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2019-2020学年江西省抚州市高二(上)期末数学试卷(文科)含详细解答

1、 第 1 页(共 21 页) 2019-2020 学年江西省抚州市高二(上)期末数学试卷(文科)学年江西省抚州市高二(上)期末数学试卷(文科) 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 (5 分)从编号为 001,002,460 的 460 个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本, 已知样本中编号最小的两个编号分别为 007,030,则样本中第 5 个产品的编号应该为 ( ) A099 B122 C145 D168 2 (5

2、分)高三学生甲和乙近五次月考数学成绩(单位:分)的茎叶图如图,则下列说法错 误的是( ) A甲的得分的中位数为 101 B乙的得分的众数为 105 C甲的数学成绩更稳定 D乙得分的极差为 21 3 (5 分)函数 f(x)aexsinx 在 x0 处有极值,则 a 的值为( ) A1 B0 C1 De 4 (5 分)执行如图的程序框图,如果输入的 为 0.01,则输出 s 的值等于( ) 第 2 页(共 21 页) A2 B2 C2 D2 5 (5 分)已知数据 x1,x2,x5,2 的平均值为 2,方差为 1,则数据 x1,x2,x5相 对于原数据( ) A一样稳定 B变得比较稳定 C变得比

3、较不稳定 D稳定性不可以判断 6 (5 分)已知条件 p:|x+1|2,条件 q:xa,p 是q 的充分不必要条件,则实数 a 的 取值范围( ) Aa1 Ba3 Ca1 Da3 7 (5 分)设集合 AB1,2,3,4,5,6,分别从集合 A 和 B 中随机各取一个数 x,y, 确定平面上的一个点 P(x,y) ,记“点 P(x,y)满足条件 x2+y216”为事件 C,则 C 的概率为( ) A B C D 8 (5 分)已知双曲线(a0,b0)的渐线方程为,则此双曲线的离 心率为( ) A B C D 9 (5 分)在等差数列an中,设 k,l,p,rN*,则 k+lp+r 是 ak+a

4、lap+ar的( ) 第 3 页(共 21 页) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分非必要条件 10 (5 分)已知抛物线 C:y28x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若4,则|QF|( ) A B3 C D2 11 (5 分) 已知点 P 为椭圆上的任意一点,点 F1,F2分别为该椭圆的上下焦点, 设 PF1F2,PF2F1,则 sin+sin 的最大值为( ) A B C D 12 (5 分)已知定义域为 R 的函数 f(x) ,对任意的 xR 都有 f(x)4x,且当 0,2时,不等式 f(sin)+cos21

5、0 的解集为( ) A B C D 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)命题:xR,sinx1 的否定为 14 (5 分)函数 f(x)x2+lnx 在点(1,f(1) )处的切线方程为 15 (5 分)在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图” ,由四个全等的直角 三角形围成一个大正方形,中间空出一个小正方形(如图阴影部分) 若直角三角形中较 小的锐角为 ,现向大正方形区域内随机投掷一枚飞镖,要使飞镖落在小正方形内的概 率为,则 cos 16 (5 分)已知 F1,F2是椭圆 C:的左、右焦点,过左焦点

6、 F1的 直线与椭圆 C 交于 A, B 两点, 且|AF1|2|BF1|, |AB|BF2|, 则椭圆 C 的离心率为 第 4 页(共 21 页) 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 (10 分)已知命题 p:方程表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q:关于 x 的 方程 x2+2mx+2m+30 无实根, (1)若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围; (2)若“pq”为假命题, “pq”为真命题,求实数 m 的取值范围 18 (12 分)智能手机的出现,改变

7、了我们的生活,同时也占用了我们大量的学习时间某市 教育机构从 500 名手机使用者中随机抽取 100 名,得到每天使用手机时间(单位:分钟) 的频率分布直方图(如图所示) ,其分组是0,20, (20,40, (40,60, (60,80, (80, 100 (1)根据频率分布直方图,估计这 500 名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟? (精确到整数) (2)估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟?(同一组中的数据以这组数据所在区 间中点的值作代表 ) (3)在抽取的 100 名手机使用者中,在(20,40和(40,60中按比例分别抽取 2 人和 3 人组成研究小组, 然后再从研究小组中

8、选出 2 名组长, 求这 2 名组长分别选自 (20, 40 和(40,60的概率是多少? 19 (12 分)已知函数 f(x)x33ax+2,曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为 3x+y+m 0 ()求实数 a,m 的值; ()求 f(x)在区间1,2上的最值 20 (12 分)随着西部大开发的深入,西南地区的大学越来越受到广大考生的青睐,下表是 西南地区某大学近五年的录取平均分高于省一本线分值对比表: 第 5 页(共 21 页) 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码 t 1 2 3 4 5 录取平均分高于省一本线分值 y 28 34 41 47 50 (1

9、)根据上表数据可知,y 与 t 之间存在线性相关关系,求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)假设 2020 年该省一本线为 520 分,利用(1)中求出的回归方程预测 2020 年该大 学录取平均分参考公式: , 21 (12 分)已知函数 f(x)(ax)sinxcosx (1)当 a2 时,证明;f(x)在(0,)上有唯一零点; (2)若 f(x)2,对x(0,)恒成立,求实数 a 的取值范围 22 (12 分)已知椭圆:+1(ab0)经过点(2,) ,的四个顶点围成的 四边形的面积为 8 (1)求的方程; (2)过的左焦点 F 作直线 l 与交于 M、N 两点,线段 MN 的中点为

10、C,直线 OC(O 为坐标原点) 与直线 x4 相交于点 D, 是否存在直线 l 使得MDF 为等腰直角三角形, 若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由 第 6 页(共 21 页) 2019-2020 学年江西省抚州市高二(上)期末数学试卷(文科)学年江西省抚州市高二(上)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分分.在每小题给出的四个选项中,只有在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 (5 分)从编号为 001,002,460 的

11、 460 个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本, 已知样本中编号最小的两个编号分别为 007,030,则样本中第 5 个产品的编号应该为 ( ) A099 B122 C145 D168 【分析】系统抽样所有样本的编号成等差数列,可设 a17,a230,由此 a5的值 【解答】解:由系统抽样所有样本编号成等差数列,设 a17,a230, 则 da2a123, 所以 a5a1+4d7+42399, 所以第 5 个产品编号为 099 故选:A 【点评】本题考查了系统抽样特点的应用问题,即所有样本编号成等差数列,从而转化 为数列题,是基础题 2 (5 分)高三学生甲和乙近五次月考数学成绩(单位:分)的

12、茎叶图如图,则下列说法错 误的是( ) A甲的得分的中位数为 101 B乙的得分的众数为 105 C甲的数学成绩更稳定 D乙得分的极差为 21 【分析】由茎叶图分别求出甲的得分的中位数乙得分的众数为 105,甲的得分相对分散, 乙的得分相对集中,乙得分的极差,由此能求出结果 第 7 页(共 21 页) 【解答】解:由茎叶图得: 在 A 中,甲的得分的中位数为:101,故 A 正确; 在 B 中,乙得分的众数为 105,故 B 正确; 在 C 中,甲的得分相对分散,乙的得分相对集中, 乙的成绩更稳定,故 C 错误; 在 D 中,乙得分的极差为:1149321,故 D 正确 故选:C 【点评】本题

13、考查命题真假的判断,考查茎叶图的性质等基础知识,考查运算求解能力, 是基础题 3 (5 分)函数 f(x)aexsinx 在 x0 处有极值,则 a 的值为( ) A1 B0 C1 De 【分析】求出函数的导数,根据 f(0)1,求出 a 的值,检验即可 【解答】解:f(x)aexcosx, 若函数 f(x)aexsinx 在 x0 处有极值, 则 f(0)a10,解得:a1, 经检验 a1 符合题意, 故选:C 【点评】本题考查了函数极值的意义,考查导数的应用,是一道基础题 4 (5 分)执行如图的程序框图,如果输入的 为 0.01,则输出 s 的值等于( ) 第 8 页(共 21 页) A

14、2 B2 C2 D2 【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 s 的 值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案 【解答】解:第一次执行循环体后,s1,x,不满足退出循环的条件 x0.01; 再次执行循环体后,s1+,x,不满足退出循环的条件 x0.01; 再次执行循环体后,s1+,x,不满足退出循环的条件 x0.01; 由于0.01,而0.01,可得: 当 s1+,x,此时,满足退出循环的条件 x0.01, 输出 s1+2 故选:C 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟 循环的方法解答,属于基础题

15、5 (5 分)已知数据 x1,x2,x5,2 的平均值为 2,方差为 1,则数据 x1,x2,x5相 对于原数据( ) A一样稳定 B变得比较稳定 第 9 页(共 21 页) C变得比较不稳定 D稳定性不可以判断 【分析】推导出数据 x1,x2,x5的方差 S2(x12)2+(x22)2+(x32)2+ (x42)2+(x52)2+(22)21,从而数据 x1,x2,x5相对于原数据变得比较 不稳定 【解答】解:解:数据 x1,x2,x10,2 的平均值为 2,方差为 1, (x12)2+(x22)2+(x32)2+(x42)2+(x52)2+(22)21, 数据 x1,x2,x10的方差 S

16、2(x12)2+(x22)2+(x32)2+(x42)2+ (x52)21, 数据 x1,x2,x5相对于原数据变得比较不稳定 故选:C 【点评】本题考查方差的求法及应用,考查平均数、方差等基础知识,考查运算求解能 力,考查函数与方程思想,是基础题 6 (5 分)已知条件 p:|x+1|2,条件 q:xa,p 是q 的充分不必要条件,则实数 a 的 取值范围( ) Aa1 Ba3 Ca1 Da3 【分析】条件 p:|x+1|2,解得:x 范围条件 q:xa,q:xa根据 p 是q 的充 分不必要条件,即可得出结论 【解答】解:条件 p:|x+1|2,解得:3x1 条件 q:xa,q:xa p

17、是q 的充分不必要条件, 则实数 a 的取值范围3a 故选:D 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力, 属于基础题 7 (5 分)设集合 AB1,2,3,4,5,6,分别从集合 A 和 B 中随机各取一个数 x,y, 确定平面上的一个点 P(x,y) ,记“点 P(x,y)满足条件 x2+y216”为事件 C,则 C 的概率为( ) A B C D 第 10 页(共 21 页) 【分析】求出从集合 A 和 B 中随机各取一个数 x,y 的基本事件总数,和满足点 P(x,y) 满足条件 x2+y216 的基本事件个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案 【

18、解答】解:集合 AB1,2,3,4,5,6, 分别从集合 A 和 B 中随机各取一个数 x,y,确定平面上的一个点 P(x,y) , 共有 6636 种不同情况, 其中 P(x,y)满足条件 x2+y216 的有: (1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1) , (3,2) ,共 8 个, C 的概率 P(C), 故选:A 【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式,其中熟练掌握利用古典概型概率 计算公式求概率的步骤,是解答的关键 8 (5 分)已知双曲线(a0,b0)的渐线方程为,则此双曲线的离 心率为( ) A B C D

19、 【分析】由焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为,知双曲线的标准方程为 1,由此能求出此双曲线的离心率 【解答】解:焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为, 设双曲线方程为 1,0, a29,c213, 此双曲线的离心率 e 故选:C 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,是基础题解题时要认真审题,注意双曲线 渐近线方程的合理运用 9 (5 分)在等差数列an中,设 k,l,p,rN*,则 k+lp+r 是 ak+alap+ar的( ) 第 11 页(共 21 页) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分非必要条件 【分析】根据等差数列的性质结合充分条件和必要条件的定义进

20、行判断即可 【解答】解:在等差数列 0,0,0,中,3+41+2,则 a3+a4a1+a2不成立,即充 分性不成立, 在等差数列中,ak+al2a1+(k+l2)d,ap+ar2a1+(p+r2)d, 由 ak+alap+ar得 2a1+(k+l2)d2a1+(p+r2)d, 即(k+l2)d(p+r2)d,当 d0 时,k+l2p+r2,即 k+lp+r,即必要性不 成立, 即 k+lp+r 是 ak+alap+ar的既不充分也不必要条件, 故选:D 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合等差数列的通项公式和性质是 解决本题的关键 10 (5 分)已知抛物线 C:y28x 的焦点

21、为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若4,则|QF|( ) A B3 C D2 【分析】求得直线 PF 的方程,与 y28x 联立可得 x1,利用|QF|d 可求 【解答】解:设 Q 到 l 的距离为 d,则|QF|d, 4, |PQ|3d, 不妨设直线 PF 的斜率为2, F(2,0) , 直线 PF 的方程为 y2(x2) , 与 y28x 联立可得 x1, |QF|d1+23, 故选:B 【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线的位置关系,属于基础题 第 12 页(共 21 页) 11 (5 分) 已知点 P 为椭圆上的任意一点,点 F

22、1,F2分别为该椭圆的上下焦点, 设 PF1F2,PF2F1,则 sin+sin 的最大值为( ) A B C D 【分析】设|PF1|m,|PF2|n,在PF1F2中,由正弦定理可得: ,可得:,m+n2asin+sinsin (+) ,当且仅当 P 为短轴的一个端点时,(+)取得最大角,满足 sin 可得 sin(+)的最大值 【解答】解:设|PF1|m,|PF2|n, 在PF1F2中,由正弦定理可得:, 可得:,m+n2a8 sin+sinsin(+) ,当且仅当 P 为短轴的一个端点时,(+)取得最大角, ,满足 sin sin(+)的最大值2sincos2 sin+sinsin(+)

23、 故选:D 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、正弦定理、转化法、三角函数的单调性, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题 第 13 页(共 21 页) 12 (5 分)已知定义域为 R 的函数 f(x) ,对任意的 xR 都有 f(x)4x,且当 0,2时,不等式 f(sin)+cos210 的解集为( ) A B C D 【分析】构造函数 g(x)f(x)2x2,由已知可判断其单调性,结合单调性及正弦函 数的性质即可求解不等式 【解答】解:令 g(x)f(x)2x2,f(x)4x, 则 g(x)f(x)4x0, 即 g(x)单调递增, ,g()0, 当 0,2时,由 f(sin)+c

24、os210 可得 f(sin)cos2+12sin2, 即 g(sin)0, 故 sin, 0,2,故, 故选:D 【点评】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式,解题的关键是构造出函数并能 利用导数研究其单调性 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)命题:xR,sinx1 的否定为 x0R,使得 sinx01 【分析】根据全称命题的否定方法,结合已知中的原命题,可得答案 【解答】解:命题:xR,sinx1, 命题的否定为:x0R,使得 sinx01, 故答案为:x0R,使得 sinx01 【点评】本题考查的知识点

25、是命题的否定,难度不大,属于基础题 14 (5 分)函数 f(x)x2+lnx 在点(1,f(1) )处的切线方程为 3xy20 【分析】由题意求导 f(x)2x+,从而可知切线的斜率,从而写出切线方程 【解答】解:f(x)2x+; 故 f(1)2+13; 第 14 页(共 21 页) 故函数 f(x)x2+lnx 的图象在点 A(1,1)处的切线方程为: y13(x1) ; 即 3xy20; 故答案为:3xy20 【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用,属于基础题 15 (5 分)在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图” ,由四个全等的直角 三角形围成一个大正方形

26、,中间空出一个小正方形(如图阴影部分) 若直角三角形中较 小的锐角为 ,现向大正方形区域内随机投掷一枚飞镖,要使飞镖落在小正方形内的概 率为,则 cos 【分析】根据概率设出大正方形的边长,求得小正方形的边长,继而有勾股定理求得值, 放到直角三角形中求出三角函数值即可 【解答】解:由题意,不妨设大正方形的边长为 2,则根据条件中的概率可知小正方形的 边长为 1, 设图中直角三角形的较短直角边为 x,则 x2+(x+1)24, 解得, 所以图中直角三角形中较小锐角的正余弦值 cos 故答案为: 【点评】本题考查几何概型几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验 的可能结果不是有限个,它的

27、特点是试验结果在一个区域内分布,所以随机事件的概率 大小与随机事件所在区域的形状位置无关,只与该区域的大小有关 16 (5 分)已知 F1,F2是椭圆 C:的左、右焦点,过左焦点 F1的 第 15 页(共 21 页) 直线与椭圆 C 交于 A, B 两点, 且|AF1|2|BF1|, |AB|BF2|, 则椭圆 C 的离心率为 【分析】利用已知条件,画出图形,通过三角形的边长关系,求解椭圆的离心率即可 【解答】解:由题意可得:|F1B|+|BF2|2a,|AB|BF2|,可得|AF1|a,|AF2|a,|AB| a,|F1F2|2c, cosBAF2,sin, 可得12()2,可得 e 故答案

28、为: 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查数形结合以及转化思想的应用 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 6 小题,共小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 (10 分)已知命题 p:方程表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q:关于 x 的 方程 x2+2mx+2m+30 无实根, (1)若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围; (2)若“pq”为假命题, “pq”为真命题,求实数 m 的取值范围 【分析】 (1)若命题 p 为真命题,根据椭圆的定义和方程建立不等式关系,即可求实数 m 的取值范围; (2)根

29、据复合命题的关系得到 p,q 为一个真命题,一个假命题,然后求解即可 【解答】解: (1)方程表示焦点在 y 轴上的椭圆, 第 16 页(共 21 页) ,即, 即1m1, 若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围是(1,1) ; (2)若“pq”为假命题, “pq”为真命题, 则 p,q 为一个真命题,一个假命题, 若关于 x 的方程 x2+2mx+2m+30 无实根, 则判别式4m24(2m+3)0, 即 m22m30,得1m3 若 p 真 q 假,则,此时无解, 柔 p 假 q 真,则,得 1m3, 综上,实数 m 的取值范围是1,3) 【点评】本题主要考查复合命题的真假关系以及应用

30、,求出命题的等价条件是解决本题 的关键 18 (12 分)智能手机的出现,改变了我们的生活,同时也占用了我们大量的学习时间某市 教育机构从 500 名手机使用者中随机抽取 100 名,得到每天使用手机时间(单位:分钟) 的频率分布直方图(如图所示) ,其分组是0,20, (20,40, (40,60, (60,80, (80, 100 (1)根据频率分布直方图,估计这 500 名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟? (精确到整数) (2)估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟?(同一组中的数据以这组数据所在区 第 17 页(共 21 页) 间中点的值作代表 ) (3)在抽取的 100 名手

31、机使用者中,在(20,40和(40,60中按比例分别抽取 2 人和 3 人组成研究小组, 然后再从研究小组中选出 2 名组长, 求这 2 名组长分别选自 (20, 40 和(40,60的概率是多少? 【分析】 (1)由频率分布直方图能估计这 500 名手机使用者中使用时间的中位数 (2)由频率分布直方图能估计手机使用者平均每天使用手机的时间 (3)从研究小组中选出 2 名组长,基本事件总数 n,这 2 名组长分别选自(20, 40和 (40, 60包含的基本事件个数 m6, 由此能求出这 2 名组长分别选自 (20, 40和(40,60的概率 【解答】解: (1)由频率分布直方图得: 0,40

32、)的频率为: (0.0025+0.01)200.25, 40,60)的频率为 0.015200.3, 估计这 500 名手机使用者中使用时间的中位数是: 40+57(分钟) (2)估计手机使用者平均每天使用手机: 100.002520+300.0120+500.01520+700.0120+900.01252058(分 钟) (3)在抽取的 100 名手机使用者中, 在(20,40和(40,60中按比例分别抽取 2 人和 3 人组成研究小组, 然后再从研究小组中选出 2 名组长, 基本事件总数 n, 这 2 名组长分别选自(20,40和(40,60包含的基本事件个数 m6, 这 2 名组长分别

33、选自(20,40和(40,60的概率是 p 【点评】本题考查中位数、平均数、概率的求法,考查频率分布直方图、古典概型等基 础知识,考查运算求解能力,是基础题 19 (12 分)已知函数 f(x)x33ax+2,曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为 3x+y+m 0 ()求实数 a,m 的值; 第 18 页(共 21 页) ()求 f(x)在区间1,2上的最值 【分析】 ()由已知可得,解得 a,m 即可 ()由导数可得 f(x)在1,上单调递减,在(,2单调递增即可求解 【解答】解: ()f(x)3x23a, 曲线 f(x)x23ax+2 在 x1 处的切线方程为 3x+y+m0, ,解得

34、 a2,m0 ()由()知 f(x)x36x+2 f(x)3x26,令 f(x)0,得 x f(x)在1,上单调递减,在(,2单调递增 又 f(1)3,f(2)24 f(x)在区间1,2上的最大值为2,最小值为 24 【点评】本题考查了导数的应用,属于中档题 20 (12 分)随着西部大开发的深入,西南地区的大学越来越受到广大考生的青睐,下表是 西南地区某大学近五年的录取平均分高于省一本线分值对比表: 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码 t 1 2 3 4 5 录取平均分高于省一本线分值 y 28 34 41 47 50 (1)根据上表数据可知,y 与 t 之间存

35、在线性相关关系,求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)假设 2020 年该省一本线为 520 分,利用(1)中求出的回归方程预测 2020 年该大 学录取平均分参考公式: , 【分析】 (1)由已知表格中的数据求得回归系数,即可写出线性回归方程; (2)利用回归方程求得 2020 年录取平均分与省一本线分差,加上平均分即可 【解答】解: (1)根据表中数据,计算(1+2+3+4+5)3, (28+34+41+47+50)40, 第 19 页(共 21 页) 得 5.7, 405.7322.9, 故所求回归方程为: 5.7x+22.9 (2)由(1)知:当 t6 时, 5.76+22.957

36、.1, 预测该大学 2020 年的录取平均分为 520+57.1577.1 分 【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题,也考查了运算求解能力,是基础 题 21 (12 分)已知函数 f(x)(ax)sinxcosx (1)当 a2 时,证明;f(x)在(0,)上有唯一零点; (2)若 f(x)2,对x(0,)恒成立,求实数 a 的取值范围 【分析】 (1)利用函数的导数求出函数的单调区间进一步求出函数的零点的个数 (2)利用函数的导数求出函数的单调区间,进一步求出函数的极值和最值,最后利用函 数的恒成立问题的应用求出参数的取值范围 【解答】解: (1)证明:当 a2 时,f(x)(2x

37、)sinxcosx, 所以 f(x)sinx+(2x)cosx+sinx(2x)cosx, 由 f(x)0,解得 x2 或 x 当 x时,f(x)0,当 x时,f(x)0,当 x(2,) 时 f(x)0, 所以函数 f(x)在(0,)上单调递增,在()上单调递减,在(2,)上单 调递增 由于 f(0)10,f()2, 所以 f(x)在(0,)由唯一零点 由于 f(2)cos20,所以 f(x)在(,)上没有零点 第 20 页(共 21 页) 综上所述 f(x)在(0,)上有唯一零点 (2)由于 x(0,)时,f(x)2 等价于(ax)sinxcosx2, 即 a,令, 当 x(0,)时,则,

38、当 x时,g(x)0,即 g(x)在(0,)上单调递减, 当 x时,g(x)0,即 g(x)在上单调递增 所以当 x(0,)时,g(x)的最小值为 g()2+ 所以 a,所以 a 的取值范围为(0,2+ 【点评】本题考查的知识要点:函数的导数的单调性的应用,函数的最值和极值的应用, 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 22 (12 分)已知椭圆:+1(ab0)经过点(2,) ,的四个顶点围成的 四边形的面积为 8 (1)求的方程; (2)过的左焦点 F 作直线 l 与交于 M、N 两点,线段 MN 的中点为 C,直线 OC(O 为坐标原点) 与直线 x4 相交于点 D,

39、是否存在直线 l 使得MDF 为等腰直角三角形, 若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由 【分析】 (1)由过的点和四边形的面积求出椭圆的方程; (2)假设存在这样的直线,由题意知 F 的坐标,设直线 l 的方程与椭圆联立求出两根之 和及两根之积, 进而求出中点的坐标, 再求性质 OC 的方程与 x4 联立求出 D 的坐标, 进而求出直线 DF 的斜率与直线 l 垂直, 所以只需求出 DFMF, 由此看清楚直线 l 的方 程 【解答】解: (1)由题意知:,8,解得:a28,b24, 所以椭圆的方程为:1; (2)假设存在直线 l 满足条件,由(1)得 左焦点 F(2,0)由由题意可知直

40、线 l 的 斜率不为 0,及椭圆的对称性,设斜率大于零, 第 21 页(共 21 页) 设直线 l 方程为:xmy2,设 M(x,y) ,N(x,y) ,联立直线与椭圆的方程整理为: (2+m2)y24my40, y+yyy,x+xm(y+y)4, 所 以 弦 长MN , 所以中点 C 的坐标(,) ,则直线 OC 的方程为:yx, 将直线 OC 与 x4 联立可得 y2m 即 D 的坐标(4,2m) , 所以 kDFm,因为MDF 为等腰直角三角形,即 DFMN, 所以只需 DFMF 即可, 所以,解得 y2,所以 x0, 所以直线 l 的方程为:xy2, 即存在直线满足条件,直线 l 的方程为:x+y+20,或 xy+20 【点评】考查直线与椭圆的综合应用,属于中档题