1、(六六)函数与导数函数与导数 1.(2019 内蒙古模拟)已知函数 f(x) 2xx3，x0， ln x，x0， 则 f f 1 e 等于( ) A.1 B.1 C.3 2 D. 1 2 答案 C 解析 函数 f(x) 2xx3，x0， ln x，x0， f 1 e ln 1 e1， f f 1 e f(1)2 1(1)33 2. 2.(2019 唐山模拟)已知 alog32，blog43，clog0.20.3，则 a，b，c 的大小关系是( ) A.a 3 4 4 ，故 log43 4 3 4 log 4 ， 即 b3 4， 又 10 3 4 4 3 4 5, 故10 3 3 4 5 ， 故
2、 log0.20.3 3 4 55 10 log0，故排除 D， 当 x时，f(x)0，故排除 B. 4.(2019 天津九校联考)已知函数 f(x) ax24x，x0，则 g(x)单调递增， g(x)ming(2)12ln 2232ln 2， x1x232ln 2，). 6.(2019 马鞍山模拟)若函数 f(x)ln(x1)2 xax(a0)恰有一个零点，则实数 a 的值为( ) A.1 2 B.2 C. 1 e D.e 答案 A 解析 函数的定义域为(1，)， 若函数 f(x)ln(x1)2 xax(a0)恰有一个零点， 等价为 f(x)ln(x1)2 xax0 恰有一个根， 即 ln(
3、x1)2 xax 只有一个根， 即函数 yln(x1)2 x和 yax 的图象只有一个交点， 即当 a0 时，yax 是函数 yln(x1)2 x的切线， 设 g(x)ln(x1)2 x，切点为(m，n)， 则 ln(m1)2 mn， g(x) 1 x1 2 x2 x22x2 x2x1 0， 切线斜率 kg(m) 1 m1 2 m2a， 则切线方程为 yn 1 m1 2 m2 (xm)， 切线过原点， m 1 m1 2 m2 ln(m1)2 m0， 即 ln(m1)4 m m m10， m2， 此时 a 1 m1 2 m2 1 21 2 41 1 2 1 2. 7.(2019 安徽省江南十校联
4、考)若 yf(x)的导函数满足：当 x2 时，(x2)f(x)2f(x) xf(x)0，则( ) A.f(4)(2 54)f( 5)2f(3) B.f(4)2f(3)(2 54)f( 5) C.(2 54)f( 5)2f(3)f(4) D.2f(3)f(4)(2 54)f( 5) 答案 C 解析 令 g(x) fx x2，则 g(x) x2fxfx x22 ， 因为当 x2 时，(x2)f(x)(2x)f(x)0， 所以当 x2 时，g(x)g(3)g(4)， 即 f 5 52 f3 32 f4 42， 即(2 54)f( 5)2f(3)f(4). 8.(2019 昆明模拟)已知函数 f(x)
5、(x22x)exaln x(aR)在区间(0，)上单调递增，则 a 的最大值是( ) A.e B.e C.e 2 2 D.4e 2 答案 A 解析 因为函数 f(x)(x22x)exaln x(aR)， 所以 f(x)ex(x22x)ex(2x2)a x ex(x22)a x(x0). 因为函数 f(x)(x22x)exaln x(aR)在区间(0，)上单调递增， 所以 f(x)ex(x22)a x0 在区间(0，)上恒成立，即 a xe x(x22)在区间(0，)上恒 成立， 亦即 aex(x32x)在区间(0，)上恒成立， 令 h(x)ex(x32x)，x0，则 h(x)ex(x32x)e
6、x(3x22) ex(x32x3x22)ex(x1)(x24x2)，x0， 因为 x(0，)，所以 x24x20. 因为 ex0，令 h(x)0，可得 x1， 令 h(x)f(x2)f(cos2)成立，则实数 x1的取值范围是( ) A.1，) B.1,2 C.(1，2 D.(1，) 答案 D 解析 g(x)f(x)f(1x) (e2 018xmx3)e2 018(1 x)m(1x)3， 则 g(x)2 018e2 018xe2 018(1 x)3mx2(1x)20， 据此可得函数 g(x)单调递增， 又 x1x21， 则不等式 f(x1)f(sin2)f(x2)f(cos2)，即 f(x1)
7、f(sin2)f(1x1)f(1sin2)， 则 f(x1)f(1x1)f(1sin2)f1(1sin2)， 即 g(x1)g(1sin2)， 结合函数 g(x)的单调性可得 x11sin2 恒成立， 当 sin 0 时，(1sin2)max1， 结合恒成立的条件可得实数 x1的取值范围是(1，). 11.已知函数 f(x)e x |x|，关于 x 的方程 f 2(x)2af(x)a10(aR)有 3 个相异的实数根，则 a 的取值范围是( ) A. e21 2e1， B. ，e 21 2e1 C. 0，e 21 2e1 D. e21 2e1 答案 D 解析 f(x) ex x，x0， e x
8、 x，x0 时，f(x)e xx1 x2 ， 当 00，函数单调递增， 当 x1 时，函数取得极小值 f(1)e. 当 x0，函数单调递增， 如图，画出函数的图象， 设 tf(x)，当 te 时，tf(x)有 3 个根，当 te 时，tf(x)有 2 个实根，当 0e 得 022a0a10， e22aea1e 时，f(x)0) 的单调递减区间是_. 答案 (e，) 解析 因为 y 1 x x，所以 ln yln x x ， 两边同时求导得1 yy 1ln x x2 ， 因此 y1ln x x2 1 x x， 由 y1ln x x2 1 x x1，xe，即单调递减区间是(e，). 14.(201
9、9 日照联考)设 x1，x2分别是函数 f(x)xa x和 g(x)xlog ax1 的零点(其中 a1)，则 x1100x2的取值范围是_. 答案 (101，) 解析 由已知得1 x1 1 x a， 1 x2logax2， 因为 yax与 ylogax 图象关于 yx 对称，y1 x图象关于 yx 对称， 所以点 x1，1 x1 与点(x2，logax2)关于 yx 对称， 所以1 x1x2，且 01， 则 yx1100x2x1100 x1 在(0,1)上单调递减， 所以 y1100 1 101， 故 x1100x2的取值范围是(101，). 15.(2019 河北省衡水中学模拟)若存在两个
10、正实数 x，y 使等式 2xm(y2ex)(ln yln x)0 成立(其中 e2.718 28)，则实数 m 的取值范围是_. 答案 (，0) 2 e， 解析 由题意可得 m 2x 2exyln yln x， 则1 m 2exyln yln x 2x e1 2 y x ln y x， 令 ty x( )t0 ，构造函数 g(t) et 2 ln t(t0)， 则 g(t)1 2ln t et 2 1 t 1 2ln t e t 1 2(t0)， 设 h(t)g(t)， 则 h(t) 1 2t e t2 t2e 2t2 0，函数 g(t)单调递增， 当 t(e，)时，g(t)0， 所以 f(x
11、)在(0，)上单调递增， 所以 f(x)0 不恒成立； 当 ae 时，令 f(x)1 xea0，得 x 1 ae， 当 x 0， 1 ae 时，f(x)0，f(x)单调递增， 当 x 1 ae， 时，f(x)e， 设 F(x)1lnxe x ，xe， 则 F(x) 1 xex1lnxe x2 xelnxee xex2 ，xe， 令 H(x)(xe)ln(xe)e， 则 H(x)ln(xe)1， 由 H(x)0，解得 xe1 e， 当 x e1 e， 时，H(x)0，H(x)单调递增， 当 x e，e1 e 时，H(x)2e 时，H(x)0，H(2e)0， 所以当 x(e,2e)时，F(x)0，F(x)单调递增， 所以当 x2e 时，F(x)取最小值 F(2e)11 2e 1 e， 所以b a的最小值为 1 e.