1、2019-2020学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等六校高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题（共 12*560 分）分） 1 （5 分）已知点的极坐标为那么它的直角坐标为（ ） A B C D 2 （5 分）函数 yx的导数是（ ） A1 B1 C1+ D1+ 3 （5 分）已知双曲线1（a0）的一个焦点与抛物线 y28x 的焦点重合，则 a （ ） A1 B2 C D 4 （5 分）下列命题中错误的是（ ） A命题“若 xy，则 sinxsiny”的逆否命题是真命题 B命题“x0（0，+） ，lnx0x01”的否定是“x（0，+） ，lnxx1” C若 a240 为真命题，则 a2 为
2、真命题 D在ABC 中“AB”是“sinAsinB”的充要条件 5 （5 分）f（x）是 f（x）的导函数，若 f（x）的图象如图所示，则 f（x）的图象可能 是（ ） A B C D 第 2 页（共 19 页） 6 （5 分） 若曲线 f （x） x3ax2+b 在点 （1， f （1） ） 处切线的倾斜角为， 则 a 等于 （ ） A2 B2 C3 D1 7 （5 分） 已知函数 f （x） x+blnx 在区间 （0， 2） 上不是单调函数， 则 b 的取值范围是 （ ） A （2，0） B （，2） C （，0） D （2，+） 8 （5 分）若函数 f（x）2x33ax2+1 在区间
3、（0，+）内有两个零点，则实数 a 的取值 范围为（ ） A （，1） B （1，+） C （0，1） D （1，2） 9 （5 分）过双曲线 x21 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A，B 两点，若|AB|4，则 这样的直线 l 有（ ） A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 10 （5 分）已知函数 f（x）在 R 上可导，且 f（x）x2+2xf（2） ，则函数 f（x）的解析式 为（ ） Af（x）x2+8x Bf（x）x28x Cf（x）x2+2x Df（x）x22x 11 （5 分）如果函数 f（x）满足：对于任意的 x1，x20，2，都有|f（x1）f（x2） |a2恒成
4、立，则 a 的取值范围是（ ） A B C （ D （） 12 （5 分）已知函数 f（x）x3+1+a（xe，e 是自然对数的底）与 g（x）3lnx 的 图象上存在关于 x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是（ ） A0，e34 B0，+2 C+2，e34 De34，+） 二、填空题（共二、填空题（共 4*520 分）分） 13 （5 分）设函数 f（x）xcosx，则 yf（x）在点 P（0，1）处的切线方程为 14 （5 分）函数 f（x）xe x 的单调递减区间是 15 （5 分）已知函数 f（x）是奇函数，f（2）0，当 x（，0）时，f（x）+xf（x） 0， 第 3 页（共
5、19 页） 则不等式 f（x）0 的解集为 16 （5 分）对于函数 yf（x） ，若其定义域内存在不同实数 x1，x2，使得 xif（xi）1（i 1，2）成立，则称函数 f（x）具有性质 P，若函数 f（x）具有性质 P，则实数 a 的 取值范围为 三、解答题（第三、解答题（第 17 题题 10 分，分，18-22 每题每题 12 分，共分，共 70 分）分） 17 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：（ 为参数） ，在以坐标原点为 极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：2cos（R） （1）求 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）若过原点的直线 l 与
6、曲线 C1，C2分别相交于异于原点的点 A，B，求|AB|的最大值 18 （12 分）设命题 p：函数 f（x）+x2+9x 无极值命题 q： （xk） （xk+1） 0， （1）若 p 为真命题，求实数 a 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数 k 的取值范围 19 （12 分）在圆 O：x2+y24 上任取一点 P，过点 P 作 y 轴的垂线段 PD，D 为垂足当 点 P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 形成轨迹 C （1）求轨迹 C 的方程； （2）若直线 yx 与曲线 C 交于 AB 两点，Q 为曲线 C 上一动点，求ABQ 面积的最大 值 20 （12 分）
7、设函数 f（x）lnxx2+x （）求 f（x）的单调区间； （）求 f（x）在区间，e上的最大值 21 （12 分）已知函数 f（x）x3x2+cx+d 有极值 （）求 c 的取值范围； （）若 f（x）在 x2 处取得极值，且当 x0 时，f（x）d2+2d 恒成立，求 d 的取 值范围 22 （12 分）已知函数 f（x）2alnx+（a2）x，aR （）当 a1 时，求函数 f（x）的最小值； 第 4 页（共 19 页） （）当 a0 时，讨论函数 f（x）的单调性； （）是否存在实数 a，对任意的 x1，x2（0，+） ，且 x1x2，有a， 恒成立，若存在求出 a 的取值范围，若不
8、存在，说明理由 第 5 页（共 19 页） 2019-2020 学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等六校高二学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等六校高二 （上）期末数学试卷（理科）（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题（共一、单选题（共 12*560 分）分） 1 （5 分）已知点的极坐标为那么它的直角坐标为（ ） A B C D 【分析】利用 xcos，ysin 即可得出直角标准 【解答】解：点的极坐标为，可得它的直角坐标 x21，y 2即 故选：C 【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2 （5 分）函数 yx的导
9、数是（ ） A1 B1 C1+ D1+ 【分析】根据导数的公式，即可得到结论 【解答】解：yx， y1+， 故选：C 【点评】本题主要考查函数的导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基 础 3 （5 分）已知双曲线1（a0）的一个焦点与抛物线 y28x 的焦点重合，则 a （ ） A1 B2 C D 【分析】根据题意，由抛物线的标准方程可得其焦点坐标，再结合双曲线的几何性质可 得 a2+b2c24，计算可得 a2的值，化简即可得答案 【解答】解：根据题意，抛物线的方程为 y28x，其焦点在 x 轴正半轴上，且 p4， 第 6 页（共 19 页） 则其焦点坐标为（2，0） ， 双曲线1
10、（a0）的一个焦点为（2，0） ，即 c2， 则有 a2+b2c24， 又由 b23， 则 a2c2b21， 又由 a0，即 a1， 故选：A 【点评】本题考查双曲线、抛物线的几何性质，关键是由抛物线的标准方程，求出抛物 线的焦点坐标 4 （5 分）下列命题中错误的是（ ） A命题“若 xy，则 sinxsiny”的逆否命题是真命题 B命题“x0（0，+） ，lnx0x01”的否定是“x（0，+） ，lnxx1” C若 a240 为真命题，则 a2 为真命题 D在ABC 中“AB”是“sinAsinB”的充要条件 【分析】由互为逆否命题的两个命题共真假判断 A；写出特称命题的否定判断 B；求解
11、一 元二次不等式判断 C；由大边对大角及正弦定理可得 ABabsinAsinB，再由充 分必要条件的判定方法判断 D 【解答】解：命题“若 xy，则 sinxsiny”为真命题，则其逆否命题是真命题，故 A 正确； 命题“x0（0，+） ，lnx0x01”的否定是“x（0，+） ，lnxx1” ，故 B 正确； 若 a240 为真命题，则 a2 或 a2，故 C 错误； 在ABC 中，ABabsinAsinB，则“AB”是“sinAsinB”的充要条件，故 D 正确 错误的命题是 C 故选：C 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查命题及其逆否命题的真假判断，考查命 题的否定，训练了充分必
12、要条件的判定方法，是基础题 5 （5 分）f（x）是 f（x）的导函数，若 f（x）的图象如图所示，则 f（x）的图象可能 是（ ） 第 7 页（共 19 页） A B C D 【分析】首先观察函数的图象，yf（x）与 x 轴的交点即为 f（x）的极值点，然后根 据函数与其导数的关系进行判断 【解答】解：由图可以看出函数 yf（x）的图象是一个二次函数的图象， 在（，0） ，f（x）0，f（x）递增， 在（0，x1） ，f（x）0，f（x）递减， 在（x1，+） ，f（x）0，f（x）递增， f（0）是极大值，f（x1）是极小值， 故选：C 【点评】会观察函数的图象并从中提取相关信息，并熟练掌
13、握函数与其导数的关系 6 （5 分） 若曲线 f （x） x3ax2+b 在点 （1， f （1） ） 处切线的倾斜角为， 则 a 等于 （ ） A2 B2 C3 D1 【分析】求得导函数，利用 f（x）x3ax2+b 在点（1，f（1） ）处切线的倾斜角为， 可得 f（1）1，由此可求 a 的值 【解答】解：求导函数可得 f（x）3x22ax 函数 f（x）x3ax2+b 在 x1 处的切线倾斜角为， f（1）1， 32a1， a2 故选：A 第 8 页（共 19 页） 【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题 7 （5 分） 已知函数 f （x） x+blnx 在区间
14、 （0， 2） 上不是单调函数， 则 b 的取值范围是 （ ） A （2，0） B （，2） C （，0） D （2，+） 【分析】求出函数的导数，问题转化为函数 yx 和 yb 在（0，2）有解，求出 b 的 范围即可 【解答】解：f（x）1+， 若函数 f（x）在区间（0，2）上不是单调函数， 则函数 yx 和 yb 在（0，2）有解， 故 b（2，0） ， 故选：A 【点评】本题考查了导数的应用，考查转化思想，是一道基础题 8 （5 分）若函数 f（x）2x33ax2+1 在区间（0，+）内有两个零点，则实数 a 的取值 范围为（ ） A （，1） B （1，+） C （0，1） D （
15、1，2） 【分析】根据函数的导函数 f（x）6x26ax6x（xa） ，由 f（x）0 和 f（x）0 的解的情况，分类讨论函数 f（x）在（0，+）上的单调性，要使得 f（x）在区间（0， +）内有两个零点，必须使得 f（x）的极小值0，从而求得 a 的取值范围 【解答】解：f（x）6x26ax6x（xa） 当 a0 时，若 x（0，+） ，则 f（x）0，此时 f（x）在（0，+）上单调递增， 不可能有两个零点； 当 a0 时，函数 f（x）在区间（0，a）上单调递减，在区间（a，+）上单调递增， 因为 f（0）10，若函数在区间（0，+）内有两个零点，有 f（a）2a33a3+11 a3
16、0，得 a1 故实数 a 的取值范围为（1，+） 故选：B 【点评】本题考查了函数的零点，函数的单调性与函数的极值的关系，属于综合性题目 9 （5 分）过双曲线 x21 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A，B 两点，若|AB|4，则 这样的直线 l 有（ ） 第 9 页（共 19 页） A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 【分析】双曲线的两个顶点之间的距离是 2，小于 4，过双曲线的焦点一定有两条直线使 得交点之间的距离等于 4，当直线与实轴垂直时，做出直线与双曲线交点的纵标，得到也 是一条长度等于 4 的线段 【解答】解：双曲线的两个顶点之间的距离是 2，小于 4， 当直线与双曲线
17、左右两支各有一个交点时，过双曲线的焦点一定有两条直线使得两交 点之间的距离等于 4， 当直线与实轴垂直时，有 3，解得 y2， 此时直线 AB 的长度是 4，即只与右支有交点的弦长为 4 的线仅有一条 综上可知有三条直线满足|AB|4， 故选：C 【点评】本题考查直线与双曲线之间的关系问题，本题解题的关键是看清楚当直线的斜 率不存在，即直线与实轴垂直时，要验证线段的长度 10 （5 分）已知函数 f（x）在 R 上可导，且 f（x）x2+2xf（2） ，则函数 f（x）的解析式 为（ ） Af（x）x2+8x Bf（x）x28x Cf（x）x2+2x Df（x）x22x 【分析】先对函数 f（
18、x）求导，然后将 x2 代入可得答案 【解答】解：f（x）x2+2xf（2） ， f（x）2x+2f（2） f（2）22+2f（2） ，解得：f（2）4 f（x）x28x， 故选：B 【点评】本题主要考查导数的运算法则属基础题 11 （5 分）如果函数 f（x）满足：对于任意的 x1，x20，2，都有|f（x1）f（x2） |a2恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A B C （ D （） 第 10 页（共 19 页） 【分析】可通过导数求得 f（x）在 x0，2上的最小值与最大值，从而可得 a2|f（x）最大值f（x）最小值|，a 的取值范围可求得 【解答】解：f（x）x21， 当 0x1，
19、f（x）0， 当 1x2，f（x）0， f（x）在 x1 时取到极小值，也是 x0，2上的最小值，即 f（x）极小值f （1）f（x）最小值， 又 f（0）0，f（2）， 在 x0，2上，f（x）最大值f（2）， 对于任意的 x1，x20，2，都有|f（x1）f（x2）|a2恒成立， 只需 a2|f（x）最大值f（x）最小值|（）， a或 a 故选：D 【点评】 本题考查函数恒成立问题， 关键在于理解题意， 转化为求 f （x） 在 x0， 2上的最小值与最大值，突出考查转化思想与分析解决问题的能力，属于难题 12 （5 分）已知函数 f（x）x3+1+a（xe，e 是自然对数的底）与 g（x
20、）3lnx 的 图象上存在关于 x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是（ ） A0，e34 B0，+2 C+2，e34 De34，+） 【分析】根据题意，可以将原问题转化为方程 a+1x33lnx 在区间，e上有解，构造 函数 g（x）x33lnx，利用导数分析 g（x）的最大最小值，可得 g（x）的值域，进而 分析可得方程 a+1x33lnx 在区间，e上有解，必有 1a+1e33，解可得 a 的取 值范围，即可得答案 【解答】解：根据题意，若函数 f（x）x3+1+a（xe，e 是自然对数的底）与 g （x）3lnx 的图象上存在关于 x 轴对称的点， 第 11 页（共 19 页） 则方
21、程x3+1+a3lnx 在区间，e上有解， x3+1+a3lnxa+1x33lnx，即方程 a+1x33lnx 在区间，e上有解， 设函数 g（x）x33lnx，其导数 g（x）3x2， 又由 x，e，g（x）0 在 x1 有唯一的极值点， 分析可得：当x1 时，g（x）0，g（x）为减函数， 当 1xe 时，g（x）0，g（x）为增函数， 故函数 g（x）x33lnx 有最小值 g（1）1， 又由 g（）+3，g（e）e33；比较可得：g（）g（e） ， 故函数 g（x）x33lnx 有最大值 g（e）e33， 故函数 g（x）x33lnx 在区间，e上的值域为1，e33； 若方程 a+1x
22、33lnx 在区间，e上有解， 必有 1a+1e33，则有 0ae34， 即 a 的取值范围是0，e34； 故选：A 【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知存在关于 x 轴对 称的点转化为方程 ax33lnxa3lnxx3在上有解 二、填空题（共二、填空题（共 4*520 分）分） 13 （5 分）设函数 f（x）xcosx，则 yf（x）在点 P（0，1）处的切线方程为 xy 10 【分析】求出函数的导数，计算 f（0） ，求出切线方程即可 【解答】解：由题意知，f（x）1+sinx， 则切线的斜率 kf（0）1， 切线的方程为 y（1）x0， 即 xy10， 故答案
23、为：xy10 【点评】本题考查了导数的应用，考查曲线的切线方程问题，是一道基础题 14 （5 分）函数 f（x）xe x 的单调递减区间是 （1，+） 第 12 页（共 19 页） 【分析】熟记乘积的函数的导数公式即可导数小于 0 的解集且在定义域内为函数的单 调递减区间 【解答】解：f（x）e x+xex（x）（1x）ex， x1，f（x）0，f（x）单调递增， x1，f（x）0，f（x）单调递减， 故答案为： （1，+） 【点评】考查乘积的求导公式，及单调递减区间的求法，属于中档题 15 （5 分）已知函数 f（x）是奇函数，f（2）0，当 x（，0）时，f（x）+xf（x） 0， 则不等
24、式 f（x）0 的解集为 （2，0）（2，+） 【分析】根据题意，设 g（x）xf（x） ，求出其导数分析可得 g（x）在（，0）上为 减函数，又由 f（2）0 分析可得 g（2）0，结合函数 g（x）的单调性可得区间（ ，2）上，g（x）xf（x）0，在（2，0）上，g（x）xf（x）0，则区间（ ，2）上，f（x）0，在（2，0）上，f（x）0，又由 f（x）为奇函数，分析可 得答案 【解答】解：根据题意，设 g（x）xf（x） ，其导数 g（x）f（x）+xf（x） ， 又由 x（，0）时，则 g（x）在（，0）上为减函数，若 f（2）0，则 f（2） f（2）0，g（2）（2）f（2）
25、0， 在区间（，2）上，g（x）xf（x）0，在（2，0）上，g（x）xf（x）0， 则区间（，2）上，f（x）0，在（2，0）上，f（x）0， 又由函数 f（x）是奇函数，则区间（0，2）上，f（x）0，在（2，+）上，f（x）0， 综合可得：不等式 f（x）0 的解集为（2，0）（2，+） ； 故答案为： （2，0）（2，+） 【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的导数与单调性的关系，属于基 础题 16 （5 分）对于函数 yf（x） ，若其定义域内存在不同实数 x1，x2，使得 xif（xi）1（i 1，2）成立，则称函数 f（x）具有性质 P，若函数 f（x）具有性质 P，
26、则实数 a 的 取值范围为 【分析】由题意将条件转化为：方程 xexa 在 R 上有两个不同的实数根，设 g（x）xex 第 13 页（共 19 页） 并求出 g（x） ，由导数与函数单调性的关系，判断出 g（x）在定义域上的单调性，求 出 g（x）的最小值，结合 g（x）的单调性、最值、函数值的范围画出大致的图象，由图 象求出实数 a 的取值范围 【解答】解：由题意知：若 f（x）具有性质 P， 则在定义域内 xf（x）1 有两个不同的实数根， ， 即方程 xexa 在 R 上有两个不同的实数根， 设 g（x）xex，则 g（x）ex+xex（1+x）ex， 由 g（x）0 得，x1， g（
27、x）在（，1）上递减，在（1，+）上递增， 当 x1 时，g（x）取到最小值是 g（1）， x0，g（x）0、x0，g（x）0， 当方程 xexa 在 R 上有两个不同的实数根时， 即函数 g（x）与 ya 的图象有两个交点， 由图得， 实数 a 的取值范围为， 故答案为： 【点评】本题是新定义题，考查导数与函数单调性的关系，方程根的问题转化为函数图 象的交点问题，以及转化思想，数形结合思想，考查分析问题、解决问题的能力 三、解答题（第三、解答题（第 17 题题 10 分，分，18-22 每每题题 12 分，共分，共 70 分）分） 17 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：（
28、为参数） ，在以坐标原点为 第 14 页（共 19 页） 极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：2cos（R） （1）求 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）若过原点的直线 l 与曲线 C1，C2分别相交于异于原点的点 A，B，求|AB|的最大值 【分析】 （1）利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 （2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结 果 【解答】解： （1）曲线 C1：（ 为参数） ，转换为直角坐标方程为 x2+（y 1）21 曲线 C2：2cos（R） ，转换为直角坐标方程为 （2）曲线 C1：（ 为参
29、数） ，转换为直角坐标方程为 x2+（y1）21转 换为极坐标方程为 2sin 若过原点的直线 l 与曲线 C1，C2分别相交于异于原点的点 A，B， 所以|AB|12|44，当时，取 得最大值 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径 的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算 能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 18 （12 分）设命题 p：函数 f（x）+x2+9x 无极值命题 q： （xk） （xk+1） 0， （1）若 p 为真命题，求实数 a 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数 k 的取
30、值范围 【分析】 （1）根据 f（x）的导函数为二次函数，且开口向上，说明导函数无零点即判别 式0 （2）根据充要条件的定义，用集合观点处理即可 【解答】解： （1）p 真时，则 f（x）x2+3（3a）x+90 恒成立， 9（3a）2360 得 1a5 （2）q 真：k1xk，设集合 Ax|1x5，集合 Bx|k1xk p 是q 的充分不必要条件， 第 15 页（共 19 页） q 是 p 的充分不必要条件，即 BA 则有 所以 2k5 【点评】本题考查了充分条件必要条件的判断，考查了复合命题的真假判断，考查函数 恒成立问题，方程根的存在性及个数判断，是中档题 19 （12 分）在圆 O：x
31、2+y24 上任取一点 P，过点 P 作 y 轴的垂线段 PD，D 为垂足当 点 P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 形成轨迹 C （1）求轨迹 C 的方程； （2）若直线 yx 与曲线 C 交于 AB 两点，Q 为曲线 C 上一动点，求ABQ 面积的最大 值 【分析】 （1）设出 M 点的坐标，由 M 为线段 PD 的中点得到 P 的坐标，把 P 的坐标代入 圆 x2+y24 整理得线段 PD 的中点 M 的轨迹方程； （2）联立直线 yx 和椭圆，求出 AB 的长；设过 Q 且与直线 yx 平行的直 线为 yx+t，当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，求出 t，和两平行直线间的距
32、 离，再由面积公式，即可得到最大值 【解答】解： （1）设 M（x，y） ，由题意 D（x，0） ，P（x，y1） M 为线段 PD 的中点，y1+02y，y12y 又P（x，y1）在圆 x2+y24 上，x2+y124， x2+4y24，即+y21 轨迹 C 为椭圆，且方程为； （2）联立直线 yx 和椭圆，得到 5x24，即 x， 即有 A（） ，B（，） ， |AB| 设过 Q 且与直线 yx 平行的直线为 yx+t， 当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大， 第 16 页（共 19 页） 将 yx+t，代入椭圆方程，得 5x2+8tx+4t240，由相切的条件得， 64t245（4t2
33、4）0，解得，t， 则所求直线为 yx+或 yx，故与直线 yx 的距离为 则ABQ 面积的最大为 S2 【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线与圆的位置关系，注意等价的条件， 同时考查联立方程，消去变量的运算能力，属于中档题 20 （12 分）设函数 f（x）lnxx2+x （）求 f（x）的单调区间； （）求 f（x）在区间，e上的最大值 【分析】 （）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （）求出函数的单调区间，得到函数的最大值和最小值即可 【解答】解： （I）因为 f（x）lnxx2+x 其中 x0， 所以 f（x）2x+1， 令 f（x）0，解得：x1
34、，令 f（x）0，解得：0x1， 所以 f（x）的增区间为（0，1） ，减区间为（1，+） （II）由（I）f（x）在，1单调递增，在1，e上单调递减， f（x）maxf（1）0 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）x3x2+cx+d 有极值 （）求 c 的取值范围； （）若 f（x）在 x2 处取得极值，且当 x0 时，f（x）d2+2d 恒成立，求 d 的取 值范围 【分析】 （I）由已知中函数解析式 f（x）x3x2+cx+d，我们易求出导函数 f（x） 的解析式，然后根据函数 f（x）x3x2+cx+d 有极值，方
35、程 f（x）x2x+c0 有两个实数解，构造关于 c 的不等式，解不等式即可得到 c 的取值范围； （）若 f（x）在 x2 处取得极值，则 f（2）0，求出满足条件的 c 值后，可以分 第 17 页（共 19 页） 析出函数 f（x）x3x2+cx+d 的单调性，进而分析出当 x0 时，函数的最大值，又 由当 x0 时，f（x）d2+2d 恒成立，可以构造出一个关于 d 的不等式，解不等式即 可得到 d 的取值范围 【解答】解（）f（x）x3x2+cx+d， f（x）x2x+c，要使 f（x）有极值，则方程 f（x）x2x+c0 有两个实数解， 从而14c0， c （）f（x）在 x2 处取
36、得极值， f（2）42+c0， c2 f（x）x3x22x+d， f（x）x2x2（x2） （x+1） ， 当 x（，1时，f（x）0，函数单调递增，当 x（1，2时，f（x）0， 函数单调递减 x0 时，f（x）在 x1 处取得最大值， x0 时，f（x）恒成立， ，即（d+7） （d1）0， d7 或 d1， 即 d 的取值范围是（，7）（1，+） 【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最大值，最小值问题 中的应用，其中根据已知中函数的解析式，求出函数的导函数的解析式，是解答本题的 关键 22 （12 分）已知函数 f（x）2alnx+（a2）x，aR （）当 a1 时
37、，求函数 f（x）的最小值； （）当 a0 时，讨论函数 f（x）的单调性； （）是否存在实数 a，对任意的 x1，x2（0，+） ，且 x1x2，有a， 第 18 页（共 19 页） 恒成立，若存在求出 a 的取值范围，若不存在，说明理由 【分析】 （）显然函数 f（x）的定义域为（0，+） ，当 a1 时，求导函数 ，确定函数的单调性，从而可得 f（x）的最小值； （），根据 a0，将a 与 2 进行比较，分类讨论，从而可确定函数 f（x） 的单调性； （） 假设存在实数 a 使得对任意的 x1， x2 （0， +） ， 且 x1x2， 有 恒成立，不妨设 0x1x2，只要，即：f（x2）
38、ax2f（x1）ax1， 构建函数（x）f（x）ax，只要 g（x）在（0，+）为增函数，即使 g（x）0 在（0， +）恒成立，从而可确定是否存在实数 a 【解答】解： （）由题意，函数 f（x）的定义域为（0，+） ，（1 分） 当 a1 时，（2 分） 当 x（0，2）时，f（x）0，x（2，+） ，f（x）0 f（x）在 x2 时取得极小值且为最小值，其最小值为 f（2）2ln2（4 分） （），（5 分） （1）当2a0 时，若 x（0，a）时，f（x）0，f（x）为增函数； x（a，2）时，f（x）0，f（x）为减函数； x（2，+）时，f（x）0，f（x）为增函数 （2）当 a2
39、 时，x（0，+）时，f（x）为增函数； （3）当 a2 时，x（0，2）时，f（x）0，f（x）为增函数； x（2，a）时，f（x）0，f（x）为减函数； x（a，+）时，f（x）0，f（x）为增函数（9 分） （） 假设存在实数 a 使得对任意的 x1， x2 （0， +） ， 且 x1x2， 有 恒成立， 不妨设 0x1x2，只要，即：f（x2）ax2f（x1）ax1 第 19 页（共 19 页） 令 g（x）f（x）ax，只要 g（x）在（0，+）为增函数 又函数 考查函数（10 分） 要使 g（x）0 在（0，+）恒成立，只要12a0，即，（12 分） 故存在实数 a时，对任意的 x1，x2（0，+） ，且 x1x2，有 恒成立，（14 分） 【点评】本题考查导数知识的运用，考查利用导数确定函数的单调区间，考查是否存在 问题，考查分类讨论的数学思想，正确运用好导数工具是关键