1、70 分分 解答题标准练解答题标准练(四四) 1.已知在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，cos(2B2C)3cos A10，且 ABC 的外接圆的直径为 2. (1)求角 A 的大小； (2)若ABC 的面积为 2 3，求ABC 的周长； (3)当ABC 的面积取最大值时，判断ABC 的形状. 解 (1)由题意知 2A2B2C2，所以 cos(2B2C)3cos A1cos 2A3cos A10， 即 2cos2A3cos A20， 解得 cos A2(舍去)或 cos A1 2. 又 00 恒成立， 则 x1x2 4k 2k21，x1x2 2 2k21. 所以 xx1
2、x2 2 2k 2k21， yk 2k 2k21 1 1 2k21， 两式联立，得 x22y22y0(y0). 又(0,0)适合上式， 故弦 PQ 的中点 M 的轨迹方程为 x22y22y0. (2)当直线 l 的斜率存在时，由(1)知 AP AQ OP OQ x1x2(y11)(y21)x1x2y1y2 (1)(1k2)x1x2k(x1x2)1 24k 221 2k21 1 2k212， 所以当 1 时， 1 2k212 为定值3. 当直线 l 的斜率不存在时，易知 AP AQ OP OQ 为定值2，当 1 时，23. 综上，存在常数 1， 使得 AP AQ OP OQ 为定值3. 5.已知
3、函数 f(x)e xax2 x aln x. (1)当 ae 时，讨论函数 f(x)的单调性； (2)讨论函数 f(x)的零点个数. 解 (1)函数 f(x)的定义域为(0，)，当 ae 时， f(x)e xx1 x2 ex1 x x1e xex x2 x1 x ex xe . 设 h(x)e x x，x0，则 h(x) xexex x2 e xx1 x2 ， 令 h(x)0，则 x1，令 h(x)1，令 f(x)1，令 f(x)0，f(x)无零点， 当 ae 时，f(x)minea0，f(x)只有一个零点. 若 a0. 因此当 00， 故 f(x)在(0，x1)和(1，x2)上是减函数，在(
4、x1,1)和(x2，)上是增函数， 由于 f(x)e xax2 x aln xe xax2axln x x ，当 x0 时，exax2axln x0，f(x)0； 当 x时，exax20，axln x0，f(x)0； 又 f(1)aee 时，f(x)无零点，当 ae 时，f(x)只有一个零点，当 a0，b0，g(x)f(x)2|xb|的最小值为 1，证明：a38b31 4. (1)解 当 a1 时，f(x)|2x1|x5， 即 x1 2， 2x1x5 或 x1 2， 2x1x5， 解得 x4 或 x2， 所以原不等式的解集为x|x2 或 x4. (2)证明 由题意得 g(x)f(x)2|xb|2xa|2x2b|2xa2x2b|a2b， 当且仅当a 2xb 时等号成立， 所以 a2b1. 则(a2b)31a38b36ab(a2b)a38b36aba38b33 a2b 2 2a38b33 4， 即 1a38b33 4，所以 a 38b31 4， 当且仅当 a2b1 2时等号成立， 所以 a38b31 4.