1、2018-2019 学年江西省新余四中、上高二中高三（上）第二次联考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题列出的四个选项中，选分，在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项 ）出符合题目要求的一项 ） 1 （5 分）已知集合 AxZ|（2x+3） （x3）0，Bx|y，则 AB（ ） A （0，e B0，e C1，2 D （1，2） 2 （5 分）已知复数 z 满足1+2i（i 为虚数单位） ，则 z 的虚部为（ ） A4 B4i C4 D4i 3 （5 分）设 asin，b，c（），则（ ） Aacb Bbac Cc
2、ab Dcba 4 （5 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “三百七十八里关，初行健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其 大意为： “有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为 前一天的一半，走了 6 天后到达目的地 ”问此人第 4 天和第 5 天共走了（ ） A60 里 B48 里 C36 里 D24 里 5 （5 分）设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则 mn 的一个充分不必 要条件是（ ） Am，n， Bm，n， Cm，n， Dm，n， 6 （5 分）一只蚂蚁在三边长分别为 6，8，
3、10 的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三 角形的任意一个顶点的距离不超过 1 的概率为（ ） A B C D 7（5 分） 函数（其中 e 为自然对数的底数） 图象的大致形状是 （ ） A B 第 2 页（共 25 页） C D 8 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，0）的图象与直线 ya （0aA） 的三个相邻交点的横坐标分别是 2， 4， 8， 则 f （x） 的单调递减区间是 （ ） A6k，6k+3（kZ） B6k3，6k（kZ） C6k，6k+3（kZ） D6k3，6k（kZ） 9 （5 分）一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A96
4、+36 B72+48 C48+96 D24+48 10 （5 分） 已知正实数 a， b， c 满足 a22ab+9b2c0， 则当取得最大值时， 的最大值为（ ） A3 B C1 D0 11 （5 分）已知 A，B，C 是双曲线上的三个点，直线 AB 经过 原点 O，AC 经过右焦 F，若 BFAC，且 3AFCF，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 12 （5 分）已知是减函数，且 f（x）+bx 有三个零点， 则 b 的取值范围为（ ） A B 第 3 页（共 25 页） Ce1，+） D 二、填空题（每题二、填空题（每题 4 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，
5、将答案填在答题纸上） 13 （5 分）若实数 x，y 满足约朿条件，则 z2xy 的最大值为 14 （5 分）已知锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b2a（a+c） ， 则的取值范围是 15 （5 分）将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有 112，26，34 三种，其中 34 是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称 34 为 12 的最佳分解当 pq（pq 且 p，qN*）是正整数 n 的最佳分解时我们定义函数 f（n）qp，例如 f（12）43 1则 f（88）的值为 ，数列f（5n）（nN*）的前 2018 项的和为 16 （5 分）如图，四面
6、体 ABCD 中，面 ABD 和面 BCD 都是等腰 Rt，AB，BAD CBD，且二面角 ABDC 的大小为，若四面体 ABCD 的顶点都在球 O 上，则球 O 的表面积为 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须作答第题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 17（12 分） 已知向量 （cosx， sinx） ， （cosx，） ， xR， 设函数 f （x） + （1）求函数 f（x）的解析式及单调递增区间； （2）设
7、 a，b，c 别为ABC 内角 A，B，C 的对边，若 f（A）2，b+c2，ABC 的面积为，求 a 的值 18 （12 分）如图，E 是以 AB 为直径的半圆上异于 A、B 的点，矩形 ABCD 所在的平面垂 直于该半圆所在的平面，且 AB2AD2 （1）求证：EAEC； （2）设平面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F 第 4 页（共 25 页） 试证：EFAB； 若 EF1，求三棱锥 EADF 的体积 19 （12 分）近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年（365 天）内 100 天的空气中 PM2.5 指数的监测数据，统计结果如下： PM2.5 0，50 （50， 100 （1
8、00， 150 （150， 200 （200， 250 （250，300 300 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天数 4 13 18 30 9 11 15 记某企业每天由空气污染造成的经济损失为 S（单位：元） ，PM2.5 指数为 x当 x 在区 间0，100内时对企业没有造成经济损失；当 x 在区间（100，300内时对企业造成经济 损失成直线模型 （当 PM2.5 指数为 150 时造成的经济损失为 500 元， 当 PM2.5 指数为 200 时，造成的经济损失为 700 元） ；当 PM2.5 指数大于 300 时造成的经济损失为 2000 元
9、 （1）试写出 S（x）的表达式； （2） 试估计在本年内随机抽取一天， 该天经济损失 S 大于 500 元且不超过 900 元的概率； （3）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，其中有 8 天为重度污染，完成下面列 联表，并判断是否有 95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？ 附： P（K2 k0） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 1.32 2.07 2.70 3.74 5.02 6.63 7.87 10.828 ，其中 na+b+c+d 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 第 5 页（共 25 页） 非供暖季
10、 合计 100 20 （12 分） 对称轴为坐标轴的椭圆 C 的焦点为， 在 C 上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设不过原点 O 的直线 l&：ykx+m（k0，m0）与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且 直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列，则当OPQ 的面积为时，求直线 PQ 的 方程 21 （12 分）已知函数 f（x）lnxax+1 （1）当 a1 时，求证：f（x）0 恒成立； （2）若关于 x 的方程 f（x）+x2+10 至少有两个不相等的实数根，求实数 a 的最小值 （二） 选考题请考生在第（二） 选考题请考生在第 22、 23 题中任选一题作答， 如果多做， 则按
11、所做的第一题计分题中任选一题作答， 如果多做， 则按所做的第一题计分 选选 修修 4 一一 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 26（cos+sin） 14 （1）写出圆 C 的直角坐标方程； （2）设直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求弦长 AB 选修选修 4 一一 5：不等式选讲：不等式选讲 23已知函数 f（x）|x2|+|x+a|，其中 aR （1）当 a1 时，求不等式 f（x）6 的解集； （2）若存在 x0R，使得
12、 f（x0）2018a，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 25 页） 2018-2019 学年江西省新余四中、上高二中高三（上）第二次联学年江西省新余四中、上高二中高三（上）第二次联 考数学试卷（文科） （考数学试卷（文科） （1 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题列出的四个选项中，选分，在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项 ）出符合题目要求的一项 ） 1 （5 分）已知集合 AxZ|（2x+3） （x3）0，Bx|y，则 AB（ ） A （0，e
13、 B0，e C1，2 D （1，2） 【分析】分别求出关于 A、B 的不等式，求出 A、B 的范围，取交集即可 【解答】解：AxZ|（2x+3） （x3）01，0，1，2， Bx|yx|1lnx0x|0xe， 则 AB1，2， 故选：C 【点评】本题考查了集合的运算，考查解不等式问题，是一道基础题 2 （5 分）已知复数 z 满足1+2i（i 为虚数单位） ，则 z 的虚部为（ ） A4 B4i C4 D4i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解：由1+2i， 得， 则 z 的虚部为：4 故选：C 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概
14、念，是基础题 3 （5 分）设 asin，b，c（），则（ ） Aacb Bbac Ccab Dcba 【分析】利用三角函数、对数函数、指数函数的单调性直接求解 【解答】解：sinasin1， 第 7 页（共 25 页） b1， c（）（）， cab 故选：C 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质 的合理运用 4 （5 分）中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “三百七十八里关，初行健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其 大意为： “有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程
15、为 前一天的一半，走了 6 天后到达目的地 ”问此人第 4 天和第 5 天共走了（ ） A60 里 B48 里 C36 里 D24 里 【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由 S6378 求得 首项，再由等比数列的通项公式求得该人第 4 天和第 5 天共走的路程 【解答】解：记每天走的路程里数为an，可知an是公比 q的等比数列， 由 S6378，得 S6，解得：a1192， ，此人第 4 天和第 5 天共走了 24+1236 里 故选：C 【点评】本题考查了函数模型的选择及等比数列的通项公式、等比数列的前 n 项和，是 基础的计算题 5 （5 分）设 m，n 是两条不
16、同的直线， 是两个不同的平面，则 mn 的一个充分不必 要条件是（ ） Am，n， Bm，n， Cm，n， Dm，n， 【分析】利用空间线面位置关系的判定与性质定理即可得出 【解答】解：对于 A由 m，n，可得：mn，反之不成立 因此 mn 的一个充分不必要条件是 m，n， 第 8 页（共 25 页） 故选：A 【点评】本题考查了空间线面位置关系的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查 了推理能力与计算能力，属于基础题 6 （5 分）一只蚂蚁在三边长分别为 6，8，10 的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三 角形的任意一个顶点的距离不超过 1 的概率为（ ） A B C D 【分析】由几何
17、概型中的面积型，作出以三角形三个顶点为圆心，半径为 1 的扇形，结 合扇形的面积公式求解即可 【解答】解：某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过 1， 只需蚂蚁在以三角形三个顶点为圆心，半径为 1 的扇形内运动即可， 由几何概型中的面积型可得： 某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过 1 的概率为： ， 故选：B 【点评】本题考查了几何概型中的面积型，作图能力及扇形的面积公式，属中档题 7（5 分） 函数（其中 e 为自然对数的底数） 图象的大致形状是 （ ） A B 第 9 页（共 25 页） C D 【分析】判断 f（x）的单调性，再根据 f（x）在（0，）上的函数值的
18、符号得出答案 【解答】解：f（x）（1）cosxcosx， f（x）cos（x）cosxf（x） f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除 A，C； 当 0x时，ex1，cosx0， f（x）cosx0， 故选：B 【点评】本题考查了函数图象的判断，只有函数单调性、奇偶性的应用，属于中档题 8 （5 分）已知函数 f（x）Asin（x+） （A0，0，0）的图象与直线 ya （0aA） 的三个相邻交点的横坐标分别是 2， 4， 8， 则 f （x） 的单调递减区间是 （ ） A6k，6k+3（kZ） B6k3，6k（kZ） C6k，6k+3（kZ） D6k3，6k（kZ） 【分析】由题意可得，
19、第一个交点与第三个交点的差是一个周期；第一个交点与第二个 交点的中点的横坐标对应的函数值是最大值从这两个方面考虑可求得参数 、 的值， 进而利用三角函数的单调性求区间 【解答】解：与直线 yb（0bA）的三个相邻交点的横坐标分别是 2，4，8 知函数的周期为 T2（） ，得 ， 再由五点法作图可得 +，求得 ， 函数 f（x）Asin（x） 令 2k+x2k+，kz，解得：6k+3x6k+6，kz， 即 x6k3，6k（kZ） ， 第 10 页（共 25 页） 故选：D 【点评】本题主要考查三角函数的单调性的求解，根据条件求出函数的周期是解决本题 的关键，属于中档题 9 （5 分）一个简单几何
20、体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A96+36 B72+48 C48+96 D24+48 【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体为该几何体为组合体，左边部分是四分 之一圆锥，右边部分为三棱锥，然后由锥体体积求解 【解答】解：将三视图分成左右两部分观察，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三 棱锥， 则该几何体的体积为 V+24+48， 故选：D 【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题 10 （5 分） 已知正实数 a， b， c 满足 a22ab+9b2c0， 则当取得最大值时， 的最大值为（ ） 第 11 页（共 25 页） A3 B C1
21、D0 【分析】由已知条件得出 ca22ab+9b2，代入，并在分式分子分母中同时除以 ab， 利用基本不等式可求出的最大值，同时注意等号成立的条件 a3b，并得出 c12b2， 代入并利用配方可求出该代数式的最大值 【解答】解：由 a22b+9b2c0，可得 ca22ab+9b2， ， 当且仅当时，即当 a3b 时，等号成立， 此时 ca22ab+9b2（3b）223bb+9b212b2， 所以， 当且仅当 b1 时，等号成立，所以，的最大值为 1 故选：C 【点评】本题考查利用基本不等式求最值，解决此类问题关键在于对代数式进行灵活配 凑，属于中等题 11 （5 分）已知 A，B，C 是双曲线
22、上的三个点，直线 AB 经过 原点 O，AC 经过右焦 F，若 BFAC，且 3AFCF，则该双曲线的离心率为（ ） A B C D 【分析】设 AFt，CF3t，由双曲线的定义可得 CF2a+3t，AF2a+t，BFAC，可 得四边形 AFBF为矩形，运用勾股定理求得 at，以及 a，c 的关系式，由离心率公式可 得所求值 【解答】解：3AFCF，可设 AFt，CF3t， 由双曲线的定义可得 CF2a+3t，AF2a+t， BFAC，可得四边形 AFBF为矩形， 可得AFC 为直角三角形， 即有 AF2+AC2CF2， 即（2a+t）2+16t2（2a+3t）2， 第 12 页（共 25 页
23、） 解得 at， 即有 AFa，AF3a，FF2c， 可得 AF2+AF2FF2， 可得 a2+9a24c2， 即 10a24c2， 即 e 故选：A 【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和勾股定理，考查数 形结合思想和运算能力，属于中档题 12 （5 分）已知是减函数，且 f（x）+bx 有三个零点， 则 b 的取值范围为（ ） A B Ce1，+） D 【分析】求出函数的导数，问题转化为有唯一解，令， 根据函数的单调性求出，从而求出 b 的范围即可 【解答】解：设 x0， 第 13 页（共 25 页） ， 即 x1 时，e1 xa0，得 a1，此时 f（x）f（0）0
24、 由题意知：yf（x）与 ybx 图象有三个交点 当b0 时，只有一个交点， 当b0 时，由题意知，xb 和 x0 为两个交点， 只需 yf（x）+bx 在（0，+）有唯一零点， x0 时，f（x）bx，即有唯一解 令， x0 时，g（x）e1，x+时，g（x）+， 所以要使在（0，+）有唯一解， 只需或 be1， 故选：D 【点评】本题考查了分段函数单调性，函数零点问题，利用导数判断函数最值 二、填空题（每题二、填空题（每题 4 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）若实数 x，y 满足约朿条件，则 z2xy 的最大值为 2 【分析】作出可
25、行域，变形目标函数，平移直线 y2x 可得结论 【解答】解：作出实数 x，y 满足约朿条件所对应的可行域（如图ABC） ， 变形目标函数可得 y2xz，平移直线 y2x 可知当直线经过点 A（1，0）时， 直线的截距最小，z 取最大值，代值计算可得 z2xy 的最大值为 2， 故答案为：2 第 14 页（共 25 页） 【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题 14 （5 分）已知锐角三角形 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b2a（a+c） ， 则的取值范围是 （，） 【分析】由 b2a（a+c）利用余弦定理，可得 ca2acosB，正弦定理
26、边化角，在消去 C，可得 sin（BA）sinA，利用三角形 ABC 是锐角三角形，结合三角函数的有界限， 可得的取值范围 【解答】解：由 b2a（a+c） 余弦定理，可得 ca2acosB 正弦定理边化角，得 sinCsinA2sinAcosB A+B+C sin（B+a）sinA2sinAcosB sin（BA）sinA ABC 是锐角三角形， BAA，即 B2A 0B，A+B， 那么：A 则sinA（，） 故答案为： （，） 【点评】本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础 第 15 页（共 25 页） 题 15 （5 分）将正整数 12 分解成两个正整数的乘
27、积有 112，26，34 三种，其中 34 是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称 34 为 12 的最佳分解当 pq（pq 且 p，qN*）是正整数 n 的最佳分解时我们定义函数 f（n）qp，例如 f（12）43 1则 f（88）的值为 3 ，数列f（5n）（nN*）的前 2018 项的和为 510091 【分析】由 88811，结合最佳分解定义，即可得到 f（88） ；当 n 为偶数时，f（5n） 550； 当 n 为奇数时，f（5n） 5545，再利用等比数列的求和公式即可得出 【解答】解：88811，可得 f（88）1183； 当 n 为偶数时，f（5n）550； 当 n 为奇数
28、时，f（5n）5545， S20184（50+51+51008）4510091 故答案为：3，510091 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题 16 （5 分）如图，四面体 ABCD 中，面 ABD 和面 BCD 都是等腰 Rt，AB，BAD CBD，且二面角 ABDC 的大小为，若四面体 ABCD 的顶点都在球 O 上，则球 O 的表面积为 【分析】分别取 BD、CD 的中点 M、N，连接 AM、MN、AN，利用二面角的定义转化二 面角 ABDC 的平面角为， 然后分别过点 M 作平面 ABD 的垂线与过点 N 作平面 BCD
29、 的垂线交于点 O， 利用锐角三角函数计算出 OM， 再利用勾股定理计算出 OA， 即可得出球 O 的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案 【解答】解：如下图所示， 第 16 页（共 25 页） 分别取 BD、CD 的中点 M、N，由于ABD 是以BAD 为直角等腰直角三角形，M 为 BD 的中点，AMBD， ，且 M、N 分别为 BD、CD 的中点，所以，MNBC，所以，MNBD， 所以二面角 ABDC 的平面角为， ，则，且 BC2，所以， ABD 是以BAD 为直角的等腰直角三角形， 所以， ABD 的外心为点 M， 同理可知， 点 N 为BCD 的外心为点 N， 分别过点 M 作平
30、面 ABD 的垂线与过点 N 作平面 BCD 的垂线交于点 O，则点 O 在平面 AMN 内，如下图所示， 由图形可知， 在 RtOMN 中， 所以， 所以，球 O 的半径为， 因此，球 O 的表面积为 故答案为： 第 17 页（共 25 页） 【点评】本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的 位置，同时考查了计算能力，属于中等题 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题为必考题，每个试 题考生都必须作答第题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题
31、，考生根据要求作答 17（12 分） 已知向量 （cosx， sinx） ， （cosx，） ， xR， 设函数 f （x） + （1）求函数 f（x）的解析式及单调递增区间； （2）设 a，b，c 别为ABC 内角 A，B，C 的对边，若 f（A）2，b+c2，ABC 的面积为，求 a 的值 【分析】 （1）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简 f（x）的解析式，再利 用正弦函数的单调性，求得函数 f（x）的单调递増区间 （2）由条件求得 A 以及 bc 得知，再利用余弦定理求得 a 的值 【解答】解： （1）由题意可得函数 f（x）+cos2x+sinxcosx+ +sin2x+
32、sin（2x+）+1， 令， kZ， 解得；， kZ； 所以函数 f（x）的单调递増区间为，kZ （2）ABC 中，f（A）2，1 0A，即 由得 bc2 又，由余弦定理得 a2b2+c22bccosA（b+c）22bc（1+cosA） ， 解得 【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性，余 弦定理的应用，属于中档题 18 （12 分）如图，E 是以 AB 为直径的半圆上异于 A、B 的点，矩形 ABCD 所在的平面垂 直于该半圆所在的平面，且 AB2AD2 （1）求证：EAEC； 第 18 页（共 25 页） （2）设平面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F
33、试证：EFAB； 若 EF1，求三棱锥 EADF 的体积 【分析】 （1）利用面面垂直的性质，可得 BC平面 ABE，再利用线面垂直的判定证明 AE面 BCE，即可证得结论； （2）先证明 AB面 CED，再利用线面平行的性质，即可证得结论； 取 AB 中点 O，EF 的中点 O，证明 AD平面 ABE，利用等体积，即可得到结论 【解答】 （1）证明：平面 ABCD平面 ABE，平面 ABCD平面 ABEAB，BCAB， BC平面 ABCD BC平面 ABE AE平面 ABE，BCAE E 在以 AB 为直径的半圆上，AEBE BEBCB，BC，BE面 BCE AE面 BCE CE面 BCE，
34、EAEC； （2）证明：设面 ABE面 CEDEF ABCD，AB面 CED，CD面 CED， AB面 CED， AB面 ABE，面 ABE面 CEDEF ABEF； 取 AB 中点 O，EF 的中点 O， 在 RtOOF 中，OF1，OF，OO BC面 ABE，ADBC AD平面 ABE 第 19 页（共 25 页） VEADFVDAEF 【点评】本题考查面面垂直的性质，线面垂直的判定与性质，考查线面垂直，考查三棱 锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 19 （12 分）近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年（365 天）内 100 天的空气中 PM2.5 指数的监测数据
35、，统计结果如下： PM2.5 0，50 （50， 100 （100， 150 （150， 200 （200， 250 （250，300 300 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 天数 4 13 18 30 9 11 15 记某企业每天由空气污染造成的经济损失为 S（单位：元） ，PM2.5 指数为 x当 x 在区 间0，100内时对企业没有造成经济损失；当 x 在区间（100，300内时对企业造成经济 损失成直线模型 （当 PM2.5 指数为 150 时造成的经济损失为 500 元， 当 PM2.5 指数为 200 时，造成的经济损失为 700 元） ；当
36、PM2.5 指数大于 300 时造成的经济损失为 2000 元 （1）试写出 S（x）的表达式； （2） 试估计在本年内随机抽取一天， 该天经济损失 S 大于 500 元且不超过 900 元的概率； （3）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，其中有 8 天为重度污染，完成下面列 联表，并判断是否有 95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？ 附： P（K2 k0） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 1.32 2.07 2.70 3.74 5.02 6.63 7.87 10.828 ，其中 na+b+c+d 非重度污染
37、 重度污染 合计 第 20 页（共 25 页） 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计 85 15 100 【分析】 （1）根据在区间0，100对企业没有造成经济损失；在区间（100，300对企业 造成经济损失成直线模型（当 PM2.5 指数为 150 时造成的经济损失为 500 元，当 PM2.5 指数为 200 时， 造成的经济损失为 700 元） ； 当 PM2.5 指数大于 300 时造成的经济损失为 2000 元，可得函数关系式； （2）由 500S900，得 150250，频数为 39，即可求出概率； （3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数
38、据做出观测值， 同临界值进行比较，即可得出结论 【解答】解： （1）根据在区间0，100对企业没有造成经济损失；在区间（100，300对 企业造成经济损失成直线模型（当 PM2.5 指数为 150 时造成的经济损失为 500 元，当 PM2.5 指数为 200 时，造成的经济损失为 700 元） ； 当 PM2.5 指数大于 300 时造成的经济 损失为 2000 元，可得： （2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失 S 大于 500 元且不超过 900 元”为事件 A， 由 500S900，得 150w250，频数为 39， （3）根据以上数据得到如下列联表： 非重度污染 重度污染 合计
39、 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计 85 15 100 K2的观测值， 所以有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关 【点评】本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可 以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两 第 21 页（共 25 页） 个事件无关 20 （12 分） 对称轴为坐标轴的椭圆 C 的焦点为， 在 C 上 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设不过原点 O 的直线 l&：ykx+m（k0，m0）与椭圆 C 交于 P，Q 两点，且 直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列，则当OPQ 的面积为
40、时，求直线 PQ 的 方程 【分析】 （1）设椭圆 C 的方程为（ab0） ，先求出 c，再根据定义求 出 a2，即可求出 b2a2c21，椭圆方程可求； （2）设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，由题意直线 l 的方程为：l：ykx+m， （k0，m0， 1）根据韦达定理和直线的斜率以及等比数列的性质，可求出 k，再根据弦长公式，点 到直线的距离公式，和三角形的面积公式即可求出 m 的值，则直线 PQ 的方程即可求出 【解答】解： （1）设椭圆 C 的方程为（ab0） ， 由题意可得，又由|MF1|+|MF2|2a，得 a2，故 b2a2c21， 椭圆 C 的方程为； （2）设 P（
41、x1，y1） ，Q（x2，y2） 由题意直线 l 的方程为：l：ykx+m， （k0，m0，1） 联立得（1+4k2）x2+8kmx+4m240， 64k2m24（1+4k2） （4m24）0，化简，得 m24k2+1 ， 直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列， ， ，化简，得 第 22 页（共 25 页） ， 4k21，又 k0， 且由知 m22 ， 原点 O 到直线 PQ 的距离 ， 解得（负舍）或（负舍） 直线 PQ 的方程为：或 【点评】本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公 式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、等比数列的性质，考查了推理
42、能力 与计算能力，属于难题 21 （12 分）已知函数 f（x）lnxax+1 （1）当 a1 时，求证：f（x）0 恒成立； （2）若关于 x 的方程 f（x）+x2+10 至少有两个不相等的实数根，求实数 a 的最小值 【分析】 （1）代入 a 的值，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最大值，从 而证明结论； （2）由 f（x）+x2+10至少有两个根，记， 求出函数的导数，记 h（x）x2lnx1（x0） ，根据函数的 求出 a 的最小值即可 【解答】解： （1）证明：当 a1 时，f（x）lnxx+1， 令 f（x）0x1，所以当 x（0，1）时，f（x）0，f（x）单调递增；
43、 当 x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递减 故 f（x）maxf（1）0，所以 f（x）0 （2）lnx+x2ax+20至少有两个根， 第 23 页（共 25 页） 记，所以， 记 h（x）x2lnx1（x0） ，所以， 令舍） 所以当，h（x）0，h（x）单调递减， 时，h（x）0，h（x）单调递增， 所以 h（x）的最小值为， 又 h（1）0，所以 x（1，+）时，h（x）0， 又当时， 因此必存在唯一的，使得 h（x0）0 因此 x（0，x0）时，h（x）0，（x）单调递増， x（x0，1） ，h（x）0，（x）单调递减， x（1，+）时，h（x）0，（x）单调递増， 画出 y（
44、x）的大致图象，如图所示： 因此当 （1）a（x0）时，ya 与 y（x）至少有两个交点， 所以 a 的最小值为 （1）3 【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考 查转化思想，数形结合思想，是一道综合题 （二） 选考题请考生在第（二） 选考题请考生在第 22、 23 题中任选一题作答， 如果多做， 则按所做的第一题计分题中任选一题作答， 如果多做， 则按所做的第一题计分 选选 修修 4 一一 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 24 页（共 25 页） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 以原点 O 为
45、极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 26（cos+sin） 14 （1）写出圆 C 的直角坐标方程； （2）设直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，求弦长 AB 【分析】 （1）由圆 C 的极坐标方程能求出圆 C 的直角坐标方程 （2）将直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程，得：，由此能求出 弦长 AB 【解答】解： （1）圆 C 的极坐标方程为 26（cos+sin）14 圆 C 的直角坐标方程为 x2+y26x+6y14， 即（x3）2+（y3）24 （2）将直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，代入圆 C 的直角坐标方程，得： 即， 设两交点 A，B 所对应的参数分别为 t1，t2，从而，t1t26 则 【点评】本题考查圆的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极 坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是