1、第第 3 讲讲 导数的简单应用导数的简单应用(小题小题) 热点一 导数的几何意义与定积分 应用导数的几何意义解题时应注意： (1)f(x)与 f(x0)的区别与联系，f(x0)表示函数 f(x)在 xx0处的导数值，是一个常数； (2)函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率； (3)切点既在原函数的图象上也在切线上. 例 1 (1)(2019 湖南省三湘名校联考)在二项式 x2 a 2x 6 的展开式中，其常数项是 15.如图所 示，阴影部分是由曲线 yx2和圆 x2y2a 及 x 轴在第一象限围成的封闭图形，则封闭图形 的面积为( ) A. 4 1 6 B. 4 1 6 C. 4
2、 D.1 6 答案 B 解析 x2 a 2x 6展开式中， 第 k 项为 Tk1Ck6 a 2 kx123k， 令 123k0，可得 k4，即常数项为 C46 a 2 4， 可得 C46 a 2 415，解得 a2. 曲线 yx2和圆 x2y22 在第一象限的交点为(1,1)， 所以阴影部分的面积为 4 1 0(xx 2)dx 4 1 2x 21 3x 31 0 4 1 6. (2)(2019 许昌、洛阳质检)已知 a0，曲线 f(x)3x24ax 与 g(x)2a2ln xb 有公共点，且在 公共点处的切线相同，则实数 b 的最小值为( ) A.0 B.1 e2 C. 2 e2 D. 4 e
3、2 答案 B 解析 由 f(x)3x24ax，得 f(x)6x4a， 由 g(x)2a2ln xb，得 g(x)2a 2 x . 设两曲线的公共点 P(x0，y0)，x00， 因为两曲线在公共点处的切线相同， 所以 6x04a2a 2 x0 ， y03x204ax0， y02a2ln x0b， 由 6x04a2a 2 x0 ，解得 x0a，x01 3a， 又 a0，所以 x0a，消去 y0，得 b2a2ln aa2， 设 bh(a)2a2ln aa2，a0，h(a)4aln a4a， 令 h(a)0，a1 e， 又 00， 所以 a1 e时 h(a)取极小值也是最小值， 即 bminh 1 e
4、 1 e2. 跟踪演练 1 (1)(2019 长沙模拟)已知函数 f(x) x2，x2， 1x32，21 的解集为( ) A.(1，) B.(，0) C.(，0)(1，) D.(0，) 答案 D 解析 设 F(x)e2xf(x)e2x4， 则 F(x)2e2xf(x)e2xf(x)2e2x e2x2f(x)f(x)20， 所以函数 F(x)e2xf(x)e2x4 在 R 上为增函数. 又 f(0)5， 所以 F(0)f(0)140. 又不等式 f(x)4e 2x1 等价于 e2xf(x)e2x40， 即 F(x)0，解得 x0， 所以不等式的解集为(0，). (2)已知 f(x)()x22ax
5、 ln x1 2x 22ax 在(0，)上是增函数，则实数 a 的取值范围是( ) A.1 B.1 C.(0,1 D.1,0) 答案 B 解析 f(x)()x22ax ln x1 2x 22ax， f(x)2(xa)ln x， f(x)在(0，)上是增函数， f(x)0 在(0，)上恒成立， 当 x1 时，f(x)0 满足题意； 当 x1 时，ln x0，要使 f(x)0 恒成立， 则 xa0 恒成立. xa1a，1a0，解得 a1； 当 0 e 2 答案 D 解析 f(x)exax2，可得 f(x)ex2ax， 要使 f(x)恰有 2 个正极值点， 则方程 ex2ax0 有 2 个不相等的正
6、实数根， 即 2ae x x有两个不同的正根， 则 g(x)e x x，x(0，)，y2a 的图象在 y 轴右侧有两个不同的交点， 求得 g(x)e xx1 x2 ， 由 g(x)0，可得 g(x)e x x在(1，)上单调递增， g(x)ming(1)e， 当 x0 时，g(x)；当 x时，g(x)， 所以当 2ae，即 ae 2时， g(x)e x x，y2a 的图象在 y 轴右侧有两个不同的交点， 所以使函数 f(x)exax2在区间(0，)上有两个极值点 x1，x2(00)， 令 f(t)|CN|2，则 f(t)t2(1ln t)2(t0)， 所以 f(t)2t2(1ln t) 1 t
7、 2t 2ln t1 t . 令 (t)t2ln t1(t0)， 易知函数 (t)在(0，)上单调递增，且 (1)0， 所以当 00， 所以 f(t)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增， 所以 f(t)minf(1)2. 因为|MN|CN|1 21， 所以线段 MN 的长度的最小值为 21. 跟踪演练 3 (1)(2019 天津市和平区质检)已知函数 f(x)x3ax2bxc，若 f(1)0，f(1) 0，但 x1 不是函数的极值点，则 abc 的值为_. 答案 9 解析 f(x)3x22axb， f(1)32ab0， 又 f(1)1abc0， 由 x1 不是 f(x)的极值点， 得
8、 f(x)0 有两个相等的实数根， 4a212b0， 由解得 a3，b3，c1， abc9. (2)已知 a0，f(x) xex exa，若 f(x)的最小值为1，则 a 等于( ) A. 1 e2 B. 1 e C.e D.e 2 答案 A 解析 由 f(x) xex exa， 得 f(x)e xxexexaxex ex exa2 e xexaxa exa2 . 令 g(x)exaxa，则 g(x)exa0， g(x)在(，)上为增函数， 又 g(1)1 e0， 存在 x00 恒成立，得当 x2 或 x1 时，f(x)0，且 x0；当20. 所以 x1 是函数 f(x)的极小值点. 所以函数
9、 f(x)的极小值为 f(1)1. 2.(2019 全国，理，13)曲线 y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为_. 答案 y3x 解析 因为 y3(2x1)ex3(x2x)ex3(x23x1)ex， 所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率 ky|x03，所以所求的切线方程为 y3x. 3.(2018 全国，理，16)已知函数 f(x)2sin xsin 2x，则 f(x)的最小值是_. 答案 3 3 2 解析 f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1) 2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1). cos x10， 当 cos x0，f(
10、x)单调递增， 当 cos x1 2时，f(x)有最小值. 又 f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)， 当 sin x 3 2 时，f(x)有最小值， 即 f(x)min2 3 2 11 2 3 3 2 . 押题预测 1.已知 a xx 6展开式的常数项为 15，则 2 1d a a xxx 等于( ) A. B.2 C. 2 D.2 2 答案 C 解析 由 a xx 6的展开式的通项为 Tk1Ck6 (1)k a6 k 36 2 k x ， 令3k6 2 0，求得 k2， 故常数项为 C26 a415， 可得 a 1， 2 1d a a xxx 1 1xdx 1 11
11、x2dx 1 11x2dx， 由定积分的几何意义可知 1 11x2dx为x2y21在x轴上方的面积， 即单位圆面积的一半， 2 1d 2 a a xxx 2.已知奇函数 f(x)的导函数为 f(x)，当 x0 时，xf(x)f(x)0，若 af(1)，b1 ef 1 e ，c ef(e)，则 a，b，c 的大小关系是( ) A.a11 e， g(e)g(1)g 1 e ， ef(e)f(1)1 ef 1 e ， 即ef(e)f(1)1 ef 1 e ， b0， 所以函数 g(x)xex在(1，)上为单调递增函数， 所以 ag(1)e 且 ag(2)2e2， 又由 f(x)在(1,2)上单调递增
12、， 则 f(x)0 在(1,2)上恒成立， 即(x2) xexa x 0 在(1,2)上恒成立， 即 xexa0 在(1,2)上恒成立， 即 axex在(1,2)上恒成立， 又由函数 g(x)xex在(1，)上为单调递增函数， 所以 ag(2)2e2， 综上所述，可得实数 a 的取值范围是 a2e2， 即 a(2e2，). A 组 专题通关 1.设函数 yxsin xcos x 的图象在点()t，ft 处切线的斜率为 g(t)， 则函数 yg(t)的图象一部 分可以是( ) 答案 A 解析 因为 yxsin xcos x 的导数为 yxcos x， 所以 g(t)tcos t， 由 g(t)t
13、cos tg(t)，知函数 g(t)为奇函数， 所以排除 B，D 选项， 当从 y 轴右侧 t0 时，cos t0，t0， 所以 g(t)0，故选 A. 2.(2019 甘青宁联考)若直线 ykx2 与曲线 y13ln x 相切，则 k 等于( ) A.3 B.1 3 C.2 D. 1 2 答案 A 解析 设切点为(x0，kx02)， y13ln x 的导数为 y3 x， 3 x0k， kx0213ln x0， 由得 kx03， 代入得 13ln x01， 则 x01，k3. 3.(2019 怀化模拟)在(1x)4(2x1)的展开式中， x2项的系数为 a， 则 a 0(e x2x)dx 的值
14、为( ) A.e1 B.e2 C.e23 D.e24 答案 C 解析 因为(1x)4(2x1)2x(1x)4(1x)4， (1x)4展开式的通项为 Tk1Ck4xk， 所以在(1x)4(2x1)的展开式中，x2项的系数为 2C14C242， 即 a2； 所以 a 0(e x2x)dx2 0(e x2x)dx (exx2)|20(e222)e0e23. 4.(2019 全国)已知曲线 yaexxln x 在点(1，ae)处的切线方程为 y2xb，则( ) A.ae，b1 B.ae，b1 C.ae 1，b1 D.ae 1，b1 答案 D 解析 因为 yaexln x1，所以 y|x1ae1， 所以
15、曲线在点(1，ae)处的切线方程为 yae(ae1)(x1)，即 y(ae1)x1，所以 ae12， b1， 解得 ae 1， b1. 5.已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f(x)，满足 f(x)0. g(x)为增函数， 又 g(0)0， 当 x0 时，g(x)0，即 f(x)0， 即 f(x)在(0，)上单调递增. 7.若函数f(x)exx2ax(其中e是自然对数的底数)的图象在x0处的切线方程为y2xb， 则函数 g(x)fxb x 在(0，)上的最小值为( ) A.1 B.e C.e2 D.e2 答案 C 解析 因为 f(x)ex2xa， 所以 f(0)1a. 由题意知
16、 1a2，解得 a1， 因此 f(x)exx2x，而 f(0)1， 于是 120b，解得 b1， 因此 g(x)fxb x e x2x11 x e x2x x ， 所以 g(x)e xx1 x2 ， 令 g(x)0 得 x1， 当 00，g(x)为增函数， 故 g(x)在 x1 处取得极小值， 即 g(x)在(0，)上的最小值为 g(1)e2. 8.若曲线 yxln x 与曲线 yax3x1 在公共点处有相同的切线，则实数 a 等于( ) A.e 2 3 B. e2 3 C. e 3 D. e 3 答案 B 解析 设两曲线的公共点为 P(m，n)，m0， 由 yxln x，得 y11 x， 则
17、曲线 yxln x 在点 P(m，n)处的切线的方程为 ymln m 11 m (xm)， 即 y 11 m x1ln m. 由 yax3x1，得 y3ax21， 则曲线 yax3x1 在点 P(m，n)处的切线的方程为 yam3m1(3am21)(xm)， 即 y(3am21)x2am31， 所以 11 m3am 21， 1ln m2am31， 解得 m 3 2 e, ae 2 3. 9.(2019 岳阳模拟)已知 M|f()0，N|g()0，若存在 M，N，使|0)的图象始终在射线 yax(x0)的上方，则 a 的取值范围是( ) A.(，e B.(，2 C.(0,2 D.(0，e 答案
18、B 解析 依题意设 f(x)exe x， 则 f(x)exe x0， 故函数在 x0 时为递增函数， 且易知当 x0 时 f(x)exe x单调递增， 当 x0 时，f(0)2， 故 f(x)2， 而 a 是直线 yax 的斜率， 直线过原点，要使函数 yexe x(x0)的图象始终在射线 yax(x0)的上方，则需 a2. 11.(2019 吉林调研)设函数 f(x)在 R 上存在导函数 f(x)， 对任意实数 x， 都有 f(x)f(x)2x， 当 xm0， 故 f(x)在(m，)上递减， 又由 f(x)ln x x2 ， 当 f(x)1， 故 f(x)在(1，)上递减，故 m1. 13.
19、(2019 福建适应性练习)已知定义在 R 上的函数 f(x)ex 1exx22m(x1)(m0)，当 x 1 x21 时，不等式 f(x1)f(x2)恒成立，则实数 x1的取值范围为_. 答案 1 2， 解析 由 f(x1)f(x2)， 可得 11 1 eex x x212m(x11) 22 1 ee xx x222m(x21)， 即 1212 11 eeee xxxx (x21x22)2m(x1x2)0. 因为 x1x21， 所以问题可转化为 1111 121 eeee xxxx (2m1)(2x11)0 恒成立， 记 g(x)(ex 1e2x)(exe1x)(2m1)(2x1)， g(x
20、)(ex 1e2x)(exe1x)2(2m1) (ex 1ex)(e2xe1x)2(2m1) ex(e1)e2 x(1e1)2(2m1)0， 所以 g(x)在 R 上单调递增. 又 g 1 2 0， 所以当 x1 2时，g(x)0 恒成立， 即实数 x1的取值范围为 1 2， . 14.分别在曲线 yln x 与直线 y2x6 上各取一点 M 与 N，则|MN|的最小值为_. 答案 ()7ln 25 5 解析 由 yln x(x0)，得 y1 x，令 1 x2， 即 x1 2，yln 1 2ln 2， 则曲线 yln x 上与直线 y2x6 平行的切线的切点坐标为 1 2，ln 2 ， 由点到
21、直线的距离公式得 d 21 2ln 26 5 ( )7ln 25 5 ， 即|MN|min( )7ln 25 5 . 15.(2019 衡水调研)已知函数 f(x)1 2x 2tan x3 2 ，在区间 3 3 ，1 上是单调函数， 其中 是直线 l 的倾斜角，则 的所有可能取值区间为_. 答案 6， 2 2， 3 4 解析 f(x)xtan ， 0， 2 2， ， 因为 f(x)在区间 3 3 ，1 上是单调函数， 则有 f(x)在 3 3 ，1 恒大于等于 0 或恒小于等于 0， 若 f(x)在区间 3 3 ，1 上单调递减，则 f(x)0， f(1)1tan 0，故 tan 1，即 2，
22、 3 4 ， 若 f(x)在区间 3 3 ，1 上单调递增， 则 f(x)0，f 3 3 3 3 tan 0， 所以 tan 3 3 ，即 6， 2 ， 综上所述， 6， 2 2， 3 4 . 16.已知函数 f(x)mx 22x2 ex ，m1，e ，x1,2，g(m)f(x)maxf(x)min，则关于 m 的不 等式 g(m) 4 e2的解集为_. 答案 2 4e，e 解析 由 f(x)mx 22x2 ex ， 得 f(x)( )2mx2 ex()mx22x2 ex ( )ex 2 2mx2mx 22x2 ex mx 2( )22m x4 ex ( )mx2 x2 ex ， m1，e ，
23、x1,2， f(x)0，因此函数 f(x)在区间1,2上单调递增， f(x)maxf(2)4m2 e2 ，f(x)minf(1)m e， 从而 g(m)f(x)maxf(x)min 4m2 e2 m e 4m2me e2 ， 令4m2me e2 4 e2，得 m 2 4e， 又 m1，e，m 2 4e，e . 故不等式 g(m) 4 e2的解集为 2 4e，e . B 组 能力提高 17.已知函数 f(x)的导函数 f(x)满足(xxln x)f(x)f(e) B.e2f(1)f(e) C.2f(1)0， 因为函数 f(x)ex(m1)ln x2(m1)x1 恰有两个极值点， 所以函数 f(x)exm1 x 2(m1)(x0)有两个不同的变号零点. 令 exm1 x 2(m1)0， 等价转化成 xex 12xm1(x0)有两个不同的实数根， 记 h(x) xex 12x， 所以 h(x)xe x12xxex12x 12x2 e x2x1x1 12x2 ， 当 x 0，1 2 时，h(x)0， 此时函数 h(x)在此区间上递增， 当 x 1 2，1 时，h(x)0， 此时函数 h(x)在此区间上递增， 当 x(1，)时，h(x)m1，即em1， 整理得 m1e.