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高三数学二轮复习分项练6 函数与导数

1、(六六)函数与导数函数与导数 1.(2019 内蒙古模拟)已知函数 f(x) 2xx3,x0, ln x,x0, 则 f f 1 e 等于( ) A.1 B.1 C.3 2 D. 1 2 答案 C 解析 函数 f(x) 2xx3,x0, ln x,x0, f 1 e ln 1 e1, f f 1 e f(1)2 1(1)33 2. 2.(2019 唐山模拟)已知 alog32,blog43,clog0.20.3,则 a,b,c 的大小关系是( ) A.a 3 4 4 ,故 log43 4 3 4 log 4 , 即 b3 4, 又 10 3 4 4 3 4 5, 故10 3 3 4 5 , 故

2、 log0.20.3 3 4 55 10 log0,故排除 D, 当 x时,f(x)0,故排除 B. 4.(2019 天津九校联考)已知函数 f(x) ax24x,x0,则 g(x)单调递增, g(x)ming(2)12ln 2232ln 2, x1x232ln 2,). 6.(2019 马鞍山模拟)若函数 f(x)ln(x1)2 xax(a0)恰有一个零点,则实数 a 的值为( ) A.1 2 B.2 C. 1 e D.e 答案 A 解析 函数的定义域为(1,), 若函数 f(x)ln(x1)2 xax(a0)恰有一个零点, 等价为 f(x)ln(x1)2 xax0 恰有一个根, 即 ln(

3、x1)2 xax 只有一个根, 即函数 yln(x1)2 x和 yax 的图象只有一个交点, 即当 a0 时,yax 是函数 yln(x1)2 x的切线, 设 g(x)ln(x1)2 x,切点为(m,n), 则 ln(m1)2 mn, g(x) 1 x1 2 x2 x22x2 x2x1 0, 切线斜率 kg(m) 1 m1 2 m2a, 则切线方程为 yn 1 m1 2 m2 (xm), 切线过原点, m 1 m1 2 m2 ln(m1)2 m0, 即 ln(m1)4 m m m10, m2, 此时 a 1 m1 2 m2 1 21 2 41 1 2 1 2. 7.(2019 安徽省江南十校联

4、考)若 yf(x)的导函数满足:当 x2 时,(x2)f(x)2f(x) xf(x)0,则( ) A.f(4)(2 54)f( 5)2f(3) B.f(4)2f(3)(2 54)f( 5) C.(2 54)f( 5)2f(3)f(4) D.2f(3)f(4)(2 54)f( 5) 答案 C 解析 令 g(x) fx x2,则 g(x) x2fxfx x22 , 因为当 x2 时,(x2)f(x)(2x)f(x)0, 所以当 x2 时,g(x)g(3)g(4), 即 f 5 52 f3 32 f4 42, 即(2 54)f( 5)2f(3)f(4). 8.(2019 昆明模拟)已知函数 f(x)

5、(x22x)exaln x(aR)在区间(0,)上单调递增,则 a 的最大值是( ) A.e B.e C.e 2 2 D.4e 2 答案 A 解析 因为函数 f(x)(x22x)exaln x(aR), 所以 f(x)ex(x22x)ex(2x2)a x ex(x22)a x(x0). 因为函数 f(x)(x22x)exaln x(aR)在区间(0,)上单调递增, 所以 f(x)ex(x22)a x0 在区间(0,)上恒成立,即 a xe x(x22)在区间(0,)上恒 成立, 亦即 aex(x32x)在区间(0,)上恒成立, 令 h(x)ex(x32x),x0,则 h(x)ex(x32x)e

6、x(3x22) ex(x32x3x22)ex(x1)(x24x2),x0, 因为 x(0,),所以 x24x20. 因为 ex0,令 h(x)0,可得 x1, 令 h(x)f(x2)f(cos2)成立,则实数 x1的取值范围是( ) A.1,) B.1,2 C.(1,2 D.(1,) 答案 D 解析 g(x)f(x)f(1x) (e2 018xmx3)e2 018(1 x)m(1x)3, 则 g(x)2 018e2 018xe2 018(1 x)3mx2(1x)20, 据此可得函数 g(x)单调递增, 又 x1x21, 则不等式 f(x1)f(sin2)f(x2)f(cos2),即 f(x1)

7、f(sin2)f(1x1)f(1sin2), 则 f(x1)f(1x1)f(1sin2)f1(1sin2), 即 g(x1)g(1sin2), 结合函数 g(x)的单调性可得 x11sin2 恒成立, 当 sin 0 时,(1sin2)max1, 结合恒成立的条件可得实数 x1的取值范围是(1,). 11.已知函数 f(x)e x |x|,关于 x 的方程 f 2(x)2af(x)a10(aR)有 3 个相异的实数根,则 a 的取值范围是( ) A. e21 2e1, B. ,e 21 2e1 C. 0,e 21 2e1 D. e21 2e1 答案 D 解析 f(x) ex x,x0, e x

8、 x,x0 时,f(x)e xx1 x2 , 当 00,函数单调递增, 当 x1 时,函数取得极小值 f(1)e. 当 x0,函数单调递增, 如图,画出函数的图象, 设 tf(x),当 te 时,tf(x)有 3 个根,当 te 时,tf(x)有 2 个实根,当 0e 得 022a0a10, e22aea1e 时,f(x)0) 的单调递减区间是_. 答案 (e,) 解析 因为 y 1 x x,所以 ln yln x x , 两边同时求导得1 yy 1ln x x2 , 因此 y1ln x x2 1 x x, 由 y1ln x x2 1 x x1,xe,即单调递减区间是(e,). 14.(201

9、9 日照联考)设 x1,x2分别是函数 f(x)xa x和 g(x)xlog ax1 的零点(其中 a1),则 x1100x2的取值范围是_. 答案 (101,) 解析 由已知得1 x1 1 x a, 1 x2logax2, 因为 yax与 ylogax 图象关于 yx 对称,y1 x图象关于 yx 对称, 所以点 x1,1 x1 与点(x2,logax2)关于 yx 对称, 所以1 x1x2,且 01, 则 yx1100x2x1100 x1 在(0,1)上单调递减, 所以 y1100 1 101, 故 x1100x2的取值范围是(101,). 15.(2019 河北省衡水中学模拟)若存在两个

10、正实数 x,y 使等式 2xm(y2ex)(ln yln x)0 成立(其中 e2.718 28),则实数 m 的取值范围是_. 答案 (,0) 2 e, 解析 由题意可得 m 2x 2exyln yln x, 则1 m 2exyln yln x 2x e1 2 y x ln y x, 令 ty x( )t0 ,构造函数 g(t) et 2 ln t(t0), 则 g(t)1 2ln t et 2 1 t 1 2ln t e t 1 2(t0), 设 h(t)g(t), 则 h(t) 1 2t e t2 t2e 2t2 0,函数 g(t)单调递增, 当 t(e,)时,g(t)0, 所以 f(x

11、)在(0,)上单调递增, 所以 f(x)0 不恒成立; 当 ae 时,令 f(x)1 xea0,得 x 1 ae, 当 x 0, 1 ae 时,f(x)0,f(x)单调递增, 当 x 1 ae, 时,f(x)e, 设 F(x)1lnxe x ,xe, 则 F(x) 1 xex1lnxe x2 xelnxee xex2 ,xe, 令 H(x)(xe)ln(xe)e, 则 H(x)ln(xe)1, 由 H(x)0,解得 xe1 e, 当 x e1 e, 时,H(x)0,H(x)单调递增, 当 x e,e1 e 时,H(x)2e 时,H(x)0,H(2e)0, 所以当 x(e,2e)时,F(x)0,F(x)单调递增, 所以当 x2e 时,F(x)取最小值 F(2e)11 2e 1 e, 所以b a的最小值为 1 e.