1、 (一一)三角函数与解三角形三角函数与解三角形 1.(2019 沈阳郊联体模拟)若 sin 3x 2 3，则 cos 32x 等于( ) A.7 9 B. 1 9 C. 1 9 D. 7 9 答案 C 解析 令 3x，则 2x 32， 所以 cos 2x 3 cos(2)cos 2 2sin211 9. 2.(2019 海口调研)下列不等式正确的是( ) A.sin 130 sin 40 log34 B.tan 226 log52 答案 D 解析 sin 40 1sin 80 1 2log52. 3.(2019 钦州模拟)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2，C 4
2、，tan B 4 3，则ABC 的面积等于( ) A.8 7 B. 3 7 C. 4 7 D. 2 7 答案 A 解析 根据题干条件 tan B4 3可得到 sin B4 5，cos B 3 5， 又C 4， sin Ccos C 2 2 ， sin Asin(BC) 7 10 2， 由正弦定理得到 a sin A c sin C，c 10 7 ， 根据面积公式得到 S1 2acsin B 1 22 10 7 4 5 8 7. 4.(2019 宜宾诊断)要得到函数 ysin 2x 4 的图象，可以将函数 ycos 62x 的图象( ) A.向右平移 24个单位长度 B.向左平移 24个单位长度
3、 C.向右平移 12个单位长度 D.向左平移 12个单位长度 答案 A 解析 函数 ycos 62x cos 2x 6 ， 转换为 ysin 22x 6 sin 2x 3 ， 将函数的图象向右平移 24个单位长度， 得到 ysin 2x 4 的图象. 5.(2019 天一联考)已知 f(x)Asin(x)B A0，0，| 2 的图象如图所示，则函数 f(x) 的对称中心可以为( ) A. 6，0 B. 6，1 C. 6，0 D. 6，1 答案 D 解析 由题图可知 A31 2 2，B31 2 1， T2 7 12 12 ， 所以 2.由 122 22k(kZ)，|0，| | 2 ，满足 f 2
4、 3 x 2f(x)，且 对任意 xR，都有 f(x)f 4 .当 取最小值时，函数 f(x)的单调递减区间为( ) A. 12 k 3 ， 4 k 3 ，kZ B. 122k， 42k ，kZ C. 12 k 3 ， 12 k 3 ，kZ D. 122k， 122k ，kZ 答案 A 解析 由 f 2 3 x 2f(x)， 得 f 2 3 x f(x)2， 可得 f(x)的图象关于点 3，1 对称. 对任意 xR，f(x)f 4 ， 当 x 4时，f(x)取得最小值，当 取最小值时， 即周期 T 最大，可得1 4T 3 4，可得 T 3， 2 3 6，函数 f(x)2sin()6x 1， 当
5、 x 4时，f(x)取得最小值， 2sin 3 2 11，sin 3 2 1， 3 2 3 2 2k，kZ，2k，kZ， | | 0)，若方程 f(x)1 在(0，)上有且只有四个实数根， 则实数 的取值范围为( ) A. 13 6 ，7 2 B. 7 2， 25 6 C. 25 6 ，11 2 D. 11 2 ，37 6 答案 B 解析 f(x)2sin x 3 ，作出 f(x)的函数图象如图所示： 令 2sin x 3 1 得， x 3 62k，kZ 或 x 3 7 6 2k，kZ， x 6 2k ，kZ 或 x3 2 2k ，kZ， 设直线 y1 与 yf(x)在(0，)上从左到右的第
6、4 个交点为 A，第 5 个交点为 B， 则 xA3 2 2 ，xB 6 4 ， 方程 f(x)1 在(0，)上有且只有四个实数根， xAxB， 即3 2 2 6 4 ， 解得7 2 25 6 . 12.(2019 福建质检)在ABC 中，B30 ，BC3，AB2 3，点 D 在边 BC 上，点 B，C 关 于直线 AD 的对称点分别为 B，C，则BBC的面积的最大值为( ) A.93 3 2 B.6 3 7 C.9 3 7 D.3 3 2 答案 D 解析 由余弦定理可得 AC2AB2BC22AB BC cos B 12922 33 3 2 3， AC 3，且 AC2BC2AB2， ACBC，
7、 以 C 为原点，以 CB，CA 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示： 由题意知，直线 AD 的斜率存在， 设直线 AD 的方程为 ykx 3， 当 D 与线段 BC 的端点 B 重合时，B，B，C在同一条直线上，不符合题意， k 3 3 ，设 B(m，n)，显然 n0， 则 n 2k m3 2 3， n m3 1 k， 解得 n6k2 3 k21 ， CCBB， SBBCSBBC1 2 BC |n| 1 23 6k2 3 k21 9k3 3 k21 ， 令 f(k)9k3 3 k21 k 3 3 ， 则 f(k)33k 22 3k3 k212 ， 令 f(k)0 可得 k 3或 k
8、 3 3 (舍)， 当 k0， 当 3k 3 3 时，f(k)0， 当 k 3时，f(k)取得最大值 f( 3)3 3 2 . 即BBC的面积的最大值为3 3 2 . 13.(2019 全国)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsin Aacos B0，则 B _. 答案 3 4 解析 bsin Aacos B0， a sin A b cos B， 由正弦定理，得cos Bsin B， tan B1， 又 B(0，)，B3 4 . 14.(2019 湖南省岳阳市第一中学模拟)在ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c， 若 bc1，b2ccos A0，
9、则当角 B 取得最大值时，三角形的内切圆的半径 r_. 答案 33 2 解析 因为 b2ccos A0， 所以 A 2， ， 且由正弦定理得 sin B2sin Ccos A0， 即 3sin Ccos Acos Csin A0,3tan Ctan A0. tan B tan Atan C 1tan Atan C 2tan C 13tan2C 3 3 ， 当且仅当 C 6时等号成立，故 Bmax 6， 所以 BC，即 bc1，a 3， 此时1 2r( )2 3 1 211 3 2 ， 解得 r 33 2. 15.(2019 上海市交大附中模拟)已知函数 f(x)asin 2xbcos 2x(a
10、，bR，ab0)，若其图象 关于直线 x 6对称，则直线 axbyc0 的倾斜角 _. 答案 2 3 解析 函数 f(x)asin 2xbcos 2x(a，b 均不为 0)的图象关于直线 x 6对称， 设 sin b a2b2，cos a a2b2， f(x)asin 2xbcos 2x a2b2 a a2b2sin 2x b a2b2cos 2x a2b2sin(2x)， 当 x 6时，2x 3 2k(kZ)， 3 2k 6k(kZ)， 不妨取 k0，得 6， sin b a2b2 1 2，cos a a2b2 3 2 ， 解得 a 3b， 直线 l：axbyc0 可化为 3bxbyc0，
11、它的斜率为 k 3， 倾斜角是2 3 . 16.(2019 湖北八校联考)如图所示，在平面四边形 ABCD 中，若 AD2，CD4，ABC 为正 三角形，则BCD 面积的最大值为_. 答案 44 3 解析 设ADC，ACD， 由余弦定理可得 AC24222242cos 2016cos ，cos AC 212 8AC ， 由正弦定理可得 AD sin AC sin ， 即 sin 2sin AC ， 所以 SBCD1 2BC CD sin 3 2BC 1 2sin 3 2 cos ， 2BC 1 2 2sin AC 3 2 AC212 8AC 2sin 3 2016cos 12 8 4sin 3 4 3， 故当 5 6 时，BCD 面积最大，最大值为 44 3.