1、 典例 4 (12 分)(2019 全国)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药 更有效， 为此进行动物试验.试验方案如下： 每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两 只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多 的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的 白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈 则乙药得 1 分，甲药得1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分
2、.甲、乙两种药的治愈 率分别记为 和 ，一轮试验中甲药的得分记为 X. (1)求 X 的分布列； (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，pi(i0,1，8)表示“甲药的累计得分为 i 时， 最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p00，p81，piapi1bpicpi1(i1,2， 7)，其中 aP(X1)，bP(X0)，cP(X1).假设 0.5，0.8. ()证明：pi1pi(i0,1,2，7)为等比数列； ()求 p4，并根据 p4的值解释这种试验方案的合理性. 审题路线图 1确定 x 的取值情况求概率写分布列 2确定系数 a，b，c构造并证明等比数列 已知p0，p8 求 p4说
3、明试验方案的合理性 规 范 解 答 分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 (1)解 X 的所有可能取值为1,0,1. P(X1)(1)， P(X0)(1)(1)， P(X1)(1).3 分 所以 X 的分布列为 X 1 0 1 P (1) +(1)(1) (1) 4 分 (2)()证明 由(1)得 a0.4，b0.5，c0.1. 5 分 因此 pi0.4pi10.5pi0.1pi1，故 0.1(pi1pi)0.4(pipi1)，即 pi1pi 第一步 定元：确定 随机变量的 意义和取 值. 第二步 定性：确定 概率模型并 计算随机变 量取每一个 值的概率. 4(pipi1). 6 分 又因为
4、 p1p0p10，所以pi1pi(i0,1,2，7)为公比为 4，首项为 p1 的等比数列. 7 分 ()解 由()可得 p8p8p7p7p6p1p0p0 (p8p7)(p7p6)(p1p0) 4 81 3 p1. 由于 p81，故 p1 3 481，10 分 所以 p4(p4p3)(p3p2)(p2p1)(p1p0) 4 41 3 p1 1 257.11分 p4表示题干中的实验方案最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出， 在 甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药更有效的概率为 p4 1 257 0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理. 1
5、2 分 第三步 列表：写出 随机变量的 分布列. 第四步 求解：利用 随机变量的 分布列，等 比数列累加 法并结合题 目条件求 解. 评分细则 第(1)问：三个概率写正确给 3 分；分布列写正确再给 1 分. 第(2)问：()a，b，c 三个值正确给 1 分；写出推导公式给 1 分，判断首项给 1 分. ()利用等比数列累加列方程给 3 分；求出 p4，写出结论给 1 分. 跟踪演练 4 (2018 全国改编)下图是某地区 2002年至 2018年环境基础设施投资额 y(单位： 亿元)的折线图. 为了预测该地区 2020 年的环境基础设施投资额， 建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型
6、. 根据 2002 年至 2018 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2，17)建立模型：y 30.4 13.5t；根据 2012 年至 2018 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2，7)建立模型：y 9917.5t. (1)分别利用这两个模型，求该地区 2020 年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由. 解 (1)利用模型，可得该地区 2020 年的环境基础设施投资额的预测值为y 30.4 13.519226.1(亿元). 利用模型，可得该地区 2020 年的环境基础设施投资额的预测值为y 9917.59 256.5(亿元). (
7、2)利用模型得到的预测值更可靠. 理由如下： ()从折线图可以看出，2002 年至 2018 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y30.4 13.5t 上下， 这说明利用 2002 年至 2018 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础 设施投资额的变化趋势.2012 年相对 2011 年的环境基础设施投资额有明显增加，2012 年至 2018 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2012 年开始环境基础设施投资额的 变化规律呈线性增长趋势， 利用 2012 年至 2018 年的数据建立的线性模型y 9917.5t 可以 较好地描述 2012 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势， 因此利用模型得到的预测值更 可靠. ()从计算结果看，相对于 2018 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低， 而利用模型得到的预测值的增幅比较合理， 说明利用模型得 到的预测值更可靠.