1、70 分分 解答题标准练解答题标准练(三三) 1.ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 1 2bsin C cos Asin Acos C，a2. (1)求 A； (2)求ABC 的面积的最大值. 解 (1)因为 1 2bsin C cos Asin Acos C， 所以1 2bcos Asin Ccos Asin Acos Csin(AC) sin B，所以bcos A 2sin B1， 由正弦定理得 b sin B a sin A 2 sin A， 所以bcos A 2sin B 2cos A 2sin A1，sin Acos A， 又 A(0，)，所以 A 4. (
2、2)由余弦定理 a2b2c22bccos A 得， b2c2 2bc4， 因为 b2c22bc. 所以 2bc42bc， 解得 bc2(2 2)， 所以 SABC1 2bcsin A 2 4 bc 2 4 2(2 2) 21. 所以ABC 面积的最大值为 21. 2.(2019 汕尾质检)某公司销售部随机抽取了 1 000 名销售员 1 天的销售记录， 经统计， 其柱状 图如图. 该公司给出了两种日薪方案. 方案 1：没有底薪，每销售一件薪资 20 元； 方案 2：底薪 90 元，每日前 5 件的销售量没有奖励，超过 5 件的部分每件奖励 20 元. (1)分别求出两种日薪方案中日工资 y(单
3、位：元)与销售件数 n 的函数关系式； (2)若将频率视为概率，回答下列问题： 根据柱状图，试分别估计两种方案的日薪 X(单位：元)的期望及方差； 如果你要应聘该公司的销售员，结合中的数据，根据统计学的思想，分析选择哪种薪资 方案比较合适，并说明你的理由. 解 (1)方案 1：日工资 y(单位：元)与销售件数 n 的函数关系式为 y20n，nN； 方案 2：日工资 y(单位：元)与销售件数 n 的函数关系式为 y 90，n5，nN， 20n10，n5，nN. (2)根据柱状图知，日销售量满足如下表格： 日销量(件) 3 4 5 6 7 概率 0.05 0.2 0.25 0.4 0.1 所以方案
4、 1 的日薪 X1的分布列为 X1 60 80 100 120 140 P 0.05 0.2 0.25 0.4 0.1 期望 E(X1)600.05800.21000.251200.41400.1106， 方差 D(X1)0.05(60106)20.2(80106)20.25(100106)20.4(120106)2 0.1(140106)2444； 方案 2 的日薪 X2的分布列为 X2 90 110 130 P 0.5 0.4 0.1 期望 E(X2)900.51100.41300.1102， 方差 D(X2)0.5(90102)20.4(110102)20.1(130102)2176.
5、答案 1：由的计算结果可知，E(X1)E(X2)，但两者相差不大，又 D(X1)D(X2)，则方案 2 的日薪工资波动相对较小，所以应选择方案 2. 答案 2：由的计算结果可知，E(X1)E(X2)，方案 1 的日薪工资期望大于方案 2，所以应选 择方案 1. (注意：根据日薪波动性大小应选择方案 2，根据日薪工资期望大小应选择方案 1，两种答案 同样给分) 3.如图，在四棱锥 PABCD 中，ABDA，DCAB，AB2DC4，PAPDDA2，平 面 PAD平面 ABCD. (1)证明：平面 PCB平面 ABP； (2)求二面角 DPCB 的余弦值. (1)证明 如图，设 E，F 分别为 AP
6、，PB 的中点， 过 C 向 AB 引垂线，垂足为 Q，连接 CF，DE，EF， 得 EFAB，EF1 2AB， 故 EFDC, EFDC， 四边形 DEFC 为平行四边形， CFDE， 又 PAPDDA，DEAP，CFAP， 由平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，CDAD，CD平面 ABCD， CD平面 PAD，CDPD， PC2DC2DP28， 又 CQAB，CQAD，CQAD， BC2QC2QB28， PCBC， 又 F 为 PB 的中点，CFPB， 又 APPBP，AP，PB平面 ABP， CF平面 ABP， 又 CF平面 PCB，平面 PCB平面 ABP. (
7、2)解 如图，过 P 作 AD 的垂线，垂足为 O，由(1)知 O 为 AD 的中点，故 POAD， 又平面 PAD平面 ABCD， 平面 PAD平面 ABCDAD， PO平面 PAD， 故 PO平面 ABCD， 以 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴，在平面 ABCD 内过点 O 作 AD 的垂线为 y 轴，OP 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz， 则 D(1,0,0)，C(1,2,0)，B(1,4,0)，P(0,0， 3)， CP (1，2， 3)，CB(2,2,0)，CD (0，2,0)， 设平面 PCB 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n CP 0， n CB
8、 0， 即 x2y 3z0， 2x2y0， 取 x1，得 n(1，1， 3)， 设平面 PDC 的法向量为 m(x1，y1，z1)， 则 m CP 0， m CD 0， 即 x12y1 3z10， y10， 取 z11，得 m( 3，0,1)， cosn，m n m |n| |m| 15 5 ， 由图可知，二面角 DPCB 为钝角， 二面角 DPCB 的余弦值为 15 5 . 4.已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点分别为 F1，F2，点 P 是椭圆上的任意一点，且 |PF1| |PF2|的最大值为 4，椭圆 C 的离心率与双曲线x 2 4 y2 121 的离心率互为倒
9、数. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设点 P 1，3 2 ，过点 P 作两条直线 l1，l2与圆(x1)2y2r2 0r3 2 相切且分别交椭圆 于 M，N，求证：直线 MN 的斜率为定值. (1)解 设椭圆的焦距为 2c， 由题意知|PF1| |PF2| |PF1|PF2| 2 2a24， 所以 a2. 由双曲线x 2 4 y2 121 的离心率为 412 2 2， 可知椭圆 C 的离心率为1 2， 即c a 1 2，解得 c1，b 23， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y2 31. (2)证明 点 P 1，3 2 在椭圆 C 上，显然两直线 l1，l2的斜率存在，设为 k1，k2，
10、M(x1，y1)， N(x2，y2)，由于直线与圆(x1)2y2r2 01，所以 f(x)在区间(1，)内单调递增. 所以函数 f(x)的极小值点为 x1，无极大值点. 当 1 2e0 时，(x)0，所以 (x)在区间(0，)内单调递增，所以 (x)(0)1 恒成立， 即 exx0 对x(0，)恒成立. 则当 00，g(x)单调递增. 所以 g(x)g(2)1 4(e 244ln 2)1 4(e 24ln e3)1 4(e 27)0， 所以函数 g(x)无零点，所以函数 h(x)无零点. 6.(2019 汕尾质检)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 xt 2 2， y2t (t
11、为参数)，曲线 C2的参数方程为 x1 2cos ， y1 2sin ( 为参数)，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系. (1)求曲线 C1和 C2的极坐标方程； (2)直线 l 的极坐标方程为 3，直线 l 与曲线 C1和 C2 分别交于不同于原点的 A，B 两点， 求|AB|的值. 解 (1)曲线 C1的参数方程为 xt 2 2， y2t (t 为参数)，转换为普通方程为 y28x， 转换为极坐标方程为 sin28cos . 曲线 C2的参数方程为 x1 2cos ， y1 2sin ( 为参数)， 转换为普通方程为 x2y22x2y0， 转换为极坐标方程为 2cos 2s
12、in 0. (2)设 A 1， 3 ，B 2， 3 ， 所以 1 8cos 3 sin2 3 16 3 ，22cos 32sin 31 3， 所以|AB|12|13 3 3. 7.(2019 汕尾质检)已知 f(x)|2x2|x1|的最小值为 t. (1)求 t 的值； (2)若实数 a，b 满足 2a22b2t，求 1 a21 1 b22的最小值. 解 (1)f(x)|2x2|x1| 3x1，x1， x3，1x1， 3x1，x1. 故当 x1 时，函数 f(x)有最小值 2，所以 t2. (2)由(1)可知 2a22b22，故 a21b224， 所以 1 a21 1 b22 1 a21 1 b22 a21b22 4 2b 22 a21 a21 b22 4 1， 当且仅当 a21b222，即 a21，b20 时等号成立，故 1 a21 1 b22的最小值为 1.