1、 典例 6 (12 分)(2019 全国)已知函数 f(x)sin xln(1x)，f(x)为 f(x)的导数，证明： (1)f(x)在区间 1， 2 上存在唯一极大值点； (2)f(x)有且仅有 2 个零点. 审题路线图 1设 gxfx对 gx求导得出 gx的单调性，得证 2对 x 进行讨论分四个区间1，0， 0， 2 ， 2， ，根据用导数判断函数 单调性来确定零点个数 规 范 解 答 分 步 得 分 构 建 答 题 模 板 证明 (1)设 g(x)f(x)，则 g(x)cos x 1 1x，g(x)sin x 1 1x2. 2 分 当 x 1， 2 时，g(x)单调递减，3 分 而 g(
2、0)0，g 2 0；当 x ， 2 时，g(x)0. 从而，f(x)在 0， 2 上没有零点；9 分 当 x 2， 时，f(x)0，f()1， 所以 f(x)0，所以 f(x)在(0,1)，(1，)上单调递增. 因为 f(e)1e1 e10，所以 f(x)在(1，)上有唯一零点 x1，即 f(x1)0. 又 0 1 x11，f 1 x1 ln x1x11 x11f(x1)0，故 f(x)在(0,1)上有唯一零点 1 x1. 综上，f(x)有且仅有两个零点. (2)证明 因为 1 x0 0 ln e x ，故点 B ln x0， 1 x0 在曲线 yex上. 由题设知 f(x0)0，即 ln x0x01 x01，连接 AB，则直线 AB 的斜率 k 1 x0ln x0 ln x0x0 1 x0 x01 x01 x01 x01x0 1 x0. 曲线 yex在点 B ln x0，1 x0 处切线的斜率是1 x0，曲线 yln x 在点 A(x0，ln x0)处切线的斜率 也是1 x0，所以曲线 yln x 在点 A(x0，ln x0)处的切线也是曲线 ye x的切线.
