1、 第 1 页（共 21 页） 2018-2019 学年江西省鹰潭市高二（上）期末数学试卷（文科）学年江西省鹰潭市高二（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 12 个小题，本题满分个小题，本题满分 60 分）分） 1 （5 分）命题“若 ab，则 a+1b”的逆否命题是（ ） A若 a+1b，则 ab B若 a+1b，则 ab C若 a+1b，则 ab D若 a+1b，则 ab 2 （5 分）某中学初中部共有 120 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例如图所示， 则该校女教师的人数为（ ） A128 B144 C174 D167 3 （5
2、分）对变量 x，y 有观测数据（xi，yi） （i1，2，10） ，得散点图（1） ；对变量 u， v，有观测数据（ui，vi） （i1，2，10） ，得散点图（2） ，由这两个散点图可以判断 （ ） A变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 B变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关 C变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 D变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关 4 （5 分）函数 f（x）（xa） （xb）在 xa 处的导数为（ ） Aab Ba（ab） C0 Dab 5 （5 分）已知变量 a，b 已被赋值，要交换 a、b 的值，应采用的算法是（ ） Aab，b
3、a Bac，ba，cb Cac，ba，ca Dca，ab，bc 6 （5 分）随机猜测“选择题”的答案，每道题猜对的概率为 0.25，则两道选择题至少猜对 第 2 页（共 21 页） 一道以上的概率约为（ ） A B C D 7 （5 分）已知一组数据 x1，x2，x3，x4，x5的平均数是 2，方差是，那么另一组数据 3x1 2，3x22，3x32，3x42，3x52 的平均数和方差分别为（ ） A2， B4，3 C4， D2，1 8 （5 分）设函数 f（x）在 R 上可导，其导函数 f（x） ，且函数 f（x）在 x2 处取得极 小值，则函数 yxf（x）的图象可能是（ ） A B C
4、D 9 （5 分）在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是（ ） A B C D 10 （5 分）已知椭圆：+1（0b2） ，左右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若|+|的最大值为 5，则 b 的值是（ ） A1 B C D 11 （5 分）已知偶函数 f（x） （x0）的导函数为 f（x） ，且满足 f（2）0，当 x0 时， xf（x）2f（x） ，则使得 f（x）0 的 x 的取值范围为（ ） A （，2）（0，2） B （，2）（2，+） C （2，0）（0，2） D （2，0）（2，+） 12 （5 分）过抛物线 x28y 的焦点
5、做直线 l 交抛物线于 A，B 两点，分别过 A，B 作抛物线 的切线 l1，l2，则 l1与 l2的交点 P 的轨迹方程是（ ） Ay2 By1 Cyx1 Dyx1 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 4 小题，满分小题，满分 20 分）分） 第 3 页（共 21 页） 13 （5 分）执行程序框图，输出的 T 14 （5 分）若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则 a 的最大值为 15 （5 分）如图，F1，F2是椭圆 C1：+y21 与双曲线 C2的公共焦点，A，B 分别是 C1， C2在第二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是 16
6、（5 分）若实数 a，b，c，d 满足|b+a24lna|+|2cd+1|0，则（ac）2+（bd）2的 最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，小题，17 题题 10 分，分，18-22 题均为题均为 12 分，共计分，共计 70 分，解答时应写分，解答时应写 出解答过程或证明步骤）出解答过程或证明步骤）x3456y2.5344.5 17 （10 分）如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x（吨）与 相应的生产能耗 y（吨标准煤）的几组对照数据 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数
7、据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ybx+a； （参考数值：32.5+43+54+64.566.5） 18 （12 分）小李在做一份调查问卷，共有 4 道题，其中有两种题型，一种是选择题，共 2 第 4 页（共 21 页） 道，另一种是填空题，共 2 道 （1）小李从中任选 2 道题解答，每一次选 1 题（不放回） ，求所选的题不是同一种题型 的概率； （2）小李从中任选 2 道题解答，每一次选 1 题（有放回） ，求所选的题不是同一种题型 的概率 19 （12 分）设两个命题：p：关于 x 的不等式 x2+2ax+40 对一切 xR 恒成立，q：函数 f （x）（42a）x
8、在（，+）上是减函数，若命题 pq 为真，pq 为假，则 实数 a 的取值范围是多少？ 20 （12 分）某物流公司购买了一块长 AM90 米，宽 AN30 米的矩形地块 AMPN，规划 建设占地如图中矩形 ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点 C 在地块对角 线 MN 上，B、D 分别在边 AM、AN 上，假设 AB 长度为 x 米若规划建设的仓库是高度 与 AB 的长相同的长方体建筑，问 AB 长为多少时仓库的库容最大？（墙体及楼板所占空 间忽略不计） 21 （12 分）已知 M（x1，y1）是椭圆+1（ab0）上任意一点，F 为椭圆的右焦 点 （1）若椭圆的离心率为 e，试
9、用 e，a，x1表示|MF|，并求|MF|的最值； （2）已知直线 m 与圆 x2+y2b2相切，并与椭圆交于 A、B 两点，且直线 m 与圆的切点 Q 在 y 轴右侧，若 a4，求ABF 的周长 22 （12 分）已知函数 f（x）ln（x1）k（x1）+1 （1）求函数 f（x）的单调区间； 第 5 页（共 21 页） （2）若 f（x）0 恒成立，试确定实数 k 的取值范围； （3）证明：且 n1） 第 6 页（共 21 页） 2018-2019 学年江西省鹰潭市高二（上）期末数学试卷（文科）学年江西省鹰潭市高二（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题
10、（每小题一、选择题（每小题 5 分，共分，共 12 个小题，本题满分个小题，本题满分 60 分）分） 1 （5 分）命题“若 ab，则 a+1b”的逆否命题是（ ） A若 a+1b，则 ab B若 a+1b，则 ab C若 a+1b，则 ab D若 a+1b，则 ab 【分析】根据逆否命题的定义，根据原命题为“若 ab，则 a+1b” ，我们易求出命题 “若 ab，则 a+1b”的逆否命题 【解答】解：命题“若 ab，则 a+1b”的逆否命题 “若 a+1b，则 ab” 故选：C 【点评】本题考查的知识点是四种命题间的逆否关系，熟练掌握四种命题的定义是解答 的关键 2 （5 分）某中学初中部共
11、有 120 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别比例如图所示， 则该校女教师的人数为（ ） A128 B144 C174 D167 【分析】根据教师百分百，分别计算初中部和高中部女教师的人数即可 【解答】解：初中部女教师有 12070%84 人， 高中部女教师有 150（160%）15040%60 人， 则女教师共有 84+60144 人， 故选：B 【点评】本题主要考查统计的应用，结合所占比例进行计算是解决本题的关键 3 （5 分）对变量 x，y 有观测数据（xi，yi） （i1，2，10） ，得散点图（1） ；对变量 u， v，有观测数据（ui，vi） （i1，2，10） ，得散点图
12、（2） ，由这两个散点图可以判断 （ ） 第 7 页（共 21 页） A变量 x 与 y 正相关，u 与 v 正相关 B变量 x 与 y 正相关，u 与 v 负相关 C变量 x 与 y 负相关，u 与 v 正相关 D变量 x 与 y 负相关，u 与 v 负相关 【分析】通过观察散点图得出：y 随 x 的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x 与 y 负相 关， u 随 v 的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u 与 v 正相关 【解答】解：由题图 1 可知，y 随 x 的增大而减小，各点整体呈下降趋势，x 与 y 负相关， 由题图 2 可知，u 随 v 的增大而增大，各点整体呈上升趋势，u 与 v
13、正相关 故选：C 【点评】本题考查了散点图的应用问题，通过读图来解决问题，是基础题 4 （5 分）函数 f（x）（xa） （xb）在 xa 处的导数为（ ） Aab Ba（ab） C0 Dab 【分析】先求导，再代入值，解得答案 【解答】解：f（x）（xa） （xb） ， f（x）2x（a+b） ， f（a）2a（a+b）ab， 故选：D 【点评】本题主要考查了导数的运算法则，属于基础题 5 （5 分）已知变量 a，b 已被赋值，要交换 a、b 的值，应采用的算法是（ ） Aab，ba Bac，ba，cb Cac，ba，ca Dca，ab，bc 【分析】交换两个数的赋值必须引入一个中间变量，其
14、功能是暂时储存的功能，根据赋 值规则即可得到答案 第 8 页（共 21 页） 【解答】解：由算法规则引入中间变量 c，语句如下 ca ab bc 故选：D 【点评】本题考查赋值语句，解题关键是理解赋值语句的作用，格式 6 （5 分）随机猜测“选择题”的答案，每道题猜对的概率为 0.25，则两道选择题至少猜对 一道以上的概率约为（ ） A B C D 【分析】利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式直接求解 【解答】解：随机猜测“选择题”的答案，每道题猜对的概率为 0.25， 两道选择题至少猜对一道以上的概率约为： p 故选：A 【点评】本题考查概率的求法，考查 n 次
15、独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计 算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 7 （5 分）已知一组数据 x1，x2，x3，x4，x5的平均数是 2，方差是，那么另一组数据 3x1 2，3x22，3x32，3x42，3x52 的平均数和方差分别为（ ） A2， B4，3 C4， D2，1 【分析】本题可将平均数和方差公式中的 x 换成 3x2，再化简进行计算 【解答】解：x1，x2，x5的平均数是 2，则 x1+x2+x52510 数据 3x12，3x22，3x32，3x42，3x52 的平均数是： （3x12）+（3x2 2）+（3x32）+（3x42）+（3x52）3（x
16、1+x2+x5）104， S2（3x124）2+（3x224）2+（3x524）2， （3x16）2+（3x56）29（x12）2+（x22）2+（x52）23 故选：B 【点评】本题考查的是方差和平均数的性质设平均数为 E（x） ，方差为 D（x） 则 E 第 9 页（共 21 页） （cx+d）cE（x）+d；D（cx+d）c2D（x） 8 （5 分）设函数 f（x）在 R 上可导，其导函数 f（x） ，且函数 f（x）在 x2 处取得极 小值，则函数 yxf（x）的图象可能是（ ） A B C D 【分析】由题设条件知：当 x2 时，xf（x）0；当 x2 时，xf（x）0；当 x2 时
17、，xf（x）0由此观察四个选项能够得到正确结果 【解答】解：函数 f（x）在 R 上可导，其导函数 f（x） ， 且函数 f（x）在 x2 处取得极小值， 当 x2 时，f（x）0； 当 x2 时，f（x）0； 当 x2 时，f（x）0 当 x2 时，xf（x）0； 当 x2 时，xf（x）0； 当 x2 时，xf（x）0 故选：A 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质 和函数极值的性质的合理运用 9 （5 分）在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是（ ） A B C D 【分析】先设随机地取出两个数为 x、y，则 x，y（0，1）
18、，记“两数之和小于”为事 件 A，即“x+y“为事件 A，再作出相应不等式表示的平面区域， 第 10 页（共 21 页） 由几何概型中的面积型公式可得：P（A）1，得解 【解答】 解：设随机地取出两个数为 x、y，则 x，y（0，1） ， 记“两数之和小于”为事件 A， 即“x+y“为事件 A， 由几何概型中的面积型公式可得： P（A）1， 故选：A 【点评】本题考查了几何概型中的面积型，属简单题 10 （5 分）已知椭圆：+1（0b2） ，左右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，若|+|的最大值为 5，则 b 的值是（ ） A1 B C D 【分析】利用椭圆的
19、定义，结合的最大值为 5，可得当且仅当 ABx 轴时，|AB|的最小值为 3，由此可得结论 【解答】解：由题意：+|AB|4a8 的最大值为 5，|AB|的最小值为 3 第 11 页（共 21 页） 当且仅当 ABx 轴时，取得最小值，此时 A（c，） ，B（c，） 代入椭圆方程可得： c24b2 b 故选：D 【点评】本题考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，属于基础题 11 （5 分）已知偶函数 f（x） （x0）的导函数为 f（x） ，且满足 f（2）0，当 x0 时， xf（x）2f（x） ，则使得 f（x）0 的 x 的取值范围为（ ） A （，2）（0，2） B （，2）（2，+）
20、C （2，0）（0，2） D （2，0）（2，+） 【分析】作为选择题，可以通过特殊点法解决，在所给不等式中令 x2 可得该处导函数 为正，结合选项即可确定正确答案 【解答】解：在 xf（x）2f（x）中， 令 x2，得 2f（2）2f（2）0， f（2）0， 可知 f（x）在 x2 处是递增趋势， 故使 f（x）0 的 x2， 根据偶函数的对称性， 可知当 x0 时，x2， 故选：B 【点评】此题考查了利用导数研究函数的单调区间，难度适中 12 （5 分）过抛物线 x28y 的焦点做直线 l 交抛物线于 A，B 两点，分别过 A，B 作抛物线 的切线 l1，l2，则 l1与 l2的交点 P
21、的轨迹方程是（ ） Ay2 By1 Cyx1 Dyx1 【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由斜截式写出过焦点的直线方程，和抛 物线方程联立求出 A，B 两点横坐标的积，再利用导数写出过 A，B 两点的切线方程，然 第 12 页（共 21 页） 后整体运算可求得两切线的交点的纵坐标为定值2，从而得到两切线焦点的轨迹方程 【解答】解：由抛物线 x28y 得其焦点坐标为 F（0，2） 设 A（x1，x12） ，B（x2，x22） 直线 l：ykx+2， 联立，得：x24kx80 x1x28 又抛物线方程为：yx2， 求导得 yx， 抛物线过点 A 的切线的斜率为，切线方程为 yx12x1（x
22、x1） 抛物线过点 B 的切线的斜率为 yx22x2（xx2） 由得：y2 l1与 l2的交点 P 的轨迹方程是 y2 故选：A 【点评】本题考查了轨迹方程，训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了 整体运算思想方法，是中档题 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 4 小题，满分小题，满分 20 分）分） 13 （5 分）执行程序框图，输出的 T 30 【分析】本题首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知： 第 13 页（共 21 页） 该程序的作用是利用循环计算并输出变量 T 的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量 的值进行分析，不难得到输出
23、结果 【解答】解：按照程序框图依次执行为 S5，n2，T2； S10，n4，T2+46；S15，n6，T6+612； S20，n8，T12+820；S25，n10，T20+1030S，输出 T30 故答案为：30 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条 件结束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况 14 （5 分）若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则 a 的最大值为 1 【分析】因 x21 得 x1 或 x1，又“x21”是“xa”的必要不充分条件，知“x a”可以推出“x21” ，反之不成立由此可求出 a 的最大值 【解答】解：因
24、 x21 得 x1 或 x1，又“x21”是“xa”的必要不充分条件， 知“xa”可以推出“x21” ， 反之不成立 则 a 的最大值为1 故答案为1 【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解 答 15 （5 分）如图，F1，F2是椭圆 C1：+y21 与双曲线 C2的公共焦点，A，B 分别是 C1， C2在第二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是 【分析】设|AF1|x，|AF2|y，利用椭圆的定义，四边形 AF1BF2为矩形，可求出 x，y 的值，进而可得双曲线的几何量，即可求出双曲线的离心率 【解答】解：设|AF1|x，|A
25、F2|y， 点 A 为椭圆上的点， 2a4，b1，c； 第 14 页（共 21 页） |AF1|+|AF2|2a4，即 x+y4； 又四边形 AF1BF2为矩形， ， 即 x2+y2（2c）212， 由得， 解得 x2，y2+， 设双曲线 C2的实轴长为 2a，焦距为 2c， 则 2a|AF2|AF1|yx2，2c2， C2的离心率是 e 故答案为： 【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算 能力，属于中档题 16 （5 分）若实数 a，b，c，d 满足|b+a24lna|+|2cd+1|0，则（ac）2+（bd）2的 最小值为 【分析】由（ac
26、）2+（bd）2的几何意义为：曲线 yx2+4lnx 与曲线 y2x+1 上的 两点的距离的平方， 利用导数求曲线 yx2+4lnx 在 P（x0，y0）相切且与直线 y2x+1 平行的切点坐标， 利用点到直线的距离公式得：d，得解 【解答】解：由|b+a24lna|+|2cd+1|0， 得：b+a24lna0，2cd+10， 则 A（a，b）的轨迹方程为：ba2+4lna， 则 B（c，d）的轨迹方程为：d2c+1， 第 15 页（共 21 页） （ac）2+（bd）2的几何意义为： 曲线 yx2+4lnx 与曲线 y2x+1 上的两点的 距离的平方， 设曲线 yx2+4lnx 在 P（x0
27、，y0）相切且 与直线 y2x+1 平行， 由 y2x+， 则 y|2， 所以 x01， 即切点坐标为 P（1，1） ， 曲线 yx2+4lnx 与曲线 y2x+1 上的两点的距离的最小值为点 P（1，1）到直线 y 2x+1 的距离， 由点到直线的距离公式得：d， 即（ac）2+（bd）2的最小值为（）2， 故答案为： 【点评】本题考查了（ac）2+（bd）2的几何意义，利用导数求切线方程及点到直线 的距离公式，属难度较大的题型 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，小题，17 题题 10 分，分，18-22 题均为题均为 12 分，共计分，共计 70 分，解答时应写分，解答时
28、应写 出解答过程或证明步骤）出解答过程或证明步骤）x3456y2.5344.5 17 （10 分）如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x（吨）与 第 16 页（共 21 页） 相应的生产能耗 y（吨标准煤）的几组对照数据 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ybx+a； （参考数值：32.5+43+54+64.566.5） 【分析】 （1）依据描点一一描点画图即可得数据的散点图； （2）先算出 x 和 y 的平均值，有关结果代入公式即可求 a 和 b
29、的值，从而求出线性回归 方程 【解答】解： （1）根据题意，作图可得， （2）由系数公式可知， 4.5， 3.5， 由于参考数值：32.5+43+54+64.566.5， 0.7， 3.50.70.35， 所以线性回归方程为 y0.7x+0.35 【点评】本题考查线性回归方程，两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关 系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关 系的了解 18 （12 分）小李在做一份调查问卷，共有 4 道题，其中有两种题型，一种是选择题，共 2 道，另一种是填空题，共 2 道 （1）小李从中任选 2 道题解答，每一次选 1 题（不放回）
30、 ，求所选的题不是同一种题型 第 17 页（共 21 页） 的概率； （2）小李从中任选 2 道题解答，每一次选 1 题（有放回） ，求所选的题不是同一种题型 的概率 【分析】 （1）将 3 道选择题依次编号为 1，2；2 道填空题依次编号为 4，5从 4 道题中 任选 2 道题解答，每一次选 1 题（不放回） ，利用列举法能求出所选的题不是同一种题型 的概率 （2）从 4 道题中任选 2 道题解答，每一次选 1 题（有放回） ，利用列法法能求出所选的 题不是同一种题型的概率 【解答】解： （1）将 3 道选择题依次编号为 1，2；2 道填空题依次编号为 4，5 从 4 道题中任选 2 道题解
31、答，每一次选 1 题（不放回） ，则所有基本事件为： （1，2） ， （1，4） ， （1，5） ， （2，1） ， （2，4） ， （2，5） ， （4，1） ， （4，2） ， （4，5） ， （5，1） ， （5，2） ， （5，4） ，共 12 种， 而且这些基本事件发生的可能性是相等的 设事件 A 为“所选的题不是同一种题型” ，则事件 A 包含的基本事件有： （1，4） ， （1，5） ， （2，4） ， （2，5） ， （4，1） ， （4，2） ， （5，1） ， （5，2） ，共 8 种， 所以所选的题不是同一种题型的概率 P（A） （2）从 4 道题中任选 2 道题解答，每
32、一次选 1 题（有放回） ， 则所有基本事件为： （1，1） ， （1，2） ， （1，4） ， （1，5） ， （2，1） ， （2，2） ， （2，4） ， （2，5） ， （4，1） ， （4，2） ， （4，4） ， （4，5） ， （5，1） ， （5，2） ， （5，4） ， （5，5） ，共 16 种， 而且这些基本事件发生的可能性是相等的 设事件 B 为“所选的题不是同一种题型” ， 由（1）知所选题不是同一种题型的基本事件共 8 种， 所以所选的题不是同一种题型的概率 P（B） 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 19 （
33、12 分）设两个命题：p：关于 x 的不等式 x2+2ax+40 对一切 xR 恒成立，q：函数 f （x）（42a）x在（，+）上是减函数，若命题 pq 为真，pq 为假，则 实数 a 的取值范围是多少？ 第 18 页（共 21 页） 【分析】根据一元二次不等式的解和判别式的关系，及指数函数的单调性即可求出命 题 p，q 下的 a 的取值范围，由 pq 为真，pq 为假知 p，q 一真一假，所以分成 p 真 q 假，p 假 q 真两种情况，分别求出 a 的取值范围再求并集即可 【解答】解：p：4a2160，解得2a2； q：首先 42a0，a2； 函数 f（x）（42a）x在（，+）上是减函
34、数，则 42a1，a； 若命题 pq 为真，pq 为假，则 p，q 一真一假； 若 p 真 q 假，则：，； 若 p 假 q 真，则：，a2； 综上得 a 的取值范围是 【点评】考查一元二次不等式的解和判别式的关系，指数函数的单调性，pq，pq 的真假和 p，q 真假的关系 20 （12 分）某物流公司购买了一块长 AM90 米，宽 AN30 米的矩形地块 AMPN，规划 建设占地如图中矩形 ABCD 的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点 C 在地块对角 线 MN 上，B、D 分别在边 AM、AN 上，假设 AB 长度为 x 米若规划建设的仓库是高度 与 AB 的长相同的长方体建筑，问 A
35、B 长为多少时仓库的库容最大？（墙体及楼板所占空 间忽略不计） 【分析】根据比例关系求出仓库的库容，求的导数，研究函数的极值和最值即可 【解答】解 因为，且 AM90，AN30 所以 NDANx， 得 ADANND30x， 第 19 页（共 21 页） 仓库的库容 V（x）（30x）xxx3+30x2（0x90） ， 令 V（x）x2+60xx（x60） ， 得 x60 或 x0（舍去） 当 x（0，60）时，V（x）0； 当 x（60，90）时，V（x）0 所以当 x60 时，V（x）有极大值也是最大值 即 AB 的长度为 60 米时仓库的库容最大 【点评】本题主要考查生活中的优化问题，求出
36、函数的以及函数的导数，利用函数极值 和导数之间的关系是解决本题的关键 21 （12 分）已知 M（x1，y1）是椭圆+1（ab0）上任意一点，F 为椭圆的右焦 点 （1）若椭圆的离心率为 e，试用 e，a，x1表示|MF|，并求|MF|的最值； （2）已知直线 m 与圆 x2+y2b2相切，并与椭圆交于 A、B 两点，且直线 m 与圆的切点 Q 在 y 轴右侧，若 a4，求ABF 的周长 【分析】 （1）将点 M 的坐标代入椭圆的方程，得出的表达式，然后再利用两点间的距 离公式可得出|MF|的表达式，结合 x1的取值范围，得出|MF|的最大值和最小值； （2）设 A（x0，y0） ，B（x2，
37、y2） （x0，x20） ，利用勾股定理计算出|AQ|，同理得出|BQ|， 结合（1）中的结论可得出|AF|与|BF|的表达式，于是可得出ABF 【解答】解： （1）设 F（c，0） ，则|MF|， 第 20 页（共 21 页） 又，则， 所 以 |MF| ， 又ax1a 且 0e1， 所以|MF|aex1，且|MF|maxa+ae，|MF|minaae （2）设 A（x0，y0） ，B（x2，y2） （x0，x20） ，连接 OQ，OA， 在OQA 中， 同理 易知，x0、x20，所以，|AQ|ex0，|BQ|ex2， 所以，|AB|+|AF+|BF|e（x0+x2）+aex0+aex22a
38、， 又 a4，所以所求周长为 8 【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆的定义，考查了距离公式的应用， 解决本题的关键在于椭圆方程的应用，考查计算能力，属于中等题 22 （12 分）已知函数 f（x）ln（x1）k（x1）+1 （1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若 f（x）0 恒成立，试确定实数 k 的取值范围； （3）证明：且 n1） 【分析】 （1）由 f（x）ln（x1）k（x1）+1，知 x1，由此 能求出 f（x）的单调区间 （2）由 f（x）0 恒成立，知x1，ln（x1）k（x1）1，故 k0f（x）max f（1+）ln0，由此能求出实数 k 的取值范围 （3）
39、 令 k1， 能够推导出 lnxx1 对 x （0， +） 恒成立 取 xn2， 得到， n2，由此能够证明且 n1） 【解答】解： （1）f（x）1n（x1）k（x1）+1， 第 21 页（共 21 页） x1， x1，当 k0 时，0，f（x）在（1，+）上是增函数； 当 k0 时，f（x）在（1，1+）上是增函数，在（1+，+）上为减函数 （2）f（x）0 恒成立， x1，ln（x1）k（x1）+10， x1，ln（x1）k（x1）1， k0 由（1）知，f（x）maxf（1+）ln0， 解得 k1 故实数 k 的取值范围是1，+） （3）令 k1，则由（2）知：ln（x1）x2 对 x（1，+）恒成立， 即 lnxx1 对 x（0，+）恒成立 取 xn2，则 2lnnn21， 即，n2， 且 n1） 【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考 查不等式的证明解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化