1、 第 1 页（共 21 页） 2019-2020 学年江西省南昌十中高二（上）期末数学试卷（理科）学年江西省南昌十中高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 60 分）分） 1 （5 分）已知抛物线方程为 y4x2，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A （0，1） B C （1，0） D 2 （5 分）命题“10”的否定是（ ） Ax00，x0+ex010 Bx00，x0+ex010 Cx00，x0+ex010 Dx00，x0+ex010 3 （5 分）下列说法正确的是（ ） A若 f（x）sin，则 f（x）c
2、os B合情推理得到的结论不一定是正确的 C双曲线上的点到两焦点的距离之差等于 2a D若原命题为真命题，则否命题一定为假命题 4 （5 分）已知 f（x）x3，则（ ） A3 B12 C32 D48 5 （5 分）已知 p：log2x1，则 p 的充分不必要条件是（ ） Ax2 B0x2 C0x1 D0x3 6 （5 分）利用数学归纳法证明：不等式（n2，nN）的过程中， 由 nk 变到 nk+1 时，左边增加了（ ） A1 项 Bk 项 C2k 1 项 D2k项 7 （5 分）求的值为（ ） A B+1 C D+1 8 （5 分）函数在定义域上是增函数，求实数 a 的取值范围（ ） A （
3、1，+） B1，+） C （，1） D （，11，+） 9 （5 分）由曲线 yx2与 yx 所围成的图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为（ ） A B C D 第 2 页（共 21 页） 10 （5 分）已知双曲线右支上非顶点的一点 A 关于原点 O 的对 称点为 B，F 为其右焦点，若 AFFB，设ABF 且，则双曲线离 心率的取值范围是（ ） A B C D （2，+） 11 （5 分）设函数 f（x）在 R 上的导函数为 f（x） ，且 2f（x）+xf（x）4x2，下面的不等 式在 R 上恒成立的是（ ） Af（x）x Bf（x）x Cf（x）0 Df（x）0 12 （5 分）已
4、知椭圆+1 上一点 P（2，1） ，一条直线 l 与 OP 平行且与椭圆交于 A、 B 两点，直线 PA、PB 分别与 x 轴正半轴交于 M、N 两点，求|OM|+|ON|（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分）分） 13 （5 分）观察式子：1+，1+，1+，则可归 纳出式子为 14 （5 分）已知双曲线的离心率是则 n 15 （5 分）若 x1 是函数的极值点，则 a 的值 为 16 （5 分）已知直线 yx+1 与椭圆+1（ab0）相交于 A，B 两点，且 OA OB（O 为坐标原点） ，若椭
5、圆的离心率 e，则 a 的最大值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分）分） 17 （10 分）已知命题 p：不等式 ax2+ax+20 对任意 xR 恒成立，命题 （1）已知 p 为真，求 a 的取值范围 （2）若 pq 为假，pq 为真，求 a 的取值范围 18 （12 分）已知函数 f（x）ax3+bx23x 在 x1 和 x3 处取得极值 （1）求 a，b 的值 第 3 页（共 21 页） （2）求 f（x）在4，4内的最值 （3）过点（0，f（0） ）作曲线 yf（x）的切线，求切线方程 19 （12 分）在平面直角坐标系中，曲线 C1的参数
6、方程为（ 为参数） ，曲线 C2的参数方程为（ 为参数） （1）求曲线 C1直角坐标方程以及 C2的极坐标方程 （2）若是曲线 C1上的两点，求的值 20 （12 分）已知函数 f（x）（2a）lnx+2ax+（a0） （）求函数 f（x）的单调区间； （）若对任意的 a（3，2） ，x1，x21，3， （m+ln3）a2ln3|f（x1）f（x2） |恒成立，求实数 m 的取值范围 21 （12 分）已知圆 C1： （x+1）2+y216 内一点 P（1，0） ，Q 点为圆 C1上任意一点，线段 PQ 的垂直平分线与线段 C1Q 连线交于点 M （1）求点 M 的轨迹方程； （2） 设点 M
7、 的轨迹为曲线 C， 过点 P 的直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A、 B， 求C1AB 的内切圆半径的最大值 22 （12 分）已知函数 f（x）x2+ax+blnx（a，bR） （1）当 b1 时，f（x）在定义域内单调递增，求 a 的取值范围； （2）当 b1 时，f（x）0 对 x0 恒成立，求 a 的取值范围 第 4 页（共 21 页） 2019-2020 学年江西省南昌十中高二（上）期末数学试卷（理科）学年江西省南昌十中高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分
8、，共计 60 分）分） 1 （5 分）已知抛物线方程为 y4x2，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A （0，1） B C （1，0） D 【分析】先化抛物线的方程为标准方程，再确定焦点坐标 【解答】解：由题意，x2，故其焦点在 y 轴正半轴上，p 焦点坐标为（0，） 故选：B 【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程解题的时候注意抛物线的焦点在 x 轴还是 在 y 轴 2 （5 分）命题“10”的否定是（ ） Ax00，x0+ex010 Bx00，x0+ex010 Cx00，x0+ex010 Dx00，x0+ex010 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可 【解答】解：因为特称命题
9、的否定是全称命题， 所以：命题“10”的否定是：x00，x0+0 故选：D 【点评】本题考查的知识点是命题的否定，特称命题，难度不大，属于基础题 3 （5 分）下列说法正确的是（ ） A若 f（x）sin，则 f（x）cos B合情推理得到的结论不一定是正确的 C双曲线上的点到两焦点的距离之差等于 2a D若原命题为真命题，则否命题一定为假命题 【分析】A，根据 f（x）为常数，其导数为 0 判断 A 错误； B，合情推理得出的结论不一定正确； C，根据双曲线的定义判断命题错误； 第 5 页（共 21 页） D，原命题为真命题时，它的否命题不一定为假命题 【解答】解：对于 A，f（x）sin
10、为常数，所以 f（x）0，A 错误； 对于 B，合情推理包含归纳推理和类比推理， 归纳推理是从个别性知识推出一般性结论的推理，得出的结论不一定正确，所以 B 正确； 对于 C，双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值等于 2a，C 错误； 对于 D，原命题为真命题时，它的否命题不一定为假命题； 如“a0 时，|a|a”是真命题， 它的否命题“a0 时，|a|a”也是真命题，D 错误 故选：B 【点评】本题考查了命题的真假性判断问题，是基础题 4 （5 分）已知 f（x）x3，则（ ） A3 B12 C32 D48 【分析】根据题意，由导数的定义可得4f（2） ，求 出函数的导数，计算可得 f（2
11、）的值，即可得答案 【 解 答 】 解 ： 根 据 题 意 ， 4 4f（2） ， 又由 f（x）x3，则 f（x）3x2，则 f（2）12， 故4f（2）48； 故选：D 【点评】本题考查导数的定义以及极限的性质，属于基础题 5 （5 分）已知 p：log2x1，则 p 的充分不必要条件是（ ） Ax2 B0x2 C0x1 D0x3 【分析】先求出 x 的范围，再找真子集即可 【解答】解：log2x1，0x2， p：0x2， 选项中只有选项 C 是x|0x2的真子集， 故选：C 【点评】本题考查了充分必要条件，考查解对数不等式问题，是一道基础题 第 6 页（共 21 页） 6 （5 分）利用
12、数学归纳法证明：不等式（n2，nN）的过程中， 由 nk 变到 nk+1 时，左边增加了（ ） A1 项 Bk 项 C2k 1 项 D2k项 【分析】依题意，由 nk 递推到 nk+1 时，不等式左边为 1+ +，与 nk 时不等式的左边比较即可得到答案 【解答】解：用数学归纳法证明等式 1+f（n） （n2，nN*）的过程 中， 假设 nk 时不等式成立，左边1+， 则当 nk+1 时，左边1+， 由 nk 递推到 nk+1 时不等式左边增加了：+， 共（2k+11）2k+12k项， 故选：D 【点评】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题 7 （5 分）求的值为（ ） A
13、 B+1 C D+1 【分析】根据题意，（）dx+（xcosx）dx， 设 f（x），分析 f（x）的几何意义，计算可得（）dx 的值，设 g （x）xcosx，分析可得 g（x）为奇函数，据此可得（xcosx）dx 的值，相加即可得 答案 【解答】解：根据题意，（）dx+（xcosx） dx， 设 f （x） ， 易得 f （x） 的几何意义为圆 x2+y21 的上半部分， 则（） dx， 设 g（x）xcosx，则 g（x）为奇函数，则（xcosx）dx0， 第 7 页（共 21 页） 则（）dx+（xcosx）dx， 故选：A 【点评】本题考查定积分的计算，涉及定积分的几何意义，属于基础
14、题 8 （5 分）函数在定义域上是增函数，求实数 a 的取值范围（ ） A （1，+） B1，+） C （，1） D （，11，+） 【分析】根据 f（x）在定义域上是增函数，可得 f（x）0 在（0，+）上恒成立， 然后利用分离参数法求出 a 的取值范围 【解答】解：由，得 f（x）在定义域上是增函数，f（x）0 在（0，+）上恒成立， 在（0，+）上恒成立，只需（x0） 当 x0 时，函数， 当且仅当 x1 时取等号，g（x）max1， ag（x）max1，a 的取值范围为1，+） 故选：B 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，利用单调性求参数范围，考查 了转化思想，属中档题
15、 9 （5 分）由曲线 yx2与 yx 所围成的图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为（ ） A B C D 【分析】欲求曲线 yx2和 y2x 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周后所形成的旋转体的 体积，可利用定积分计算，即求出被积函数 y（x2x4）在 01 上的积分即可 【解答】解：联立，得或， 曲线 yx2与 yx 所围成的图形交于点 O（0，0） ，A（1，0） ， 根据积分公式得曲线yx2与yx所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为： V（） 第 8 页（共 21 页） 故选：B 【点评】本题考查旋转体的体积的求法，考查定积分的应用等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题
16、10 （5 分）已知双曲线右支上非顶点的一点 A 关于原点 O 的对 称点为 B，F 为其右焦点，若 AFFB，设ABF 且，则双曲线离 心率的取值范围是（ ） A B C D （2，+） 【分析】 作出对应的图象， 设双曲线的左焦点为 F， 连接 AF， BF 则四边形 AFBF 为矩形因此|AB|FF|2c|AF|2csin，|BF|2ccos可得 e ，求出即可 【解答】解：如图所示，设双曲线的左焦点为 F，连接 AF，BF AFFB，四边形 AFBF为矩形 因此|AB|FF|2c 则|AF|2csin，|BF|2ccos |AF|AF|2a 2ccos2csin2a 即 c（cossi
17、n）a， 则 e， ， （，） ， 第 9 页（共 21 页） 则 cos（）（0，） ， cos（）（0，） ， 则， 即 e， 故双曲线离心率的取值范围是， 故选：C 【点评】本题考查了双曲线的定义及其性质、两角差的余弦公式、余弦函数的单调性， 考查了推理能力与计算能力，注意利用数形结合进行求解 11 （5 分）设函数 f（x）在 R 上的导函数为 f（x） ，且 2f（x）+xf（x）4x2，下面的不等 式在 R 上恒成立的是（ ） Af（x）x Bf（x）x Cf（x）0 Df（x）0 【分析】针对这些没有固定套路解决的选择题，最好的办法就是排除法，本题可选择特 殊值和特殊函数来排除错
18、误选项 【解答】解：由 2f（x）+xf（x）4x2，令 x0，则 f（0）0，故可排除 B，D 假设 f（x）x2+0.1，则 f（x）2x，2f（x）+xf（x）4x20.20， 2f（x）+xf（x）4x2，但是 f（x）x 未必成立，故可排除 A 故选：C 【点评】本题考查了运用导数来解决函数单调性的问题，通过分析解析式的特点，考查 了分析问题和解决问题的能力，属中档题 第 10 页（共 21 页） 12 （5 分）已知椭圆+1 上一点 P（2，1） ，一条直线 l 与 OP 平行且与椭圆交于 A、 B 两点，直线 PA、PB 分别与 x 轴正半轴交于 M、N 两点，求|OM|+|ON
19、|（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】本题根据题意可得 kOP，则可设直线 l：yxm， （m0） 然后设 A（x1， y1） ， B （x2， y2） ， M （xM， 0） ， N （xN， 0） ， 通过计算得到 xM2， xN2 则 |OM|+|ON|4（+） 再联立直线与椭圆方程，消去 x 整理可得一元二次方 程，根据韦达定理有 y1+y2m，y1y2代入+进行计算，最终可 得|OM|+|ON|的值 【解答】解：由题意，可得 kOP，则可设直线 l：yxm， （m0） 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，M（xM，0） ，N（xN，0） ，则 直线 lPA：，代入点 M（
20、xM，0） ，解得 xM2 同理可得，xN2 故|OM|+|ON|4（+） 第 11 页（共 21 页） 联立， 消去 x，整理得 2y2+2my+m220 则 y1+y2m，y1y2 + 4+2m（+） 4+2m 4+2m 422 0 |OM|+|ON|4 故选：D 【点评】本题主要考查直线与椭圆综合的问题，考查了直线方程的两点式，韦达定理， 方程思想的应用，考查了逻辑思维能力和数学运算能力本题属中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分）分） 13 （5 分）观察式子：1+，1+，1+，则可归 纳出式子为 1+， （n2）
21、 【分析】根据题意，由每个不等式的左边的最后一项的通项公式，以及右边式子的通项 公式，可得答案 【解答】解：根据题意，1+，1+，1+， 第 n 个式子的左边应该是：， 右边应该是：，并且 n 满足不小于 2 第 12 页（共 21 页） 所以第 n 个式子为：1+， （n2） 故答案为：1+， （n2） 【点评】本题考查了归纳推理，培养学生分析问题的能力归纳推理的一般步骤是： （1） 通过观察个别情况发现某些相同性质； （2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一 般性命题（猜想） 14 （5 分）已知双曲线的离心率是则 n 6 或 12 【分析】利用离心率定义及 c2a2+b2，利用分类讨
22、论求出 n 即可 【解答】解：双曲线的离心率是 双曲线的焦点坐标在 x 轴上，可得：，解得 n12， 双曲线的焦点坐标在 y 轴时，可得：，n6， 故答案为：6 或 12 【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其几何性质，属基础题 15（5 分） 若 x1 是函数的极值点， 则 a 的值为 3 【分析】由题意可得，f（1）a2+a+60，解方程可求 a，然后进行检验即可 【解答】解：由可得，f（x）x2+2（a+1）x （a2+a3） ， 由题意可得，f（1）a2+a+60， 解可得，a3 或 a2， 当 a2 时，f（x）（x1）20，此时函数单调递增，没有极值点，舍去 故 a3， 故答案为：
23、3 【点评】本题主要考查了极值存在条件的应用，除了该点出的导数为 0 为，还要注意两 边得有符号的改变 16 （5 分）已知直线 yx+1 与椭圆+1（ab0）相交于 A，B 两点，且 OA 第 13 页（共 21 页） OB（O 为坐标原点） ，若椭圆的离心率 e，则 a 的最大值为 【分析】将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，向量数量积的坐标运算，求得 2a2 1+，由离心率的取值范围，即可求得 a 的最大值 【解答】解：设 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ， 由，消去 y，可得（a2+b2）x22a2x+a2（1b2）0， 则 x1+x2，x1x2， 由（2a2）24a2（a2+b
24、2） （1b2）0，整理得 a2+b21 y1y2（x1+1） （x2+1）x1x2（x1+x2）+1 OAOB（其中 O 为坐标原点） ，可得0 x1x2+y1y20，即 x1x2+（x1+1） （x2+1）0，化简得 2x1x2（x1+x2）+10 2+10整理得 a2+b22a2b20 b2a2c2a2a2e2， 代入上式，化简得 2a21+， a2（1+） e，平方得e2， 1e2，可得 4， 因此2a21+5，a2，可得 a2的最大值为， 满足条件 a2+b21， 当椭圆的离心率 e时，a 的最大值为 故答案为： 【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数
25、量积的 坐标运算，考查计算能力，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共计小题，共计 70 分）分） 第 14 页（共 21 页） 17 （10 分）已知命题 p：不等式 ax2+ax+20 对任意 xR 恒成立，命题 （1）已知 p 为真，求 a 的取值范围 （2）若 pq 为假，pq 为真，求 a 的取值范围 【分析】 （1）命题 p：不等式 ax2+ax+20 对任意 xR 恒成立，则 a0，20，或 ，即可得出 （2）命题可得 a+10， （a+1） （a4）0，解得 a 范围若 pq 为假， pq 为真，则 p，q 必然一真一假即可得出 【解答】解： （1）
26、命题 p：不等式 ax2+ax+20 对任意 xR 恒成立，则 a0，20，或 ， 解得 0a8 （2）命题a+10， （a+1） （a4）0，解得1a4 若 pq 为假，pq 为真，则 p，q 必然一真一假 p 真 q 假时，解得 4a8 q 真 p 假时，解得1a0 a 的取值范围是 4a8 或1a0 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 18 （12 分）已知函数 f（x）ax3+bx23x 在 x1 和 x3 处取得极值 （1）求 a，b 的值 （2）求 f（x）在4，4内的最值 （3）过点（0，f（0） ）作曲线 yf（x）的切线
27、，求切线方程 【分析】 （1）f（x）3ax2+2bx30 的两根为1，3，结合方程的根与系数关系可 求， （2）由（1）可，f（x）（x3） （x+1） ，结合导数与单调性及最值的关系可求 （3） 结合导数的几何意义可建立切线斜率的关系式， 可求切线斜率， 进而可求切线方程 第 15 页（共 21 页） 【解答】解： （1）f（x）3ax2+2bx3， 由题意可得 f（x）3ax2+2bx30 的两根为1，3， 则， 解可得 a，b1， （2）由（1）可得 f（x），f（x）（x3） （x+1） ， 易得 f（x）在（，1） ， （3，+）上单调递增，在（1，3）上单调递减， f（4），f（
28、1），f（3）9，f（4）， f（x）minf（4），f（x）maxf（1）， （3）由题意可得 f（0）0，设切点（） ，切线 ykx， 则， 解可得 k3 或 k， 切线方程 y3x 或 y 【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，最值及导数的及导数几何意义的 应用，属于中档试题 19 （12 分）在平面直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ，曲线 C2的参数方程为（ 为参数） （1）求曲线 C1直角坐标方程以及 C2的极坐标方程 （2）若是曲线 C1上的两点，求的值 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换， 求出结果 （2）利用
29、极径的应用和关系式的变换的应用求出结果 【解答】解： （1）曲线 C1的参数方程为（ 为参数） ， 第 16 页（共 21 页） 转换为直角坐标方程为：， 曲线 C2的参数方程为（ 为参数） 转换为直角坐标方程为： （x1）2+y21 转换为极坐标方程为：2cos （2）将曲线的 C1的方程转换 所以 A（1，） ，B（） 代入得： 所以： 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径 的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 20 （12 分）已知函数 f（x）（2a）lnx+2ax+（a0） （）求函数 f（x）的单调区间； （）若对
30、任意的 a（3，2） ，x1，x21，3， （m+ln3）a2ln3|f（x1）f（x2） |恒成立，求实数 m 的取值范围 【分析】 （）求导后利用导函数的分子函数的图象，可以比较容易的判断单调性 （）利用上一问的结论的单调性，先去掉绝对值符号，转化为一般的恒成立，再分离 参数后按照常规方法求解即可 【 解 答 】 解 ： （ ） 函 数 的 定 义 域 为 （ 0 ， + ） ， ， 令 f（x）0，得到或，借助分子函数的图象， 我们可以轻松判断其单调性， 当且 a0，即 a2 时，f（x）0，f（x）单调递减， ，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）0，f（x）单 第 17 页（共 2
31、1 页） 调递减， 当且 a0，即2a0 时，f（x）0，f（x）单调递减， ，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）0，f（x）单 调递减， 当且 a0，即 a2 时，x（0，+） ，f（x）0 恒成立， 当且仅当时取得等号，故 f（x）单调递减， 综上所述， 当 a2 时， 函数 f （x） 在，上单调递减， 在 单调递增； 当2a0 时，函数 f（x）在，上单调递减，在 单 调递增； 当 a2 时，函数 f（x）在（0，+）上单调递减； （）由（）可知，当 a（3，2）时，f（x）在1，3上单调递减， 故， 由（m+ln3）a2ln3|f（x1）f（x2）|恒成立，即（m+ln3）a2l
32、n3|f（x1）f（x2） |max， 故，整理得到， ，由于 a0，即得到， 由于3a2，故， 故 【点评】 （）导函数的分子是二次函数，其图象的正负恰好可以刻画原函数的增减性； 这也是高中再次学习二次函数的原因所在 （）含有绝对值符号的题目，一般思路想办法去掉绝对值符号，这里利用单调性去掉 绝对值符号，转化为一般的恒成立问题，然后分离参数按常规方法处理即可，最后在取 值时要注意，函数取不到最小值，所以参数 m 就可以取得等号 21 （12 分）已知圆 C1： （x+1）2+y216 内一点 P（1，0） ，Q 点为圆 C1上任意一点，线段 PQ 的垂直平分线与线段 C1Q 连线交于点 M
33、第 18 页（共 21 页） （1）求点 M 的轨迹方程； （2） 设点 M 的轨迹为曲线 C， 过点 P 的直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A、 B， 求C1AB 的内切圆半径的最大值 【分析】 （1） 如图所示， |MC1|+|MP|QC1|4 由椭圆的定义可得点 M 的轨迹为椭圆 由 2a4，c1，b2a2c2，即可得出椭圆的标准方程 （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，设C1AB 的内切圆的半径为 R，因为C1AB 的周长 为 4a8，因此最大，R 就最 大，由题意知，直线 l 的斜率不为零，可 设直线 l 的方程为 xmy+1，与椭圆方程联立可得： （3m2+4）
34、y2+6my90，利用根与 系数的关系可得，通过换元利用函数的单调性即可得出 【解答】解： （1）如图所示，|MC1|+|MP|QC1|4 由椭圆的定义可得点 M 的轨迹为椭圆 2a4，c1可得 a2 b2a2c23 故椭圆的标准方程为 （3 分） （2）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，设C1AB 的内切圆的半径为 R， 因为C1AB 的周长为 4a8， 因此最大，R 就最大 ， 由题意知，直线 l 的斜率不为零，可设直线 l 的方程为 xmy+1， 由得（3m2+4）y2+6my90， （5 分） 所以 （6 分） 又因直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点，故0，即（6m）2+3
35、6（3m2+4）0，mR， 则 （8 第 19 页（共 21 页） 分） 令，则 t1， 令， （10 分） 由函数的性质可知，函数 f（t）在上是单调递增函数，即当 t1 时，f（t） 在1，+）上单调递增， 因此有， 所以， 即当 t1，m0 时，最大，此时， 故当直线 l 的方程为 x1 时，内切圆半径的最大值为 （12 分） 【点评】本题考查了椭圆与圆的的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、 不等式的解法、线段垂直平分线的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力， 属于难题 22 （12 分）已知函数 f（x）x2+ax+blnx（a，bR） 第 20 页（共 21 页
36、） （1）当 b1 时，f（x）在定义域内单调递增，求 a 的取值范围； （2）当 b1 时，f（x）0 对 x0 恒成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）因为 f（x）在定义域内单调递增，所以 f（x）0 在（0，+）上恒成立， 即在（0，+）上恒成立，令，则 ah（x）max，利用 基本不等式求出 h（x）的最大值即可； （2）若 b1，则 f （x） x2+axlnx，f （x）， （x0） ，令 g （x）2x2+ax 1， （x0） ，由 g（0）0 可知 g（x）在（0，+）上有且仅有一个零点，设为 x0， 所以 f（x）min1xlnx0，依题意，即，令 h （x）x2+ln
37、x1 （x0） ，易知 a2x0 在（0，1）上单调递减，从而求出 a 的取 值范围 【解答】解： （1）当 b1 时，函数 f（x）x2+ax+lnx，定义域为（0，+） ， ， f（x）在定义域内单调递增， f（x）0 在（0，+）上恒成立，即 2x2+ax+10 在（0，+）上恒成立， 在（0，+）上恒成立， 令，则 ah（x）max， 又， ； （2）若 b1，则 f（x）x2+axlnx，f（x）， （x0） ， 令 g（x）2x2+ax1， （x0） ， 由 g（0）0 可知 g（x）在（0，+）上有且仅有一个零点，设为 x0， 当 x（0，x0）时，g（x）0，即 f（x）0，故 f（x）在（0，x0）上单调递减， 当 x（x0，+）时，g（x）0，即 f（x）0，故 f（x）在（x0，+）上单调递增， ， 又， f（x）min1xlnx0， 第 21 页（共 21 页） 依题意，即， 令 h（x）x2+lnx1 （x0） ， 易知 h（x）x2+lnx1 在（0，+） 上单调递增， 且 h（1）0，故 0x01， 又，即 a， 易知 a2x0 在（0，1）上单调递减， a1，+） 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，是中档题