1、(二二)数数 列列 1.(2019 蚌埠质检)已知数列an满足：a11，an12ann1. (1)设 bnann，证明：数列bn是等比数列； (2)设数列an的前 n 项和为 Sn，求 Sn. (1)证明 数列an满足：a11，an12ann1. 由 bnann，那么 bn1an1n1， bn 1 bn an 1n1 ann 2ann1n1 ann 2； 即公比 q2，b1a112， 数列bn是首项为 2，公比为 2 的等比数列. (2)解 由(1)可得 bn2n， ann2n， 数列an的通项公式为 an2nn， 数列an的前 n 项和为 Sn212222332nn (21222n)(123
2、n) 2n 12n 2 2 n 2. 2.已知数列an，a11，a23，且满足 an2an4(nN*). (1)求数列an的通项公式； (2)若数列bn满足 bn(1)n an，求数列bn的前 100 项和 T100. 解 (1)当 n 为奇数时，an(anan2)(an2an4)(a3a1)a1n1 2 4a12n 1. 当 n 为偶数时，an(anan2)(an2an4)(a4a2)a2n2 2 4a22n1. 综上，an2n1(nN*). (2)bn(1)nan(1)n (2n1)， T100b1b2b100(13)(57)(197199) 22222100 2 100. 3.(2019
3、 湖南省宁乡一中、攸县一中联考)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S39，a1， a3，a7成等比数列. (1)求数列an的通项公式； (2)若数列an是递增数列，数列bn满足 bn2 n a ，Tn是数列anbn的前 n 项和，求 Tn，并求 使 Tn1 000 成立的 n 的最小值. 解 (1)设等差数列an的公差为 d. S39，a23，a1d3， a1，a3，a7成等比数列，a23a1a7， (a12d)2a1(a16d)， 由，得 d0， a13 或 d1， a12. 当 d0， a13 时，an3， 当 d1， a12 时，ann1. (2)数列an是递增数列，d0，an
4、n1， bn2n 1，从而 a nbn(n1) 2 n1， Tn2 223 234 24 (n1) 2n 1， 2Tn2 233 244 25 (n1) 2n 2， 得， Tn82324 2n 1(n1) 2n2 82 32n11 21 (n1) 2n 2 n 2n2， Tnn 2n 2. 易知数列Tn是递增数列，又 T5640，T61 536， 使 Tn1 000 成立的 n 的最小值为 6. 4.设数列an的前 n 项和为 Sn，若 anSn 2 1(nN*). (1)求出数列an的通项公式； (2)已知 bn 2n an1an11(nN *)，数列b n的前 n 项和记为 Tn，证明：T
5、n 2 3，1 . (1)解 在 anSn 2 1 中，令 n1 可得 a12， 因为 anSn 2 1，所以 an1Sn 1 2 1， 两式相减可得(an1an)Sn 1Sn 2 0an12an，即an 1 an 2. 所以数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 所以 an2n. (2)证明 bn 2n 2n12n 11 1 2n1 1 2n 11， 所以 Tn 1 211 1 221 1 221 1 231 1 2n1 1 2n 111 1 2n 11， 所以Tn是一个单调递增的数列， 当 n1 时，(Tn)minT11 1 221 2 3， 当 n时，Tn1， 所以 Tn 2 3
6、，1 . 5.数列an中，a12，(n1)(an1an)2(ann1). (1)求 a2，a3的值； (2)已知数列an的通项公式是 ann1，ann21，ann2n 中的一个，设数列 1 an 的前 n 项和为 Sn，an1an的前 n 项和为 Tn，若Tn Sn360，求 n 的取值范围. 解 (1)(n1)(an1an)2(ann1)， an1n3 n1an2， a213 11a126， a323 21a2212. (2)由数列an的通项公式是 ann1，ann21，ann2n 中的一个，和 a26 得数列an 的通项公式是 ann2nn(n1). 由 ann(n1)可得 1 an 1 nn1 1 n 1 n1， 1 a1 1 a2 1 an 11 2 1 2 1 3 1 n 1 n1 1 1 n1， Sn1 1 n1 n n1， (a2a1)(a3a2)(an1an)an1a1， ann(n1)， (a2a1)(a3a2)(an1an)n23n， 即 Tnn23n. 由Tn Sn360，得 n 24n3570，解得 n17 或 n17，且 n 是正整数.