1、(四四)概率与统计概率与统计 1.(2019 全国)演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时， 从 9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分.7 个有效评分与 9 个原 始评分相比，不变的数字特征是( ) A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 答案 A 解析 记 9 个原始评分分别为 a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知 e 为 7 个有效评分与 9 个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选 A. 2.(2019 东北三省三校模拟)将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现 1 次反面朝上”
2、的概率记为 p，现采用随机模拟的方法估计 p 的值：用计算机产生了 20 组随机数，其中出现 “0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，若出现“恰有 1 次反面朝上”的 频率记为 f，则 p，f 分别为( ) 111 001 011 010 000 111 111 111 101 010 000 101 011 010 001 011 100 101 001 011 A.3 8， 3 10 B. 3 8， 7 20 C. 3 4， 3 10 D. 3 4， 7 20 答案 B 解析 由题意可得，将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现 1 次反面朝上”的概率 pC13 1 2 1
3、1 2 23 8； 由 表 中 数 据 可 得 ， “ 连 掷 三 次 ， 恰 出 现 1 次 反 面 朝 上 ” 所 包 含 的 情 况 有 ： 011,101,101,011,011,101,011 共 7 组， 所以 f 7 20. 3.(2019 巢湖联考)某位教师 2017 年的家庭总收入为 80 000 元， 各种用途占比统计如图所示的 折线图.2018 年收入的各种用途占比统计如图所示的条形图， 已知 2018 年的就医费用比 2017 年增加了 4 750 元，则该教师 2018 年的家庭总收入为( ) A.100 000 元 B.95 000 元 C.90 000 元 D.8
4、5 000 元 答案 D 解析 由已知得，2017 年的就医费用为 80 00010%8 000 元， 2018 年的就医费用为 8 0004 75012 750 元， 该教师 2018 年的家庭总收入为12 750 15% 85 000 元. 4.(2019 全国)生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标.若从这 5 只兔子中随 机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为( ) A.2 3 B. 3 5 C. 2 5 D. 1 5 答案 B 解析 设 5 只兔子中测量过某项指标的 3 只为 a1，a2，a3，未测量过这项指标的 2 只为 b1， b2，则从 5 只兔子
5、中随机取出 3 只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)， (a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1， b2)，共 10 种可能.其中恰有 2 只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3， b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共 6 种可能. 故恰有 2 只测量过该指标的概率为 6 10 3 5. 5.(2019 成都诊断)为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球
6、员最近五场 比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论： 甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数； 甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数； 从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定； 从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定. 其中所有正确结论的编号为( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 甲的中位数为 29，乙的中位数为 30，故不正确； 甲的平均数为 29，乙的平均数为 30，故正确； 从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故正确，不正确. 6.对某两名高三学生在连续 9 次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图.下面 关于这两位同学
7、的数学成绩的分析中，正确的个数为( ) 甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故而平均成绩为 130 分； 根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间110,120内； 乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； 乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过 40 分. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高 130 分，平均成绩低于 130 分，错 误；根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间110,120 内，正确；乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为
8、正相关， 正确； 乙同学在这连续九次测验中的最高分大于 130 分且最低分低于 90 分， 最高分与最低 分的差超过 40 分，故正确. 7.(2019 天一联考)如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等.某 人朝靶上任意射击一次没有脱靶，设其命中 10,9,8,7 环的概率分别为 P1，P2，P3，P4，则下 列选项正确的是( ) A.P1P2 B.P1P2P3 C.P40.5 D.P2P42P3 答案 D 解析 若设中心圆的半径为 r，则由内到外的环数对应的区域面积依次为 S1r2，S24r2 r23r2，S39r24r25r2，S416r29r27r2， S总r23
9、r25r27r216r2. Pi Si S总(i1,2,3,4)，则 P1 1 16，P2 3 16，P3 5 16， P4 7 16，验证选项，可知只有选项 D 正确. 8.甲、乙两名同学参加某项技能比赛，7 名裁判给两人打出的分数如茎叶图所示，依此判断 ( ) A.甲成绩稳定且平均成绩较高 B.乙成绩稳定且平均成绩较高 C.甲成绩稳定，乙平均成绩较高 D.乙成绩稳定，甲平均成绩较高 答案 D 解析 由题意得， x甲28059015 7 625 7 ， x乙38049023 7 623 7 ， 显然 x甲 x乙，且从茎叶图来看，甲的成绩比乙的成绩离散程度大，说明乙的成绩较稳定. 9.某科研机
10、构为了研究中年人秃头是否与患有心脏病有关，随机调查了一些中年人的情况， 具体数据如下表所示： 有心脏病 无心脏病 总计 秃发 20 300 320 不秃发 5 450 455 总计 25 750 775 根据表中数据得 K2775( )204505300 2 25750320455 15.968，由 K210.828，断定秃发与患有心 脏病有关，那么这种判断出错的可能性为( ) P(K2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A.0.1 B.0.05 C.0
11、.01 D.0.001 答案 D 解析 由题意可知，K210.828，根据附表可得判断秃发与患有心脏病有关出错的可能性为 0.001. 10.(2019 马鞍山质检)在由直线 x1，yx 和 x 轴围成的三角形内任取一点(x，y)，记事件 A 为 yx3，B 为 yx2，则 P(B|A)等于( ) A.1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 2 3 答案 D 解析 图形如图所示， 直线 x1，yx 和 x 轴围成的三角形的面积为1 211 1 2； 直线 x1，yx，yx3在第一象限围成的区域面积为 1 0(xx 3)dx 1 2x 21 0 1 4x 41 01 4； 直线 x1，yx，y
12、x2在第一象限围成的区域的面积为 1 0(xx 2)dx 1 2x 21 0 1 3x 31 01 6； P(A) 1 4 1 2 1 2，P(AB) 1 6 1 2 1 3， P(B|A)PAB PA 1 3 1 2 2 3. 11.某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为 10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊. 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远 (单位：米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30 秒跳绳 (单位：次) 63 a 75 60 63 72
13、 70 a1 b 65 在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的 有 6 人，则( ) A.2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 B.5 号学生进入 30 秒跳绳决赛 C.8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 D.9 号学生进入 30 秒跳绳决赛 答案 B 解析 由数据可知， 进入立定跳远决赛的 8 人为 18 号， 所以进入 30 秒跳绳决赛的 6 人需 要从 18 号产生，数据排序后可知第 3,6,7 号必须进跳绳决赛，另外 3 人需从 63，a,60,63， a1 五个得分中抽取，若 63 分的人未进决赛，则 60 分的人就会进入决赛，与事实
14、矛盾，所 以 63 分必进决赛. 12.(2019 潍坊模拟)交强险是车主必须为机动车购买的险种， 若普通 6 座以下私家车投保交强 险的基准保费为 a 元，在下一年续保时，实行费率浮动机制，保费与车辆发生道路交通事故 出险的情况相联系，最终保费基准保费(1与道路交通事故相联系的浮动比率)，具体情 况如下表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表 类别 浮动因素 浮动比率 A1 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 10% A2 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮 20% A3 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮 30% A4 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故
15、0% A5 上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故 上浮 10% A6 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮 30% 为了解某一品牌普通 6 座以下私家车的投保情况，随机抽取了 100 辆车龄已满三年的该品牌 同型号私家车的下一年续保时的情况，统计如下表： 类型 A1 A2 A3 A4 A5 A6 数量 20 10 10 38 20 2 若以这 100 辆该品牌的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，则随机抽取一辆该品牌 车在第四年续保时的费用的期望为( ) A.a 元 B.0.958a 元 C.0.957a 元 D.0.956a 元 答案 D 解析 由题意可知，一
16、辆该品牌车在第四年续保时的费用 X 的可能取值有 0.9a,0.8a,0.7a， a,1.1a,1.3a， 且对应的概率分别为 P(X0.9a) 20 1000.2， P(X0.8a) 10 1000.1，P(X0.7a) 10 1000.1， P(Xa) 38 1000.38，P(X1.1a) 20 1000.2， P(X1.3a) 2 1000.02， 利用离散型随机变量的分布列的期望公式可以求得 E(X)0.9a0.20.8a0.10.7a0.1 a0.381.1a0.21.3a0.020.956a，故选 D. 13.(2019 北京顺义区模拟)为了解中学生寒假从图书馆借书的情况，一个调
17、研小组在 2019 年 寒假某日随机选取了 100 名在市级图书馆借书的中学生，下表记录了他们的在馆停留时间， 分为(0,15，(15,30，(30,45，(45,60和 60 以上(单位：分钟)五段统计.现在需要从(15,30， (30,45，(45,60(单位：分钟)这三段时间中按分层抽样抽取 16 人做调查，则从(30,45这段时 长中抽取的人数是_. 停留时长(单位：分钟) 频数 频率 (0,15 2 0.02 (15,30 a 0.05 (30,45 b 0.10 (45,60 25 0.25 60 以上 58 0.58 总计 100 1.00 答案 4 解析 设在(30,45这段时
18、长内抽取的人数为 x， 由表中数据可得： a 1000.05， b 1000.10， 解得 a5，b10， 由分层抽样比例关系列方程可得： 16 ab25 x b， 解得 x4. 14.(2019 北京市首都师范大学附属中学模拟)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投 资额 y(单位：亿元)的折线图. 为了预测该地区 2020 年的环境基础设施投资额， 建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型. 根据 2000 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2，17)建立模型：y 3.04 13.5t；根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为
19、 1,2，7)建立模型：y 9917.5t. 利用这两个模型， 该地区 2020 年的环境基础设施投资额的预测值分别为_， _； 并且可以判断利用模型_得到的预测值更可靠. 答案 280.46(亿元) 291.5(亿元) 解析 y3.0413.521280.46(亿元). y9917.511291.5(亿元). 当年份为 2016， 对于模型：t17，y3.0413.517226.46(亿元)， 对于模型：t7，y9917.57221.5(亿元)， 所以的准确度较高，偏差较大，所以选择得到的预测值更可靠. 15.甲、乙两人约定在早上 7：00 至 7：15 之间到某公交站搭乘公交车去上学，已知
20、在这段时 间内，共有 2 班公交车到达该站，到站的时间分别为 7：05，7：15，如果他们约定见车就搭 乘，则甲和乙恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为_. 答案 5 9 解析 如图，设甲到达公交站的时刻为七点 x 分，乙到达公交站的时刻为七点 y 分， 则 0x15,0y15， (x，y)所对应的区域在平面直角坐标系中画出，如图中大正方形. 则甲、乙两人要想乘同一班车， 必须满足 x，y 0x5， 0y5 或 5x15， 5y15， ， 即(x，y)必须落在图形中的 2 个带阴影的正方形内， 所以由几何概型的计算公式得 P551010 152 5 9. 16.(2019 河南省六市联考)易经
21、是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图(含乾、坤、 巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每卦有三个爻组成(“”表示一个阳爻，“”表示一 个阴爻)，从八卦中任取两卦，这两卦的六爻中恰有三个阳爻和三个阴爻的概率为_. 答案 5 14 解析 从八卦中任取两卦，共有 C2828(种)取法， 若两卦的六爻中恰有三个阳爻和三个阴爻，可按取得卦的阳、阴爻的个数分类计算： 当有一卦阳、阴爻的个数为 3,0 时，另一卦阳、阴爻的个数为 0,3，共有 1 种取法. 当有一卦阳、阴爻的个数为 2,1 时，另一卦阳、阴爻的个数为 1,2，共有 339(种)取法. 所以两卦的六爻中恰有三个阳爻和三个阴爻的取法有 1910(种). 则从八卦中任取两卦，这两卦的六爻中恰有三个阳爻和三个阴爻的概率为 P10 28 5 14.