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高三数学二轮复习专题6 第3讲 导数的简单应用(小题)

1、第第 3 讲讲 导数的简单应用导数的简单应用(小题小题) 热点一 导数的几何意义与定积分 应用导数的几何意义解题时应注意: (1)f(x)与 f(x0)的区别与联系,f(x0)表示函数 f(x)在 xx0处的导数值,是一个常数; (2)函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率; (3)切点既在原函数的图象上也在切线上. 例 1 (1)(2019 湖南省三湘名校联考)在二项式 x2 a 2x 6 的展开式中,其常数项是 15.如图所 示,阴影部分是由曲线 yx2和圆 x2y2a 及 x 轴在第一象限围成的封闭图形,则封闭图形 的面积为( ) A. 4 1 6 B. 4 1 6 C. 4

2、 D.1 6 答案 B 解析 x2 a 2x 6展开式中, 第 k 项为 Tk1Ck6 a 2 kx123k, 令 123k0,可得 k4,即常数项为 C46 a 2 4, 可得 C46 a 2 415,解得 a2. 曲线 yx2和圆 x2y22 在第一象限的交点为(1,1), 所以阴影部分的面积为 4 1 0(xx 2)dx 4 1 2x 21 3x 31 0 4 1 6. (2)(2019 许昌、洛阳质检)已知 a0,曲线 f(x)3x24ax 与 g(x)2a2ln xb 有公共点,且在 公共点处的切线相同,则实数 b 的最小值为( ) A.0 B.1 e2 C. 2 e2 D. 4 e

3、2 答案 B 解析 由 f(x)3x24ax,得 f(x)6x4a, 由 g(x)2a2ln xb,得 g(x)2a 2 x . 设两曲线的公共点 P(x0,y0),x00, 因为两曲线在公共点处的切线相同, 所以 6x04a2a 2 x0 , y03x204ax0, y02a2ln x0b, 由 6x04a2a 2 x0 ,解得 x0a,x01 3a, 又 a0,所以 x0a,消去 y0,得 b2a2ln aa2, 设 bh(a)2a2ln aa2,a0,h(a)4aln a4a, 令 h(a)0,a1 e, 又 00, 所以 a1 e时 h(a)取极小值也是最小值, 即 bminh 1 e

4、 1 e2. 跟踪演练 1 (1)(2019 长沙模拟)已知函数 f(x) x2,x2, 1x32,21 的解集为( ) A.(1,) B.(,0) C.(,0)(1,) D.(0,) 答案 D 解析 设 F(x)e2xf(x)e2x4, 则 F(x)2e2xf(x)e2xf(x)2e2x e2x2f(x)f(x)20, 所以函数 F(x)e2xf(x)e2x4 在 R 上为增函数. 又 f(0)5, 所以 F(0)f(0)140. 又不等式 f(x)4e 2x1 等价于 e2xf(x)e2x40, 即 F(x)0,解得 x0, 所以不等式的解集为(0,). (2)已知 f(x)()x22ax

5、 ln x1 2x 22ax 在(0,)上是增函数,则实数 a 的取值范围是( ) A.1 B.1 C.(0,1 D.1,0) 答案 B 解析 f(x)()x22ax ln x1 2x 22ax, f(x)2(xa)ln x, f(x)在(0,)上是增函数, f(x)0 在(0,)上恒成立, 当 x1 时,f(x)0 满足题意; 当 x1 时,ln x0,要使 f(x)0 恒成立, 则 xa0 恒成立. xa1a,1a0,解得 a1; 当 0 e 2 答案 D 解析 f(x)exax2,可得 f(x)ex2ax, 要使 f(x)恰有 2 个正极值点, 则方程 ex2ax0 有 2 个不相等的正

6、实数根, 即 2ae x x有两个不同的正根, 则 g(x)e x x,x(0,),y2a 的图象在 y 轴右侧有两个不同的交点, 求得 g(x)e xx1 x2 , 由 g(x)0,可得 g(x)e x x在(1,)上单调递增, g(x)ming(1)e, 当 x0 时,g(x);当 x时,g(x), 所以当 2ae,即 ae 2时, g(x)e x x,y2a 的图象在 y 轴右侧有两个不同的交点, 所以使函数 f(x)exax2在区间(0,)上有两个极值点 x1,x2(00), 令 f(t)|CN|2,则 f(t)t2(1ln t)2(t0), 所以 f(t)2t2(1ln t) 1 t

7、 2t 2ln t1 t . 令 (t)t2ln t1(t0), 易知函数 (t)在(0,)上单调递增,且 (1)0, 所以当 00, 所以 f(t)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增, 所以 f(t)minf(1)2. 因为|MN|CN|1 21, 所以线段 MN 的长度的最小值为 21. 跟踪演练 3 (1)(2019 天津市和平区质检)已知函数 f(x)x3ax2bxc,若 f(1)0,f(1) 0,但 x1 不是函数的极值点,则 abc 的值为_. 答案 9 解析 f(x)3x22axb, f(1)32ab0, 又 f(1)1abc0, 由 x1 不是 f(x)的极值点, 得

8、 f(x)0 有两个相等的实数根, 4a212b0, 由解得 a3,b3,c1, abc9. (2)已知 a0,f(x) xex exa,若 f(x)的最小值为1,则 a 等于( ) A. 1 e2 B. 1 e C.e D.e 2 答案 A 解析 由 f(x) xex exa, 得 f(x)e xxexexaxex ex exa2 e xexaxa exa2 . 令 g(x)exaxa,则 g(x)exa0, g(x)在(,)上为增函数, 又 g(1)1 e0, 存在 x00 恒成立,得当 x2 或 x1 时,f(x)0,且 x0;当20. 所以 x1 是函数 f(x)的极小值点. 所以函数

9、 f(x)的极小值为 f(1)1. 2.(2019 全国,理,13)曲线 y3(x2x)ex在点(0,0)处的切线方程为_. 答案 y3x 解析 因为 y3(2x1)ex3(x2x)ex3(x23x1)ex, 所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率 ky|x03,所以所求的切线方程为 y3x. 3.(2018 全国,理,16)已知函数 f(x)2sin xsin 2x,则 f(x)的最小值是_. 答案 3 3 2 解析 f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1) 2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1). cos x10, 当 cos x0,f(

10、x)单调递增, 当 cos x1 2时,f(x)有最小值. 又 f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x), 当 sin x 3 2 时,f(x)有最小值, 即 f(x)min2 3 2 11 2 3 3 2 . 押题预测 1.已知 a xx 6展开式的常数项为 15,则 2 1d a a xxx 等于( ) A. B.2 C. 2 D.2 2 答案 C 解析 由 a xx 6的展开式的通项为 Tk1Ck6 (1)k a6 k 36 2 k x , 令3k6 2 0,求得 k2, 故常数项为 C26 a415, 可得 a 1, 2 1d a a xxx 1 1xdx 1 11

11、x2dx 1 11x2dx, 由定积分的几何意义可知 1 11x2dx为x2y21在x轴上方的面积, 即单位圆面积的一半, 2 1d 2 a a xxx 2.已知奇函数 f(x)的导函数为 f(x),当 x0 时,xf(x)f(x)0,若 af(1),b1 ef 1 e ,c ef(e),则 a,b,c 的大小关系是( ) A.a11 e, g(e)g(1)g 1 e , ef(e)f(1)1 ef 1 e , 即ef(e)f(1)1 ef 1 e , b0, 所以函数 g(x)xex在(1,)上为单调递增函数, 所以 ag(1)e 且 ag(2)2e2, 又由 f(x)在(1,2)上单调递增

12、, 则 f(x)0 在(1,2)上恒成立, 即(x2) xexa x 0 在(1,2)上恒成立, 即 xexa0 在(1,2)上恒成立, 即 axex在(1,2)上恒成立, 又由函数 g(x)xex在(1,)上为单调递增函数, 所以 ag(2)2e2, 综上所述,可得实数 a 的取值范围是 a2e2, 即 a(2e2,). A 组 专题通关 1.设函数 yxsin xcos x 的图象在点()t,ft 处切线的斜率为 g(t), 则函数 yg(t)的图象一部 分可以是( ) 答案 A 解析 因为 yxsin xcos x 的导数为 yxcos x, 所以 g(t)tcos t, 由 g(t)t

13、cos tg(t),知函数 g(t)为奇函数, 所以排除 B,D 选项, 当从 y 轴右侧 t0 时,cos t0,t0, 所以 g(t)0,故选 A. 2.(2019 甘青宁联考)若直线 ykx2 与曲线 y13ln x 相切,则 k 等于( ) A.3 B.1 3 C.2 D. 1 2 答案 A 解析 设切点为(x0,kx02), y13ln x 的导数为 y3 x, 3 x0k, kx0213ln x0, 由得 kx03, 代入得 13ln x01, 则 x01,k3. 3.(2019 怀化模拟)在(1x)4(2x1)的展开式中, x2项的系数为 a, 则 a 0(e x2x)dx 的值

14、为( ) A.e1 B.e2 C.e23 D.e24 答案 C 解析 因为(1x)4(2x1)2x(1x)4(1x)4, (1x)4展开式的通项为 Tk1Ck4xk, 所以在(1x)4(2x1)的展开式中,x2项的系数为 2C14C242, 即 a2; 所以 a 0(e x2x)dx2 0(e x2x)dx (exx2)|20(e222)e0e23. 4.(2019 全国)已知曲线 yaexxln x 在点(1,ae)处的切线方程为 y2xb,则( ) A.ae,b1 B.ae,b1 C.ae 1,b1 D.ae 1,b1 答案 D 解析 因为 yaexln x1,所以 y|x1ae1, 所以

15、曲线在点(1,ae)处的切线方程为 yae(ae1)(x1),即 y(ae1)x1,所以 ae12, b1, 解得 ae 1, b1. 5.已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f(x),满足 f(x)0. g(x)为增函数, 又 g(0)0, 当 x0 时,g(x)0,即 f(x)0, 即 f(x)在(0,)上单调递增. 7.若函数f(x)exx2ax(其中e是自然对数的底数)的图象在x0处的切线方程为y2xb, 则函数 g(x)fxb x 在(0,)上的最小值为( ) A.1 B.e C.e2 D.e2 答案 C 解析 因为 f(x)ex2xa, 所以 f(0)1a. 由题意知

16、 1a2,解得 a1, 因此 f(x)exx2x,而 f(0)1, 于是 120b,解得 b1, 因此 g(x)fxb x e x2x11 x e x2x x , 所以 g(x)e xx1 x2 , 令 g(x)0 得 x1, 当 00,g(x)为增函数, 故 g(x)在 x1 处取得极小值, 即 g(x)在(0,)上的最小值为 g(1)e2. 8.若曲线 yxln x 与曲线 yax3x1 在公共点处有相同的切线,则实数 a 等于( ) A.e 2 3 B. e2 3 C. e 3 D. e 3 答案 B 解析 设两曲线的公共点为 P(m,n),m0, 由 yxln x,得 y11 x, 则

17、曲线 yxln x 在点 P(m,n)处的切线的方程为 ymln m 11 m (xm), 即 y 11 m x1ln m. 由 yax3x1,得 y3ax21, 则曲线 yax3x1 在点 P(m,n)处的切线的方程为 yam3m1(3am21)(xm), 即 y(3am21)x2am31, 所以 11 m3am 21, 1ln m2am31, 解得 m 3 2 e, ae 2 3. 9.(2019 岳阳模拟)已知 M|f()0,N|g()0,若存在 M,N,使|0)的图象始终在射线 yax(x0)的上方,则 a 的取值范围是( ) A.(,e B.(,2 C.(0,2 D.(0,e 答案

18、B 解析 依题意设 f(x)exe x, 则 f(x)exe x0, 故函数在 x0 时为递增函数, 且易知当 x0 时 f(x)exe x单调递增, 当 x0 时,f(0)2, 故 f(x)2, 而 a 是直线 yax 的斜率, 直线过原点,要使函数 yexe x(x0)的图象始终在射线 yax(x0)的上方,则需 a2. 11.(2019 吉林调研)设函数 f(x)在 R 上存在导函数 f(x), 对任意实数 x, 都有 f(x)f(x)2x, 当 xm0, 故 f(x)在(m,)上递减, 又由 f(x)ln x x2 , 当 f(x)1, 故 f(x)在(1,)上递减,故 m1. 13.

19、(2019 福建适应性练习)已知定义在 R 上的函数 f(x)ex 1exx22m(x1)(m0),当 x 1 x21 时,不等式 f(x1)f(x2)恒成立,则实数 x1的取值范围为_. 答案 1 2, 解析 由 f(x1)f(x2), 可得 11 1 eex x x212m(x11) 22 1 ee xx x222m(x21), 即 1212 11 eeee xxxx (x21x22)2m(x1x2)0. 因为 x1x21, 所以问题可转化为 1111 121 eeee xxxx (2m1)(2x11)0 恒成立, 记 g(x)(ex 1e2x)(exe1x)(2m1)(2x1), g(x

20、)(ex 1e2x)(exe1x)2(2m1) (ex 1ex)(e2xe1x)2(2m1) ex(e1)e2 x(1e1)2(2m1)0, 所以 g(x)在 R 上单调递增. 又 g 1 2 0, 所以当 x1 2时,g(x)0 恒成立, 即实数 x1的取值范围为 1 2, . 14.分别在曲线 yln x 与直线 y2x6 上各取一点 M 与 N,则|MN|的最小值为_. 答案 ()7ln 25 5 解析 由 yln x(x0),得 y1 x,令 1 x2, 即 x1 2,yln 1 2ln 2, 则曲线 yln x 上与直线 y2x6 平行的切线的切点坐标为 1 2,ln 2 , 由点到

21、直线的距离公式得 d 21 2ln 26 5 ( )7ln 25 5 , 即|MN|min( )7ln 25 5 . 15.(2019 衡水调研)已知函数 f(x)1 2x 2tan x3 2 ,在区间 3 3 ,1 上是单调函数, 其中 是直线 l 的倾斜角,则 的所有可能取值区间为_. 答案 6, 2 2, 3 4 解析 f(x)xtan , 0, 2 2, , 因为 f(x)在区间 3 3 ,1 上是单调函数, 则有 f(x)在 3 3 ,1 恒大于等于 0 或恒小于等于 0, 若 f(x)在区间 3 3 ,1 上单调递减,则 f(x)0, f(1)1tan 0,故 tan 1,即 2,

22、 3 4 , 若 f(x)在区间 3 3 ,1 上单调递增, 则 f(x)0,f 3 3 3 3 tan 0, 所以 tan 3 3 ,即 6, 2 , 综上所述, 6, 2 2, 3 4 . 16.已知函数 f(x)mx 22x2 ex ,m1,e ,x1,2,g(m)f(x)maxf(x)min,则关于 m 的不 等式 g(m) 4 e2的解集为_. 答案 2 4e,e 解析 由 f(x)mx 22x2 ex , 得 f(x)( )2mx2 ex()mx22x2 ex ( )ex 2 2mx2mx 22x2 ex mx 2( )22m x4 ex ( )mx2 x2 ex , m1,e ,

23、x1,2, f(x)0,因此函数 f(x)在区间1,2上单调递增, f(x)maxf(2)4m2 e2 ,f(x)minf(1)m e, 从而 g(m)f(x)maxf(x)min 4m2 e2 m e 4m2me e2 , 令4m2me e2 4 e2,得 m 2 4e, 又 m1,e,m 2 4e,e . 故不等式 g(m) 4 e2的解集为 2 4e,e . B 组 能力提高 17.已知函数 f(x)的导函数 f(x)满足(xxln x)f(x)f(e) B.e2f(1)f(e) C.2f(1)0, 因为函数 f(x)ex(m1)ln x2(m1)x1 恰有两个极值点, 所以函数 f(x)exm1 x 2(m1)(x0)有两个不同的变号零点. 令 exm1 x 2(m1)0, 等价转化成 xex 12xm1(x0)有两个不同的实数根, 记 h(x) xex 12x, 所以 h(x)xe x12xxex12x 12x2 e x2x1x1 12x2 , 当 x 0,1 2 时,h(x)0, 此时函数 h(x)在此区间上递增, 当 x 1 2,1 时,h(x)0, 此时函数 h(x)在此区间上递增, 当 x(1,)时,h(x)m1,即em1, 整理得 m1e.