1、(八八)不等式选讲不等式选讲 1.(2019 天水市第一中学模拟)设函数 f(x)|2xa|x2|(xR，aR). (1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集； (2)若 f(x)1 在 xR 上恒成立，求实数 a 的取值范围. 解 (1)a1 时，f(x)0 可得|2x1|x2|，即(2x1)2(x2)2， 化简得：(3x3)(x1)0，所以不等式 f(x)0 的解集为(，1)(1，). (2)当 a0)，求4 a 1 b的取值范围. 解 (1)由 f(x)1， 即|2x1|1，得12x11， 解得1x0. 即不等式的解集为x|1x0. (2)g(x)f(x)f(x1)|2x1|2x1
2、| |2x1(2x1)|2， 当且仅当(2x1)(2x1)0， 即1 2x 1 2时取等号， m2. ab2(a，b0)， 4 a 1 b 1 2(ab) 4 a 1 b 1 2 54b a a b 1 2 52 4b a a b 9 2， 当且仅当 a0，b0， 4b a a b， ab2， 即 a4 3，b 2 3时等号成立， 综上，4 a 1 b的取值范围为 9 2， . 4.(2019 郑州第一中学模拟)已知函数 f(x)|2x1|x1|. (1)解不等式 f(x)2； (2)记函数 g(x)f(x)f(x)，若对于任意的 xR，不等式|k1|2， 解得 x0. 即不等式 f(x)2
3、的解集为 x x0 . (2)g(x)f(x)f(x)|x1|x1|(|2x1|2x1|) |(x1)(x1)|(2x1)(2x1)|4， 当且仅当 x1x10， 2x12x10， 即 x 1 2， 1 2 时取等号， 若对于任意的 xR，不等式|k1|g(x)恒成立， 则|k1|g(x)min4， 所以4k14，解得3k5，即实数 k 的取值范围为(3,5). 5.已知函数 f(x)|2x3| x1 2 . (1)在如图所示的网格纸中作出函数 f(x)的图象； (2)记函数 f(x)的最小值为 m，证明：不等式 n3n2nm 成立的充要条件是 n10. (1)解 依题意，f(x)|2x3| x1 2 3x7 2，x 1 2， ， 作出函数 f(x)的图象如图所示. (2)证明 由(1)中图象可知 m1. n3n2n1n3n2n1n2(n1)n1 (n21)(n1)0(n1)(n1)20. 因为当 n10 时，(n1)(n1)20， 当(n1)(n1)20 时，n10， 故不等式 n3n2n1 成立的充要条件是 n10.
