1、(三三)立体几何与空间向量立体几何与空间向量 1.(2019 哈尔滨第三中学模拟)如图所示，在四棱台 ABCDA1B1C1D1中，AA1底面 ABCD， 四边形 ABCD 为菱形，BAD120 ，ABAA12A1B12. (1)若 M 为 CD 中点，求证：AM平面 AA1B1B； (2)求直线 DD1与平面 A1BD 所成角的正弦值. (1)证明 四边形 ABCD 为菱形，BAD120 ，连接 AC，则ACD 为等边三角形， 又M 为 CD 中点，AMCD， 由 CDAB，得 AMAB. AA1底面ABCD， AM底面ABCD， AMAA1， 又ABAA1A， AB， AA1平面AA1B1B
2、， AM平面 AA1B1B. (2)四边形 ABCD 为菱形，BAD120 ，ABAA12A1B12， DM1，AM 3，AMDBAM90 ， 又AA1底面 ABCD， 分别以 AB，AM，AA1为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz， A1(0,0,2)，B(2,0,0)，D(1， 3，0)，D1 1 2， 3 2 ，2 ， DD1 1 2， 3 2 ，2 ，BD (3， 3，0)， A1B (2,0，2)， 设平面 A1BD 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则有 n BD 0， n A1B 0， 即 3x 3y0， 2x2z0， 得 y 3x 3z， 令 x
3、1，则 n(1， 3，1)， 直线 DD1与平面 A1BD 所成角 的正弦值 sin |cosn，DD1 | |n DD1 | |n| |DD1 | 1 5. 2.如图，已知DEF 与ABC 分别是边长为 1 与 2 的正三角形，ACDF，四边形 BCDE 为 直角梯形， 且 DEBC， BCCD， 点 G 为ABC 的重心， N 为 AB 的中点， AG平面 BCDE， M 为线段 AF 上靠近点 F 的三等分点. (1)求证：GM平面 DFN； (2)若二面角 MBCD 的余弦值为 7 4 ，试求异面直线 MN 与 CD 所成角的余弦值. (1)证明 延长 AG 交 BC 于点 O，连接
4、ON，OF. 因为点 G 为ABC 的重心， 所以AG AO 2 3，且 O 为 BC 的中点. 又由题意知，AM 2 3AF ， 所以AG AO AM AF 2 3， 所以 GMOF. 因为点 N 为 AB 的中点， 所以 NOAC. 又 ACDF， 所以 NODF， 所以 O，D，F，N 四点共面， 又 OF平面 DFN，GM平面 DFN， 所以 GM平面 DFN. (2)解 连接 OE.由题意知，AG平面 BCDE， 因为 AG平面 ABC， 所以平面 ABC平面 BCDE， 又 BCCD，平面 ABC平面 BCDEBC， CD平面 BCDE， 所以 CD平面 ABC. 又四边形 BCD
5、E 为直角梯形，BC2，DE1， 所以 OECD， 所以 OE平面 ABC. 因为 BCDE，DE平面 ABC， 所以 DE平面 ABC， 同理 DF平面 ABC， 又因为 DEDFD，DE，DF平面 DEF， 所以平面 ABC平面 DEF， 又DEF 与ABC 分别是边长为 1 与 2 的正三角形， 故以 O 为坐标原点，OC，OE，OA 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐 标系 Oxyz. 设 CDm(m0)， 则 C(1,0,0)，D(1，m，0)，A(0,0， 3)，F 1 2，m， 3 2 ， B(1,0,0)，N 1 2，0， 3 2 ， 因为AM 2 3A
6、F ， 所以 M 1 3， 2m 3 ，2 3 3 ，BC (2,0,0)， BM 4 3， 2m 3 ，2 3 3 设平面 MBC 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则 n BC 2x0， n BM 4 3x 2m 3 y2 3 3 z0， 得 x0， y 3 m z， 令 zm，得 n(0， 3，m). 又平面 BCD 的法向量为 v(0,0,1). 由题意得|cosv，n|v n| |v|n| m 3m2 7 4 ， 解得 m 21 3 ， 又MN 5 6， 2m 3 ， 3 6 ，CD (0，m，0)， 所以|cos MN ，CD |MN CD | |MN |CD | m m27 4
7、 2 7 7 ， 所以异面直线 MN 与 CD 所成角的余弦值为2 7 7 . 3.(2019 榆林模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中，平面 ABCD平面 PAD，ADBC，ABBC AP1 2AD，ADP30 ，BAD90 ，E 是 PD 的中点. (1)证明：PDPB； (2)设 AD2，点 M 在线段 PC 上且异面直线 BM 与 CE 所成角的余弦值为 10 5 ，求二面角 M ABP 的余弦值. (1)证明 BAD90 ，ABAD， 平面 ABCD平面 PAD，平面 ABCD平面 PADAD ，AB平面 ABCD， AB平面 PAD， ABPD，在PAD 中，AP1 2AD，ADP
8、30 ， 由正弦定理可得，sinADP1 2sinAPD， APD90 ，即 PDAP， 又 ABAPA，AB，AP平面 PAB， PD平面 PAB， PDPB. (2)解 以 P 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 Pxyz， 则 B(0,1,1)，C 3 2 ，1 2，1 ，E 3 2 ，0，0 ， 设 M 3 2 a，1 2a，a ()0a1 ， 则BM 3 2 a，1 2a1，a1 ， CE 0，1 2，1 ， cosBM ，CE BM CE |BM |CE | 3 2 5 4a 2a23a2 5 2 10 5 ，得 a2 3， BM 3 3 ，2 3， 1 3 ，而AB (0,0
9、,1)， 设平面 ABM 的法向量为 n(x，y，z)， 则 n BM 0， n AB 0， 即 3x2yz0， z0， 令 x2，则 n(2， 3，0)，取平面 PAB 的法向量 m(1,0,0)， 则 cosm，n m n |m|n| 2 7 2 7 7 ， 由图易知二面角 MABP 为锐二面角， 故二面角 MABP 的余弦值为2 7 7 . 4.(2019 怀化模拟)如图， 四棱锥 SABCD 的底面是正方形， 每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍，P 为侧棱 SD 上的点. (1)求证：ACSD； (2)若 SD平面 PAC，求二面角 PACS 的大小； (3)在(2)的条件下， 侧棱
10、SC 上是否存在一点 E， 使得 BE平面 PAC.若存在， 求 SCSE 的值； 若不存在，试说明理由. (1)证明 连接 BD 交 AC 于 O，连接 SO， 由题意得，SOAC. 在正方形 ABCD 中，ACBD， 又 SOBDO，SO，BD平面 SBD， 所以 AC平面 SBD，所以 ACSD. (2)解 由题意知 SO平面 ABCD.以 O 为坐标原点，OB ，OC ，OS 分别为 x 轴、y 轴、z 轴正 方向，建立空间直角坐标系 Oxyz 如图所示. 设底面边长为 a，则高 SO 6 2 a. 则 S 0，0， 6 2 a ，D 2 2 a，0，0 ，C 0， 2 2 a，0 又
11、 SD平面 PAC， 则平面 PAC 的一个法向量DS 2 2 a，0， 6 2 a ， 平面 SAC 的一个法向量OD 2 2 a，0，0 ， 则 cos DS ，OD DS OD |DS |OD | 1 2， 又二面角 PACS 为锐二面角，则二面角 PACS 为 60 . (3)解 在棱 SC 上存在一点 E 使 BE平面 PAC. 由(2)知DS 是平面 PAC 的一个法向量， 且DS 2 2 a，0， 6 2 a ，CS 0， 2 2 a， 6 2 a . 设CE tCS，t0,1， 则BE BCCEBCtCS 2 2 a， 2 2 a1t， 6 2 at ， 又 BE平面 PAC，
12、所以BE DS0， 解得 t1 3. 即当 SCSE32 时，BE DS， 而 BE 不在平面 PAC 内，故 BE平面 PAC. 所以侧棱 SC 上存在点 E， 当 SCCE32 时，有 BE平面 PAC. 5.(2019 吕梁模拟)已知如图 1 直角梯形 ABCD，ABCD，DAB90 ，AB4，ADCD 2，E 为 AB 的中点，沿 EC 将梯形 ABCD 折起(如图 2)，使平面 BED平面 AECD. (1)证明：BE平面 AECD； (2)在线段 CD 上是否存在点 F，使得平面 FAB 与平面 EBC 所成的锐二面角的余弦值为2 3，若 存在，求出点 F 的位置；若不存在，请说明
13、理由. (1)证明 连接 AC，则 ACDE， 又平面 BDE平面 AECD，平面 BDE平面 AECDDE，AC平面 AECD， 所以 AC平面 BDE， 所以 ACBE. 又 BECE，ACCEC，AC，CE平面 AECD， 所以 BE平面 AECD. (2)解 线段 CD 上存在点 F， 使得平面 FAB 与平面 EBC 所成的锐二面角的余弦值为2 3.理由如 下： 如图，由(1)得 BE平面 AECD，所以 BEAE. 所以 EA，EB，EC 两两垂直，分别以EA ，EB，EC方向为 x，y，z 轴正方向，建立空间直角 坐标系 Exyz 如图所示，则 E(0,0,0)，A(2，0,0)，B(0,2,0)，设 F(a,0,2)，0a2， 所以AF (a2,0,2)，BF(a，2,2)， 设平面 FAB 的法向量为 n(x，y，z)， 则 AF na2x2z0， BF nax2y2z0， 取 x2，得 n(2,2,2a). 取平面 EBC 的法向量为 m(1,0,0). 所以 cos m，n m n |m|n| 2 a24a12 2 3， 所以 a1. 所以线段 CD 上存在点 F，且 F 为 CD 中点时，使得平面 FAB 与平面 EBC 所成的锐二面角的 余弦值为2 3.