1、第第 2 讲讲 不等式不等式 1.(2019 武汉联考)下列命题中正确的是( ) A.若 ab，则 ac2bc2 B.若 ab，c b d C.若 ab，cd，则 acbd D.若 ab0，ab，则1 a 1 b 答案 D 解析 对于 A 选项，当 c0 时，不成立，故 A 选项错误.当 a1，b0，c2，d1 时，a cb0，有下列命题： 若 a b1，则 abb0， 所以 00，得 01，求得 00， y0， 作出约束条件表示的可行域如图阴影部分所示. 可知 z2x3y 过 C()3，2 时，z 最小. z23320，即 2x3y. 8.(2019 德阳模拟)已知实数 x，y 满足 2xy
2、20， x2y40， 3xy30， 若 yk(x1)1 恒成立，那么 k 的 取值范围是( ) A. 1 2，3 B. ，4 3 C.3，) D. ，1 2 答案 D 解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界)，其中 M(0,2)，N(1,0). 则由图象知 x0，由不等式 yk(x1)1 恒成立， 得 k(x1)1y，即 ky1 x1恒成立， 设 zy1 x1， 所以 kzmin， 则 z 的几何意义是平面区域内的点与定点 A(1，1)连线的斜率， 由图象知 AN 的斜率最小， 此时 z 的最小值为 z01 11 1 2，即 k 1 2， 即实数 k 的取值范围是 ，1 2 .
3、9.(2019 株洲模拟)已知 M，N 是不等式组 x1， y1， xy10， xy6 所表示的平面区域内的两个不同 的点，则|MN|的最大值是( ) A. 17 B. 34 2 C.3 2 D.17 2 答案 A 解析 作出可行域，为图中四边形 ABCD 及其内部， 由图象得 A(1,1)，B(5,1)，C(2.5,3.5)，D(1,2)四点共圆，BD 为直径， 所以|MN|的最大值为|BD| 142 17，选 A. 10.(2019 九江模拟)设变量 x，y 满足约束条件 2xy30， x2y40， y1， 若目标函数 zax by()a0，b0 的最小值为 1，则1 a 1 b的最小值为
4、( ) A.72 6 B.72 2 C.32 6 D.32 2 答案 D 解析 画出不等式组 2xy30， x2y40， y1 表示的可行域如图阴影部分(含边界)， 当直线 zaxby(a0，b0)过直线 y1 和 2xy30 的交点(2,1)时，z 有最小值为 1， 2ab1，1 a 1 b(2ab) 1 a 1 b 32a b b a32 2a b b a32 2，当且仅当 a1 2 2 ，b 21 时等号成立. 11.(2019 湖南五市十校联考)已知正实数 a，b，c 满足 a22ab9b2c0，则当ab c 取得最大 值时，3 a 1 b 12 c 的最大值为( ) A.3 B.9
5、4 C.1 D.0 答案 C 解析 由正实数 a，b，c 满足 a22ab9b2c0， 得a 2 c 2ab c 9b 2 c 14ab c ， 当且仅当a 2 c 9b 2 c ，即 a3b 时，ab c 取最大值1 4， 又因为 a22ab9b2c0， 所以此时 c12b2， 所以3 a 1 b 12 c 1 b 21 b 1 b2 1 b 2 4 1， 当且仅当 b1 时等号成立.故最大值为 1. 12.已知不等式组 x2y0， x2y4， y0， xym 表示的平面区域为 M，若 m 是整数，且平面区域 M 内的整 点(x，y)恰有 3 个(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点)，则 m
6、 的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 根据题意可知 m0，又 m 是整数， 所以当 m1 时，平面区域 M 为 x2y0， x2y4， y0， xy1， 此时平面区域 M 内只有整点(0,0)，(1,0)，共 2 个， 不符合题意； 当 m2 时，平面区域 M 为 x2y0， x2y4， y0， xy2， 此时平面区域 M 内只有整点(0,0)，(1,0)，(2,0)， 共 3 个，符合题意； 当 m3 时，平面区域 M 为 x2y0， x2y4， y0， xy3， 此时平面区域 M 内只有整点(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，共 5 个，不
7、符合题意； 依次类推，当 m3 时，平面区域 M 内的整点一定大于 3 个，不符合题意. 综上，整数 m 的值为 2. 13.(2019 安徽模拟)已知实数 x，y 满足 x10， x3y， ymx4 其中 m0，若 z2xy 的最小值为 1， 则实数 m 的值为_. 答案 1 3 解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)，联立直线方程可得 A(1，3m)，B 34m m1 ， m m1 ，C(1,2)， 平移直线 z2xy，由图可知， 当直线 z2xy 过点 A 时，z 有最小值，即 23m1，解得 m1 3. 14.已知实数 x，y 满足不等式组 y1， 4xy40，
8、 2xy10， 则目标函数 z4x2y2的最大值与最小值 之和为_. 答案 31 4 解析 令 t2x，则 xt 2， 原可行域等价于 y1， 2ty40， ty10， 作出可行域如图(阴影部分含边界)所示， z4x2y2t2y2的几何意义是可行域内的点 P(t，y)到原点 O 的距离 d 的平方，由图可知， 当点 P 与点 C 重合时，d 取最大值；d 的最小值为点 O 到直线 AB：ty10 的距离，又 C 5 2，1 ，故 zmax 25 4 129 4 ，zmin 1 1212 21 2，所以 z4x 2y2的最大值与最小值之 和为31 4 . 15.(2019 榆林模拟)已知正数 x
9、，y 满足 x2y21，则1 x 1 y的最小值为_. 答案 2 2 解析 正数 x，y 满足 x2y21，令 z1 x 1 y0， 可得 z2 1 x2 1 y2 2 xy x2y2 x2 x 2y2 y2 2 xy 2y 2 x2 x2 y2 2 xy22 x2 y2 y2 x2 2 xy4 2 xy， 当且仅当y 2 x2 x2 y2即 xy 时取等号， 而由题意可得 1x2y22xy，可得 1 xy2， 当且仅当 xy 时取等号，z2448， z2 2，当且仅当 xy 时取等号， 1 x 1 y的最小值为 2 2. 16.(2019 乐山模拟)已知实数 x，y 满足 x1，y0 且 x4y 1 x1 1 y11.则 1 x1 1 y的最大值 为_. 答案 9 解析 由 x4y 1 x1 1 y11， 得 1 x1 1 y10(x1)4y， 则 1 x1 1 y 210 1 x1 1 y 1 x1 1 y (x1)4y10 1 x1 1 y 5 4y x1 x1 y 10 1 x1 1 y (52 4)10 1 x1 1 y 9， 当且仅当 4y x1 x1 y ，即 2yx10 时成立， 令 t 1 x1 1 y，则有 t 210t9，解得 1t9， 故 1 x1 1 y的最大值为 9.