1、 第 1 页（共 23 页） 2019-2020 学年江西省上饶市高二（上）期末数学试卷（理科）学年江西省上饶市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 （5 分）若 ab0，则下列不等式中成立的是（ ） A|a|b B C D 2 （5 分）一班有学员 54 人，二班有学员 42 人，现在要用分层抽样的方法，从两个班抽出 一部分学员参加 44 方队进行军训表演，则一班与二班分别被抽取的人数是
2、（ ） A9 人，7 人 B15 人，1 人 C8 人，8 人 D12 人，4 人 3 （5 分）用数学归纳法证明“1+n（n2） ”时，由 nk 的假设证明 n k+1 时，不等式左边需增加的项数为（ ） A2k 1 B2k1 C2k D2k+1 4 （5 分）已知变量 x，y 满足约束条件，目标函数 z2x+y，则（ ） Az 的最小值为 3，z 无最大值 Bz 的最小值为 1，最大值为 3 Cz 的最小值为 3，z 无最小值 Dz 的最小值为 1，z 无最大值 5（5 分） 如果不等式 mx2+mx+m+10 对任意实数 x 都成立， 则实数 m 的取值范围是 （ ） Am0 B C D
3、或 m0 6 （5 分）若二项式展开式的二项式系数之和为 8，则该展开式的系数之和为 （ ） A1 B1 C27 D27 7 （5 分）某程序框图如图所示，若输出结果是 126，则判断框中可以是（ ） 第 2 页（共 23 页） Ai6 Bi7 Ci6 Di5 8 （5 分）用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数 共有（ ） A144 个 B120 个 C96 个 D72 个 9 （5 分）有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一 行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（ ）种 A48 B72 C78 D84 10 （
4、5 分）如图所示，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形，将一颗豆子随 机地扔到该圆内，事件 A 表示“豆子落在正方形 EFGH 内” ，事件 B 表示“豆子落在扇 形 OHE（阴影部分）内” ，则 P（B|A）等于（ ） A B C D 11 （5 分） 已知实数 x， y 满足 （x2） 2+ （y5）24， 则 的最大值为 （ ） A B C D 12 （5 分）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形 ABCD（边 长为 2 个单位）的顶点 A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行 第 3 页（共 23 页） 走的单位，如果掷出的
5、点数为 i（i1，2，6） ，则棋子就按逆时针方向行走 i 个单位， 一直循环下去则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A 处的所有不同走法共有 （ ） A22 种 B24 种 C25 种 D27 种 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案填在答题卡上请把答案填在答题卡上. 13 （5 分）已知随机变量 服从正态分布 N（1，2） ，则 D（2+3） 14 （5 分）不等式的解集是 15 （5 分）将正整数对作如下分组，第 1 组为（1，2） ， （2，1），第 2 组为（1，3） ， （3， 1），第 3 组为（1，4）
6、 ， （2，3） ， （3，2） ， （4，1），第 4 组为（1，5） ， （2，4） ， （4， 2） ， （5，1）则第 30 组第 16 个数对为 16 （5 分）下列关于概率和统计的几种说法：10 名工人某天生产同一种零件，产生的件 数分别是 15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为 a，中位数为 b，众 数为 c，则 a，b，c 的大小为 cab；样本 4，2，1，0，2 的标准差是 2；在面 积为 S 的ABC 内任选一点 P，则随机事件“PBC 的面积小于”的概率为；从 写有 0，1，2，9 的十张卡片中，有放回地每次抽一张，连抽两次，则两张卡片
7、上的 数字各不相同的概率为其中正确说法的序号有 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17 （请写出式子在写计算结果） 有 4 个不同的小球，4 个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内： （1）共有多少种方法？ （2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？ （3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？ 18某大学毕业生参加一个公司的招聘考试，考试分笔试和面试两个环节，笔试有 A、B 两 个题目，该学生答对 A、B 两题的概率分别为、，两题全部答对方可进入面试面试 第 4 页（共
8、23 页） 要回答甲、乙两个问题，该学生答对这两个问题的概率均为，至少答对一个问题即可 被聘用，若只答对一问聘为职员，答对两问聘为助理（假设每个环节的每个题目或问题 回答正确与否是相互独立的） （1）求该学生被公司聘用的概率； （2）设该学生应聘结束后答对的题目或问题的总个数为 ，求 的分布列和数学期望 19司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生 命为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了 100 名机动车司机，得到以 下统计： 在 55 名男性司机中， 开车时使用手机的有 40 人， 开车时不使用手机的有 15 人； 在 45 名女性司机中，开车
9、时使用手机的有 20 人，开车时不使用手机的有 25 人 （）完成下面的 22 列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为开车时使用手机与司机 的性别有关； 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 女性司机人数 合计 （）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽 检 3 辆，记这 3 辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为 X，若每次抽检的结果 都相互独立，求 X 的分布列和数学期望 E（X） 参考公式与数据：，其中 na+b+c+d P（2k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.07
10、2 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款 （年底余额） ，如表 1： 年份 x 2011 2012 2013 2014 2015 储蓄存款 y（千亿元） 5 6 7 8 10 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，tx2010，zy5 得到下 表 2： 第 5 页（共 23 页） 时间代号 t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 （）求 z 关于 t 的线性回归方程； （）用所求回归方程预测到 2020 年年底，该地储蓄存款额可达多少？ （附：对于线性回归
11、方程，其中 ， ） 21 上饶市在某次高三适应性考试中对数学成绩数据统计显示， 全市 10000 名学生的成绩近 似服从正态分布 N（120，52） ，现某校随机抽取了 50 名学生的数学成绩分析，结果这 50 名学生的成绩全部介于 85 分到 145 分之间，现将结果按如下方式分为 6 组，第一组85， 95） ，第二组95，105） ，第六组135，145，得到如图所示的频率分布直方图： （1）试由样本频率分布直方图估计该校数学成绩的平均分数； （2）若从这 50 名学生中成绩在 125 分（含 125 分）以上的同学中任意抽取 3 人，该 3 人在全市前 13 名的人数记为 X，求 X2
12、 的概率 附：若 XN（，2） ，则 P（X+）0.6826，P（2X+2） 0.9544，P（3X+3）0.9974 22对在直角坐标系的第一象限内的任意两点（a，b） ， （c，d）作如下定义：，那 么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点” ，同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点” （1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）设 a、b、c、d 均为正数，且点（a，b）是点（c，d）的上位点，请判断点 P（a+c， b+d）是否既是点（a，b）的“下位点”又是点（c，d）的“上位点” ，如果是请证明， 如果不是请说明理由； （3）设正整数 n 满足以下条
13、件：对任意实数 mt|0t2019，tZ，总存在 kN*，使 得点（n，k）既是点（2019，m）的“下位点” ，又是点（2020，m+1）的“上位点” ，求 第 6 页（共 23 页） 正整数 n 的最小值 第 7 页（共 23 页） 2019-2020 学年江西省上饶市高二（上）期末数学试卷（理科）学年江西省上饶市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的.
14、1 （5 分）若 ab0，则下列不等式中成立的是（ ） A|a|b B C D 【分析】对于 A，用不等式的性质可以论证，对于 B，C，D，列举反例，可以判断 【解答】解：a0，|a|a，ab0，ab0，|a|b，故结论 A 成立； 取 a2，b1，则 ，B 不正确； ，C 不正确； ，D 不正确 故选：A 【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是利用不等式的性质，不正确结论，列举 反例 2 （5 分）一班有学员 54 人，二班有学员 42 人，现在要用分层抽样的方法，从两个班抽出 一部分学员参加 44 方队进行军训表演，则一班与二班分别被抽取的人数是（ ） A9 人，7 人 B15 人，1
15、 人 C8 人，8 人 D12 人，4 人 【分析】先求得抽样比例，再用一班与二班乘以这个比例，即得到样本中一班与二班的 人数 【解答】解：利用分层抽样的方法得， 一班应抽出 169 人 二班应抽出 1697 人， 则一班与二班分别被抽取的人数是 9，7 故选：A 第 8 页（共 23 页） 【点评】本题考查了分层抽样方法的应用，即在各层抽取的比例是 ，根根据 题意求出抽取比例和在各层抽取的个体数 3 （5 分）用数学归纳法证明“1+n（n2） ”时，由 nk 的假设证明 n k+1 时，不等式左边需增加的项数为（ ） A2k 1 B2k1 C2k D2k+1 【分析】分别写出 nk 和 nk
16、+1 时，不等式左边的所有项，根据分母特点计算多出的 项数 【解答】解：nk 时，左边1+， 当 nk+1 时，左边1+ 左边增加的项数为 2k+11（2k1）2k+12k2k 故选：C 【点评】本题考查了数学归纳法的证明步骤，属于基础题 4 （5 分）已知变量 x，y 满足约束条件，目标函数 z2x+y，则（ ） Az 的最小值为 3，z 无最大值 Bz 的最小值为 1，最大值为 3 Cz 的最小值为 3，z 无最小值 Dz 的最小值为 1，z 无最大值 【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标 函数得答案 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 化目标函
17、数 z2x+y 为 y2x+z， 由图可知，当直线 y2x+z 过 A（1，1）时 直线在 y 轴上的截距最小，z 最小，为 2111， 无最大值 故选：D 第 9 页（共 23 页） 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 5（5 分） 如果不等式 mx2+mx+m+10 对任意实数 x 都成立， 则实数 m 的取值范围是 （ ） Am0 B C D或 m0 【分析】结合已知，对 m 分类讨论是否为 0，然后结合二次函数的性质可求 【解答】解：当 m0 时，10 恒成立，符合题意； 当 m0 时，可得， 解可得，m0， 综上可得，m0 故选：A 【点评】本题
18、主要考查了不等式的恒成立问题的应用，体现了分类讨论思想的应用 6 （5 分）若二项式展开式的二项式系数之和为 8，则该展开式的系数之和为 （ ） A1 B1 C27 D27 【分析】根据二项式展开式的二项式系数之和 2n，求出 n 的值；再令 x1 求出二项式展 开式的系数之和 【解答】解：二项式展开式的二项式系数之和为 8， 所以 2n8，解得 n3； 所以展开式的系数之和为： 第 10 页（共 23 页） （12）31 故选：A 【点评】本题考查了二项式展开式的二项式系数之和与展开式的各项系数之和的计算问 题，是基础题 7 （5 分）某程序框图如图所示，若输出结果是 126，则判断框中可以
19、是（ ） Ai6 Bi7 Ci6 Di5 【分析】先根据已知循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后输出的结果， 从而得出所求 【解答】解：根据题意可知该循环体运行情况如下： 第 1 次：s0+212，i1+12 第 2 次：s2+226，i3 第 3 次：s6+2314，i4 第 4 次：s14+2430，i5 第 5 次：s30+2562，i6 第 6 次：s62+26126，i7 因为输出结果是 126，结束循环，判断框应该是 i6 故选：A 第 11 页（共 23 页） 【点评】本题主要考查了循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环 结构，以及周期性的运用，属于基
20、础题新课改地区高考常考题型也可以利用循环的 规律求解 8 （5 分）用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数 共有（ ） A144 个 B120 个 C96 个 D72 个 【分析】 根据题意， 符合条件的五位数首位数字必须是 4、5 其中 1 个， 末位数字为 0、 2、 4 中其中 1 个；进而对首位数字分 2 种情况讨论，首位数字为 5 时，首位数字为 4 时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理 可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案 【解答】解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是 4、5
21、 其中 1 个，末位数字为 0、2、4 中其中 1 个； 分两种情况讨论： 首位数字为 5 时，末位数字有 3 种情况，在剩余的 4 个数中任取 3 个，放在剩余的 3 个位置上，有 A4324 种情况，此时有 32472 个， 首位数字为 4 时，末位数字有 2 种情况，在剩余的 4 个数中任取 3 个，放在剩余的 3 个位置上，有 A4324 种情况，此时有 22448 个， 共有 72+48120 个 故选：B 【点评】本题考查计数原理的运用，关键是根据题意，分析出满足题意的五位数的首位、 末位数字的特征，进而可得其可选的情况 第 12 页（共 23 页） 9 （5 分）有红色、黄色小球
22、各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一 行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（ ）种 A48 B72 C78 D84 【分析】由排列组合及简单的计数问题得：将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同 的排法共有+48（种） ，得解 【解答】解：将五个球排成一行共有种不同的排法， 当两个红色球相邻共有种不同的排法， 当两个黄色球相邻共有种不同的排法， 当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有种不同的排法， 则 将 五 球 排 成 一 行 ， 颜 色 相 同 者 不 相 邻 ， 不 同 的 排 法 共 有 +1204848+2448（种） ， 故选：A 【点评】本题考查了排列组合及简单的计
23、数问题，属中档题 10 （5 分）如图所示，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形，将一颗豆子随 机地扔到该圆内，事件 A 表示“豆子落在正方形 EFGH 内” ，事件 B 表示“豆子落在扇 形 OHE（阴影部分）内” ，则 P（B|A）等于（ ） A B C D 【分析】 根据题意， 求出圆 O 的面积和正方形 EFGH 的面积， 由几何概型公式可得 P （A） 和 P（AB） ，进而由条件概率公式计算可得答案 【解答】解：根据题意，圆 O 的半径为 1，则圆 O 的面积 S1， EFGH 是以 O 为圆心， 半径为 1 的圆的内接正方形， 则正方形 EFGH 的边长为r，
24、 其面积 S22， 第 13 页（共 23 页） 故 P（A）， 而OEH 的面积为正方形 EFGH 的，则其面积 S3S2， 则 P（AB）， P（B|A）； 故选：B 【点评】本题考查几何概型的计算以及条件概率的计算，关键是掌握有关的公式，属于 基础题 11 （5 分） 已知实数 x， y 满足 （x2） 2+ （y5）24， 则 的最大值为 （ ） A B C D 【分析】当 x0 时，则0，当 x0 时， 利用基本不等式即可求解最大值 【解答】解：x，y 满足（x2）2+（y5）24， 所以，0x4，y37， 当 x0 时，则0， 当 x0 时， 当且仅当时取等号，此时取得最大值 故选
25、：A 【点评】本题主要考了利用基本不等式求解最值，解题的关键是基本不等式的应用条件 的配凑 12 （5 分）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形 ABCD（边 长为 2 个单位）的顶点 A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行 走的单位，如果掷出的点数为 i（i1，2，6） ，则棋子就按逆时针方向行走 i 个单位， 第 14 页（共 23 页） 一直循环下去则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A 处的所有不同走法共有 （ ） A22 种 B24 种 C25 种 D27 种 【分析】根据题意，分析可得若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A 处，则三次骰子
26、的 点数之和是 8 或 16，据此列举列分析点数中三个数字为 8 或 16 的组合数目，结合排列、 组合数公式分析每种组合的顺序数目，由加法原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，正方形 ABCD 的边长为 2 个单位，则其周长是 8， 若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A 处，则三次骰子的点数之和是 8 或 16， 若三次骰子的点数之和是 8，有 1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共 5 种组合， 若三次骰子的点数之和是 16，有 4、6、6，5、5、6，共 2 种组合， 其中 1、1、6，2、2、4，2、3、3，4、6、6，5、5、6，这 5 种组合有 C313
27、种顺序， 1、2、5，1、3、4，这 2 种组合有 A336 种顺序， 则抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A 处的所有不同走法 35+2627 种， 故选：D 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理，关键分析抛掷三次骰子后棋 子恰好又回到点 A 处的情况 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.请把答案填在答题卡上请把答案填在答题卡上. 13 （5 分）已知随机变量 服从正态分布 N（1，2） ，则 D（2+3） 8 【分析】由已知求得 D（） ，再由 D（2+3）22D（）得答案 【解答】解：随机变量 服从正态分布 N
28、（1，2） ，D（）2， 则 D（2+3）22D（）8 故答案为：8 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查方差的求法，是基础 题 14 （5 分）不等式的解集是 x| 第 15 页（共 23 页） 【分析】先进行移项通分进行化简后即可求解 【解答】解：由可得0， 即， 解可得， 故不等式的解集为x| 故答案为：x| 【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础试题 15 （5 分）将正整数对作如下分组，第 1 组为（1，2） ， （2，1），第 2 组为（1，3） ， （3， 1），第 3 组为（1，4） ， （2，3） ， （3，2） ， （4，1），第 4 组为（
29、1，5） ， （2，4） ， （4， 2） ， （5，1）则第 30 组第 16 个数对为 （17，15） 【分析】由题意可得第 n 组各个数和为 n+2，且各个数对无重复数字，按照顺序排列， 即可得到所求数对 【解答】解：由题意可得第一组的各个数和为 3，第二组各个数和为 4， 第三组各个数和为 5，第四组各个数和为 6， ，第 n 组各个数和为 n+2，且各个数对无重复数字， 可得第 30 组各个数和为 32， 则第 30 组第 16 个数对为（17，15） 故答案为： （17，15） 【点评】本题考查归纳推理的应用，注意总结各组数对的特点，考查判断能力和推理能 力，属于基础题 16 （5
30、 分）下列关于概率和统计的几种说法：10 名工人某天生产同一种零件，产生的件 数分别是 15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为 a，中位数为 b，众 数为 c，则 a，b，c 的大小为 cab；样本 4，2，1，0，2 的标准差是 2；在面 积为 S 的ABC 内任选一点 P，则随机事件“PBC 的面积小于”的概率为；从 写有 0，1，2，9 的十张卡片中，有放回地每次抽一张，连抽两次，则两张卡片上的 数字各不相同的概率为其中正确说法的序号有 【分析】根据平均数，中位数，众数的定义进行比较即可 第 16 页（共 23 页） 根据标准差的公式进行判断 根据几何概
31、型的概率公式进行求解判断 根据概率公式进行判断 【解答】解： ：10 名工人某天生产同一种零件，产生的件数分别是 15，17，14，10， 15，17，17，16，14，12， 按照大小排列为 10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，则其平均数为 a15+（ 5311+1+2+2+2）150.314.7， 中位数为 b15，众数为 c17，则 a，b，c 的大小为 cba；故错误， 样本 4， 2， 1， 0， 2 的平均数为 1， 标准差 ，故错误； 解：作出ABC 的高 AO，当“PBC 的面积等于”时，此时 OP， 要使“PBC 的面积小于” ，则 P 位于阴影部分，
32、 则AEF 的面积 S1， 则阴影部分的面积为， 则根据几何概型的概率公式可得“PBC 的面积小于”的概率为，故错误， 由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生所包含的事件数是 1010100， 满足条件的事件数，第一次有 10 种结果，第二次有 9 种结果，共有 10990 种结果， 两张卡片数字各不相同的概率是 P故正确， 故答案为： 【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及统计与概率的知识，综合性较强，有一定 第 17 页（共 23 页） 的难度 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明，
33、证明过程或演算步骤. 17 （请写出式子在写计算结果） 有 4 个不同的小球，4 个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内： （1）共有多少种方法？ （2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？ （3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？ 【分析】 （1）每个球都有 4 种方法，故根据分步计数原理可求， （2）将 4 个不同的小球全排列即可求出 （3）由题意知需要先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有 2 个小球，从 4 个 小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得 到结果 【解答】解： （1）每个球都有 4 种方法，故有 4444256 种， （2）每个
34、盒子不空，共有 A4424 不同的方法， （3）四个不同的小球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有 一个盒子中有 2 个小球， 从 4 个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有 C42A43 144 种不同的放法 【点评】本题考查察排列、组合的实际应用，解题的过程中注意这种有条件的排列要分 两步走，先选元素再排列 18某大学毕业生参加一个公司的招聘考试，考试分笔试和面试两个环节，笔试有 A、B 两 个题目，该学生答对 A、B 两题的概率分别为、，两题全部答对方可进入面试面试 要回答甲、乙两个问题，该学生答对这两个问题的概率均为，至少答对一个
35、问题即可 被聘用，若只答对一问聘为职员，答对两问聘为助理（假设每个环节的每个题目或问题 回答正确与否是相互独立的） （1）求该学生被公司聘用的概率； （2）设该学生应聘结束后答对的题目或问题的总个数为 ，求 的分布列和数学期望 【分析】 （1）设答对 A，B，甲、乙各题分别为事件 A，B，C，D，则 P（A），P（B） 第 18 页（共 23 页） ，P（C）P（D），由此能求出该学生被公司聘用的概率 （2） 的取值为 0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和 E 【解答】解： （1）设答对 A，B，甲、乙各题分别为事件 A，B，C，D， 则 P（A），P（B），P（C）
36、P（D）， 该学生被公司聘用的概率为： PP（AB）1P（） （2） 的取值为 0，1，2，3，4， P（0）P（）， P（1）P（）， P（2）P（AB）P（）， P（3）P（AB）P（+）， P（4）P（AB）P（CD）， 的分布列为： 0 1 2 3 4 P E1 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查 相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生 命为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了 100 名机动车司机，得到以 下统计： 在 55 名
37、男性司机中， 开车时使用手机的有 40 人， 开车时不使用手机的有 15 人； 在 45 名女性司机中，开车时使用手机的有 20 人，开车时不使用手机的有 25 人 （）完成下面的 22 列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为开车时使用手机与司机 的性别有关； 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 第 19 页（共 23 页） 男性司机人数 女性司机人数 合计 （）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽 检 3 辆，记这 3 辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为 X，若每次抽检的结果 都相互独立，求 X 的分布列和数学期望 E（X） 参考公式与数据：
38、，其中 na+b+c+d P（2k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】 （）根据题意填写 22 列联表，计算观测值，对照临界值得出结论； （）求出任意抽取 1 辆车中司机为男性且开车时使用手机的概率， 知 X 的可能取值，且 X 服从二项分布，计算对应的概率， 写出 X 的分布列，计算数学期望值 【解答】解： （）填写 22 列联表，如下； 开车时使用手机 开车时不使用手机 合计 男性司机人数 40 15 55 女性司机人数 20 25 45
39、 合计 60 40 100 根据数表，计算8.25 7.879， 所以有 99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关； （）由题意，任意抽取 1 辆车中司机为男性且开车时使用手机的概率是， 则 X 的可能取值为：0，1，2，3，且 XB（3，） ， 可得 P（Xk）， 所以 P（X0）， P（X1）， 第 20 页（共 23 页） P（X2）， P（X3）； 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望为 EX3 【点评】本题考查了二项分布列的性质及其数学期望和独立性检验思想方法，属于中档 题 20某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款
40、 （年底余额） ，如表 1： 年份 x 2011 2012 2013 2014 2015 储蓄存款 y（千亿元） 5 6 7 8 10 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，tx2010，zy5 得到下 表 2： 时间代号 t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 （）求 z 关于 t 的线性回归方程； （）用所求回归方程预测到 2020 年年底，该地储蓄存款额可达多少？ （附：对于线性回归方程，其中 ， ） 【分析】 （）由表中的数据分别计算，即可写出线性回归方程； （）tx2010，zy5，代入 z1.2t1.4 得到：y51.2（x2010）1.4，即 y 1.2x2
41、408.4，计算 x2020 时，的值即可 【解答】 解： （）， ， 第 21 页（共 23 页） z1.2t1.4； （2）tx2010，zy5，代入 z1.2t1.4 得到：y51.2（x2010）1.4，即 y 1.2x2408.4， y1.220202408.415.6，预测到 2020 年年底，该地储蓄存款额可达 15.6 千亿 元 【点评】本题考查了求线性回归方程的应用问题，也考查了利用线性回归方程预测生产 问题，是基础题目 21 上饶市在某次高三适应性考试中对数学成绩数据统计显示， 全市 10000 名学生的成绩近 似服从正态分布 N（120，52） ，现某校随机抽取了 50
42、名学生的数学成绩分析，结果这 50 名学生的成绩全部介于 85 分到 145 分之间，现将结果按如下方式分为 6 组，第一组85， 95） ，第二组95，105） ，第六组135，145，得到如图所示的频率分布直方图： （1）试由样本频率分布直方图估计该校数学成绩的平均分数； （2）若从这 50 名学生中成绩在 125 分（含 125 分）以上的同学中任意抽取 3 人，该 3 人在全市前 13 名的人数记为 X，求 X2 的概率 附：若 XN（，2） ，则 P（X+）0.6826，P（2X+2） 0.9544，P（3X+3）0.9974 【分析】 （1）先利用频率和为 1，求出 a 的值，再从
43、频率分布直方图中的数据即可得解； （2）先根据正态分布的性质判断出前 13 名的成绩均在 135 分以上，然后分别求出成绩 在125，145） 、125，135）的同学数量，最后利用超几何分布求概率即可 【解答】 解： （1） 由题意可知，0.012， 该校数学成绩的平均分数为 0.190+0.24100+0.3110+0.16120+0.12130+0.08 140112 （2）根据正态分布：P（12035X120+35）0.9974， 所以，即 0.00131000013， 第 22 页（共 23 页） 所以前 13 名的成绩全部在 135 分以上 从频率分布直方图中，可知，50 名学生中
44、成绩在 125 分（含 125 分）以上的同学数量为 （0.012+0.008）105010 人， 成绩在 135 分（含 135 分）以上的同学数量为 0.00810504 人，成绩在125，135） 的同学数量为 1046 人， 而随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3， ， P（X2）， 故 X2 的概率为 【点评】本题考查了频率分布直方图、正态分布的性质以及离散型随机变量的分布，解 题的关键点是理解正态分布的性质，考查学生知识综合运用能力，属于基础题 22对在直角坐标系的第一象限内的任意两点（a，b） ， （c，d）作如下定义：，那 么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点” ，同
45、时点（c，d）是点（a，b）的“下位点” （1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）设 a、b、c、d 均为正数，且点（a，b）是点（c，d）的上位点，请判断点 P（a+c， b+d）是否既是点（a，b）的“下位点”又是点（c，d）的“上位点” ，如果是请证明， 如果不是请说明理由； （3）设正整数 n 满足以下条件：对任意实数 mt|0t2019，tZ，总存在 kN*，使 得点（n，k）既是点（2019，m）的“下位点” ，又是点（2020，m+1）的“上位点” ，求 正整数 n 的最小值 【分析】 （1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，可得出点（3，5
46、）的一个“上 位点”的坐标为（3，4） ，一个“下位点”的坐标为 （3，7） ； （2）由点（a，b） 是点（c，d） 的“上位点”得出 adbc，然后利用作差法得出 与、的大小关系，结合“下位点”和“上位点”的定义可得出结论； （3）结合（2）中的结论，可得 k2m+1，n4039 满足条件，再说明当 n4038 时， 不成立，可得出 n 的最小值 【解答】解： （1）根据题设定义， （3，5）的一个“上位点”的坐标为（3，4） ，一个“下 第 23 页（共 23 页） 位点”的坐标为（3，7） ； （2）点（a，b）是点（c，d）的上位点， ，即 adbc， ， 点 P（a+c，b+d）是点（a，b）的“下位点” ， ， 点 P（a+c，b+d）是点（c，d）的“上位点” ； （3）若正整数 n 满足条件：在 mt|0t2019，tZ时恒成立， 由（2）中的结论可知，k2m+1，n2019+20204039 时满足条件， 若 n4038，由于， 则不成立， 故 n 的最小值是