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2018-2019学年江西省上饶市高二(上)期末数学试卷(理科)含详细解答

1、2018-2019 学年江西省上饶市高二(上)期末数学试卷(理科)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1 (3 分)不等式的解集为( ) A B  C D 2 (3 分)若 a,b,cR,ab,则下列不等式成立的是( ) A Ba2b2  Ca|c|b|c| D 3 (3 分)古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 2018 石, 验得米内夹谷, 抽样取米一把, 数得 270 粒内夹谷 30 粒, 则这批米内夹谷约为 ( )  A222 石 B224 石 C230 石 D232 石 4 (3 分)甲、乙两人在相

2、同的条件下投篮 5 轮,每轮甲、乙各投篮 10 次,投篮命中次数 的情况如图所示(实线为甲的折线图,虚线为乙的折线图) ,则以下说法错误的是( )  A甲投篮命中次数的众数比乙的小  B甲投篮命中次数的中位数比乙的小  C甲投篮命中次数的平均数比乙的大  D甲投篮命中的成绩比乙的稳定 第 2 页(共 21 页) 5 (3 分) (x2+)5的展开式中 x4的系数为( ) A10 B20 C40 D80 6 (3 分) 执行下面的程序框图, 如果输入的 x0, y1, n1, 则输出 x, y 的值满足 ( )  Ay2x By3x Cy4x D

3、y5x 7 (3 分)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费用的时间,为此进行了 5 次 实验,根据收集到的数据(如表) ,由最小二乘法求得回归直线方程 零件数 x(个) 1 2 3 4 5 加工时间 y(min) 50 67 71 79 表中有一个数据模糊不清,请你推断出该数据的值为( ) A55 B55.8 C59 D51 8 (3 分)已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,2) ,且 P(X4)0.8,则 P(0X2) ( ) A0.6 B0.3 C0.2 D0.1 9 (3 分)图 1 和图 2 中所有的正方形都全等,将图 1 中的正方形放在图 2 中的 某一位置,所组成的图

4、形能围成正方体的概率是( ) 第 3 页(共 21 页) A B C D1 10 (3 分)已知 x0,y0,且 x2+3xy20,则 2x+y 的最小值是( ) A B C D 11 (3 分)已知 x,y 满足不等式组,则 z|x+y1|的最小值为( ) A2 B C D1 12 (3 分)已知函数 f(x)x23x+2,g(x)2x+m,若对任意的 x1R,存在 x21, 1,使得 g(x2)f(x1) ,则实数 m 的取值范围是( ) A B C D 二、填空题(将答案填在答题纸上)二、填空题(将答案填在答题纸上) 13 (3 分)已知随机变量 X 的分布列如表,又随机变量 Y2X+3

5、,则 Y 的期望是    X 1 0 1 P a 14 (3 分) (文)若(12x) 2009a0+a1x+a2x2+a2009x2009(xR) ,则(a0+a1)+(a0+a2) +(a0+a3)+(a0+a2009)   15 (3 分) 已知 lg (x+y+4) lg (3x+y2) , 若 xy 恒成立, 则 的取值范围是    16 (3 分)甲、乙两位同学玩游戏,对于给定的实数 a1,按下列方法操作一次产生一个新 的实数:由甲、乙同时各掷一枚质地均匀的硬币,如果出现两个正面朝上或两个反面朝 上,则把 a1乘以 2 后再减去 6

6、;如果出现一个正面朝上,一个反面朝上,则把 a1除以 2 后再加上 6,这样就可得到一个新的实数 a2,对实数 a2仍按上述方法进行一次操作,又 得到一个新的实数 a3,当 a3a1时,甲获胜,否则乙获胜,若甲胜的概率为,则 a1 的取值范围是    第 4 页(共 21 页) 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17已知的展开式的各项系数和比二项式系数和大 211 (1)求 n 的值; (2)求展开式中所有有理项 18 (1)当 x1 时,求的最小值 (2)用数学归纳法证明:(nN*) 19某城市关系要

7、好的 A,B,C,D 四个家庭各有两个小孩共 8 人,准备使用滴滴打车软 件,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐 4 人, (乘同一辆车的 4 名小孩不考虑位置 差异) (1)共有多少种不同的乘坐方式? (2)若 A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的 4 名小孩恰有 2 名来自于同一 个家庭的乘坐方式共有多少种? 20某理财公司有两种理财产品 A 和 B这两种理财产品一年后盈亏的情况如下(每种理财 产品的不同投资结果之间相互独立) : 产品 A 产品 B(其中 p、q0) 投资结果 获利 40% 不赔不赚 亏损 20% 概 率 投资结果 获利 20% 不赔不赚 亏损 10% 概 率

8、 p ()已知甲、乙两人分别选择了产品 A 和产品 B 进行投资,如果一年后他们中至少有 一人获利的概率大于,求 p 的取值范围; ()丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资,以一年后投资收益的期望值为决策依据, 在产品 A 和产品 B 之中选其一,应选用哪个? 21基因编辑婴儿“露露”和“娜娜”出生的消息成了全球瞩目的焦点,为了解学生对基因 编辑婴儿的看法,某中学随机从该校一年级学生中抽取了 100 人进行调查,抽取的 45 女 生中赞成基因编辑婴儿的占,而 55 名男生中有 10 人表示赞成基因编辑婴儿 第 5 页(共 21 页) (1)完成 22 列联表,并回答能否有 90%的把握认为“

9、对基因编辑婴儿是否赞成与性 别有关”? 不赞成 赞成 合计 男       55 女          合计          (2)现从该校不赞成基因编辑婴儿的学生中,采用分层抽样的方法抽取 7 名学生,再从 被抽取的 7 名学生中任取 3 人,记被抽取的 3 名学生女生的人数为 X,求 X 的分布列和 期望 附表: P(K2k0) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 K2,

10、na+b+c+d 22设函数 f(x)ax2+4x+b (1)当 b2 时,若对于 x1,2,有 f(x)0 恒成立,求 a 的取值范围; (2)已知 ab,若 f(x)0 对于一切实数 x 恒成立,并且存在 x0R,使得 ax02+4x0+b 0 成立,求的最小值 第 6 页(共 21 页) 2018-2019 学年江西省上饶市高二(上)期末数学试卷(理科)学年江西省上饶市高二(上)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1 (3 分)不等式的解

11、集为( ) A B  C D 【分析】把分式不等式转化为二次不等式即可求解 【解答】解:由可得(x+1) (2x1)0, 解可得,1x, 故选:B 【点评】本题考查分式不等式的解法,基本知识的考查 2 (3 分)若 a,b,cR,ab,则下列不等式成立的是( ) A Ba2b2  Ca|c|b|c| D 【分析】通过赋值法及利用不等式的基本性质即可判断出结论 【解答】解:由 ab, A取 a1,b2 时不成立; B取 a1,b2 时不成立; C取 c0 时不成立; Dc2+10,可得:恒成立 故选:D 【点评】本题考查了赋值法、不等式的基本性质,考查了推理能力与计算能力,属

12、于基 础题 3 (3 分)古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 2018 石, 验得米内夹谷, 抽样取米一把, 数得 270 粒内夹谷 30 粒, 则这批米内夹谷约为 ( )  A222 石 B224 石 C230 石 D232 石 第 7 页(共 21 页) 【分析】根据数得 270 粒内夹谷 30 粒,可得比例,即可得出结论 【解答】解:由题意,这批米内夹谷约为 2018224 石, 故选:B 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,是基础题 4 (3 分)甲、乙两人在相同的条件下投篮 5 轮,每轮甲、乙各投篮 10 次,投篮命中次

13、数 的情况如图所示(实线为甲的折线图,虚线为乙的折线图) ,则以下说法错误的是( )  A甲投篮命中次数的众数比乙的小  B甲投篮命中次数的中位数比乙的小  C甲投篮命中次数的平均数比乙的大  D甲投篮命中的成绩比乙的稳定 【分析】由折线图知甲、乙投篮 5 轮分别命中的次数,再判断它们的众数、中位数、平 均数和方差的大小 【解答】解:由折线图知,甲投篮 5 轮,命中次数分别为 5,8,6,8,8; 乙投篮 5 轮,命中次数分别为 3,7,9,5,9; 则甲投篮命中的众数是 8,乙投篮命中的众数是 9,甲的众数小,A 正确; 甲投篮命中的中位数是 8,乙投

14、篮命中的中位数 7,甲的中位数大,B 错误; 甲投篮命中的平均数是 7,乙投篮命中的平均数是 6.6,甲的平均数大,C 正确; 甲投篮命中的数据集中在平均数左右,方差小, 乙投篮命中的数据较分散些,方差大,甲的成绩稳定些,D 正确 第 8 页(共 21 页) 故选:B 【点评】本题考查了频率分布折线图的应用问题,也考查了众数、中位数、平均数和方 差的应用问题,是基础题 5 (3 分) (x2+)5的展开式中 x4的系数为( ) A10 B20 C40 D80 【分析】由二项式定理得(x2+)5的展开式的通项为:Tr+1(x2)5 r( )r ,由 103r4,解得 r2,由此能求出(x2+)5

15、的展开式中 x4的系数  【解答】解:由二项式定理得(x2+)5的展开式的通项为: Tr+1(x2)5 r( )r, 由 103r4,解得 r2, (x2+)5的展开式中 x4的系数为40 故选:C 【点评】本题考查二项展开式中 x4的系数的求法,考查二项式定理、通项公式等基础知 识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题 6 (3 分) 执行下面的程序框图, 如果输入的 x0, y1, n1, 则输出 x, y 的值满足 ( )  Ay2x By3x Cy4x Dy5x 【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 x,y 第 9 页(

16、共 21 页) 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案 【解答】解:输入 x0,y1,n1, 则 x0,y1,不满足 x2+y236,故 n2, 则 x,y2,不满足 x2+y236,故 n3, 则 x,y6,满足 x2+y236, 故 y4x, 故选:C 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟 循环的方法解答 7 (3 分)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费用的时间,为此进行了 5 次 实验,根据收集到的数据(如表) ,由最小二乘法求得回归直线方程 零件数 x(个) 1 2 3 4 5 加工时间 y(min) 50

17、67 71 79 表中有一个数据模糊不清,请你推断出该数据的值为( ) A55 B55.8 C59 D51 【分析】设模糊不清的数据为 a,由表格中的数据可得样本点的中心的坐标,代入线性回 归方程可得 a 值 【解答】解:设模糊不清的数据为 a, 由表格中的数据可得, , 样本点的中心为(3,) , 代入回归直线方程, 得,解得 a51 故选:D 【点评】本题考查线性回归方程,明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键,是基础 题 第 10 页(共 21 页) 8 (3 分)已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,2) ,且 P(X4)0.8,则 P(0X2) ( ) A0.6 B0.3 C0.2

18、 D0.1 【分析】根据随机变量 X 服从正态分布,可知正态曲线的对称轴,利用对称性,即可求 得 P(0X2) 【解答】解:随机变量 X 服从正态分布 N(2,o2) , 正态曲线的对称轴是 x2 又 P(X4)0.8, P(X4)0.2, 则 P(0X2) 故选:B 【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应 用等基础知识,属于基础题 9 (3 分)图 1 和图 2 中所有的正方形都全等,将图 1 中的正方形放在图 2 中的 某一位置,所组成的图形能围成正方体的概率是( ) A B C D1 【分析】将图 1 中的正方形放在图 2 中的某一位置,基本事件总数

19、 n4,图 1 中的正方形放在图 2 中的当处时所组成的图形不能围成正方体,图 1 中的正方形放 在图 2 中的当处的某一位置时所组成的图形能围成正方体, 由此能求出所组成的 图形能围成正方体的概率 【解答】解:图 1 和图 2 中所有的正方形都全等, 将图 1 中的正方形放在图 2 中的某一位置, 第 11 页(共 21 页) 基本事件总数 n4, 图 1 中的正方形放在图 2 中的当处时所组成的图形不能围成正方体, 图 1 中的正方形放在图 2 中的当处的某一位置时所组成的图形能围成正方体, 将图 1 中的正方形放在图 2 中的某一位置, 所组成的图形能围成正方体的概率是 p 故选:C 【

20、点评】本题考查概率的求法,考查列举法、互斥事件的定义等基础知识,考查运算求 解能力,考查函数与方程思想,是基础题 10 (3 分)已知 x0,y0,且 x2+3xy20,则 2x+y 的最小值是( ) A B C D 【分析】由 x2+3xy20 得代入 2x+y 化简之后利用基本不等式可求出 2x+y 的最小值 【解答】解:由 x2+3xy20,得 3xy2x2,所以, 由基本不等式可得, 当且仅当,即当时,等号成立, 因此,2x+y 的最小值为, 故选:C 【点评】本题考查利用基本不等式求最值,对不等式进行灵活变形,是解本题的关键, 属于中等题 11 (3 分)已知 x,y 满足不等式组,

21、则 z|x+y1|的最小值为( ) 第 12 页(共 21 页) A2 B C D1 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优 解,把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】解:由 x,y 满足不等式组,作出可行域如图,由可行域可知 A(5, 3) ,B(2,0) , ux+y1 的最大值为:7,最小值为:1, 则 z|x+y1|的最小值为:1 故选:D 【点评】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题 12 (3 分)已知函数 f(x)x23x+2,g(x)2x+m,若对任意的 x1R,存在 x21, 1,使得 g(x2)f(x1) ,

22、则实数 m 的取值范围是( ) A B C D 【分析】求出 f(x) ,g(x)的最小值, 【解答】解:对任意的 x1R,存在 x21,1,使得 g(x2)f(x1) , xR,f(x)x23x+2(x)2, x1,1,g(x)min2+m, 根据题意,只需 g(x)minf(x)min, 即2+m,化简得 m, 故选:B 第 13 页(共 21 页) 【点评】考查了存在性问题和恒成立问题,中档题 二、填空题(将答案填在答题纸上)二、填空题(将答案填在答题纸上) 13 (3 分)已知随机变量 X 的分布列如表,又随机变量 Y2X+3,则 Y 的期望是 X 1 0 1 P a 【分析】由随机变

23、量 X 的分布列,求出 EX,再由随机变量 Y2X+3,能求出 Y 的期望  【解答】解:由随机变量 X 的分布列,得: EX(1), 又随机变量 Y2X+3, 则 Y 的期望是 EY2EX+32()+3 故答案为: 【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法,考查数学期望的性质等基础知识, 考查运算求解能力,是基础题 14 (3 分) (文)若(12x) 2009a0+a1x+a2x2+a2009x2009(xR) ,则(a0+a1)+(a0+a2) +(a0+a3)+(a0+a2009) 2007 【分析】通过对等式中的 x 分别赋 0,1 求出常数项和各项系数和得到要求的值

24、 【解答】解:令 x0,得 a01;令 x1,得1a0+a1+a2+a2009, 故(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+(a0+a2009)200812007 故答案为:2007 【点评】本题考查通过赋值法求二项展开式的各项系数和 15 (3 分)已知 lg(x+y+4)lg(3x+y2) ,若 xy 恒成立,则 的取值范围是 10, +) 【分析】根据题意,转换为线性规划问题,令 zxy,利用线性规划求得 xy2,结 合 xy 恒成立求得 的取值范围 【解答】解:由 lg(x+y+4)lg(3x+y2) ,得 ,即 第 14 页(共 21 页) 令 zxy, 由 x3,x+y+4

25、0,得 A(3,7) , 由图可知,当直线 zxy 过 A 时,zxy 有最大值为 10 而 xy 恒成立, 的取值范围是10,+) , 故答案为:10,+) 【点评】本题考查简单的线性规划,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法, 是中档题 16 (3 分)甲、乙两位同学玩游戏,对于给定的实数 a1,按下列方法操作一次产生一个新 的实数:由甲、乙同时各掷一枚质地均匀的硬币,如果出现两个正面朝上或两个反面朝 上,则把 a1乘以 2 后再减去 6;如果出现一个正面朝上,一个反面朝上,则把 a1除以 2 后再加上 6,这样就可得到一个新的实数 a2,对实数 a2仍按上述方法进行一次操作,又

26、得到一个新的实数 a3,当 a3a1时,甲获胜,否则乙获胜,若甲胜的概率为,则 a1 的取值范围是 (,612,+)  【分析】列出 a3的 4 个可能的结果,因为每个结果发生的可能均为,故其中有 3 个比 a1大,一个小于或等于 a1,列出不等式组,即可得到 a1的范围 【解答】解:a3的结果有四种,分别为:4a118,a1+3,a1+6 和,每一个结果出 现的概率都是, 由题意,甲胜的概率为,所以 a3的 4 种结果中有 3 种比 a1大,1 个比 a1小, 又因为 a1+3,a1+6 一定比 a1大, 故 4a118 和中一个大于 a1,另一个不大于 a1, 第 15 页(共

27、21 页) 即或者, 解得 a16,或者 a112, 故答案为: (,612,+) 【点评】本题考查了古典概型的概率,考查了不等式组的解法,考查分析和解决问题的 能力,是基础题 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17已知的展开式的各项系数和比二项式系数和大 211 (1)求 n 的值; (2)求展开式中所有有理项 【分析】 (1)先求出展开式的各项系数和为 3n,而二项式系数和为 2n,再根据题意 3n 2n211,nN,由此求得 n 的值 (2)二项式展开式的通项公式求得展开式中所有有理项 【解答】解: (1)已知的展开

28、式的各项系数和比二项式系数和大 211, 令 x1,可得展开式的各项系数和为 3n,而二项式系数和为 2n, 3n2n211,nN,求得 n5 (2) 的展开式的通项公式为 Tr+12r, 令 5为整数,求得 r0,2,4, 故展开式中所有有理项为 T120x5x5, T322x440x4, T524x380x3  【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公 式,属于基础题 18 (1)当 x1 时,求的最小值 (2)用数学归纳法证明:(nN*) 【分析】 (1)把已知函数解析式变形,然后利用配方法结合二次函数求最值; (2)证明 n1 时不等式成立

29、,假设 nk 时不等式成立,即成 立,然后利用归纳假设证明 nk+1 时不等式成立,则结论得证 第 16 页(共 21 页) 【解答】 (1)解:x1 , (0,1) ,(0, 则的最小值为 4; (2)证明:当 n1 时,不等式的左边,右边,不等式成立; 假设 nk 时不等式成立,即成立, 则当 nk+1 时,左边 , 即当 nk+1 时不等式成立 综上所述,(nN*) 【点评】本题考查函数最值的求法,训练了利用数学归纳法证明数列不等式,是中档题  19某城市关系要好的 A,B,C,D 四个家庭各有两个小孩共 8 人,准备使用滴滴打车软 件,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐 4

30、 人, (乘同一辆车的 4 名小孩不考虑位置 差异) (1)共有多少种不同的乘坐方式? (2)若 A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的 4 名小孩恰有 2 名来自于同一 个家庭的乘坐方式共有多少种? 【分析】 (1)根据题意,分 2 步进行分析:,将 8 人分成 2 组,将分好的 2 组全 排列,安排到甲乙两辆车,由分步计数原理计算可得答案; (2)根据题意,分 2 种情况讨论:、A 户家庭的孪生姐妹在甲车上,甲车上剩下两个 要来自不同的家庭,、A 户家庭的孪生姐妹不在甲车上,每种情况下分析乘坐人员的 情况,由排列、组合数公式计算可得其乘坐方式的数目,由分类计数原理计算可得答案 &n

31、bsp;【解答】解: (1)根据题意,8 个小孩坐 2 辆汽车,每车限坐 4 人, 分 2 步进行分析: 第 17 页(共 21 页) ,将 8 人分成 2 组,有35 种分组方法, ,将分好的 2 组全排列,安排到甲乙两辆车,有 A222 种情况, 则有 35270 种不同的乘坐方式; (2)根据题意,分 2 种情况讨论: 、A 户家庭的孪生姐妹在甲车上,甲车上剩下两个要来自不同的家庭, 可以在剩下的三个家庭中任选 2 个,再从每个家庭的 2 个小孩中任选一个,来乘坐甲车,  有 C32C21C2112 种乘坐方式; 、A 户家庭的孪生姐妹不在甲车上, 需要在剩下的三个家庭中任选

32、1 个,让其 2 个小孩都在甲车上, 对于剩余的 2 个家庭,从每个家庭的 2 个小孩中任选一个,来乘坐甲车, 有 C31C21C2112 种乘坐方式; 则共有 12+1224 种乘坐方式 【点评】本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题 20某理财公司有两种理财产品 A 和 B这两种理财产品一年后盈亏的情况如下(每种理财 产品的不同投资结果之间相互独立) : 产品 A 产品 B(其中 p、q0) 投资结果 获利 40% 不赔不赚 亏损 20% 概 率 投资结果 获利 20% 不赔不赚 亏损 10% 概 率 p ()已知甲、乙两人分别选择了产品 A 和产品 B 进行投资,如

33、果一年后他们中至少有 一人获利的概率大于,求 p 的取值范围; ()丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资,以一年后投资收益的期望值为决策依据, 在产品 A 和产品 B 之中选其一,应选用哪个? 【分析】 ()利用相互独立事件和对立事件的概率计算公式,求出“甲选择产品 A 且盈 利” 、 第 18 页(共 21 页) “乙选择产品 B 且盈利”和“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”的概率值, 列出不等式求出 p 的取值范围; ()设丙选择产品 A 进行投资,记 X 为获利金额,写出 X 的分布列,计算数学期望; 设丙选择产品 B 进行投资,记 Y 为获利金额,写出 Y 的分布列,计算数学期

34、望; 讨论 p 的取值,得出 E(X)与 E(Y)的大小关系即可 【解答】解: ()记事件 A 为“甲选择产品 A 且盈利” , 事件 B 为“乙选择产品 B 且盈利” , 事件 C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利” , 则, 所以,所以;4 分 又因为, 所以; 所以;6 分 ()假设丙选择产品 A 进行投资,且记 X 为获利金额(单位:万元) ,所以随机变量 X 的分布列为: X 4 0 2 P 则8 分 假设丙选择产品 B 进行投资,且记 Y 为获利金额(单位:万元) ,所以随机变量 Y 的分布 列为: Y 2 0 1 P p q 则;10 分 当时,E(X)E(Y) ,选择产

35、品 A 和产品 B 一年后投资收益的数学期望相同,可 以在产品 A 和产品 B 中任选一个; 第 19 页(共 21 页) 当时,E(X)E(Y) ,选择产品 A 一年后投资收益的数学期望大,应选产品 A; 当时,E(X)E(Y) ,选择产品 B 一年后投资收益的数学期望大,应选产 品 B12 分 【点评】本题考查了古典概型的概率计算问题,也考查了离散型随机变量的分布列与数 学期望,是中等题 21基因编辑婴儿“露露”和“娜娜”出生的消息成了全球瞩目的焦点,为了解学生对基因 编辑婴儿的看法,某中学随机从该校一年级学生中抽取了 100 人进行调查,抽取的 45 女 生中赞成基因编辑婴儿的占,而 5

36、5 名男生中有 10 人表示赞成基因编辑婴儿 (1)完成 22 列联表,并回答能否有 90%的把握认为“对基因编辑婴儿是否赞成与性 别有关”? 不赞成 赞成 合计 男 45  10 55 女 30  15  45  合计 75  25  100  (2)现从该校不赞成基因编辑婴儿的学生中,采用分层抽样的方法抽取 7 名学生,再从 被抽取的 7 名学生中任取 3 人,记被抽取的 3 名学生女生的人数为 X,求 X 的分布列和 期望 附表: P(K2k0) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k0 2.0

37、72 2.706 3.841 5.024 6.635 K2,na+b+c+d 【分析】 (1)根据抽取的女生中赞成基因编辑婴儿的比值,名男生中赞成基因编辑婴儿 的比值,求出女生和男生中不赞成基因编辑婴儿的人数,填写列联表,计算 K2查表判断 即可; (2)由题意知随机变量 X 的所有可能取值,分别计算对应的概率,写出分布列,计算期 望值 第 20 页(共 21 页) 【解答】解: (1)根据题意完成 22 列联表,如下; 不赞成 赞成 合计 男 45 10 55 女 30 15 45 合计 75 25 100 利用表中数据,计算 K23.030; 且 K23.0302.706, 所以有 90%

38、的把握认为“对基因编辑婴儿是否赞成与性别有关“; (2)用分层抽样法抽取 7 人,其中从不赞成基因编辑婴儿的男生抽取 454(人) ,  从不赞成基因编辑婴儿的女生抽取 303(人) ; 由题意知,X 服从超几何分布; 则 P(Xk)(k0,1,2,3) ; 从而 X 的分布列为: X 0 1 2 3 P X 的数学期望为 E(X)3 【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题,也考查了独立性 检验的问题,是中档题 22设函数 f(x)ax2+4x+b (1)当 b2 时,若对于 x1,2,有 f(x)0 恒成立,求 a 的取值范围; (2)已知 ab,若 f(x)

39、0 对于一切实数 x 恒成立,并且存在 x0R,使得 ax02+4x0+b 0 成立,求的最小值 【分析】 (1)由 f(x)0 可得 a恒成立,转化为求解相应函数的 最值即可; 第 21 页(共 21 页) (2)由 f(x)0 对于一切实数 x 恒成立,可得,由存在 x0R,使得 ax02+4x0+b 0 成立可得0,从而164ab0 可求 ab,然后利用基本不等式可求 【解答】解: (1)据题意知,对于 x1,2,有 f(x)ax2+4x+20 恒成立, 即 a恒成立, 设 t,t,所以 g(t)2t24t2(t+1)2+2, 函数 g(t)在区间,1上是单调递减的, g(t)maxg(), ; (2)由 f(x)0 对于一切实数 x 恒成立,可得,即, 由存在 x0R,使得 ax02+4x0+b0 成立可得164ab0, 164ab0, ab4, 4,当且仅当 ab2 时等号成立, 的最小值 4 【点评】本题主要考查了二次不等式的恒成立问题求解参数的范围,要注意所对应的区 间不同的处理