1、第第 7 讲讲 数学文化数学文化 1.(2019 张家界模拟)数的概念起源于大约 300 万年前的原始社会，如图 1 所示，当时的人类 用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示猎物的大小，即“结绳计数”.图 2 所 示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右 边绳子上的结每满 7 个即在左边的绳子上打一个结，请根据图 2 计算该部落在该段时间内所 擒获的猎物总数为( ) A.336 B.510 C.1 326 D.3 603 答案 B 解析 由题意知，图 2 中的“结绳计数”法是七进制计数法，所以图 2 中该部落在该段时间 内所擒获的猎物总数为 S
2、173372271670510. 2.(2019 北京师范大学附中模拟)习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主 义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12 来源于乾坤谱中对易传“大衍之数 五十”的推论， 主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和. 如图是求大衍数列前 n 项和的程序框图.执行该程序框图， 输入 m8，则输出的 S 等于( ) A.44 B.68 C.100 D.140 答案 C 解析 第 1 次运行，n1，an 21 2 0，S000，不符合 nm，继续运行； 第 2 次运行，n2，an 2 2 2，S022，不符合 nm，
3、继续运行； 第 3 次运行，n3，an 21 2 4，S426，不符合 nm，继续运行； 第 4 次运行，n4，an 2 2 8，S8614，不符合 nm，继续运行； 第 5 次运行，n5，an 21 2 12，S141226，不符合 nm，继续运行； 第 6 次运行，n6，an 2 2 18，S261844，不符合 nm，继续运行； 第 7 次运行，n7，an 21 2 24，S244468，不符合 nm，继续运行； 第 8 次运行，n8，an 2 2 32，S6832100，符合 nm，退出运行，输出 S100. 3.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.干支是天干和地支
4、的总称. 天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环.甲、乙、丙、丁、戊、己、 庚、辛、壬、癸为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支.如：公 元 1984 年为农历甲子年、公元 1985 年为农历乙丑年，公元 1986 年为农历丙寅年.则 2049 年 为农历( ) A.己亥年 B.己巳年 C.己卯年 D.戊辰年 答案 B 解析 方法一 2 0491 98366， 66 除以 10 所得余数为 6，即对应的天干为“己”； 66 除以 12 所得的余数为 6，即对应的地支为“巳”， 所以 2 049 年为农历己巳年. 方法二 易知(年份3)除以 10 所得的余
5、数对应天干，则 2 04932 046,2 046 除以 10 所得 的余数是 6，即对应的天干为“己”. (年份3)除以 12 所得的余数对应地支，则 2 04932 046，2 046 除以 12 所得的余数是 6， 即对应的地支为“巳”，所以 2049 年为农历己巳年. 4.(2019 河北辛集中学期中)中国古代数学著作张丘建算经中记载：“今有马行转迟，次 日减半，疾七日，行七百里.”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数 是前一天的一半，连续行走 7 天，共走了 700 里.”若该匹马按此规律继续行走 7 天，则它这 14 天内所走的总路程为( ) A.175 32 里
6、 B.1 050 里 C.22 575 32 里 D.2 100 里 答案 C 解析 由题意可知，马每天行走的路程组成一个等比数列，设该数列为an，则该匹马首日 行走的路程为 a1， 公比为1 2， 则有 a1 1 1 2 7 11 2 700， 则 a1350128 127 ， 则 a1 1 1 2 14 11 2 22 575 32 (里). 5.(2019 湖南长沙雅礼中学模拟)我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠， 长 5 尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”，意思是“现有一 根金箠，长 5 尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤，在细
7、的一端截下 1 尺， 重 2 斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，其重量为 M，现将 该金箠截成长度相等的 10 段，记第 i 段的重量为 ai(i1,2，10)，且 a13 时，关于 x，y，z 的方程 xnynzn没有正实数解 答案 C 解析 由于 B，C 两个命题是对立的，故正确选项是这两个选项中的一个.假设关于 x，y 的方 程 x3y31 有正有理数解，故 x，y 可写成整数比值的形式，不妨设 xm n，y b a，其中 m，n 为互质的正整数，a，b 为互质的正整数.代入方程得m 3 n3 b3 a31，两边乘以 a 3n3 得()am 3( )bn 3 (
8、)an 3，由于 am，bn，an 都是正整数，这与费马大定理矛盾，故假设不成立，所以关于 x， y 的方程 x3y31 没有正有理数解. 12.(2019 晋中调研)艾萨克 牛顿(1643 年 1 月 4 日1727 年 3 月 31 日)，英国皇家学会会长， 英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数 f(x) 零点时给出一个数列xn：满足 xn1xn fxn fxn，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数 f(x) ax2bxc(a0)有两个零点 1,2，数列xn为牛顿数列，设 anln xn2 xn1，已知 a11，xn2， an的前 n 项和为 Sn，则
9、 S2 0181 等于( ) A.2 018 B.2 019 C.22 018 D.22 019 答案 C 解析 函数 f(x)ax2bxc(a0)有两个零点 1,2， f(x)a(x1)(x2)a(x23x2)(a0)， f(x)2ax3a， 则由题意得，xn1xnax 2 n3xn2 2axn3a xnx 2 n3xn2 2xn3 x2n2 2xn3， xn 12 xn11 x2n2 2xn32 x2n2 2xn31 x 2 n4xn4 x2n2xn1 xn2 xn1 2， anln xn2 xn1，且 a11，xn2， an1ln xn12 xn112ln xn2 xn12an， 数列a
10、n是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列， 则 an2n 1， S2 018112 2 018 12 122 018. 13.(2019 合肥模拟)部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分 形，由波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出.具体操作是取一个实心正三角形，沿三角形的三 边中点连线，将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 个小三角形 重复上述过程逐次得到各个图形，如图. 若在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为_. 答案 9 16 解析 设图(3)中最小阴影三角形的面积为 S，由图可知图(3)中最大三角形的面积为
11、 16S， 图(3)中，阴影部分的面积为 9S，根据几何概型概率计算公式可得，在图(3)中随机选取一个 点，则此点取自阴影部分的概率为 9 16. 14.(2019 西安期中)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数 1,3,6,10，第 n 个三角形数为nn1 2 1 2n 21 2n.记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k3)，以下 列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式： 三角形数 N(n,3)1 2n 21 2n； 正方形数 N(n,4)n2； 五边形数 N(n,5)3 2n 21 2n； 六边形数 N(n,6)2n2n； ， 可以推测 N(n，k)的表达
12、式，由此计算 N(10,24)_. 答案 1 000 解析 易知 n2前的系数为1 2(k2)，而 n 前的系数为 1 2(4k). 则 N(n，k)1 2(k2)n 21 2(4k)n， 故 N(10,24)1 2(242)10 21 2(424)101 000. 15.数书九章三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小 斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”.秦九韶把三角形的三条边 分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法.以 S，a，b，c 分别表示三角形的面积、大斜、 中 斜 、 小 斜 ； ha， hb， hc分 别 为 对 应 的 大 斜
13、、 中 斜 、 小 斜 上 的 高 ； 则 S 1 4 a2c2 a2c2b2 2 2 1 2aha 1 2bhb 1 2chc.若在ABC 中，ha 3，hb2，hc3，根 据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为_. 答案 144 3 143 解析 根据题意，可知 abc2 332， 故设 a2 3x，b3x，c2x，x0， 由 S 1 4 a2c2 a2c2b2 2 2 1 2aha 1 2bhb 1 2chc 代入 a，b，c，可得 x 12 143， 由余弦定理可得 cos A 1 12， 所以 sin A 143 12 ， 所以由正弦定理得三角形外接圆半径为 a 2sin A 2
14、 3x 2sin A 144 3 143 . 16.(2019 湖北八校联考)祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家，是祖冲之的儿子. 他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这里的“幂”指面积，“势”指高.这句话的 意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的 体积相等.设由椭圆y 2 a2 x2 b21(ab0)所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周后，得一橄榄球状的 几何体(称为椭球体)，如图，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于_. 答案 4 3b 2a 解析 椭圆的长半轴长为 a，短半轴长为 b，现构造两个底面半径为 b，高为 a 的圆柱，然
15、后 在两圆柱内分别挖去一个底面半径为 b，高为 a 的圆锥.取椭球体的上半部分，在半椭球体和 圆柱的等高处作水平截面，设此时该水平截面截圆锥所得圆的半径 r，所得小圆锥的高为 h， 则由相似三角形可得，r b h a， 所以 r bh a ，此时该水平截面截圆柱和圆锥的截面积的差为 S1 b2b 2h2 a2 . 结合椭圆方程可求得该水平截面截椭球体所得圆的半径的平方为 b2b 2h2 a2 ，所以该水平截面 截半椭球体所得圆的面积 S2 b2b 2h2 a2 ， 所以 S1S2，同理取椭球体的下半部分也可得出相同结论，所以此时根据祖暅原理可得出椭 球体的体积 V2(V圆柱V圆锥)2 b2a1 3b 2a 4 3b 2a.