1、 典例 2 (12 分)(2018 全国)已知数列an满足 a11，nan12(n1)an.设 bnan n . (1)求 b1，b2，b3； (2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由； (3)求an的通项公式. 审题路线图 1将题目中的递推公式变形写出 an1的表达式分别令 n1，2，3求得 b1，b2，b3 2将题目中的递推公式变形得到 an1 n12 an n 根据 bnan n 得到 bn12bn根据等比数列 的定义判定 3由2求得 bn进而求得 an 规 范 解 答 分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 解 (1)由条件可得 an12n1 n an， 将 n1 代入得 a24a
2、1， 又 a11， a24，即 b22，1 分 将 n2 代入得 a33a2， a312，即 b34，2 分 又 a11，b11. 3 分 (2)由条件 nan12(n1)an， 可得 an1 n12 an n ，即 bn12bn，6 分 又由(1)知 b110，7 分 数列bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列. 9 分 (3)由(2)可得 bnb1 2n 12n1，10 分 又 bnan n ， annbnn 2n 1. 12 分 第一步 找关系： 根据已知条件确定 数列的项之间的关系. 第二步 求通项： 根据已知条件转化 等式的表达方式， 求数列的 通项公式， 并判断是否符合 等比数列
3、的定义. 第三步 写步骤： 将所要求的各问有 条理的写出， 注意首项的特 殊性，表述要严密. 第四步 再反思： 检查过程中各项的 符号有无错误， 用特殊项估 算结果. 评分细则 第(1)问：由递推公式算对 b2得 1 分；由递推公式算对 b3得 1 分；正确算出 b1得 1 分. 第(2)问：由递推公式合理变形得 bn12bn得 3 分；指出 b10 得 1 分；正确判断bn是等比 数列得 2 分. 第(3)问：正确求出 bn通项得 1 分；由题设 bnan n得 an的通项得 2 分. 跟踪演练 2 (2018 全国)等比数列an中，a11，a54a3. (1)求an的通项公式； (2)记 Sn为an的前 n 项和，若 Sm63，求 m. 解 (1)设an的公比为 q，由题设得 anqn 1. 由已知得 q44q2，解得 q0(舍去)，q2 或 q2. 故 an(2)n 1或 a n2 n1(nN*). (2)若 an(2)n 1，则 S n12 n 3 . 由 Sm63 得(2)m188，此方程没有正整数解. 若 an2n 1，则 S n2 n1. 由 Sm63 得 2m64，解得 m6. 综上，m6.
