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高三数学二轮复习基础考点练透提速不失分 第2讲 不等式

1、第第 2 讲讲 不等式不等式 1.(2019 武汉联考)下列命题中正确的是( ) A.若 ab,则 ac2bc2 B.若 ab,c b d C.若 ab,cd,则 acbd D.若 ab0,ab,则1 a 1 b 答案 D 解析 对于 A 选项,当 c0 时,不成立,故 A 选项错误.当 a1,b0,c2,d1 时,a cb0,有下列命题: 若 a b1,则 abb0, 所以 00,得 01,求得 00, y0, 作出约束条件表示的可行域如图阴影部分所示. 可知 z2x3y 过 C()3,2 时,z 最小. z23320,即 2x3y. 8.(2019 德阳模拟)已知实数 x,y 满足 2xy

2、20, x2y40, 3xy30, 若 yk(x1)1 恒成立,那么 k 的 取值范围是( ) A. 1 2,3 B. ,4 3 C.3,) D. ,1 2 答案 D 解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分(含边界),其中 M(0,2),N(1,0). 则由图象知 x0,由不等式 yk(x1)1 恒成立, 得 k(x1)1y,即 ky1 x1恒成立, 设 zy1 x1, 所以 kzmin, 则 z 的几何意义是平面区域内的点与定点 A(1,1)连线的斜率, 由图象知 AN 的斜率最小, 此时 z 的最小值为 z01 11 1 2,即 k 1 2, 即实数 k 的取值范围是 ,1 2 .

3、9.(2019 株洲模拟)已知 M,N 是不等式组 x1, y1, xy10, xy6 所表示的平面区域内的两个不同 的点,则|MN|的最大值是( ) A. 17 B. 34 2 C.3 2 D.17 2 答案 A 解析 作出可行域,为图中四边形 ABCD 及其内部, 由图象得 A(1,1),B(5,1),C(2.5,3.5),D(1,2)四点共圆,BD 为直径, 所以|MN|的最大值为|BD| 142 17,选 A. 10.(2019 九江模拟)设变量 x,y 满足约束条件 2xy30, x2y40, y1, 若目标函数 zax by()a0,b0 的最小值为 1,则1 a 1 b的最小值为

4、( ) A.72 6 B.72 2 C.32 6 D.32 2 答案 D 解析 画出不等式组 2xy30, x2y40, y1 表示的可行域如图阴影部分(含边界), 当直线 zaxby(a0,b0)过直线 y1 和 2xy30 的交点(2,1)时,z 有最小值为 1, 2ab1,1 a 1 b(2ab) 1 a 1 b 32a b b a32 2a b b a32 2,当且仅当 a1 2 2 ,b 21 时等号成立. 11.(2019 湖南五市十校联考)已知正实数 a,b,c 满足 a22ab9b2c0,则当ab c 取得最大 值时,3 a 1 b 12 c 的最大值为( ) A.3 B.9

5、4 C.1 D.0 答案 C 解析 由正实数 a,b,c 满足 a22ab9b2c0, 得a 2 c 2ab c 9b 2 c 14ab c , 当且仅当a 2 c 9b 2 c ,即 a3b 时,ab c 取最大值1 4, 又因为 a22ab9b2c0, 所以此时 c12b2, 所以3 a 1 b 12 c 1 b 21 b 1 b2 1 b 2 4 1, 当且仅当 b1 时等号成立.故最大值为 1. 12.已知不等式组 x2y0, x2y4, y0, xym 表示的平面区域为 M,若 m 是整数,且平面区域 M 内的整 点(x,y)恰有 3 个(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点),则 m

6、 的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 根据题意可知 m0,又 m 是整数, 所以当 m1 时,平面区域 M 为 x2y0, x2y4, y0, xy1, 此时平面区域 M 内只有整点(0,0),(1,0),共 2 个, 不符合题意; 当 m2 时,平面区域 M 为 x2y0, x2y4, y0, xy2, 此时平面区域 M 内只有整点(0,0),(1,0),(2,0), 共 3 个,符合题意; 当 m3 时,平面区域 M 为 x2y0, x2y4, y0, xy3, 此时平面区域 M 内只有整点(0,0),(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),共 5 个,不

7、符合题意; 依次类推,当 m3 时,平面区域 M 内的整点一定大于 3 个,不符合题意. 综上,整数 m 的值为 2. 13.(2019 安徽模拟)已知实数 x,y 满足 x10, x3y, ymx4 其中 m0,若 z2xy 的最小值为 1, 则实数 m 的值为_. 答案 1 3 解析 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界),联立直线方程可得 A(1,3m),B 34m m1 , m m1 ,C(1,2), 平移直线 z2xy,由图可知, 当直线 z2xy 过点 A 时,z 有最小值,即 23m1,解得 m1 3. 14.已知实数 x,y 满足不等式组 y1, 4xy40,

8、 2xy10, 则目标函数 z4x2y2的最大值与最小值 之和为_. 答案 31 4 解析 令 t2x,则 xt 2, 原可行域等价于 y1, 2ty40, ty10, 作出可行域如图(阴影部分含边界)所示, z4x2y2t2y2的几何意义是可行域内的点 P(t,y)到原点 O 的距离 d 的平方,由图可知, 当点 P 与点 C 重合时,d 取最大值;d 的最小值为点 O 到直线 AB:ty10 的距离,又 C 5 2,1 ,故 zmax 25 4 129 4 ,zmin 1 1212 21 2,所以 z4x 2y2的最大值与最小值之 和为31 4 . 15.(2019 榆林模拟)已知正数 x

9、,y 满足 x2y21,则1 x 1 y的最小值为_. 答案 2 2 解析 正数 x,y 满足 x2y21,令 z1 x 1 y0, 可得 z2 1 x2 1 y2 2 xy x2y2 x2 x 2y2 y2 2 xy 2y 2 x2 x2 y2 2 xy22 x2 y2 y2 x2 2 xy4 2 xy, 当且仅当y 2 x2 x2 y2即 xy 时取等号, 而由题意可得 1x2y22xy,可得 1 xy2, 当且仅当 xy 时取等号,z2448, z2 2,当且仅当 xy 时取等号, 1 x 1 y的最小值为 2 2. 16.(2019 乐山模拟)已知实数 x,y 满足 x1,y0 且 x4y 1 x1 1 y11.则 1 x1 1 y的最大值 为_. 答案 9 解析 由 x4y 1 x1 1 y11, 得 1 x1 1 y10(x1)4y, 则 1 x1 1 y 210 1 x1 1 y 1 x1 1 y (x1)4y10 1 x1 1 y 5 4y x1 x1 y 10 1 x1 1 y (52 4)10 1 x1 1 y 9, 当且仅当 4y x1 x1 y ,即 2yx10 时成立, 令 t 1 x1 1 y,则有 t 210t9,解得 1t9, 故 1 x1 1 y的最大值为 9.