y 轴，建立如图所示的平面 直角坐标系， 则 A()0，0 ，D()2a，0 ， B()3a
10、，0 ，C 1 2b， 3 2 b ， 则AC 1 2b， 3 2 b ，AD ()2a，0 ， AP 1 8b 3 2a， 3 8 b ， 则| | AP 2 1 8b 3 2a 2 3 8 b 2 1 64b 29 4a 23 8ab 3 64b 21 16b 29 4a 21 2 1 16b 29 4a 213 4ab13. 当且仅当 1 16b 29 4a 2即b6a时取“” 故|AP的最小值为 3. 12.(2019 天津六校联考)已知点 O 是锐角ABC 的外心，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对 边，A 4，且 cos B sin CAB cos C sin BAC OA
11、，则 的值为( ) A. 2 2 B. 2 2 C. 2 D. 2 答案 D 解析 如图所示， O 是锐角ABC 的外心， D， E 分别是 AB， AC 的中点， 且 ODAB， OEAC， 设ABC 外接圆半径为 R， 则|OA |R，由图得，OA OD DA ， 则AB OA AB (OD DA )AB DA AB 1 2AB 1 2AB 21 2|AB |2， 同理可得，AC OA 1 2|AC |2， 由cos B sin CAB cos C sin BAC OA 得， cos B sin CAB OA cos C sin BAC OA OA 2， 所以1 2 cos B sin C
12、|AB |21 2 cos C sin B|AC |2OA2， 则 cos B |AB | | AB sin Ccos C |AC | | AC sin B 2|OA |2， 在ABC 中，由正弦定理得| | AB sin C| | AC sin B2R， 代入得，2Rcos B|AB |2Rcos C|AC|2R2， 则 cos B|AB |cos C|AC|R， 由正弦定理得，|AB |2Rsin C，|AC|2Rsin B， 代入得，2Rsin Ccos B2Rcos Csin BR， 所以 2sin(CB)，即 2sin 3 4 ，解得 2. 13.(2019 洛阳模拟)已知向量 a(
13、1，1)，b(t,2)，若(ab)(ab)，则实数 t_. 答案 2 解析 向量 a(1，1)，b(t,2)，ab(1t,1)， ab(1t，3)，根据(ab)(ab)得， 3(1t)1t，解得 t2. 14.(2019 海淀模拟)已知向量 a，b 满足| |a 5，|ab 6，|ab 4，则向量 b 在向量 a 上的 投影为_. 答案 1 解析 |a|5，|ab|6， |ab|4，所以 36a22a bb2， 16a22a bb2， 所以 a b5， 则向量 b 在向量 a 上的投影为a b | |a 5 5 1. 15.(2019 大庆模拟)已知 W 为ABC 的外心，AB4，AC2，BA
14、C120 ，设AW 1AB 2AC ，则 2 12_. 答案 3 解析 以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系如图所示，根据已知条 件可知 A(0,0)，B(4,0)，C(1， 3). 根据外心的几何性质可知 W 在直线 x2 上. AC 中点坐标为 1 2， 3 2 ，AC 的斜率为 3， 故 AC 中垂线的斜率为 3 3 ， 故中垂线所在方程为 y 3 2 3 3 x1 2 ，令 x2， 解得 W 2，4 3 3 . 由AW 1AB 2AC ， 得 2，4 3 3 1()4，0 2() 1， 3 ， 解得 15 6，2 4 3，所以 212 5 3 4 33. 1
15、6.已知在直角梯形 ABCD 中，ABAD2CD2，ADC90 ，若点 M 在线段 AC 上，则 |MB MD |的取值范围为_. 答案 2 5 5 ，2 2 解析 以 A 为坐标原点，AB，AD 所在直线分别为 x 轴，y 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则 A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)， 设AM AC (01)，则 M(，2)， 故MD (，22)，MB (2，2)， 则MB MD (22，24)， |MB MD |222242 20 3 5 24 5，01， 当 0 时，|MB MD |取得最大值为 2 2， 当 3 5时，|MB MD |取得最小值为2 5 5 ， |MB MD | 2 5 5 ，2 2 .