1、2018-2019 学年江西省九江市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知复数 z 满足，则|z|（ ） A B C D5 2 （5 分）（ ） Ae Be1 Ce2 D2e 3 （5 分）某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用 22 列联 表，由计算得 K27.218，参照下表： P（K2k0） 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.7
2、06 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 得到正确结论是（ ） A有 99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关” B有 99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关” C在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关” D在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关” 4 （5 分）二项式展开式中的常数项为（ ） A240 B160 C160 D240 5 （5 分）函数 f（x）（1x）ex有（ ） A最大值为 1 B最小值为 1 C最大值为 e D最小值为 e 6 （5 分）设随机变量 B（3，p） ，若，
3、则 D（ ） A B C1 D2 7 （5 分）甲乙丙丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖有人走访了四人，甲说： “乙、 丁都未获奖 ”乙说： “是甲或丙获奖 ”丙说： “是甲获奖 ”丁说： “是乙获奖 ”四人所 说话中只有两位是真话，则获奖的人是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 8 （5 分）已知 a，b，c0，则的值（ ） 第 2 页（共 25 页） A都大于 1 B都小于 1 C至多有一个不小于 1 D至少有一个不小于 1 9 （5 分）学校新入职的 5 名教师要参加由市教育局组织的暑期 3 期上岗培训，每人只参加 其中 1 期培训，每期至多派 2 人，由于时间上的冲突，甲教师不能参加第一
4、期培训，则 学校不同的选派方法有（ ） A84 种 B60 种 C42 种 D36 种 10 （5 分）2019 年，河北等 8 省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、 数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择 1 门，再在思想政治、地理、化学、 生物中选择 2 门一名同学随机选择 3 门功课，则该同学选到物理、地理两门功课的概 率为（ ） A B C D 11 （5 分）设 ae，则 a，b，c 大小关系是（ ） Aacb Bbca Ccba Dcab 12设 aee，be，ce，则 a，b，c 大小关系是（ ） Aacb Bbca Ccba Dcab 13 （5 分
5、）已知函数 yf（x）的导函数为 f（x） ，满足xR，f（x）f（x）且 f（1） e，则不等式 f（lnx）x 的解集为（ ） A （e，+） B （1，+） C （0，e） D （0，1） 14已知函数（aR）在（0，1上的最大值为 3，则 a（ ） A2 Be C3 De2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 15 （5 分）若复数（a22a）+（a2a2）i（aR）为纯虚数，则 a 16（5 分） 已知某公司生产的一种产品的质量 X （单位： 千克） 服从正态分布 N （100， 64） 现 从该产品的生产线上随机抽
6、取 10000 件产品，则其中质量在区间（92，100）内的产品估 计有 件 附：若 XN（，2） ，则 P（X+）0.6826，P（2X+2） 0.9544 17 （5 分）如图，矩形 ABCD 中曲线的方程分别为 ysinx，ycosx，在矩形内随机取一点， 则此点取自阴影部分的概率为 第 3 页（共 25 页） 18 （5 分） （普通中学做）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ，则 a2+c2ac 19在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知，且 ABC 的面积为，则ABC 的周长为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，
7、共小题，共 70 分分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 20 （12 分）在某项体能测试中，规定每名运动员必需参加且最多两次，一旦第一次测试通 过则不再参加第二次测试，否则将参加第二次测试已知甲每次通过的概率为，乙每 次通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立 （）求甲乙至少有一人通过体能测试的概率； （）记 X 为甲乙两人参加体能测试的次数和，求 X 的分布列和期望 21 （12 分）ABC 中，三内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知成等 差数列 （）求证：sin2BsinAsinC； （）求角 B 的取值范围 22 （12 分）已
8、知数列an满足 a11， （）求 a2，a3，a4的值，猜想数列an的通项公式并用数学归纳法证明； （）令 bnnan，求数列bn的前 n 项和 Tn 23 （12 分）使用支付宝和微信支付已经成为广大消费者最主要的消费支付方式，某超市通 过统计发现一周内超市每天的净利润 y （万元） 与每天使用支付宝和微信支付的人数 x （千 人）具有相关关系，并得到最近一周 x，y 的 7 组数据如下表，并依此作为决策依据 第 4 页（共 25 页） 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 x（千人） 13 16 26 22 25 29 30 y（万元） 7 11 15 22 24 27 34 （）作出
9、散点图，判断 ya+bx 与 yc+dex哪一个适合作为每天净利润的回归方程类 型？并求出回归方程（a，b，c，d 精确到 0.01） ； （）超市为了刺激周一消费，拟在周一开展使用支付宝和微信支付随机抽奖活动，总 奖金 7 万元根据市场调查，抽奖活动能使使用支付宝和微信支付消费人数增加 6 千人， 7 千人，8 千人，9 千人的概率依次为 4k，3k，2k，k试决策超市是否有必要开展抽奖 活动？ 参考数据：， 参考公式：， 24 （12 分）已知函数 f（x）alnxx2（a0） （）当 a1 时，求曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程； （）若对任意 x（0，+） ，f（x）0 恒成立，
10、求实数 a 的取值范围 25已知函数（aR） （）若 f（x）在 x1 处的切线过点（2，2） ，求 a 的值； （）若 f（x）恰有两个极值点 x1，x2（x1x2） （）求 a 的取值范围； 第 5 页（共 25 页） （）求证：f（x2）f（x1）0 请考生在第请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标：坐标 系与参系与参数方程数方程 26 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的普通方程为，曲线 C 的参数方程 为（ 为参数） ，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极
11、坐标系 （）求直线 l 的参数方程和极坐标方程； （） （普通中学做）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|OA|OB|的值 （重点中学做）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 27设函数 f（x）|2x2|+|x+1| （）求不等式 f（x）3 的解集； （）求证：f（x）2，并求等号成立的条件 28设函数（a0） （）当 a2 时，求不等式 f（x）3 的解集； （）求证：f（x）2，并求等号成立的条件 第 6 页（共 25 页） 2018-2019 学年江西省九江市高二（下）期末数学试卷（理科）学年江西省九江市高二（下
12、）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知复数 z 满足，则|z|（ ） A B C D5 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，最后利用复数模的计算 公式求解 【解答】解：， ， ， 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题 2 （5 分）（ ） Ae Be1 Ce2 D2e 【分析】ex的原函数
13、为其本身，2x 的原函数为 x2，直接积分即可 【解答】解：， 故选：C 【点评】本题考查了定积分的计算，属于基础题 3 （5 分）某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用 22 列联 表，由计算得 K27.218，参照下表： P（K2k0） 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 得到正确结论是（ ） A有 99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关” B有 99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关” 第 7 页（共 25 页） C在犯错误的概率不超过 0
14、.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关” D在犯错误的概率不超过 0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关” 【分析】利用已知概率对照表，在 K2大于对应值是认为相关，在小于对应值时不认为相 关 【解答】解：K27.2186.635，对应的 P（K2k0）为 0.010， 可得有 99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关” ， 故选：B 【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，考查判断相关性，是基础题目 4 （5 分）二项式展开式中的常数项为（ ） A240 B160 C160 D240 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于零，求得 r 的值，即可
15、 求得展开式中的常数项 【解答】解：二项式展开式的通项公式为 Tr+1x6 r （ 2）r， 令 60，解得 r4，故展开式中的常数项为 240， 故选：D 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项 的系数，属于中档题 5 （5 分）函数 f（x）（1x）ex有（ ） A最大值为 1 B最小值为 1 C最大值为 e D最小值为 e 【分析】利用导数研究函数的单调性可判断函数的最值 【解答】解：函数 f（x）（1x）ex， f（x）ex+（1x）exxex， 当 x0 时，f（x）0，当 x0 时，f（x）0， f（x）在（，0）上单调递增，在（0，+）上单调
16、递减， f（x）有最大值为：f（0）1， 故选：A 第 8 页（共 25 页） 【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题 6 （5 分）设随机变量 B（3，p） ，若，则 D（ ） A B C1 D2 【分析】根据1P（0）1（1p）3，解得 p，所以 ， 【 解 答 】 解 ：， 解 得， ， 故选：B 【点评】本题考查了二项分布，二项分布的随机变量对应的概率，二项分布的方差属 于基础题 7 （5 分）甲乙丙丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖有人走访了四人，甲说： “乙、 丁都未获奖 ”乙说： “是甲或丙获奖 ”丙说： “是甲获奖 ”丁说： “是乙获奖 ”四人所 说话中只有两位是真话，
17、则获奖的人是（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解 【解答】解：若是甲获奖，则甲、乙、丙所说的话是真话，不合题意； 若是乙获奖，则丁所说的话是真话，不合题意； 若是丙获奖，则甲乙所说的话是真话，符合题意； 若是丁获奖，则四人所说的话都是假话，不合题意 综上可得：获奖的人是丙， 故选：C 【点评】本题考查了简单的合情推理，属中档题 8 （5 分）已知 a，b，c0，则的值（ ） A都大于 1 B都小于 1 C至多有一个不小于 1 D至少有一个不小于 1 【分析】根据条件利用排除法可得，如令 abc，排除 A，B令 a1，b2，c4， 排除 C 第
18、 9 页（共 25 页） 【解答】解：令 abc，则，排除 A，B 令 a1，b2，c4，则，排除 C 对于 D，假设，则 ba，cb，ac， 相加得 a+b+ca+b+c，矛盾， 故选：D 【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题 9 （5 分）学校新入职的 5 名教师要参加由市教育局组织的暑期 3 期上岗培训，每人只参加 其中 1 期培训，每期至多派 2 人，由于时间上的冲突，甲教师不能参加第一期培训，则 学校不同的选派方法有（ ） A84 种 B60 种 C42 种 D36 种 【分析】根据题意，按第一期派出的人数分 2 种情况讨论，取出每种情况的选派方法数 目，由加法原理计算可得
19、答案 【解答】解：根据题意，分 2 种情况讨论： 第一期培训派 1 人时，有种方法， 第一期培训派 2 人时，有种方法， 故学校不同的选派方法有， 故选：B 【点评】本题考查排列、组合的实际应用，涉及组合数公式的计算，属于基础题 10 （5 分）2019 年，河北等 8 省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、 数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择 1 门，再在思想政治、地理、化学、 生物中选择 2 门一名同学随机选择 3 门功课，则该同学选到物理、地理两门功课的概 率为（ ） A B C D 【分析】所有的基本事件有个，满足该同学选到物理、地理两门功课情况为 ，代入
20、古典概型的概率公式即可 【解答】解：由题意可知总共情况为，满足该同学选到物理、地理两门功课情 第 10 页（共 25 页） 况为， 该同学选到物理、地理两门功课的概率为 故选：B 【点评】本题考查了分步乘法计数原理，古典概型的概率计算，属于基础题 11 （5 分）设 ae，则 a，b，c 大小关系是（ ） Aacb Bbca Ccba Dcab 【分析】构造函数，根据 f（x）的单调性可得 f（ e）f（3）f（） ，从而 得到 a，b，c 的大小关系 【解答】解：考查函数，则，f（x）在（e，+）上单调 递增， e3，f（ e）f（3）f（） ，即， acb， 故选：A 【点评】本题考查了利
21、用函数的单调性比较大小，考查了构造法和转化思想，属基础题 12设 aee，be，ce，则 a，b，c 大小关系是（ ） Aacb Bbca Ccba Dcab 【分析】利用幂函数与指数函数的单调性比较 b 与 a、c 与 a 的大小，在构造函数 f（x） elnxx，利用导数研究单调性，比较 b 与 c 的大小，则答案可求 【解答】解：由幂函数的单调性可得 eee，由指数函数的单调性可得 eee，即 ba， ca 下面比较 b，c 的大小，即比较 eln 与 的大小 设 f（x）elnxx，则，f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上 单调递减， f（e）f（） ，即 elneeeln，
22、即 eln， ee，即 cb， 即 cba， 故选：C 第 11 页（共 25 页） 【点评】本题考查指数函数、幂函数的单调性，训练了利用导数研究函数单调性，构造 函数是关键，是中档题 13 （5 分）已知函数 yf（x）的导函数为 f（x） ，满足xR，f（x）f（x）且 f（1） e，则不等式 f（lnx）x 的解集为（ ） A （e，+） B （1，+） C （0，e） D （0，1） 【分析】由不等式 f（lnx）x，令 tlnx，可知 f（lnx）xf（t）et，令， 求导可得函数单调性，从而可解：lnx1xe， 【解答】解：令 tlnx，则 f（lnx）xf（t）et， 令，则，
23、因为：满足xR，f（x）f（x） g（x）在 R 上单调递增， g（t）g（1）t1lnx1xe， 故选：A 【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，考查了导数的综合应用，属于中档题 14已知函数（aR）在（0，1上的最大值为 3，则 a（ ） A2 Be C3 De2 【分析】求导得，当 a1 时，可解得 a3，不符合条件；当 a 1 时，可解得 ae，进而得到正确选项 【解答】解：，x（0，1） ， 令 g（x）（ax1） （x1） ，x（0，1） ， 当 a1 时，ax1x10， g（x）0，f（x）0， f（x）在（0，1上单调递增， f（x）maxf（1）a，即 a3（舍去） ，
24、 当 a1 时，g（x）0，f（x）0；时，g（x）0， f（x）0， 第 12 页（共 25 页） 故 f（x）在上单调递增，在上单调递减， ，即 a（a+1）lna+10， 令 h（x）x（x+1）lnx+1（x1） ， h（x）在（1，+）上单调递减，且 h（e）0， ae， 故选：B 【点评】本题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值，培养了学生运算能力，锻炼了 分类讨论思想的运用，属中档题目 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 15 （5 分）若复数（a22a）+（a2a2）i（aR）为纯虚数，则 a 0 【分析】直接
25、利用实部为 0 且虚部不为 0 求解 【解答】解：复数（a22a）+（a2a2）i（aR）为纯虚数， ，解得 a0 故答案为：0 【点评】本题考查复数的基本概念，考查一元二次方程的解法，是基础题 16（5 分） 已知某公司生产的一种产品的质量 X （单位： 千克） 服从正态分布 N （100， 64） 现 从该产品的生产线上随机抽取 10000 件产品，则其中质量在区间（92，100）内的产品估 计有 3413 件 附：若 XN（，2） ，则 P（X+）0.6826，P（2X+2） 0.9544 【分析】由已知求得 100，8，可得 P（92X100）的值，乘以 10000 得答案 【解答】解
26、：由 X 服从正态分布 N（100，64） ，得 100，8， ， 质量在区间（92，100）内的产品估计有 100000.34133413 件 故答案为：3413 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题 第 13 页（共 25 页） 17 （5 分）如图，矩形 ABCD 中曲线的方程分别为 ysinx，ycosx，在矩形内随机取一点， 则此点取自阴影部分的概率为 【分析】利用定积分求出阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案 【解答】解：由图可知，阴影部分的面积为 ， 故所求概率为 故答案为： 【点评】本题考查几何概
27、型概率的求法，训练了利用定积分求曲边梯形的面积，是基础 题 18 （5 分） （普通中学做）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ，则 a2+c2ac 3 【分析】 由已知利用正弦定理， 同角三角函数基本关系式可求 tanB， 结合范围 B （0， ） ， 可求 B，由已知，解得 b 的值，根据余弦定理即可求解 【解答】解：， 由正弦定理可得：1，可得：tanB， B（0，） ， B， ，解得：b， 由余弦定理 b2a2+c22accosB，可得：3a2+c2ac 第 14 页（共 25 页） 故答案为：3 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关
28、系式在解三角形中 的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 19在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知，且 ABC 的面积为，则ABC 的周长为 【分析】由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求，结合范围 B （0，） ，可求，进而可求 b 的值，利用余弦定理可得 a2+c2ac3，根据三角形 的面积公式可求 ac2，可得 a+c3，即可得解三角形的周长的值 【解答】解：由正弦定理及，得， ， B（0，） ， ， 又， ， ，由余弦定理得， a2+c2ac3 又， ac2， （a+c）23ac+39， a+c3， ABC 的周长为 故答案为： 【点评】本题
29、主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面 积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤过程或演算步骤. 20 （12 分）在某项体能测试中，规定每名运动员必需参加且最多两次，一旦第一次测试通 第 15 页（共 25 页） 过则不再参加第二次测试，否则将参加第二次测试已知甲每次通过的概率为，乙每 次通过的概率为，且甲乙每次是否通过相互独立 （）求甲乙至少有一人通过体能测试的概率； （）记 X 为甲乙两人参加体能测试
30、的次数和，求 X 的分布列和期望 【分析】 （）甲未能通过体能测试的概率为，同理乙未能通 过体能测试的概率为，所以根据相互独立事件的积事件概率等 于概率之积，求出甲乙均未通过测试的概率，即可得到所求； （）依题意，随机变量 X 的所有可能的取值分别为 2，3，4，分别求出对应概率列出 分布列求期望即可 【解答】解： （）甲未能通过体能测试的概率为， 乙未能通过体能测试的概率为， 甲乙至少有一人通过体能测试的概率为； （）X2，3，4， ， ， X 的分布列为： X 2 3 4 P 【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望，是历年高考的重点题型解题时要认真 审题，注意对立事件的概率的灵活运用 2
31、1 （12 分）ABC 中，三内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知成等 差数列 （）求证：sin2BsinAsinC； （）求角 B 的取值范围 第 16 页（共 25 页） 【分析】 （）由成等差数列，可得，再利用基本不等式的性质、 正弦定理即可得出 （）由余弦定理与基本不等式的性质可得，当且仅当 a c 时取等号由（）得 b2ac，进而得出结论 【解答】解： （）证明：成等差数列， ， ，即 b2ac，当且仅当 ac 时取等号 由正弦定理得 sin2BsinAsinC （）由余弦定理，当且仅当 ac 时取等号 由（）得 b2ac， 0B， 故角 B 的取值范围是 【点评】本题
32、考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题 22 （12 分）已知数列an满足 a11， （）求 a2，a3，a4的值，猜想数列an的通项公式并用数学归纳法证明； （）令 bnnan，求数列bn的前 n 项和 Tn 【分析】 （）当 n1 时，当 n2 时，a34当 n3 时， a48猜想，利用用数学归纳法证明即可 （）由（）得，利用错位相减法即可得出 【解答】解： （）当 n1 时， 当 n2 时， 当 n3 时， 猜想，下面用数学归纳法证明 第 17 页（共 25 页） 当 n1 时，猜想成立， 假设当 nk（kN+）时，猜想成立，即， 则当 nk+1
33、 时，猜想成立 综上所述，对于任意 nN+，均成立 （）由（）得， ， 由得： 【点评】本题考查了数列递推通项公式、数学归纳法、错位相减法、等比数列的通项公 式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 23 （12 分）使用支付宝和微信支付已经成为广大消费者最主要的消费支付方式，某超市通 过统计发现一周内超市每天的净利润 y （万元） 与每天使用支付宝和微信支付的人数 x （千 人）具有相关关系，并得到最近一周 x，y 的 7 组数据如下表，并依此作为决策依据 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 x（千人） 13 16 26 22 25 29 30 y（万元） 7 11
34、15 22 24 27 34 第 18 页（共 25 页） （）作出散点图，判断 ya+bx 与 yc+dex哪一个适合作为每天净利润的回归方程类 型？并求出回归方程（a，b，c，d 精确到 0.01） ； （）超市为了刺激周一消费，拟在周一开展使用支付宝和微信支付随机抽奖活动，总 奖金 7 万元根据市场调查，抽奖活动能使使用支付宝和微信支付消费人数增加 6 千人， 7 千人，8 千人，9 千人的概率依次为 4k，3k，2k，k试决策超市是否有必要开展抽奖 活动？ 参考数据：， 参考公式：， 【分析】 （）根据表中数据，画出散点图，即可判断选择 ya+bx 的回归方程类型比较 合适； 计算平均
35、数和回归系数，即可写出 y 关于 x 的回归方程； （）根据概率和为 1，列方程求出 k 的值，再计算随机变量 X 的数学期望值，比较得 出结论 【解答】解： （）根据表中数据，画出散点图如图所示； 根据散点图可判断，选择 ya+bx 作为每天净利润的回归方程类型比较合适； 计算， ； 第 19 页（共 25 页） ， ， y 关于 x 的回归方程为 y1.31x10.13； （）根据概率和为 1，得 4k+3k+2k+k1， 解得 k0.1， 活动开展后使用支付宝和微信支付的人数 X 的期望为 EX64k+73k+82k+9k+1370k+137+1320（千人） ； 由（）得，当 x20
36、时，y1.312010.1316； 此时超市的净利润约为 16797， 故超市有必要开展抽奖活动 【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了散点图的应用问题，是 中档题 24 （12 分）已知函数 f（x）alnxx2（a0） （）当 a1 时，求曲线 yf（x）在 x1 处的切线方程； （）若对任意 x（0，+） ，f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （）根据导数的几何意义求出斜率，根据点斜式写出切线方程； （）通过导数符号得函数单调性，根据单调性求出函数的最大值，再将恒成立转化为 最大值，解不等式可得 【解答】解： （）当 a1 时，f（x）lnxx2，f（
37、1）1， f（1）1， 曲线 yf（x）在点 x1 处的切线方程为 y+1（x1） ，即 x+y0 （）当 a0 时，f（x）x2（x0） ，对任意 x（0，+） ，f（x）0 恒成立，符 合题意； 法 一 ： 当a 0时 ，； ， 第 20 页（共 25 页） f（x）在上单调递增，在上单调递减， 只需即可，解得 0a2e 故实数 a 的取值范围是0，2e） 法二：当 a0 时，f（x）0 恒成立恒成立， 令， 则，；， g（x）在上单调递增，在上单调递减 只需即可，解得 0a2e 故实数 a 的取值范围是0，2e） 【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属中档题 25已知函数（
38、aR） （）若 f（x）在 x1 处的切线过点（2，2） ，求 a 的值； （）若 f（x）恰有两个极值点 x1，x2（x1x2） （）求 a 的取值范围； （）求证：f（x2）f（x1）0 【分析】 （）求函数 f（x）在 x1 处的切线 y（2a）x，代入点（2，2）可求 a 的 值； （）若 f（x）恰有两个极值点 x1，x2（x1x2） （）求函数的导数，利用若 f（x）恰有两个极值点，讨论 a 可得 a 的取值范围； （）构造新函数，利用函数性质求函数最值可得：f（x2）f（x1）0 【解答】解： （）函数（aR） ，f（1）2a， 又 f（1）2a， f（x）在 x1 处的切线方程
39、为：y（2a）（2a） （x1） ， 即：y（2a）x， 切线过点（2，2） ， a1， （） （）当 a2 时，f（x）2a0， 第 21 页（共 25 页） f（x）在（0，+）上单调递增，f（x）无极值，不合题意，舍去， 当 a2 时，令 f（x）0，得：，（0x1x2） ， f（x）00xx1或 xx2；f（x）0x1xx2， f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+）上单调递增， f（x）恰有两个极值点 x1，x2，符合题意， 故 a 的取值范围是： （2，+） ； （）由（）知 f（x）在（x1，x2）上单调递减， f（x2）f（x1） ，且， 由
40、 f（x）0 得：x2ax+10， x1x21，又 x1x2，0x11， ， 法一：下面证明 lnxx1（0x1） ， 令 g（x）lnxx+1（0x1） ， g（x）在（0，1）上单调递增，g（x）g（1）0，即 lnxx1（0x1） ， ， 综上 f（x2）f（x1）0； 法二：令（0x1） ，则， g（x）在（0，1）上单调递增， g（x）g（1）0，即 f（x1）0， 综上 f（x2）f（x1）0 【点评】考查利用导数研究函数的切线问题、极值问题，体现了转化的思想方法，属于 中档题 请考生在第请考生在第 22-23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果
41、多做，则按所做的第一题计分.选修选修 4-4：坐标：坐标 系与参数方程系与参数方程 26 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的普通方程为，曲线 C 的参数方程 第 22 页（共 25 页） 为（ 为参数） ，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （）求直线 l 的参数方程和极坐标方程； （） （普通中学做）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|OA|OB|的值 （重点中学做）设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求的值 【分析】 （）根据直线的普通方程直角转化为参数方程和极坐标方程即可； （）直线 l 的参数方程代入曲线 C： （x2）2+y2
42、9 中，得 t22t50，然后利用直 线参数方程的几何意义求解即可 【解答】解： （）直线 l 的参数方程为（t 为参数） ， 极坐标方程为（R） ； （）法一：曲线 C 的普通方程为（x2）2+y29， 将直线 l 的参数方程代入曲线 C： （x2）2+y29 中，得 t22t50， 设点 A，B 对应的参数分别是 t1，t2，则 t1+t22，t1t25， （普通中学做）|OA|OB|t1|t2|t1t2|5， （重点中学做） 法二：曲线 C 的极坐标方程为 24cos50， 将直线 l 的极坐标方程代入曲线 C：24cos50 中，得 2250， 设点 A，B 对应的 值分别是 1，2，
43、则 1+22，125， （普通中学做）|OA|OB|1|2|5， （重点中学做） ， 法三： （普通中学做）曲线 C 的普通方程为（x2）2+y29， 圆 C 与 x 轴相交于 C（1，0） ，D（5，0）两点， 第 23 页（共 25 页） 由相交弦定理得|OA|OB|OC|OD|155 （重点中学做）曲线 C 的普通方程为（x2）2+y29， 圆心 C 到直线 l 的距离为， |OA|+|OB|AB|， 又圆 C 与 x 轴相交于 C（1，0） ，D（5，0）两点， 由相交弦定理得|OA|OB|OC|OD|155， 【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化和参数方程与普通方程的转化
44、， 考查了直线参数方程的几何意义，考查了转化思想，属中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 27设函数 f（x）|2x2|+|x+1| （）求不等式 f（x）3 的解集； （）求证：f（x）2，并求等号成立的条件 【分析】 （）对 f（x）去绝对值，然后根据 f（x）3 分别解不等式即可； （）f（x）|2x2|+|x+1|x1|+|x1|+|x+1|x1|+|x+1|，求出|x1|+|x+1|的最小值 即可 【解答】解： （）当 x1 时，2x2+x+13，解得， 当1x1 时，22x+x+13，解得 0x1， 当 x1 时，22xx13，x 无实数解， 原不等式的解集为； （）证
45、明：法一：f（x）|2x2|+|x+1|x1|+|x1|+|x+1|x1|+|x+1|，当且仅当 x 1 时取等号， 又|x1|+|x+1|（x1）（x+1）|2，当且仅当1x1 时取等号， f（x）2，等号成立的条件是 x1 法二：f（x）|2x2|+|x+1|， f（x）在（，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增， 第 24 页（共 25 页） f（x）f（1）2，等号成立的条件是 x1 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了计算能力和转化 思想，属基础题 28设函数（a0） （）当 a2 时，求不等式 f（x）3 的解集； （）求证：f（x）2，并求等号成立的条件 【分析】 （）将 a2 代入 f（x）中，然后去绝对值分别解不等式即可；