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2018-2019学年江西省鹰潭市高二(上)期末数学试卷(文科)含详细解答

1、 第 1 页(共 21 页) 2018-2019 学年江西省鹰潭市高二(上)期末数学试卷(文科)学年江西省鹰潭市高二(上)期末数学试卷(文科) 一、选择题(每小题一、选择题(每小题 5 分,共分,共 12 个小题,本题满分个小题,本题满分 60 分)分) 1 (5 分)命题“若 ab,则 a+1b”的逆否命题是( ) A若 a+1b,则 ab B若 a+1b,则 ab C若 a+1b,则 ab D若 a+1b,则 ab 2 (5 分)某中学初中部共有 120 名教师,高中部共有 150 名教师,其性别比例如图所示, 则该校女教师的人数为( ) A128 B144 C174 D167 3 (5

2、分)对变量 x,y 有观测数据(xi,yi) (i1,2,10) ,得散点图(1) ;对变量 u, v,有观测数据(ui,vi) (i1,2,10) ,得散点图(2) ,由这两个散点图可以判断 ( ) A变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 B变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 C变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 D变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 4 (5 分)函数 f(x)(xa) (xb)在 xa 处的导数为( ) Aab Ba(ab) C0 Dab 5 (5 分)已知变量 a,b 已被赋值,要交换 a、b 的值,应采用的算法是( ) Aab,b

3、a Bac,ba,cb Cac,ba,ca Dca,ab,bc 6 (5 分)随机猜测“选择题”的答案,每道题猜对的概率为 0.25,则两道选择题至少猜对 第 2 页(共 21 页) 一道以上的概率约为( ) A B C D 7 (5 分)已知一组数据 x1,x2,x3,x4,x5的平均数是 2,方差是,那么另一组数据 3x1 2,3x22,3x32,3x42,3x52 的平均数和方差分别为( ) A2, B4,3 C4, D2,1 8 (5 分)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数 f(x) ,且函数 f(x)在 x2 处取得极 小值,则函数 yxf(x)的图象可能是( ) A B C

4、D 9 (5 分)在区间(0,1)中随机地取出两个数,则两数之和小于的概率是( ) A B C D 10 (5 分)已知椭圆:+1(0b2) ,左右焦点分别为 F1,F2,过 F1的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,若|+|的最大值为 5,则 b 的值是( ) A1 B C D 11 (5 分)已知偶函数 f(x) (x0)的导函数为 f(x) ,且满足 f(2)0,当 x0 时, xf(x)2f(x) ,则使得 f(x)0 的 x 的取值范围为( ) A (,2)(0,2) B (,2)(2,+) C (2,0)(0,2) D (2,0)(2,+) 12 (5 分)过抛物线 x28y 的焦点

5、做直线 l 交抛物线于 A,B 两点,分别过 A,B 作抛物线 的切线 l1,l2,则 l1与 l2的交点 P 的轨迹方程是( ) Ay2 By1 Cyx1 Dyx1 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 5 分,共分,共 4 小题,满分小题,满分 20 分)分) 第 3 页(共 21 页) 13 (5 分)执行程序框图,输出的 T 14 (5 分)若“x21”是“xa”的必要不充分条件,则 a 的最大值为 15 (5 分)如图,F1,F2是椭圆 C1:+y21 与双曲线 C2的公共焦点,A,B 分别是 C1, C2在第二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2为矩形,则 C2的离心率是 16

6、(5 分)若实数 a,b,c,d 满足|b+a24lna|+|2cd+1|0,则(ac)2+(bd)2的 最小值为 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 6 小题,小题,17 题题 10 分,分,18-22 题均为题均为 12 分,共计分,共计 70 分,解答时应写分,解答时应写 出解答过程或证明步骤)出解答过程或证明步骤)x3456y2.5344.5 17 (10 分)如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与 相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数

7、据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ybx+a; (参考数值:32.5+43+54+64.566.5) 18 (12 分)小李在做一份调查问卷,共有 4 道题,其中有两种题型,一种是选择题,共 2 第 4 页(共 21 页) 道,另一种是填空题,共 2 道 (1)小李从中任选 2 道题解答,每一次选 1 题(不放回) ,求所选的题不是同一种题型 的概率; (2)小李从中任选 2 道题解答,每一次选 1 题(有放回) ,求所选的题不是同一种题型 的概率 19 (12 分)设两个命题:p:关于 x 的不等式 x2+2ax+40 对一切 xR 恒成立,q:函数 f (x)(42a)x

8、在(,+)上是减函数,若命题 pq 为真,pq 为假,则 实数 a 的取值范围是多少? 20 (12 分)某物流公司购买了一块长 AM90 米,宽 AN30 米的矩形地块 AMPN,规划 建设占地如图中矩形 ABCD 的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点 C 在地块对角 线 MN 上,B、D 分别在边 AM、AN 上,假设 AB 长度为 x 米若规划建设的仓库是高度 与 AB 的长相同的长方体建筑,问 AB 长为多少时仓库的库容最大?(墙体及楼板所占空 间忽略不计) 21 (12 分)已知 M(x1,y1)是椭圆+1(ab0)上任意一点,F 为椭圆的右焦 点 (1)若椭圆的离心率为 e,试

9、用 e,a,x1表示|MF|,并求|MF|的最值; (2)已知直线 m 与圆 x2+y2b2相切,并与椭圆交于 A、B 两点,且直线 m 与圆的切点 Q 在 y 轴右侧,若 a4,求ABF 的周长 22 (12 分)已知函数 f(x)ln(x1)k(x1)+1 (1)求函数 f(x)的单调区间; 第 5 页(共 21 页) (2)若 f(x)0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)证明:且 n1) 第 6 页(共 21 页) 2018-2019 学年江西省鹰潭市高二(上)期末数学试卷(文科)学年江西省鹰潭市高二(上)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题

10、(每小题一、选择题(每小题 5 分,共分,共 12 个小题,本题满分个小题,本题满分 60 分)分) 1 (5 分)命题“若 ab,则 a+1b”的逆否命题是( ) A若 a+1b,则 ab B若 a+1b,则 ab C若 a+1b,则 ab D若 a+1b,则 ab 【分析】根据逆否命题的定义,根据原命题为“若 ab,则 a+1b” ,我们易求出命题 “若 ab,则 a+1b”的逆否命题 【解答】解:命题“若 ab,则 a+1b”的逆否命题 “若 a+1b,则 ab” 故选:C 【点评】本题考查的知识点是四种命题间的逆否关系,熟练掌握四种命题的定义是解答 的关键 2 (5 分)某中学初中部共

11、有 120 名教师,高中部共有 150 名教师,其性别比例如图所示, 则该校女教师的人数为( ) A128 B144 C174 D167 【分析】根据教师百分百,分别计算初中部和高中部女教师的人数即可 【解答】解:初中部女教师有 12070%84 人, 高中部女教师有 150(160%)15040%60 人, 则女教师共有 84+60144 人, 故选:B 【点评】本题主要考查统计的应用,结合所占比例进行计算是解决本题的关键 3 (5 分)对变量 x,y 有观测数据(xi,yi) (i1,2,10) ,得散点图(1) ;对变量 u, v,有观测数据(ui,vi) (i1,2,10) ,得散点图

12、(2) ,由这两个散点图可以判断 ( ) 第 7 页(共 21 页) A变量 x 与 y 正相关,u 与 v 正相关 B变量 x 与 y 正相关,u 与 v 负相关 C变量 x 与 y 负相关,u 与 v 正相关 D变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 【分析】通过观察散点图得出:y 随 x 的增大而减小,各点整体呈下降趋势,x 与 y 负相 关, u 随 v 的增大而增大,各点整体呈上升趋势,u 与 v 正相关 【解答】解:由题图 1 可知,y 随 x 的增大而减小,各点整体呈下降趋势,x 与 y 负相关, 由题图 2 可知,u 随 v 的增大而增大,各点整体呈上升趋势,u 与 v

13、正相关 故选:C 【点评】本题考查了散点图的应用问题,通过读图来解决问题,是基础题 4 (5 分)函数 f(x)(xa) (xb)在 xa 处的导数为( ) Aab Ba(ab) C0 Dab 【分析】先求导,再代入值,解得答案 【解答】解:f(x)(xa) (xb) , f(x)2x(a+b) , f(a)2a(a+b)ab, 故选:D 【点评】本题主要考查了导数的运算法则,属于基础题 5 (5 分)已知变量 a,b 已被赋值,要交换 a、b 的值,应采用的算法是( ) Aab,ba Bac,ba,cb Cac,ba,ca Dca,ab,bc 【分析】交换两个数的赋值必须引入一个中间变量,其

14、功能是暂时储存的功能,根据赋 值规则即可得到答案 第 8 页(共 21 页) 【解答】解:由算法规则引入中间变量 c,语句如下 ca ab bc 故选:D 【点评】本题考查赋值语句,解题关键是理解赋值语句的作用,格式 6 (5 分)随机猜测“选择题”的答案,每道题猜对的概率为 0.25,则两道选择题至少猜对 一道以上的概率约为( ) A B C D 【分析】利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式直接求解 【解答】解:随机猜测“选择题”的答案,每道题猜对的概率为 0.25, 两道选择题至少猜对一道以上的概率约为: p 故选:A 【点评】本题考查概率的求法,考查 n 次

15、独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计 算公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题 7 (5 分)已知一组数据 x1,x2,x3,x4,x5的平均数是 2,方差是,那么另一组数据 3x1 2,3x22,3x32,3x42,3x52 的平均数和方差分别为( ) A2, B4,3 C4, D2,1 【分析】本题可将平均数和方差公式中的 x 换成 3x2,再化简进行计算 【解答】解:x1,x2,x5的平均数是 2,则 x1+x2+x52510 数据 3x12,3x22,3x32,3x42,3x52 的平均数是: (3x12)+(3x2 2)+(3x32)+(3x42)+(3x52)3(x

16、1+x2+x5)104, S2(3x124)2+(3x224)2+(3x524)2, (3x16)2+(3x56)29(x12)2+(x22)2+(x52)23 故选:B 【点评】本题考查的是方差和平均数的性质设平均数为 E(x) ,方差为 D(x) 则 E 第 9 页(共 21 页) (cx+d)cE(x)+d;D(cx+d)c2D(x) 8 (5 分)设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数 f(x) ,且函数 f(x)在 x2 处取得极 小值,则函数 yxf(x)的图象可能是( ) A B C D 【分析】由题设条件知:当 x2 时,xf(x)0;当 x2 时,xf(x)0;当 x2 时

17、,xf(x)0由此观察四个选项能够得到正确结果 【解答】解:函数 f(x)在 R 上可导,其导函数 f(x) , 且函数 f(x)在 x2 处取得极小值, 当 x2 时,f(x)0; 当 x2 时,f(x)0; 当 x2 时,f(x)0 当 x2 时,xf(x)0; 当 x2 时,xf(x)0; 当 x2 时,xf(x)0 故选:A 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值的应用,解题时要认真审题,注意导数性质 和函数极值的性质的合理运用 9 (5 分)在区间(0,1)中随机地取出两个数,则两数之和小于的概率是( ) A B C D 【分析】先设随机地取出两个数为 x、y,则 x,y(0,1)

18、,记“两数之和小于”为事 件 A,即“x+y“为事件 A,再作出相应不等式表示的平面区域, 第 10 页(共 21 页) 由几何概型中的面积型公式可得:P(A)1,得解 【解答】 解:设随机地取出两个数为 x、y,则 x,y(0,1) , 记“两数之和小于”为事件 A, 即“x+y“为事件 A, 由几何概型中的面积型公式可得: P(A)1, 故选:A 【点评】本题考查了几何概型中的面积型,属简单题 10 (5 分)已知椭圆:+1(0b2) ,左右焦点分别为 F1,F2,过 F1的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,若|+|的最大值为 5,则 b 的值是( ) A1 B C D 【分析】利用椭圆的

19、定义,结合的最大值为 5,可得当且仅当 ABx 轴时,|AB|的最小值为 3,由此可得结论 【解答】解:由题意:+|AB|4a8 的最大值为 5,|AB|的最小值为 3 第 11 页(共 21 页) 当且仅当 ABx 轴时,取得最小值,此时 A(c,) ,B(c,) 代入椭圆方程可得: c24b2 b 故选:D 【点评】本题考查椭圆的定义,考查学生的计算能力,属于基础题 11 (5 分)已知偶函数 f(x) (x0)的导函数为 f(x) ,且满足 f(2)0,当 x0 时, xf(x)2f(x) ,则使得 f(x)0 的 x 的取值范围为( ) A (,2)(0,2) B (,2)(2,+)

20、C (2,0)(0,2) D (2,0)(2,+) 【分析】作为选择题,可以通过特殊点法解决,在所给不等式中令 x2 可得该处导函数 为正,结合选项即可确定正确答案 【解答】解:在 xf(x)2f(x)中, 令 x2,得 2f(2)2f(2)0, f(2)0, 可知 f(x)在 x2 处是递增趋势, 故使 f(x)0 的 x2, 根据偶函数的对称性, 可知当 x0 时,x2, 故选:B 【点评】此题考查了利用导数研究函数的单调区间,难度适中 12 (5 分)过抛物线 x28y 的焦点做直线 l 交抛物线于 A,B 两点,分别过 A,B 作抛物线 的切线 l1,l2,则 l1与 l2的交点 P

21、的轨迹方程是( ) Ay2 By1 Cyx1 Dyx1 【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标,由斜截式写出过焦点的直线方程,和抛 物线方程联立求出 A,B 两点横坐标的积,再利用导数写出过 A,B 两点的切线方程,然 第 12 页(共 21 页) 后整体运算可求得两切线的交点的纵坐标为定值2,从而得到两切线焦点的轨迹方程 【解答】解:由抛物线 x28y 得其焦点坐标为 F(0,2) 设 A(x1,x12) ,B(x2,x22) 直线 l:ykx+2, 联立,得:x24kx80 x1x28 又抛物线方程为:yx2, 求导得 yx, 抛物线过点 A 的切线的斜率为,切线方程为 yx12x1(x

22、x1) 抛物线过点 B 的切线的斜率为 yx22x2(xx2) 由得:y2 l1与 l2的交点 P 的轨迹方程是 y2 故选:A 【点评】本题考查了轨迹方程,训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,考查了 整体运算思想方法,是中档题 二、填空题(每小题二、填空题(每小题 5 分,共分,共 4 小题,满分小题,满分 20 分)分) 13 (5 分)执行程序框图,输出的 T 30 【分析】本题首先分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知: 第 13 页(共 21 页) 该程序的作用是利用循环计算并输出变量 T 的值,模拟程序的运行,运行过程中各变量 的值进行分析,不难得到输出

23、结果 【解答】解:按照程序框图依次执行为 S5,n2,T2; S10,n4,T2+46;S15,n6,T6+612; S20,n8,T12+820;S25,n10,T20+1030S,输出 T30 故答案为:30 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,一般都可以反复的进行运算直到满足条 件结束,本题中涉及到三个变量,注意每个变量的运行结果和执行情况 14 (5 分)若“x21”是“xa”的必要不充分条件,则 a 的最大值为 1 【分析】因 x21 得 x1 或 x1,又“x21”是“xa”的必要不充分条件,知“x a”可以推出“x21” ,反之不成立由此可求出 a 的最大值 【解答】解:因

24、 x21 得 x1 或 x1,又“x21”是“xa”的必要不充分条件, 知“xa”可以推出“x21” , 反之不成立 则 a 的最大值为1 故答案为1 【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断,解题时要认真审题,仔细解 答 15 (5 分)如图,F1,F2是椭圆 C1:+y21 与双曲线 C2的公共焦点,A,B 分别是 C1, C2在第二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2为矩形,则 C2的离心率是 【分析】设|AF1|x,|AF2|y,利用椭圆的定义,四边形 AF1BF2为矩形,可求出 x,y 的值,进而可得双曲线的几何量,即可求出双曲线的离心率 【解答】解:设|AF1|x,|A

25、F2|y, 点 A 为椭圆上的点, 2a4,b1,c; 第 14 页(共 21 页) |AF1|+|AF2|2a4,即 x+y4; 又四边形 AF1BF2为矩形, , 即 x2+y2(2c)212, 由得, 解得 x2,y2+, 设双曲线 C2的实轴长为 2a,焦距为 2c, 则 2a|AF2|AF1|yx2,2c2, C2的离心率是 e 故答案为: 【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质,求得|AF1|与|AF2|是关键,考查分析与运算 能力,属于中档题 16 (5 分)若实数 a,b,c,d 满足|b+a24lna|+|2cd+1|0,则(ac)2+(bd)2的 最小值为 【分析】由(ac

26、)2+(bd)2的几何意义为:曲线 yx2+4lnx 与曲线 y2x+1 上的 两点的距离的平方, 利用导数求曲线 yx2+4lnx 在 P(x0,y0)相切且与直线 y2x+1 平行的切点坐标, 利用点到直线的距离公式得:d,得解 【解答】解:由|b+a24lna|+|2cd+1|0, 得:b+a24lna0,2cd+10, 则 A(a,b)的轨迹方程为:ba2+4lna, 则 B(c,d)的轨迹方程为:d2c+1, 第 15 页(共 21 页) (ac)2+(bd)2的几何意义为: 曲线 yx2+4lnx 与曲线 y2x+1 上的两点的 距离的平方, 设曲线 yx2+4lnx 在 P(x0

27、,y0)相切且 与直线 y2x+1 平行, 由 y2x+, 则 y|2, 所以 x01, 即切点坐标为 P(1,1) , 曲线 yx2+4lnx 与曲线 y2x+1 上的两点的距离的最小值为点 P(1,1)到直线 y 2x+1 的距离, 由点到直线的距离公式得:d, 即(ac)2+(bd)2的最小值为()2, 故答案为: 【点评】本题考查了(ac)2+(bd)2的几何意义,利用导数求切线方程及点到直线 的距离公式,属难度较大的题型 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 6 小题,小题,17 题题 10 分,分,18-22 题均为题均为 12 分,共计分,共计 70 分,解答时应写分,解答时

28、应写 出解答过程或证明步骤)出解答过程或证明步骤)x3456y2.5344.5 17 (10 分)如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与 第 16 页(共 21 页) 相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ybx+a; (参考数值:32.5+43+54+64.566.5) 【分析】 (1)依据描点一一描点画图即可得数据的散点图; (2)先算出 x 和 y 的平均值,有关结果代入公式即可求 a 和 b

29、的值,从而求出线性回归 方程 【解答】解: (1)根据题意,作图可得, (2)由系数公式可知, 4.5, 3.5, 由于参考数值:32.5+43+54+64.566.5, 0.7, 3.50.70.35, 所以线性回归方程为 y0.7x+0.35 【点评】本题考查线性回归方程,两个变量之间的关系,除了函数关系,还存在相关关 系,通过建立回归直线方程,就可以根据其部分观测值,获得对这两个变量之间整体关 系的了解 18 (12 分)小李在做一份调查问卷,共有 4 道题,其中有两种题型,一种是选择题,共 2 道,另一种是填空题,共 2 道 (1)小李从中任选 2 道题解答,每一次选 1 题(不放回)

30、 ,求所选的题不是同一种题型 第 17 页(共 21 页) 的概率; (2)小李从中任选 2 道题解答,每一次选 1 题(有放回) ,求所选的题不是同一种题型 的概率 【分析】 (1)将 3 道选择题依次编号为 1,2;2 道填空题依次编号为 4,5从 4 道题中 任选 2 道题解答,每一次选 1 题(不放回) ,利用列举法能求出所选的题不是同一种题型 的概率 (2)从 4 道题中任选 2 道题解答,每一次选 1 题(有放回) ,利用列法法能求出所选的 题不是同一种题型的概率 【解答】解: (1)将 3 道选择题依次编号为 1,2;2 道填空题依次编号为 4,5 从 4 道题中任选 2 道题解

31、答,每一次选 1 题(不放回) ,则所有基本事件为: (1,2) , (1,4) , (1,5) , (2,1) , (2,4) , (2,5) , (4,1) , (4,2) , (4,5) , (5,1) , (5,2) , (5,4) ,共 12 种, 而且这些基本事件发生的可能性是相等的 设事件 A 为“所选的题不是同一种题型” ,则事件 A 包含的基本事件有: (1,4) , (1,5) , (2,4) , (2,5) , (4,1) , (4,2) , (5,1) , (5,2) ,共 8 种, 所以所选的题不是同一种题型的概率 P(A) (2)从 4 道题中任选 2 道题解答,每

32、一次选 1 题(有放回) , 则所有基本事件为: (1,1) , (1,2) , (1,4) , (1,5) , (2,1) , (2,2) , (2,4) , (2,5) , (4,1) , (4,2) , (4,4) , (4,5) , (5,1) , (5,2) , (5,4) , (5,5) ,共 16 种, 而且这些基本事件发生的可能性是相等的 设事件 B 为“所选的题不是同一种题型” , 由(1)知所选题不是同一种题型的基本事件共 8 种, 所以所选的题不是同一种题型的概率 P(B) 【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、列举法等基础知识,考查运算求解能力, 是基础题 19 (

33、12 分)设两个命题:p:关于 x 的不等式 x2+2ax+40 对一切 xR 恒成立,q:函数 f (x)(42a)x在(,+)上是减函数,若命题 pq 为真,pq 为假,则 实数 a 的取值范围是多少? 第 18 页(共 21 页) 【分析】根据一元二次不等式的解和判别式的关系,及指数函数的单调性即可求出命 题 p,q 下的 a 的取值范围,由 pq 为真,pq 为假知 p,q 一真一假,所以分成 p 真 q 假,p 假 q 真两种情况,分别求出 a 的取值范围再求并集即可 【解答】解:p:4a2160,解得2a2; q:首先 42a0,a2; 函数 f(x)(42a)x在(,+)上是减函

34、数,则 42a1,a; 若命题 pq 为真,pq 为假,则 p,q 一真一假; 若 p 真 q 假,则:,; 若 p 假 q 真,则:,a2; 综上得 a 的取值范围是 【点评】考查一元二次不等式的解和判别式的关系,指数函数的单调性,pq,pq 的真假和 p,q 真假的关系 20 (12 分)某物流公司购买了一块长 AM90 米,宽 AN30 米的矩形地块 AMPN,规划 建设占地如图中矩形 ABCD 的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点 C 在地块对角 线 MN 上,B、D 分别在边 AM、AN 上,假设 AB 长度为 x 米若规划建设的仓库是高度 与 AB 的长相同的长方体建筑,问 A

35、B 长为多少时仓库的库容最大?(墙体及楼板所占空 间忽略不计) 【分析】根据比例关系求出仓库的库容,求的导数,研究函数的极值和最值即可 【解答】解 因为,且 AM90,AN30 所以 NDANx, 得 ADANND30x, 第 19 页(共 21 页) 仓库的库容 V(x)(30x)xxx3+30x2(0x90) , 令 V(x)x2+60xx(x60) , 得 x60 或 x0(舍去) 当 x(0,60)时,V(x)0; 当 x(60,90)时,V(x)0 所以当 x60 时,V(x)有极大值也是最大值 即 AB 的长度为 60 米时仓库的库容最大 【点评】本题主要考查生活中的优化问题,求出

36、函数的以及函数的导数,利用函数极值 和导数之间的关系是解决本题的关键 21 (12 分)已知 M(x1,y1)是椭圆+1(ab0)上任意一点,F 为椭圆的右焦 点 (1)若椭圆的离心率为 e,试用 e,a,x1表示|MF|,并求|MF|的最值; (2)已知直线 m 与圆 x2+y2b2相切,并与椭圆交于 A、B 两点,且直线 m 与圆的切点 Q 在 y 轴右侧,若 a4,求ABF 的周长 【分析】 (1)将点 M 的坐标代入椭圆的方程,得出的表达式,然后再利用两点间的距 离公式可得出|MF|的表达式,结合 x1的取值范围,得出|MF|的最大值和最小值; (2)设 A(x0,y0) ,B(x2,

37、y2) (x0,x20) ,利用勾股定理计算出|AQ|,同理得出|BQ|, 结合(1)中的结论可得出|AF|与|BF|的表达式,于是可得出ABF 【解答】解: (1)设 F(c,0) ,则|MF|, 第 20 页(共 21 页) 又,则, 所 以 |MF| , 又ax1a 且 0e1, 所以|MF|aex1,且|MF|maxa+ae,|MF|minaae (2)设 A(x0,y0) ,B(x2,y2) (x0,x20) ,连接 OQ,OA, 在OQA 中, 同理 易知,x0、x20,所以,|AQ|ex0,|BQ|ex2, 所以,|AB|+|AF+|BF|e(x0+x2)+aex0+aex22a

38、, 又 a4,所以所求周长为 8 【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题,考查椭圆的定义,考查了距离公式的应用, 解决本题的关键在于椭圆方程的应用,考查计算能力,属于中等题 22 (12 分)已知函数 f(x)ln(x1)k(x1)+1 (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)证明:且 n1) 【分析】 (1)由 f(x)ln(x1)k(x1)+1,知 x1,由此 能求出 f(x)的单调区间 (2)由 f(x)0 恒成立,知x1,ln(x1)k(x1)1,故 k0f(x)max f(1+)ln0,由此能求出实数 k 的取值范围 (3)

39、 令 k1, 能够推导出 lnxx1 对 x (0, +) 恒成立 取 xn2, 得到, n2,由此能够证明且 n1) 【解答】解: (1)f(x)1n(x1)k(x1)+1, 第 21 页(共 21 页) x1, x1,当 k0 时,0,f(x)在(1,+)上是增函数; 当 k0 时,f(x)在(1,1+)上是增函数,在(1+,+)上为减函数 (2)f(x)0 恒成立, x1,ln(x1)k(x1)+10, x1,ln(x1)k(x1)1, k0 由(1)知,f(x)maxf(1+)ln0, 解得 k1 故实数 k 的取值范围是1,+) (3)令 k1,则由(2)知:ln(x1)x2 对 x(1,+)恒成立, 即 lnxx1 对 x(0,+)恒成立 取 xn2,则 2lnnn21, 即,n2, 且 n1) 【点评】本题考查函数的单调区间的求法,考查满足条件的实数的取值范围的求法,考 查不等式的证明解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化