1、(四四)概率与统计概率与统计 1.随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流 量的需求越来越大.长沙某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求， 准备推出一款流量 包.该通信公司选了 5 个城市(总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近)采用不同的 定价方案作为试点， 经过一个月的统计， 发现该流量包的定价 x(单位： 元/月)和购买人数 y(单 位：万人)的关系如表： 流量包的定价(元/月) 30 35 40 45 50 购买人数(万人) 18 14 10 8 5 (1)根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合 y 与 x
2、的关 系？并指出是正相关还是负相关； (2)求出 y 关于 x 的回归方程； 若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定为 25 元/月，请用所求回 归方程预测该城市一个月内购买该流量包的人数能否超过 20 万人. 参考数据： 25 000158， 26 000161， 27 000164. 参考公式：相关系数 r i1 n xi x yi y i1 n xi x 2 i1 n yi y 2 ，线性回归方程y b xa ，其中b i1 n xi x yi y i1 n xi x 2 ，a y b x . 解 (1)根据题意，得 x 1 5(3035404550)40， y 1 5
3、(18141085)11. 可列表如下 i 1 2 3 4 5 xi x 10 5 0 5 10 yi y 7 3 1 3 6 (xi x )(yi y ) 70 15 0 15 60 根据表格和参考数据，得 i1 5 (xi x )(yi y )160， i1 5 xi x 2 i1 5 yi y 2 250104 26 000161. 因而相关系数 r i1 5 xi x yi y i1 5 xi x 2 i1 5 yi y 2 160 161 0.99. 由于|r|0.99 很接近 1，因而可以用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系. 由于 r55，nN. (2)由已知，在这 100 天
4、中该公司派送员日平均派送单数满足如下表格： 单数 52 54 56 58 60 频率 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1 所以 X甲的分布列为 X甲 152 154 156 158 160 P 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1 所以 E(X甲)1520.21540.31560.21580.21600.1155.4， D(X甲)0.2(152155.4)20.3(154155.4)20.2(156155.4)20.2(158155.4)2 0.1(160155.4)26.44. X乙的分布列为 X乙 140 152 176 200 P 0.5 0.2 0.2 0.1 所以 E(X乙)1
5、400.51520.21760.22000.1155.6， D(X乙)0.5(140155.6)20.2(152155.6)20.2(176155.6)20.1(200155.6)2 404.64. 答案一： 由以上的计算结果可知，虽然 E(X甲)5.024. 所以可以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“锻炼达标”与性别有关. (2)“锻炼达标”的学生有 50 人，男、女生人数比为 32，故用分层抽样方法从中抽出 10 人，男生有 6 人，女生有 4 人. X 的可能取值为 0,1,2； P(X0) C26 C210 1 3， P(X1)C 1 6C 1 4 C210 8 15，
6、P(X2) C24 C210 2 15， X 的分布列为 X 0 1 2 P 1 3 8 15 2 15 X 的期望 E(X)01 31 8 152 2 15 4 5. 5.某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年，如图 1 所示， 两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装. 其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中， 一级滤芯和二级滤芯都需要不定期 更换(每个滤芯是否需要更换相互独立)，三级滤芯无需更换.若客户在安装净水系统的同时购 买滤芯，则一级滤芯每个 80 元，二级滤芯每个 160 元.若客户在使用过程中单独购买滤芯， 则一级滤芯
7、每个200元， 二级滤芯每个400元.现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量， 为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表.其中图 2 是根据 200 个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是根据 100 个二级过滤器更换 的滤芯个数制成的频数分布表. 二级滤芯更换的频数分布表 二级滤芯更换的个数 5 6 频数 60 40 以 200 个一级过滤器更换滤芯的频率代替 1 个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以 100 个二 级过滤器更换滤芯的频率代替 1 个二级过滤器更换滤芯发生的概率. (1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 30 的
8、概率； (2)记 X 表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求 X 的分布列及期望； (3)记 m，n 分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数.若 m n28， 且 n5,6， 以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决 策依据，试确定 m，n 的值. 解 (1)由题意可知， 若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 30， 则该 套净水系统中的两个一级过滤器均需更换 12 个滤芯，二级过滤器需要更换 6 个滤芯. 设“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 30”为事件 A. 因为一个一级过滤器需要更换
9、 12 个滤芯的概率为 0.4，二级过滤器需要更换 6 个滤芯的概率 为 0.4. 所以 P(A)0.40.40.40.064. (2)由柱状图可知 一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为 10,11,12 的概率分别为 0.2,0.4,0.4. 由题意，X 可能的取值为 20,21,22,23,24，并且 P(X20)0.20.20.04， P(X21)0.20.420.16， P(X22)0.40.40.20.420.32， P(X23)0.40.420.32， P(X24)0.40.40.16. 所以 X 的分布列为 X 20 21 22 23 24 P 0.04 0.16 0.32 0.3
10、2 0.16 E(X)200.04210.16220.32230.32240.1622.4. (3)方法一 因为 mn28，n5,6，若 m22，n6， 则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 22802000.324000.1661602 848； 若 m23，n5， 则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 23802000.1651604000.42 832. 故 m，n 的值分别为 23,5. 方法二 因为 mn28，n5,6，若 m22，n6， 设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为 Y1(单位：元)，则 Y1 1 760 1 960 2 160
11、 P 0.52 0.32 0.16 E(Y1)1 7600.521 9600.322 1600.161 888. 设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为 Y2(单位：元)，则 Y26160960，E(Y2)1960960. 所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 E(Y1)E(Y2)1 8889602 848. 若 m23，n5 设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为 Z1(单位：元)，则 Z1 1 840 2 040 P 0.84 0.16 E(Z1)1 8400.842 0400.161 872. 设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为 Z2(单位：元)，则 Z2 800 1 200 P 0.6 0.4 E(Z2)8000.61 2000.4960， 所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为 E(Z1)E(Z2)1 8729602 832. 故 m，n 的值分别为 23,5.