1、(七七)坐标系与参数方程坐标系与参数方程 1.已知在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程是 x 2 2 t， y 2 2 t4 2 (t 为参数)，以原点 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos 4 . (1)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系； (2)设 M 为曲线 C 上任意一点，求 xy 的取值范围. 解 (1)由 x 2 2 t， y 2 2 t4 2， 消去 t，得直线 l 的普通方程为 yx4 2. 由 2cos 4 ， 得 2cos cos 42sin sin 4 2cos 2sin . 2 2cos 2sin ， 即 x2 2x
2、y2 2y0. 化为标准方程得 x 2 2 2 y 2 2 21. 圆心坐标为 2 2 ， 2 2 ，半径为 1. 圆心到直线 l：xy4 20 的距离 d 2 2 2 2 4 2 2 51， 直线 l 与曲线 C 相离. (2)由 M(x，y)为曲线 C 上任意一点， 可设 x 2 2 cos ， y 2 2 sin ( 为参数，03， 设 A，B 对应的参数为 t1，t2， 由题意得|t1|2|t2|，即 t12t2或 t12t2， 当 t12t2时， t12t2， t1t28 2， t1 t2244m， 解得 m23 9 ，满足 m3； 当 t12t2时， t12t2， t1t28 2，
3、 t1 t2244m 解得 m33，满足 m3. 综上，m23 9 或 33. 4.(2019 昆明质检)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 x2 3cos ， y 3sin ( 为 参数)，直线 l 的参数方程为 xtcos ， ytsin (t 为参数，01 4， 所以|OA|OB|12|122412 16cos242， 解得 cos 2 2 ， 又 0， 所以 4或 3 4 . 5.(2019 保山模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系.O 的极坐标方程为 2， 直线 l 的参数方程为 xtcos ， y2tsin (t
4、为参数)， 直线 l 与O 交于 A，B 两个不同的点. (1)求倾斜角 的取值范围； (2)求线段 AB 中点 P 的轨迹的参数方程. 解 (1)直线 l 的倾斜角为 ， 当 2时，直线 l(即 y 轴)与O 交于 A，B 两个不同的点，符合题目要求； 当 2时，记 ktan ， 直线 l 的参数方程 xtcos ， y2tsin 化为普通方程为 kxy20， 圆心 O 到直线 l 的距离 d 2 1k2. 因为直线 l 与O 交于不同的两点， 所以 2 1k21 或 k1. 当 k1 时， 的取值范围是 4， 2 ， 综上，直线 l 的倾斜角 的取值范围是 4， 3 4 . (2)O 的极坐标方程为 2，其直角坐标方程为 x2y22， 因直线 l 的参数方程为 xtcos ， y2tsin (t 为参数)， 代入 x2y22 中得，t24tsin 20， 故可设 A(t1cos ，2t1sin )， B(t2cos ，2t2sin )， 注意到 t1 ，t2为方程的根，故 t1t24sin ， 点 P 的坐标为 t1t2 2 cos ，2t1t2 2 sin ， 即(sin 2，1cos 2)， 所以点 P 的轨迹的参数方程为 xsin 2， y1cos 2 ( 为参数).