1、 第 1 页（共 21 页） 2019-2020 学年江西省抚州市高二（上）期末数学试卷（文科）学年江西省抚州市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）从编号为 001，002，460 的 460 个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本， 已知样本中编号最小的两个编号分别为 007，030，则样本中第 5 个产品的编号应该为 （ ） A099 B122 C145 D168 2 （5
2、分）高三学生甲和乙近五次月考数学成绩（单位：分）的茎叶图如图，则下列说法错 误的是（ ） A甲的得分的中位数为 101 B乙的得分的众数为 105 C甲的数学成绩更稳定 D乙得分的极差为 21 3 （5 分）函数 f（x）aexsinx 在 x0 处有极值，则 a 的值为（ ） A1 B0 C1 De 4 （5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 为 0.01，则输出 s 的值等于（ ） 第 2 页（共 21 页） A2 B2 C2 D2 5 （5 分）已知数据 x1，x2，x5，2 的平均值为 2，方差为 1，则数据 x1，x2，x5相 对于原数据（ ） A一样稳定 B变得比较稳定 C变得比
3、较不稳定 D稳定性不可以判断 6 （5 分）已知条件 p：|x+1|2，条件 q：xa，p 是q 的充分不必要条件，则实数 a 的 取值范围（ ） Aa1 Ba3 Ca1 Da3 7 （5 分）设集合 AB1，2，3，4，5，6，分别从集合 A 和 B 中随机各取一个数 x，y， 确定平面上的一个点 P（x，y） ，记“点 P（x，y）满足条件 x2+y216”为事件 C，则 C 的概率为（ ） A B C D 8 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的渐线方程为，则此双曲线的离 心率为（ ） A B C D 9 （5 分）在等差数列an中，设 k，l，p，rN*，则 k+lp+r 是 ak+a
4、lap+ar的（ ） 第 3 页（共 21 页） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分非必要条件 10 （5 分）已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若4，则|QF|（ ） A B3 C D2 11 （5 分） 已知点 P 为椭圆上的任意一点，点 F1，F2分别为该椭圆的上下焦点， 设 PF1F2，PF2F1，则 sin+sin 的最大值为（ ） A B C D 12 （5 分）已知定义域为 R 的函数 f（x） ，对任意的 xR 都有 f（x）4x，且当 0，2时，不等式 f（sin）+cos21
5、0 的解集为（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）命题：xR，sinx1 的否定为 14 （5 分）函数 f（x）x2+lnx 在点（1，f（1） ）处的切线方程为 15 （5 分）在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图” ，由四个全等的直角 三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分） 若直角三角形中较 小的锐角为 ，现向大正方形区域内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概 率为，则 cos 16 （5 分）已知 F1，F2是椭圆 C：的左、右焦点，过左焦点
6、 F1的 直线与椭圆 C 交于 A， B 两点， 且|AF1|2|BF1|， |AB|BF2|， 则椭圆 C 的离心率为 第 4 页（共 21 页） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知命题 p：方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，命题 q：关于 x 的 方程 x2+2mx+2m+30 无实根， （1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若“pq”为假命题， “pq”为真命题，求实数 m 的取值范围 18 （12 分）智能手机的出现，改变
7、了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间某市 教育机构从 500 名手机使用者中随机抽取 100 名，得到每天使用手机时间（单位：分钟） 的频率分布直方图（如图所示） ，其分组是0，20， （20，40， （40，60， （60，80， （80， 100 （1）根据频率分布直方图，估计这 500 名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟？ （精确到整数） （2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟？（同一组中的数据以这组数据所在区 间中点的值作代表 ） （3）在抽取的 100 名手机使用者中，在（20，40和（40，60中按比例分别抽取 2 人和 3 人组成研究小组， 然后再从研究小组中
8、选出 2 名组长， 求这 2 名组长分别选自 （20， 40 和（40，60的概率是多少？ 19 （12 分）已知函数 f（x）x33ax+2，曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程为 3x+y+m 0 （）求实数 a，m 的值； （）求 f（x）在区间1，2上的最值 20 （12 分）随着西部大开发的深入，西南地区的大学越来越受到广大考生的青睐，下表是 西南地区某大学近五年的录取平均分高于省一本线分值对比表： 第 5 页（共 21 页） 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码 t 1 2 3 4 5 录取平均分高于省一本线分值 y 28 34 41 47 50 （1
9、）根据上表数据可知，y 与 t 之间存在线性相关关系，求 y 关于 t 的线性回归方程； （2）假设 2020 年该省一本线为 520 分，利用（1）中求出的回归方程预测 2020 年该大 学录取平均分参考公式： ， 21 （12 分）已知函数 f（x）（ax）sinxcosx （1）当 a2 时，证明；f（x）在（0，）上有唯一零点； （2）若 f（x）2，对x（0，）恒成立，求实数 a 的取值范围 22 （12 分）已知椭圆：+1（ab0）经过点（2，） ，的四个顶点围成的 四边形的面积为 8 （1）求的方程； （2）过的左焦点 F 作直线 l 与交于 M、N 两点，线段 MN 的中点为
10、C，直线 OC（O 为坐标原点） 与直线 x4 相交于点 D， 是否存在直线 l 使得MDF 为等腰直角三角形， 若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由 第 6 页（共 21 页） 2019-2020 学年江西省抚州市高二（上）期末数学试卷（文科）学年江西省抚州市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）从编号为 001，002，460 的
11、 460 个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本， 已知样本中编号最小的两个编号分别为 007，030，则样本中第 5 个产品的编号应该为 （ ） A099 B122 C145 D168 【分析】系统抽样所有样本的编号成等差数列，可设 a17，a230，由此 a5的值 【解答】解：由系统抽样所有样本编号成等差数列，设 a17，a230， 则 da2a123， 所以 a5a1+4d7+42399， 所以第 5 个产品编号为 099 故选：A 【点评】本题考查了系统抽样特点的应用问题，即所有样本编号成等差数列，从而转化 为数列题，是基础题 2 （5 分）高三学生甲和乙近五次月考数学成绩（单位：分）的
12、茎叶图如图，则下列说法错 误的是（ ） A甲的得分的中位数为 101 B乙的得分的众数为 105 C甲的数学成绩更稳定 D乙得分的极差为 21 【分析】由茎叶图分别求出甲的得分的中位数乙得分的众数为 105，甲的得分相对分散， 乙的得分相对集中，乙得分的极差，由此能求出结果 第 7 页（共 21 页） 【解答】解：由茎叶图得： 在 A 中，甲的得分的中位数为：101，故 A 正确； 在 B 中，乙得分的众数为 105，故 B 正确； 在 C 中，甲的得分相对分散，乙的得分相对集中， 乙的成绩更稳定，故 C 错误； 在 D 中，乙得分的极差为：1149321，故 D 正确 故选：C 【点评】本题
13、考查命题真假的判断，考查茎叶图的性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 3 （5 分）函数 f（x）aexsinx 在 x0 处有极值，则 a 的值为（ ） A1 B0 C1 De 【分析】求出函数的导数，根据 f（0）1，求出 a 的值，检验即可 【解答】解：f（x）aexcosx， 若函数 f（x）aexsinx 在 x0 处有极值， 则 f（0）a10，解得：a1， 经检验 a1 符合题意， 故选：C 【点评】本题考查了函数极值的意义，考查导数的应用，是一道基础题 4 （5 分）执行如图的程序框图，如果输入的 为 0.01，则输出 s 的值等于（ ） 第 8 页（共 21 页） A
14、2 B2 C2 D2 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 s 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：第一次执行循环体后，s1，x，不满足退出循环的条件 x0.01； 再次执行循环体后，s1+，x，不满足退出循环的条件 x0.01； 再次执行循环体后，s1+，x，不满足退出循环的条件 x0.01； 由于0.01，而0.01，可得： 当 s1+，x，此时，满足退出循环的条件 x0.01， 输出 s1+2 故选：C 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟 循环的方法解答，属于基础题
15、5 （5 分）已知数据 x1，x2，x5，2 的平均值为 2，方差为 1，则数据 x1，x2，x5相 对于原数据（ ） A一样稳定 B变得比较稳定 第 9 页（共 21 页） C变得比较不稳定 D稳定性不可以判断 【分析】推导出数据 x1，x2，x5的方差 S2（x12）2+（x22）2+（x32）2+ （x42）2+（x52）2+（22）21，从而数据 x1，x2，x5相对于原数据变得比较 不稳定 【解答】解：解：数据 x1，x2，x10，2 的平均值为 2，方差为 1， （x12）2+（x22）2+（x32）2+（x42）2+（x52）2+（22）21， 数据 x1，x2，x10的方差 S
16、2（x12）2+（x22）2+（x32）2+（x42）2+ （x52）21， 数据 x1，x2，x5相对于原数据变得比较不稳定 故选：C 【点评】本题考查方差的求法及应用，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能 力，考查函数与方程思想，是基础题 6 （5 分）已知条件 p：|x+1|2，条件 q：xa，p 是q 的充分不必要条件，则实数 a 的 取值范围（ ） Aa1 Ba3 Ca1 Da3 【分析】条件 p：|x+1|2，解得：x 范围条件 q：xa，q：xa根据 p 是q 的充 分不必要条件，即可得出结论 【解答】解：条件 p：|x+1|2，解得：3x1 条件 q：xa，q：xa p
17、是q 的充分不必要条件， 则实数 a 的取值范围3a 故选：D 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 7 （5 分）设集合 AB1，2，3，4，5，6，分别从集合 A 和 B 中随机各取一个数 x，y， 确定平面上的一个点 P（x，y） ，记“点 P（x，y）满足条件 x2+y216”为事件 C，则 C 的概率为（ ） A B C D 第 10 页（共 21 页） 【分析】求出从集合 A 和 B 中随机各取一个数 x，y 的基本事件总数，和满足点 P（x，y） 满足条件 x2+y216 的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案 【
18、解答】解：集合 AB1，2，3，4，5，6， 分别从集合 A 和 B 中随机各取一个数 x，y，确定平面上的一个点 P（x，y） ， 共有 6636 种不同情况， 其中 P（x，y）满足条件 x2+y216 的有： （1，1） ， （1，2） ， （1，3） ， （2，1） ， （2，2） ， （2，3） ， （3，1） ， （3，2） ，共 8 个， C 的概率 P（C）， 故选：A 【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率 计算公式求概率的步骤，是解答的关键 8 （5 分）已知双曲线（a0，b0）的渐线方程为，则此双曲线的离 心率为（ ） A B C D
19、 【分析】由焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为，知双曲线的标准方程为 1，由此能求出此双曲线的离心率 【解答】解：焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为， 设双曲线方程为 1，0， a29，c213， 此双曲线的离心率 e 故选：C 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是基础题解题时要认真审题，注意双曲线 渐近线方程的合理运用 9 （5 分）在等差数列an中，设 k，l，p，rN*，则 k+lp+r 是 ak+alap+ar的（ ） 第 11 页（共 21 页） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分非必要条件 【分析】根据等差数列的性质结合充分条件和必要条件的定义进
20、行判断即可 【解答】解：在等差数列 0，0，0，中，3+41+2，则 a3+a4a1+a2不成立，即充 分性不成立， 在等差数列中，ak+al2a1+（k+l2）d，ap+ar2a1+（p+r2）d， 由 ak+alap+ar得 2a1+（k+l2）d2a1+（p+r2）d， 即（k+l2）d（p+r2）d，当 d0 时，k+l2p+r2，即 k+lp+r，即必要性不 成立， 即 k+lp+r 是 ak+alap+ar的既不充分也不必要条件， 故选：D 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的通项公式和性质是 解决本题的关键 10 （5 分）已知抛物线 C：y28x 的焦点
21、为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若4，则|QF|（ ） A B3 C D2 【分析】求得直线 PF 的方程，与 y28x 联立可得 x1，利用|QF|d 可求 【解答】解：设 Q 到 l 的距离为 d，则|QF|d， 4， |PQ|3d， 不妨设直线 PF 的斜率为2， F（2，0） ， 直线 PF 的方程为 y2（x2） ， 与 y28x 联立可得 x1， |QF|d1+23， 故选：B 【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题 第 12 页（共 21 页） 11 （5 分） 已知点 P 为椭圆上的任意一点，点 F
22、1，F2分别为该椭圆的上下焦点， 设 PF1F2，PF2F1，则 sin+sin 的最大值为（ ） A B C D 【分析】设|PF1|m，|PF2|n，在PF1F2中，由正弦定理可得： ，可得：，m+n2asin+sinsin （+） ，当且仅当 P 为短轴的一个端点时，（+）取得最大角，满足 sin 可得 sin（+）的最大值 【解答】解：设|PF1|m，|PF2|n， 在PF1F2中，由正弦定理可得：， 可得：，m+n2a8 sin+sinsin（+） ，当且仅当 P 为短轴的一个端点时，（+）取得最大角， ，满足 sin sin（+）的最大值2sincos2 sin+sinsin（+）
23、 故选：D 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、正弦定理、转化法、三角函数的单调性， 考查了推理能力与计算能力，属于中档题 第 13 页（共 21 页） 12 （5 分）已知定义域为 R 的函数 f（x） ，对任意的 xR 都有 f（x）4x，且当 0，2时，不等式 f（sin）+cos210 的解集为（ ） A B C D 【分析】构造函数 g（x）f（x）2x2，由已知可判断其单调性，结合单调性及正弦函 数的性质即可求解不等式 【解答】解：令 g（x）f（x）2x2，f（x）4x， 则 g（x）f（x）4x0， 即 g（x）单调递增， ，g（）0， 当 0，2时，由 f（sin）+c
24、os210 可得 f（sin）cos2+12sin2， 即 g（sin）0， 故 sin， 0，2，故， 故选：D 【点评】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，解题的关键是构造出函数并能 利用导数研究其单调性 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）命题：xR，sinx1 的否定为 x0R，使得 sinx01 【分析】根据全称命题的否定方法，结合已知中的原命题，可得答案 【解答】解：命题：xR，sinx1， 命题的否定为：x0R，使得 sinx01， 故答案为：x0R，使得 sinx01 【点评】本题考查的知识点
25、是命题的否定，难度不大，属于基础题 14 （5 分）函数 f（x）x2+lnx 在点（1，f（1） ）处的切线方程为 3xy20 【分析】由题意求导 f（x）2x+，从而可知切线的斜率，从而写出切线方程 【解答】解：f（x）2x+； 故 f（1）2+13； 第 14 页（共 21 页） 故函数 f（x）x2+lnx 的图象在点 A（1，1）处的切线方程为： y13（x1） ； 即 3xy20； 故答案为：3xy20 【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，属于基础题 15 （5 分）在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图” ，由四个全等的直角 三角形围成一个大正方形
26、，中间空出一个小正方形（如图阴影部分） 若直角三角形中较 小的锐角为 ，现向大正方形区域内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概 率为，则 cos 【分析】根据概率设出大正方形的边长，求得小正方形的边长，继而有勾股定理求得值， 放到直角三角形中求出三角函数值即可 【解答】解：由题意，不妨设大正方形的边长为 2，则根据条件中的概率可知小正方形的 边长为 1， 设图中直角三角形的较短直角边为 x，则 x2+（x+1）24， 解得， 所以图中直角三角形中较小锐角的正余弦值 cos 故答案为： 【点评】本题考查几何概型几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验 的可能结果不是有限个，它的
27、特点是试验结果在一个区域内分布，所以随机事件的概率 大小与随机事件所在区域的形状位置无关，只与该区域的大小有关 16 （5 分）已知 F1，F2是椭圆 C：的左、右焦点，过左焦点 F1的 第 15 页（共 21 页） 直线与椭圆 C 交于 A， B 两点， 且|AF1|2|BF1|， |AB|BF2|， 则椭圆 C 的离心率为 【分析】利用已知条件，画出图形，通过三角形的边长关系，求解椭圆的离心率即可 【解答】解：由题意可得：|F1B|+|BF2|2a，|AB|BF2|，可得|AF1|a，|AF2|a，|AB| a，|F1F2|2c， cosBAF2，sin， 可得12（）2，可得 e 故答案
28、为： 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想的应用 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知命题 p：方程表示焦点在 y 轴上的椭圆，命题 q：关于 x 的 方程 x2+2mx+2m+30 无实根， （1）若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围； （2）若“pq”为假命题， “pq”为真命题，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）若命题 p 为真命题，根据椭圆的定义和方程建立不等式关系，即可求实数 m 的取值范围； （2）根
29、据复合命题的关系得到 p，q 为一个真命题，一个假命题，然后求解即可 【解答】解： （1）方程表示焦点在 y 轴上的椭圆， 第 16 页（共 21 页） ，即， 即1m1， 若命题 p 为真命题，求实数 m 的取值范围是（1，1） ； （2）若“pq”为假命题， “pq”为真命题， 则 p，q 为一个真命题，一个假命题， 若关于 x 的方程 x2+2mx+2m+30 无实根， 则判别式4m24（2m+3）0， 即 m22m30，得1m3 若 p 真 q 假，则，此时无解， 柔 p 假 q 真，则，得 1m3， 综上，实数 m 的取值范围是1，3） 【点评】本题主要考查复合命题的真假关系以及应用
30、，求出命题的等价条件是解决本题 的关键 18 （12 分）智能手机的出现，改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间某市 教育机构从 500 名手机使用者中随机抽取 100 名，得到每天使用手机时间（单位：分钟） 的频率分布直方图（如图所示） ，其分组是0，20， （20，40， （40，60， （60，80， （80， 100 （1）根据频率分布直方图，估计这 500 名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟？ （精确到整数） （2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟？（同一组中的数据以这组数据所在区 第 17 页（共 21 页） 间中点的值作代表 ） （3）在抽取的 100 名手
31、机使用者中，在（20，40和（40，60中按比例分别抽取 2 人和 3 人组成研究小组， 然后再从研究小组中选出 2 名组长， 求这 2 名组长分别选自 （20， 40 和（40，60的概率是多少？ 【分析】 （1）由频率分布直方图能估计这 500 名手机使用者中使用时间的中位数 （2）由频率分布直方图能估计手机使用者平均每天使用手机的时间 （3）从研究小组中选出 2 名组长，基本事件总数 n，这 2 名组长分别选自（20， 40和 （40， 60包含的基本事件个数 m6， 由此能求出这 2 名组长分别选自 （20， 40和（40，60的概率 【解答】解： （1）由频率分布直方图得： 0，40
32、）的频率为： （0.0025+0.01）200.25， 40，60）的频率为 0.015200.3， 估计这 500 名手机使用者中使用时间的中位数是： 40+57（分钟） （2）估计手机使用者平均每天使用手机： 100.002520+300.0120+500.01520+700.0120+900.01252058（分 钟） （3）在抽取的 100 名手机使用者中， 在（20，40和（40，60中按比例分别抽取 2 人和 3 人组成研究小组， 然后再从研究小组中选出 2 名组长， 基本事件总数 n， 这 2 名组长分别选自（20，40和（40，60包含的基本事件个数 m6， 这 2 名组长分别
33、选自（20，40和（40，60的概率是 p 【点评】本题考查中位数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型等基 础知识，考查运算求解能力，是基础题 19 （12 分）已知函数 f（x）x33ax+2，曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程为 3x+y+m 0 （）求实数 a，m 的值； 第 18 页（共 21 页） （）求 f（x）在区间1，2上的最值 【分析】 （）由已知可得，解得 a，m 即可 （）由导数可得 f（x）在1，上单调递减，在（，2单调递增即可求解 【解答】解： （）f（x）3x23a， 曲线 f（x）x23ax+2 在 x1 处的切线方程为 3x+y+m0， ，解得
34、 a2，m0 （）由（）知 f（x）x36x+2 f（x）3x26，令 f（x）0，得 x f（x）在1，上单调递减，在（，2单调递增 又 f（1）3，f（2）24 f（x）在区间1，2上的最大值为2，最小值为 24 【点评】本题考查了导数的应用，属于中档题 20 （12 分）随着西部大开发的深入，西南地区的大学越来越受到广大考生的青睐，下表是 西南地区某大学近五年的录取平均分高于省一本线分值对比表： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码 t 1 2 3 4 5 录取平均分高于省一本线分值 y 28 34 41 47 50 （1）根据上表数据可知，y 与 t 之间存
35、在线性相关关系，求 y 关于 t 的线性回归方程； （2）假设 2020 年该省一本线为 520 分，利用（1）中求出的回归方程预测 2020 年该大 学录取平均分参考公式： ， 【分析】 （1）由已知表格中的数据求得回归系数，即可写出线性回归方程； （2）利用回归方程求得 2020 年录取平均分与省一本线分差，加上平均分即可 【解答】解： （1）根据表中数据，计算（1+2+3+4+5）3， （28+34+41+47+50）40， 第 19 页（共 21 页） 得 5.7， 405.7322.9， 故所求回归方程为： 5.7x+22.9 （2）由（1）知：当 t6 时， 5.76+22.957
36、.1， 预测该大学 2020 年的录取平均分为 520+57.1577.1 分 【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础 题 21 （12 分）已知函数 f（x）（ax）sinxcosx （1）当 a2 时，证明；f（x）在（0，）上有唯一零点； （2）若 f（x）2，对x（0，）恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）利用函数的导数求出函数的单调区间进一步求出函数的零点的个数 （2）利用函数的导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值和最值，最后利用函 数的恒成立问题的应用求出参数的取值范围 【解答】解： （1）证明：当 a2 时，f（x）（2x
37、）sinxcosx， 所以 f（x）sinx+（2x）cosx+sinx（2x）cosx， 由 f（x）0，解得 x2 或 x 当 x时，f（x）0，当 x时，f（x）0，当 x（2，） 时 f（x）0， 所以函数 f（x）在（0，）上单调递增，在（）上单调递减，在（2，）上单 调递增 由于 f（0）10，f（）2， 所以 f（x）在（0，）由唯一零点 由于 f（2）cos20，所以 f（x）在（，）上没有零点 第 20 页（共 21 页） 综上所述 f（x）在（0，）上有唯一零点 （2）由于 x（0，）时，f（x）2 等价于（ax）sinxcosx2， 即 a，令， 当 x（0，）时，则，
38、当 x时，g（x）0，即 g（x）在（0，）上单调递减， 当 x时，g（x）0，即 g（x）在上单调递增 所以当 x（0，）时，g（x）的最小值为 g（）2+ 所以 a，所以 a 的取值范围为（0，2+ 【点评】本题考查的知识要点：函数的导数的单调性的应用，函数的最值和极值的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 22 （12 分）已知椭圆：+1（ab0）经过点（2，） ，的四个顶点围成的 四边形的面积为 8 （1）求的方程； （2）过的左焦点 F 作直线 l 与交于 M、N 两点，线段 MN 的中点为 C，直线 OC（O 为坐标原点） 与直线 x4 相交于点 D，
39、是否存在直线 l 使得MDF 为等腰直角三角形， 若存在，求出 l 的方程；若不存在，说明理由 【分析】 （1）由过的点和四边形的面积求出椭圆的方程； （2）假设存在这样的直线，由题意知 F 的坐标，设直线 l 的方程与椭圆联立求出两根之 和及两根之积， 进而求出中点的坐标， 再求性质 OC 的方程与 x4 联立求出 D 的坐标， 进而求出直线 DF 的斜率与直线 l 垂直， 所以只需求出 DFMF， 由此看清楚直线 l 的方 程 【解答】解： （1）由题意知：，8，解得：a28，b24， 所以椭圆的方程为：1； （2）假设存在直线 l 满足条件，由（1）得 左焦点 F（2，0）由由题意可知直
40、线 l 的 斜率不为 0，及椭圆的对称性，设斜率大于零， 第 21 页（共 21 页） 设直线 l 方程为：xmy2，设 M（x，y） ，N（x，y） ，联立直线与椭圆的方程整理为： （2+m2）y24my40， y+yyy，x+xm（y+y）4， 所 以 弦 长MN ， 所以中点 C 的坐标（，） ，则直线 OC 的方程为：yx， 将直线 OC 与 x4 联立可得 y2m 即 D 的坐标（4，2m） ， 所以 kDFm，因为MDF 为等腰直角三角形，即 DFMN， 所以只需 DFMF 即可， 所以，解得 y2，所以 x0， 所以直线 l 的方程为：xy2， 即存在直线满足条件，直线 l 的方程为：x+y+20，或 xy+20 【点评】考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题