1、一、选择题（仅有一个选项是正确的 ） 1 （3 分）已知复数 z 满足（34i）z1+2i（i 为虚数单位） ，则 z 的共轭复数是（ ） Ai B Ci Di 2 （3 分）观察下列各式：112，2+3+432，3+4+5+6+752，4+5+6+7+8+9+1072， 可以得出的一般结论是（ ） An+（n+1）+（n+2）+（3n2）n2 Bn+（n+1）+（n+2）+（3n2）（2n1）2 Cn+（n+1）+（n+2）+（3n1）n2 Dn+（n+1）+（n+2）+（3n1）（2n1）2 3 （3 分）（ex+e x）dx（ ） A B2e C D
2、4 （3 分） “a1”是“直线 ax+y10 的倾斜角大于”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5 （3 分）函数 yxlnx 的单调递减区间是（ ） A （e 1，+） B （，e 1） C （0，e 1） D （e，+） 6 （3 分）若函数 f（x）x4+ax3+x2b（a，bR）仅在 x0 处有极值，则 a 的取值范 围为（ ） A2，2 B1，1 C2，6 D1，4 7 （3 分）下列命题正确的是（ ） A “x1”是“x23x+20”的必要不充分条件 B对于命题 p：xR，使得 x2+x10，则p：xR
3、 均有 x2+x10 C若 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题 D命题“若 x23x+20，则 x2”的否命题为“若 x23x+20，则 x2” 8 （3 分）曲线（ 为参数）的对称中心（ ） 第 2 页（共 18 页） A在直线 y2x 上 B在直线 y2x 上 C在直线 yx1 上 D在直线 yx+1 上 9 （3 分）若函数 yf（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂 直，则称 yf（x）具有 T 性质下列函数中具有 T 性质的是（ ） Aysinx Bylnx Cyex Dyx3 10 （3 分）已知函数 f（x）lnxkx
4、2（kR） ，若 f（x）在定义域内不大于 0，则实数 k 的 取值范围为（ ） A B C D 11 （3 分）定义在 R 上的偶函数 f（x）的导函数为 f（x） ，若对任意的实数 x，都有 2f（x） +xf（x）2 恒成立，则使 x2f（x）f（1）x21 成立的实数 x 的取值范围为（ ） Ax|x1 B （，1）（1，+） C （1，1） D （1，0）（0，1） 12 （3 分）已知函数 f（x）lnx+ax2+（2+a）x（a0） ，对任意的 x0（0， 2，关于 x 的方程 f（x）g（x0）在（0，e上有实数根，则实数 a 的取值范围为（ ） （其中
5、 e2.71828为自然对数的底数） A B Ce，0） D （，e 二、填空题（把正确答案填写在横线上 ）二、填空题（把正确答案填写在横线上 ） 13 （3 分）比较大小： （用“”或“”符号填空） 14 （3 分） 15 （3 分）若 f（x）在 R 上可导，f（x）x2+2f（2）x+3，则03f（x）dx 16 （3 分）对于函数 yf（x） ，存在区间a，b，当 xa，b时，yka，kb（k0） ，则称 yf （x） 为 k 倍值函数 已知 f （x） ex+x 是 k 倍值函数， 则实数 k 的取值范围是 三、解答
6、题（要求写出必要的文字说明、方程式和步骤 ）三、解答题（要求写出必要的文字说明、方程式和步骤 ） 17设命题 p：2ax2+a（a0） ； q：x2+x60 （1）若 a1，且 pq 为假，pq 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若 q 是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 18已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合，且长度单 位相同，曲线 C 的极坐标方程为 2（cos+sin） 第 3 页（共 18 页） （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）直线（t 为参数）与曲线 C 交于 A，B 两点，于 y 轴交于点 E，求 的值 1
7、9设函数 f（x）ax+（a，bZ） ，曲线 yf（x）在点（2，f（2）处的切线方程为 y 3 （1）求 f（x）的解析式； （2） 证明： 曲线 yf （x） 上任一点的切线与直线 x1 和直线 yx 三角形的面积为定值， 并求出此定值 20已知函数 f（x）loga（x3ax+5a4） （a0，a1） （1）当 a3 时，方程 f（x）logak 有三个不同的实数解，求实数 k 的取值范围； （2）若函数 f（x）在区间内单调递增，求实数 a 的取值范围 21如图，椭圆 G 的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆 F：x2+y22x0 的圆心，右顶点 是圆 F 与 x 轴的一个交点已知椭圆
8、G 与直线 l：xmy10 相交于 A、B 两点 （I）求椭圆的方程； （）求AOB 面积的最大值 22已知函数 f（x）a（x1）lnx，g（x）ex （1）讨论 yf（x）的单调性； （2）若函数 F（x）f（x） g（x）在1，+）上单调递增，求 a 的取值范围 第 4 页（共 18 页） 2019-2020 学年江西省南昌市南昌县莲塘一中高二（上）期末数学年江西省南昌市南昌县莲塘一中高二（上）期末数 学试卷（理科）学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（仅有一个选项是正确的 ）一、选择题（仅有一个选项是正确的 ） 1 （3 分）已知复数 z 满足（34i）z1
9、+2i（i 为虚数单位） ，则 z 的共轭复数是（ ） Ai B Ci Di 【分析】直接利用复数的除法运算化简，从而得到复数 z 的共轭复数 【解答】解：（34i）z1+2i， z+i， 则 z 的共轭复数是i， 故选：A 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算 题 2 （3 分）观察下列各式：112，2+3+432，3+4+5+6+752，4+5+6+7+8+9+1072， 可以得出的一般结论是（ ） An+（n+1）+（n+2）+（3n2）n2 Bn+（n+1）+（n+2）+（3n2）（2n1）2 Cn+（n+1）+（n+2）
10、+（3n1）n2 Dn+（n+1）+（n+2）+（3n1）（2n1）2 【分析】观察所给的等式，右边是奇数的平方，左边是连续的整数的和，问题得以解决， 【解答】解：112， 2+3+432， 3+4+5+6+752， 4+5+6+7+8+9+1072， ， n+（n+1）+（n+2）+（n+2n2）（2n1）2， 故选：B 第 5 页（共 18 页） 【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键找到规律，属于基础题 3 （3 分）（ex+e x）dx（ ） A B2e C D 【分析】先求出被积函数 ex+e x 的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可 【解答】解： （
11、exe x）ex+ex 01（ex+e x）dx （ exe x）| 01 e1+1 e 故选：D 【点评】本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数， 属于基础题 4 （3 分） “a1”是“直线 ax+y10 的倾斜角大于”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线斜率进行判断即可 【解答】解：直线 ax+y10 的倾斜角大于， 直线斜率 k1 或 k0， 又ka，a1 或 a0， a1a1 或 a0， a1 或 a0 推不出 a1， “a1”是“直线 ax+y1
12、0 的倾斜角大于”的充分而不必要条件 故选：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线斜率是解决本题的关键 5 （3 分）函数 yxlnx 的单调递减区间是（ ） A （e 1，+） B （，e 1） C （0，e 1） D （e，+） 【分析】求出该函数的导函数，由导数小于 0 列出不等式，解此不等式求得正实数 x 的 第 6 页（共 18 页） 取值范围即为所求 【解答】解：函数 yxlnx 的导数为 y（x）lnx+x （lnx）lnx+1， 由 lnx+10 得，0x，故函数 yxlnx 的减区间为（0，） ， 故选：C 【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间的方法，
13、求函数的导数以及对数函数的定 义域与单调区间注意函数的定义域 6 （3 分）若函数 f（x）x4+ax3+x2b（a，bR）仅在 x0 处有极值，则 a 的取值范 围为（ ） A2，2 B1，1 C2，6 D1，4 【分析】求导函数，要保证函数 f（x）仅在 x0 处有极值，必须满足 f（x）在 x0 两侧异号 【解答】解：由题意，f（x）x3+3ax2+9xx（x2+3ax+9） 要保证函数 f（x）仅在 x0 处有极值，必须满足 f（x）在 x0 两侧异号， 所以要 x2+3ax+90 恒成立， 由判别式有： （3a）2360，9a236 2a2， a 的取值范围是2，2 故选：A 【点评
14、】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生分析解决问题的能力， 属于基础题 7 （3 分）下列命题正确的是（ ） A “x1”是“x23x+20”的必要不充分条件 B对于命题 p：xR，使得 x2+x10，则p：xR 均有 x2+x10 C若 pq 为假命题，则 p，q 均为假命题 D命题“若 x23x+20，则 x2”的否命题为“若 x23x+20，则 x2” 【分析】首先对于选项 B 和 D，都是考查命题的否命题的问题，如果两个命题中一个命 题的条件和结论分别是另一个命题的条件和结论的否定，则这两个命题称互为否命 题 即可得出 B 正确，D 错误
15、对于选项 A 因为“x1”是“x23x+20”的充分不 必要条件故选项 A 错误对于选项 C，因为若“p 且 q”为假命题，则 p、q 中有一个 第 7 页（共 18 页） 为假命题，不一定 p、q 均为假命题；故 C 错误即可根据排除法得到答案 【解答】解：对于 A： “x1”是“x23x+20”的必要不充分条件因为“x23x+2 0”等价于“x1，x2”所以： “x1”是“x23x+20”的充分不必要条件故 A 错 误 对于 B：对于命题 p：xR，使得 x2+x10，则p：xR 均有 x2+x10因 为否命题是对条件结果都否定，所以 B 正确 对于 C：若 pq 为假命题，则 p，q 均
16、为假命题因为若“p 且 q”为假命题，则 p、 q 中有一个为假命题，不一定 p、q 均为假命题；故 C 错误 对于 D：命题“若 x23x+20，则 x2”的否命题为“若 x23x+20 则 x2” 因 为否命题是对条件结果都否定，故 D 错误 故选：B 【点评】此题主要考查充分必要条件，其中涉及到否命题，且命题，命题的真假的判断 问题，都是概念性问题属于基础题型 8 （3 分）曲线（ 为参数）的对称中心（ ） A在直线 y2x 上 B在直线 y2x 上 C在直线 yx1 上 D在直线 yx+1 上 【分析】曲线（ 为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论 【解答】解：曲线（ 为
17、参数）表示圆，圆心为（1，2） ，在直线 y 2x 上， 故选：B 【点评】本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题 9 （3 分）若函数 yf（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂 直，则称 yf（x）具有 T 性质下列函数中具有 T 性质的是（ ） Aysinx Bylnx Cyex Dyx3 【分析】若函数 yf（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂 直，则函数 yf（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1，进而可得答 案 【解答】解：函数 yf（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相 垂直， 第 8 页（共
18、 18 页） 则函数 yf（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1， 当 ysinx 时，ycosx，满足条件； 当 ylnx 时，y0 恒成立，不满足条件； 当 yex时，yex0 恒成立，不满足条件； 当 yx3时，y3x20 恒成立，不满足条件； 故选：A 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档 10 （3 分）已知函数 f（x）lnxkx2（kR） ，若 f（x）在定义域内不大于 0，则实数 k 的 取值范围为（ ） A B C D 【分析】由题意可知：f（x）0 在（0，+）上恒成立，即 lnxkx在（0，+）上 恒成立，再
19、通过分离参数转化为求函数 g（x）的最值，利用导数求出 g（x）的最值即可 【解答】解：f（x）lnxkx2，x（0，+） ， f（x）在定义域内不大于 0， f（x）0 在（0，+）上恒成立，即 lnxkx2在（0，+）上恒成立， k在（0，+）上恒成立， 设 g（x），x（0，+） ， ， 令 g'（x）0 得，x， 当 x（0，）时，g'（x）0，g（x）单调递增；当 x（，+）时，g'（x）0， g（x）单调递减； 当 x时，函数 g（x）取到极大值，也是最大值，最大值为 g（）， k， 故选：A 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的最值，是中档题 11 （
20、3 分）定义在 R 上的偶函数 f（x）的导函数为 f（x） ，若对任意的实数 x，都有 2f（x） 第 9 页（共 18 页） +xf（x）2 恒成立，则使 x2f（x）f（1）x21 成立的实数 x 的取值范围为（ ） Ax|x1 B （，1）（1，+） C （1，1） D （1，0）（0，1） 【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值 范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出 x0 的取值范围 【解答】解：当 x0 时，由 2f（x）+xf（x）20 可知：两边同乘以 x 得： 2xf（x）+x2f（x）2x0 设：g（x）x2f
21、（x）x2 则 g（x）2xf（x）+x2f（x）2x0，恒成立： g（x）在（0，+）单调递减， 由 x2f（x）f（1）x21 x2f（x）x2f（1）1 即 g（x）g（1） 即 x1； 当 x0 时，函数是偶函数，同理得：x1 综上可知：实数 x 的取值范围为（，1）（1，+） ， 故选：B 【点评】主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性， 偶函数的性质，难度中档 12 （3 分）已知函数 f（x）lnx+ax2+（2+a）x（a0） ，对任意的 x0（0， 2，关于 x 的方程 f（x）g（x0）在（0，e上有实数根，则实数 a 的取值范围为（ ） （其中
22、 e2.71828为自然对数的底数） A B Ce，0） D （，e 【分析】由 g（x）的单调性求出 g（x）在（0，2上的值域，再求分类讨论 f（x）在（0， e上的单调性，求出 f（x）的值域，由 f（x）g（x0）在（0，e上有实数根，可得，g （x）的值域是 f（x）值域的子集，求出 a 的取值范围 【解答】解：，g'（x），对任意的 x0（0，2， x0（0，1，g'（x）0，g（x）单调递增，x（1，2，g'（x）0，g（x）单调递减， 第 10 页（共 18 页） g（1）2，g（0）2，g（2）2， 所以对任意的 x0（0，2，g（x）2，2； f&#
23、39;（x）+2ax+2+a（x0） ， a0，f'（x）0，x， 所以 x，f'（x）0，f（x）单调递增，x，f'（x）0，f（x） 单调递减， 当 e，即a0，f（x）单调递增，所以 x（0，e，f（x）（，1+ae2+ （2+a）e， 所以 x 的方程 f（x）g（x0）在（0，e上有实数根，只需21+ae2+（2+a）e，解 得 a，而，所以 a（，0） ； 当e，即 a，因为 x，f'（x）0，f（x）单调递增，x， ef（x）单调递减，所以 x（0，e，f（x）f（）ln（a）+a（2+a） ln（a）1， 所以 x 的方程 f（x）g（x0）在（
24、0，e上有实数根，只需ln（a）12， 即 ln（a）+（）+1，解得：ae， 综上所述满足条件的实数 a 的范围：e，0） ， 故选：C 【点评】考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题 二、填空题（把正确答案填写在横线上 ）二、填空题（把正确答案填写在横线上 ） 13 （3 分）比较大小： （用“”或“”符号填空） 【分析】平方作差，可得（）2（）22（）0，进而可 得其平方的大小，可得原式的大小 【解答】解： （） 2（ ） 213+2 （13+4）24 222（）0， 故（）2（）2， 第 11 页（共 18 页） 故， 故答案为： 【点评】本题考查平方作差法比较大小，属基础题 14
25、（3 分） i 【分析】直接根据 i21，得 i41，进而 i2019i2016i3i3i2ii 再结合复数的 除法即可求解 【解答】解：i21，i41，i2019i2016i3i3i2ii， 1+1i； 故答案为：i 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了函数的周期性，是基础题 15 （3 分）若 f（x）在 R 上可导，f（x）x2+2f（2）x+3，则03f（x）dx 18 【分析】对原函数两边求导，再将 x2 代入先求出 f（2）的值，再根据计算定积分的 公式先求出被积函数的原函数即可求得03f（x）dx 【解答】解：f（x）x2+2f（2）x+3， f（x）2x+2f（2）
26、， 当 x2 时，有：f（2）4+2f（2） ， f（2）4， f（x）x28x+3， 03f（x）dx03（x28x+3）dx （x34x2+3x）|0318 故答案为：18 【点评】本小题主要考查定积分、定积分的应用、导函数的概念等基础知识，属于基础 题 16 （3 分）对于函数 yf（x） ，存在区间a，b，当 xa，b时，yka，kb（k0） ，则称 yf （x） 为 k 倍值函数 已知 f （x） ex+x 是 k 倍值函数， 则实数 k 的取值范围是 （e+1， +） 【分析】 f （x） ex+x 的定义域是 R， f （x） 在定义域为单调增函数， 由题设条件得 k， 令 g（
27、x），利用导数求的 g（x）的极小值为：g（1）1+e，由此能求出 k 的取 第 12 页（共 18 页） 值范围 【解答】解：f（x）ex+x 的定义域是 R，f（x）在定义域为单调增函数， 有：f（a）ka，f（b）kb， 即：ea+aka，eb+bkb，即 a，b 为方程 ex+xkx 的两个不同根， k， 令 g（x），则， 令0，得极小值点 x1 故 g（x）的极小值为：g（1）1+e， 当 x0 时，g（x）+，当 x时，g（x）1， k1+e 时，直线 yk 与曲线 yg（x）的图象有两个交点，方程 k有两个解 故所求的 k 的取值范围为（e+1，+） ， 故答案为：
28、 （e+1，+） 【点评】本题主要考查利用导数求函数的值的方法，体现了转化的数学思想，解题时要 认真审题，仔细解答 三、解答题（要求写出必要的文字说明、方程式和步骤 ）三、解答题（要求写出必要的文字说明、方程式和步骤 ） 17设命题 p：2ax2+a（a0） ； q：x2+x60 （1）若 a1，且 pq 为假，pq 为真，求实数 x 的取值范围； （2）若 q 是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）a1 时，p：1x3； q：x2+x60，解得3x2根据 pq 为 假，pq 为真，可得 p 与 q 必然一真一假 （2）q 是 p 的充分不必
29、要条件，则，a0，解得 a 范围 【解答】解： （1）a1 时，p：1x3； q：x2+x60，解得3x2 pq 为假，pq 为真，p 与 q 必然一真一假 或， 解得 2x3，或3x1即为实数 x 的取值范围 （2）q 是 p 的充分不必要条件，则，a0，解得 a5 第 13 页（共 18 页） 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 18已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合，且长度单 位相同，曲线 C 的极坐标方程为 2（cos+sin） （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）直线（t 为
30、参数）与曲线 C 交于 A，B 两点，于 y 轴交于点 E，求 的值 【分析】 （1）直接利用极坐标的转换关系，把极坐标方程转化为直角坐标方程 （2）根据（1）所得到的方程，整理成一元二次方程，进一步利用根和系数的关系求出 结果 【解答】解： （1）曲线 C 的极坐标方程 2（cos+sin） ， 整理得：22cos+2sin， 转化为直角坐标方程：x2+y22x+2y （2）直线（t 为参数）代入 x2+y22x+2y， 得到：t2t10， 所以：t1+t21，t1t21， 则： 【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与普通方程的互化，一元二次方程与的应用， 一元二次方程根和系数的关系，属于
31、基础题型 19设函数 f（x）ax+（a，bZ） ，曲线 yf（x）在点（2，f（2）处的切线方程为 y 3 （1）求 f（x）的解析式； （2） 证明： 曲线 yf （x） 上任一点的切线与直线 x1 和直线 yx 三角形的面积为定值， 并求出此定值 【分析】 （1）欲求在点（2，f（2） ）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利 第 14 页（共 18 页） 用导数求出在 x2 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问 题解决 （2）先在曲线上任取一点（x0，x0+） 利用导数求出过此点的切线方程为，令 x 1 得切线与直线 x1 交点令 yx 得切线与直线 yx
32、交点从而利用面积公式求得 所围三角形的面积为定值 【解答】解： （1）f（x）a， 于是， 解得 或 因 a，bZ，故 f（x）x+ （2）证明：在曲线上任取一点（x0，x0+） 由 f（x0）1知，过此点的切线方程为 y1 （xx0） 令 x1 得 y，切线与直线 x1 交点为（1，） 令 yx 得 y2x01，切线与直线 yx 交点为（2x01，2x01） 直线 x1 与直线 yx 的交点为（1，1） 从而所围三角形的面积为 |1|2x011|2x02|2 所以，所围三角形的面积为定值 2 第 15 页（共 18 页） 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某
33、点切线 方程、函数解析式的求解及待定系数法等基础知识，考查运算求解能力属于中档题 20已知函数 f（x）loga（x3ax+5a4） （a0，a1） （1）当 a3 时，方程 f（x）logak 有三个不同的实数解，求实数 k 的取值范围； （2）若函数 f（x）在区间内单调递增，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）构造函数 g（x）x3ax+5a4x33x+11，然后求导，结合导数与单调 性关系分析函数的基本特征，可求； （2）令 g（x）x3ax+5a4，结合复合函数的单调性及对数函数的性质，对 a 进行分 类讨论进行求解 【解答】解： （1）令 g（x）x3ax+5a4x33x+11
34、， 所以 g'（x）3x23， 令 g'（x）3x233（x+1） （x1）0x1 或 x1， 易得：g（x）极大值g（1）13，g（x）极小值g（1）9， 欲使方程 f（x）logak 有三个不同的实数解， k（9，13） （2）令 g（x）x3ax+5a4， f（x）在上为增函数， 若 0a1，则 g（x）在上为减函数， 即 g'（x）3x2a0 在上恒成立， 第 16 页（共 18 页） 即 a3x2在上恒成立， ， 又因为 g（x）0 在上恒成立， 此时， 若 a1，则 g（x）在上为增函数，须使 g'（x）3x2a0 在上 恒成立， 即 a3x2在上恒
35、成立，即 a0，不合舍去 综上， 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，及复合函数的单调性的应用，考 查了分析问题的能力 21如图，椭圆 G 的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆 F：x2+y22x0 的圆心，右顶点 是圆 F 与 x 轴的一个交点已知椭圆 G 与直线 l：xmy10 相交于 A、B 两点 （I）求椭圆的方程； （）求AOB 面积的最大值 【分析】 （I）设出椭圆方程，圆 F 的标准方程为（x1）2+y21，圆心为 F（1，0） ，圆 与 x 轴的交点为（0，0）和（2，0） ，从而可求 a2，半焦距 c1，由此能求出椭圆方 程 （）直线与椭圆方程联立利用韦达定理，求出
36、 SAOB，利用换元法及导数，即可求 得 SAOB的最大值 【解答】解： （I）设椭圆方程为（ab0） ，圆 F 的标准方程为（x1） 2+y2 第 17 页（共 18 页） 1， 圆心为 F（1，0） ，圆与 x 轴的交点为（0，0）和（2，0） ， 由题意 a2，半焦距 c1， b2a2c2413， 椭圆方程为 （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由，消元可得（3m2+3）y2+6my90 y1+y2，y1y2 |y1y2| SAOB|OF|y1y2| 令，则 t1，m2t21 SAOB SAOB t1，SAOB0 SAOB在 t1，+）上是减函数 当 t1 时，SAOB取得
37、最大值，最大值为 【点评】本题考查椭圆方程和三角形面积的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查导 数知识的运用，正确表示三角形的面积是关键 22已知函数 f（x）a（x1）lnx，g（x）ex （1）讨论 yf（x）的单调性； （2）若函数 F（x）f（x） g（x）在1，+）上单调递增，求 a 的取值范围 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系，对 a 进行分类讨论即可求解； （2）法一：结合导数与单调性关系，问题可转化为 F（x）0 在1，+）恒成立， 第 18 页（共 18 页） 分离系数后转化为求解相应函数的最值可求； 法二：结合导数构造函数，由题意知至少有
38、h（1）0 可求出 a 的范 围，然后结合该范围进行推理，检验是否满足题意即可求解 【解答】解： （1）yf（x）的定义域为（0，+） ，求导可得， 当 a0 时，f'（x）0 在（0，+）上恒成立，所以 yf（x）在（0，+）上递减； 当 a0 时，则 yf（x）在上递减，在上递增 （2）在1，+）恒成立， 所以， 令，则有， 令 g（x）x（1lnx）2，则有 g'（x）lnx0 在1，+）上恒成立 故 g（x）在1，+）上为减函数， 所以 g（x）g（1）1h'（x）0h（x）在1，+）上为减函数， 则 h（x）maxh（1）1，故 a1 法二：令，则至少有 h（1）0a10a1 当 a1 时，则有， 令 （x）ax2x+1，开口向上，对称轴， 故 （x）在1，+）上为增函数， 所以 （x）（1）a0h'（x）0h（x）在1，+）上为增函数， 则 h（x）h（1）a10， 故 a1 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，及函数的单调性与导数恒成立问 题的相互转化，体现了转化思想与分类讨论思想的应用