1、2019-2020 学年江西省吉安一中高二（上）第一次月考数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）若 A，B 表示点，a 表示直线， 表示平面，则下列叙述中正确的是（ ） A若 A，B，则 AB B若 A，B，则 AB C若 Aa，a，则 AB D若 Aa，a，则 A 2（5 分） 已知正三角形 ABC 的边长为 2， 那么ABC 的直观图ABC的面积为 （ ） A B C D 3（5 分） 已知an是公差为 1 的等差数列， Sn为an的前 n 项和， 若 S84S4， 则 a10 （ ）
2、 A B C10 D12 4 （5 分）化简方程10 为不含根式的形式是（ ） A B C D 5（5分） 若直线 x2y+20 经过椭圆的一个焦点和一个顶点， 则该椭圆的标准方程为 （ ） A+y21 B+1 C+y21 或+1 D以上答案都不对 6 （5 分）若 x，y 满足，则的最大值为（ ） A0 B2 C D1 7 （5 分） 与直线 xy40 和圆 x2+y2+2x2y0 都相切的半径最小的圆的方程是 （ ） A （x+1）2+（y+1）22 B （x+1）2+（y+1）24 第 2 页
3、（共 20 页） C （x1）2+（y+1）22 D （x1）2+（y+1）4 8 （5 分）设 F1、F2是椭圆 E：+1（ab0）的左、右焦点，P 为直线 x上 一点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ） A B C D 9 （5 分） 设椭圆+1 （ab0） 的离心率为 e， 右焦点为 F （c， 0） ， 方程 ax2+bx c0 的两个实根分别为 x1和 x2，则点 P（x1，x2） （ ） A必在圆 x2+y22 外 B必在圆 x2+y22 上 C必在圆 x2+y22 内 D以上三种情形都有可能 10 （5 分）已知 P（4，4） ，Q 是椭圆
4、 x2+2y216 上的动点，M 是线段 PQ 上的点，且 满足 PMMQ，则动点 M 的轨迹方程是（ ） A （x3）2+2（y3）21 B （x+3）2+2（y+3）21 C （x+1）2+2（y+1）29 D （x1）2+2（y1）29 11 （5 分）直线 ykx+1，当 k 变化时，直线被椭圆截得的最大弦长是（ ） A4 B2 C D不能确定 12 （5 分）若对圆（x1）2+（y1）21 上任意一点 P（x，y） ，|3x4y+a|+|3x4y9| 的取值与 x，y 无关，则实数 a 的取值范围是（ ） Aa4 B4a6 Ca4 或 a6 Da6 二、填空题（本大题共二
5、、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）椭圆短轴的长为 8，则实数 m 14 （5 分）已知直线 l：xy+60 与圆 x2+y212 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点则|CD| 15 （5 分）已知点 P 是椭圆+1 上一点，其左、右焦点分别为 F1、F2，若F1PF2 的外接圆半径为 4，则F1PF2的面积是 16 （5 分）已知从圆 C： （x+1）2+（y2）22 外一点 P（x1，y1）向该圆引一条切线，切 第 3 页（共 20 页） 点
6、为 M，O 为坐标原点，且有|PM|PO|，则当|PM|取最小值时点 P 的坐标为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分）分） 17 （10 分）已知两直线 l1：axby+40，l2： （a1）x+y+b0求分别满足下列条件的 a， b 的值 （1）直线 l1过点（3，1） ，并且直线 l1与 l2垂直； （2）直线 l1与直线 l2平行，并且坐标原点到 l1，l2的距离相等 18 （12 分） （）求以原点 O 为圆心，被直线 xy+10 所得的弦长为的圆的方程 （）求与圆（x1）2+（y2）25 外切于（2，4）点且半径为 2的圆的方程
7、19 （12 分）已知圆 C 的方程为 x2+y24 （）求过点 P（2，1）且与圆 C 相切的直线的方程； （）圆 C 有一动点，若向量，求动点 Q 的 轨迹方程 20 （12 分）已知椭圆 C：（ab0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点 的距离为 （）求椭圆 C 的方程； （）设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为，求AOB 面积的最大值 21 （12 分）过点 M（4，3）的动直线 l 交 x 轴的正半轴于 A 点，交 y 轴正半轴于 B 点 （）求OAB（O 为坐标原点）的面积 S 最小值，并求取得最小值时直线 l 的方程 （）设 P 是OAB
8、的面积 S 取得最小值时OAB 的内切圆上的动点，求 u |PO|2+|PA|2+|PB|2的取值范围 22 （12 分）已知椭圆 C 中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，且过点 P，直线 l 与 椭圆交于 A，B 两点（A，B 两点不是左右顶点） ，若直线 l 的斜率为时，弦 AB 的中点 D 在直线上 （）求椭圆 C 的方程 （）若以 A，B 两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线 l 是否经过定点，若是，求出 定点坐标，若不是，请说明理由 第 4 页（共 20 页） 2019-2020 学年江西省吉安一中高二（上）第一次月考数学试卷学年江西省吉安一中高二（上）第一次月考数学试卷 （理科）（理
9、科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）若 A，B 表示点，a 表示直线， 表示平面，则下列叙述中正确的是（ ） A若 A，B，则 AB B若 A，B，则 AB C若 Aa，a，则 AB D若 Aa，a，则 A 【分析】本题要正确应用点，线，面之间的关系和符号表示，利用公理一判断即可 【解答】解：点与面的关系用符号，而不是，所以答案 A 错误；直线与平面的关系用 表示，则 AB 表示错误； 点 A 不在直线 a 上，但只要 A，B 都在平面 内，也存在 AB
10、，答案 C 错误；而 Aa， a，则 A，所以答案 D 正确 故选：D 【点评】立体几何图形语言、符号语言、文字语言之间三者之间相互转化，对公理一要 准确理解到位 2（5 分） 已知正三角形 ABC 的边长为 2， 那么ABC 的直观图ABC的面积为 （ ） A B C D 【分析】作出原图三角形与直观图形，再求直观图形的面积 【解答】解：如图所示， 直观图ABC的高为 hCDsin45CDsin452sin60sin45， 底边长为 ABAB2； 所以ABC的面积为： SABh2 故选：D 第 5 页（共 20 页） 【点评】本题考查了平面直观图形的三角形面积计算问题，是基础题
11、3（5 分） 已知an是公差为 1 的等差数列， Sn为an的前 n 项和， 若 S84S4， 则 a10 （ ） A B C10 D12 【分析】利用等差数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 【解答】解：an是公差为 1 的等差数列，S84S4， 8a1+14（4a1+） ， 解得 a1 则 a10+91 故选：B 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题 4 （5 分）化简方程10 为不含根式的形式是（ ） A B C D 【分析】方程10，它的几何意义是动点 P（x，y）到定 点（0，3）与到定点（0，
12、3）的距离之和为 10，从而轨迹为椭圆，故可求 【解答】解：方程10， 它的几何意义是动点 P（x，y）到定点（0，3）与到定点（0，3）的距离之和为 106， 从而轨迹为椭圆，焦点在 y 轴上， 且 a5，c3，b4， 第 6 页（共 20 页） 其标准方程为： 故选：C 【点评】本题考查圆锥曲线的定义，考查方程的几何意义，考查椭圆的标准方程，是个 简单题 5（5分） 若直线 x2y+20 经过椭圆的一个焦点和一个顶点， 则该椭圆的标准方程为 （ ） A+y21 B+1 C+y21 或+1 D以上答案都不对 【分析】利用椭圆的简单性
13、质求解，题中没有明确焦点在 x 轴还是在 y 轴上，所以分情 况讨论 【解答】解：设焦点在 x 轴上，椭圆的标准方程为 焦点坐标为（c，0） ， （c，0） ，顶点坐标为（0，b） ， （0，b） ； 椭圆的 a，b，c 关系： ；a2b2c2 直线 x2y+20 恒过定点（0，1） 直线 x2y+20 必经过椭圆的焦点（c，0） ，和顶点（0，b） 带入直线方程： 解得：c2，b1，a 焦点在 x 轴上，椭圆的标准方程为； 当设焦点在 y 轴，椭圆的标准方程为 焦点坐标为（0，c） ， （0，c） ，顶点坐标为（b，0） ， （b，0） ； 椭圆的 a，b，c 关系：a2b2c2 第 7 页
14、（共 20 页） 直线 x2y+20 恒过定点（0，1） 直线 x2y+20 必经过椭圆的焦点（0，c） ，和顶点（b，0） 带入直线方程 解得：c1，b2，a 焦点在 y 轴上，椭圆的标准方程为 故选：C 【点评】本题考查椭圆方程的求法，题中没有明确焦点在 x 轴还是在 y 轴上，要分情况 讨论，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，属于基础题 6 （5 分）若 x，y 满足，则的最大值为（ ） A0 B2 C D1 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC 及其内部设 P（x，y） 为区域内一点，定点 D（0，1） ，可得目标函数的表示 P、O 两点连线的斜率，运 动点 P
15、 并观察直线 PD 斜率的变化，即可得到 z 的最大值 【解答】解：作出不等式式表示的平面区域， 得到如图的三角形及其内部 其中 C（1，1） ，设 P（x，y）为区域内点， 定点 D（0，1） z2， z 的最大值为：2 故选：B 第 8 页（共 20 页） 【点评】本题给出二元一次不等式组，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和 直线的斜率等知识，是中档题 7 （5 分） 与直线 xy40 和圆 x2+y2+2x2y0 都相切的半径最小的圆的方程是 （ ） A （x+1）2+（y+1）22 B （x+1）2+（y+1）24 C （x1）2+（y+1）22 D （
16、x1）2+（y+1）4 【分析】由题意先确定圆心的位置，再结合选项进行排除，并得到圆心坐标，再求出所 求圆的半径 【解答】解：由题意圆 x2+y2+2x2y0 的圆心为（1，1） ，半径为， 过圆心（1，1）与直线 xy40 垂直的直线方程为 x+y0， 所求的圆的圆心在此直线上，排除 A、B， 圆心（1，1）到直线 xy40 的距离为3，则所求的圆的半径为， 故选：C 【点评】本题主要考查了由题意求圆的标准方程，作为选择题可结合选项做题，这样可 提高 做题的速度 8 （5 分）设 F1、F2是椭圆 E：+1（ab0）的左、右焦点，P 为直线 x上 一点，F2PF1是底角为 30的等腰三角形，
17、则 E 的离心率为（ ） A B C D 【分析】利用F2PF1是底角为 30的等腰三角形，可得|PF2|F2F1|，根据 P 为直线 x 第 9 页（共 20 页） 上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率 【解答】解：F2PF1是底角为 30的等腰三角形， |PF2|F2F1| P 为直线 x上一点 故选：C 【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题 9 （5 分） 设椭圆+1 （ab0） 的离心率为 e， 右焦点为 F （c， 0） ， 方程 ax2+bx c0 的两个实根分别为 x1和 x2，则点 P（x1，x2） （ ） A必在圆 x2
18、+y22 外 B必在圆 x2+y22 上 C必在圆 x2+y22 内 D以上三种情形都有可能 【分析】通过 e可得，利用韦达定理可得 x1+x2、x1x2，根据 完全平方公式、点与圆的位置关系计算即得结论 【解答】解：e， x1，x2是方程 ax2+bxc0 的两个实根， 由韦达定理：x1+x2，x1x2， x12+x22（x1+x2）22x1x2+12， 第 10 页（共 20 页） 点 P（x1，x2）必在圆 x2+y22 内 故选：C 【点评】本题考查椭圆的基本性质，考查点与圆的位置关系，注意解题方法的积累，属 于中档题 10 （5 分）已知 P（4，4） ，Q 是椭圆 x2
19、+2y216 上的动点，M 是线段 PQ 上的点，且 满足 PMMQ，则动点 M 的轨迹方程是（ ） A （x3）2+2（y3）21 B （x+3）2+2（y+3）21 C （x+1）2+2（y+1）29 D （x1）2+2（y1）29 【分析】设动点 M（x，y） ，Q（m，n） ，则有 1 ，由，得到 m 4（x+3） ，n4（y+3） ，代入化简可得结果 【解答】 解： 椭圆 x2+2y216 即 1， 设动点 M （x， y） ， Q （m， n） ， 则有 1 ，m4（x+3） ，n4（y+3） ，代入化简可得 （x+3）2+2（y+3）21，
20、故选：B 【点评】本题考查用代入法求点的轨迹方程，得到，是解题的关键 11 （5 分）直线 ykx+1，当 k 变化时，直线被椭圆截得的最大弦长是（ ） A4 B2 C D不能确定 【分析】直线 ykx+1 恒过定点 P（0，1） ，且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被椭圆 截得的弦长， 即为点 P 与椭圆上任意一点 Q 的距离， 设椭圆上任意一点 Q （2cos， sin） ， 利用三角函数即可得到结论 【解答】解：直线 ykx+1 恒过定点 P（0，1） ，且是椭圆的短轴上顶点，因而此直线被 椭圆截得的弦长，即为点 P 与椭圆上任意一点 Q 的距离，设椭圆上任意一点 Q（2cos， sin）
21、 第 11 页（共 20 页） |PQ|2（2cos）2+（sin1）23sin22sin+5 当 sin时， ， 故选：C 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角函数知识，解题的关键是将问题转 化为点 P 与椭圆上任意一点 Q 的距离的最大值 12 （5 分）若对圆（x1）2+（y1）21 上任意一点 P（x，y） ，|3x4y+a|+|3x4y9| 的取值与 x，y 无关，则实数 a 的取值范围是（ ） Aa4 B4a6 Ca4 或 a6 Da6 【分析】由题意可得故|3x4y+a|+|3x4y9|可以看作点 P 到直线 m：3x4y+a0 与直 线 l：3x4y90 距离之和的
22、5 倍， ，根据点到直线的距离公式解得即可 【解答】解：设 z|3x4y+a|+|3x4y9|5（+） ， 故|3x4y+a|+|3x4y9|可以看作点 P 到直线 m：3x4y+a0 与直线 l：3x4y90 距离之和的 5 倍， 取值与 x，y 无关， 这个距离之和与 P 无关， 如图所示：可知直线 m 平移时，P 点与直线 m，l 的距离之和均为 m，l 的距离，即此时 与 x，y 的值无关， 当直线 m 与圆相切时，1， 化简得|a1|5， 解得 a6 或 a4（舍去） ， a6 故选：D 第 12 页（共 20 页） 【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于
23、中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）椭圆短轴的长为 8，则实数 m 16 【分析】利用椭圆方程，直接求解 m 即可 【解答】解：椭圆短轴的长为 8， 因为 a6，2a12，所以椭圆的焦点坐标在 x 轴， 可得4，解得 m16 故答案为：16 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查 14 （5 分）已知直线 l：xy+60 与圆 x2+y212 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点则|CD| 4 【分析】先求出|AB|，再利用三角函数求出|CD|
24、即可 【解答】解：由题意，圆心到直线的距离 d3， |AB|22， 直线 l：xy+60， 直线 l 的倾斜角为 30， 过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点，设直线与 x 轴交于 M 点， ， CD4， 第 13 页（共 20 页） 故答案为：4 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较 基础 15 （5 分）已知点 P 是椭圆+1 上一点，其左、右焦点分别为 F1、F2，若F1PF2 的外接圆半径为 4，则F1PF2的面积是 或 4 【分析】首先，得到该椭圆的焦点坐标，然后，求解外接圆的圆心，从而得到其方程， 然后，联立方程组，求解
25、点 P 的纵坐标，从而得到该三角形的高，即得其面积 【解答】解：由题意，得 a4，b2，得 c2， F1（2，0）F2（2，0） ， 圆心 A 在 F1F2垂直平分线上，设圆心为 M（0，m） ， 则有 AF24，可求得 m2， 外接圆方程为 x2+（y2）216， 与椭圆联立可求得 P 点的纵坐标 y或2， 其绝对值即为三角形的高， F1PF2的面积 SF1F2*|y（A）|或 4 故答案为：或 4 【点评】本题重点考查了椭圆的简单几何性质、三角形的面积公式等知识，属于中档题 16 （5 分）已知从圆 C： （x+1）2+（y2）22 外一点 P（x1，y1）向该圆引
26、一条切线，切 点为 M，O 为坐标原点，且有|PM|PO|，则当|PM|取最小值时点 P 的坐标为 （， ） 【分析】C：x2+y2+2x4y+30，化为标准方程，求出圆心 C，半径 r设 P（x，y） 由 切线的性质可得：CMPM，利用|PM|PO|，可得 2x14y1+30要使|PM|最小，只 要|PO|最小即可 【解答】解：如图所示，C：x2+y2+2x4y+30 化为（x+1）2+（y2）22，圆心 C （1，2） ，半径 r 第 14 页（共 20 页） 因为|PM|PO|， 所以|PO|2+r2|PC|2（C 为圆心，r 为圆的半径） ， 所以 x12+y12+2（x1+1）2+（
27、y12）2，即 2x14y1+30要使|PM|最小，只要|PO|最 小即可 当直线 PO 垂直于直线 2x4y+30 时，即直线 PO 的方程为 2x+y0 时，|PM|最小，此 时 P 点即为两直线的交点，得 P 点坐标（，） 故答案为（，） 【点评】本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、两点之间的距离公式，考查了推理能 力与计算能力，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分）分） 17 （10 分）已知两直线 l1：axby+40，l2： （a1）x+y+b0求分别满足下列条件的 a， b 的值 （1）直线 l1过点（3，1） ，并且直线 l1与
28、l2垂直； （2）直线 l1与直线 l2平行，并且坐标原点到 l1，l2的距离相等 【分析】 （1）利用直线 l1过点（3，1） ，直线 l1与 l2垂直，斜率之积为1，得到两 个关系式，求出 a，b 的值 （2）类似（1）直线 l1与直线 l2平行，斜率相等，坐标原点到 l1，l2的距离相等，利用 点到直线的距离相等得到关系，求出 a，b 的值 【解答】解： （1）l1l2， a（a1）+（b） 10，即 a2ab0 又点（3，1）在 l1上， 第 15 页（共 20 页） 3a+b+40 由得 a2，b2 （2）l1l2，1a，b， 故 l1和 l2的方程可分别表示为： （a1）x+y+0
29、， （a1）x+y+0， 又原点到 l1与 l2的距离相等 4|，a2 或 a， a2，b2 或 a，b2 【点评】本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，两条直线平行与倾斜角、斜率 的关系，考查计算能力，是基础题 18 （12 分） （）求以原点 O 为圆心，被直线 xy+10 所得的弦长为的圆的方程 （）求与圆（x1）2+（y2）25 外切于（2，4）点且半径为 2的圆的方程 【分析】 （） 利用垂径定理， 求出以原点 O 为圆心， 被直线 xy+10 所得的弦长为 的圆的半径，然后求解圆的方程 （）求出连心线的斜率，设出圆的圆心坐标，利用两圆外切，列出方程，转化求解圆 的方程 【解答】
30、解： （）因为 O 点到直线 xy+10 的距离为， 所以圆 O 的半径为， 故圆 O 的方程为 x2+y22 （）连心线斜率，设所求圆心（a，b） ，则，解得 b2a 因为两圆相外切，所以 由解得，或， 经检验，当时，不符合题意，故舍去 所以，所求圆的方程为（x4）2+（y8）220 【点评】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，切线方程的应用，考查转化思想以 及计算能力 第 16 页（共 20 页） 19 （12 分）已知圆 C 的方程为 x2+y24 （）求过点 P（2，1）且与圆 C 相切的直线的方程； （）圆 C 有一动点，若向量，求动点 Q 的 轨迹方程 【分析】 （）求出圆心与半
31、径，利用直线的斜率是否存在，结合过点 P（2，1）且与圆 C 相切的关系判断求解切线的方程； （）设出 Q 的坐标，通过，列出方程即可求动点 Q 的轨迹方程 【解答】解： （）圆 C 的方程为 x2+y24 的圆心为坐标原点，半径为 2， 当斜率不存在时，x2，过点 P（2，1）且与圆 C 相切的直线的方程 x2 满足题意； 当斜率存在时，设切线方程为 y1k（x2） ，由 得， 此时切线方程为：3x+4y100， 则所求的切线方程为 x2 或 3x+4y100； （） 设 Q 点的坐标为（x，y） ， （x，y）（x0，2y0） ，xx0，y2y0， ，即 【点评】本题考查轨迹方程的求法，直
32、线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查 20 （12 分）已知椭圆 C：（ab0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点 的距离为 （）求椭圆 C 的方程； （）设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，坐标原点 O 到直线 l 的距离为，求AOB 面积的最大值 【分析】 （）设椭圆的半焦距为 c，依题意求出 a，b 的值，从而得到所求椭圆的方程 （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） （1）当 ABx 轴时， （2）当 AB 与 x 轴 不垂直时，设直线 AB 的方程为 ykx+m 第 17 页（共 20 页） 由已知，得把 ykx+m 代入椭圆方程，整理得（3k2+1） x
33、2+6kmx+3m230，然后由根与系数的关系进行求解 【解答】解： （）设椭圆的半焦距为 c，依题意b1，所求椭圆方程为 （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） （1）当 ABx 轴时， （2）当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 ykx+m 由已知，得 把 ykx+m 代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m230， ， |AB|2（1+k2） （x2x1）2 当且仅当，即时等号成立当 k0 时， 综 上 所 述 |AB|max 2 当 |AB| 最 大 时 ， AOB面 积 取 最 大 值 第 18 页（共 20 页） 【点评】本题考查圆锥曲线的性质和
34、应用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题， 仔细解答 21 （12 分）过点 M（4，3）的动直线 l 交 x 轴的正半轴于 A 点，交 y 轴正半轴于 B 点 （）求OAB（O 为坐标原点）的面积 S 最小值，并求取得最小值时直线 l 的方程 （）设 P 是OAB 的面积 S 取得最小值时OAB 的内切圆上的动点，求 u |PO|2+|PA|2+|PB|2的取值范围 【分析】 （）设出斜率，求出 AB 坐标，推出OAB（O 为坐标原点）的面积 S 最小值， 即可取得最小值时直线 l 的方程 （）求出OAB 的面积 S 取得最小值时OAB 的内切圆上的动点，表示 u |PO|2+|PA|2+
35、|PB|2的表达式，求解最值即可得到取值范围 【解答】 （1）解：设 l 斜率为 K，则 l：y3k（x4）得 A（4，0） ，B（0，34k） （k0） ， 由，故Smin24，l：3x+4y240 （）OAB 面积 S 最小时，A（8，0） ，B（0，6） ，|AB|10，直角OAB 内切圆半径 ，圆心为 Q（2，2） ， 内切圆方程为（x2）2+（y2）24 设 P（x，y） ，则 x2+y24x4y+40，其中 0x4 U|PO|2+|PA|2+|PB|2x2+y2+（x8）2+y2+x2+（y6）23x2+3y216x12y+10088 4x（0x4） ， 当 x0 时，Umax88
36、，当 x4 时，Umin72 U 的范围是72，88 【点评】本题考查直线与圆的方程的综合应用，位置关系的应用，考查转化思想以及计 算能力 22 （12 分）已知椭圆 C 中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，且过点 P，直线 l 与 椭圆交于 A，B 两点（A，B 两点不是左右顶点） ，若直线 l 的斜率为时，弦 AB 的中点 D 在直线上 第 19 页（共 20 页） （）求椭圆 C 的方程 （）若以 A，B 两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线 l 是否经过定点，若是，求出 定点坐标，若不是，请说明理由 【分析】 （）设椭圆的标准方程为，A（x1，y1） ，B（x2，y2）利 用平方差法求出
37、 a，b 关系，利用椭圆经过的点，即可求出 a，b，得到椭圆方程 （）由题意可得椭圆右顶点 A2（2，0） ，通过（1）当直线 l 的斜率不 存在时，设直线 l 的方程为 xx0，求出直线 l 的方程 （2）当直线 l 的斜率存在时，设 直线 l 的方程为 ykx+b，推出，联立 直线和椭圆方程利用韦达定理的经过代入求解即可 【解答】解： （）设椭圆的标准方程为，A（x1，y1） ，B（x2， y2） 由题意得经过变换则有当时， 再根据 得到 a24b2，又因为椭圆过得到 a2，b1， 所以椭圆的方程为： （）由题意可得椭圆右顶点 A2（2，0） ， （1）当直线 l 的斜率不存在时，设直线
38、l 的方程为 xx0， 此时要使以 A，B 两点为直径的圆过椭圆的右顶点， 则，解得或 x02（舍） ， 此时直线 l 为 （2）当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykx+b，则有 4+x1x22（x1+x2）+y1y2 0， 第 20 页（共 20 页） 化简得 联立直线和椭圆方程得（4k2+1）x2+8kbx+4b240，1+4k2b20， 把代入得 即 4k2b24k2+4b248k2b2+16kb（4k2b2+16k2+b2+4） ， 12k2+16kb+5b20，得 k或此时直线 l 过或（2，0） （舍） 综上所述直线 l 过定点 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线系方程的应用，考查分析问 题解决问题的能力； 分类讨论思想的应用