1、,第3讲 导数的简单应用(小题),板块二 专题六 函数与导数,NEIRONGSUOYIN,内容索引,热点分类突破,真题押题精练,1,PART ONE,热点一 导数的几何意义与定积分,热点二 利用导数研究函数的单调性,热点三 利用导数研究函数的极值、最值,热点一 导数的几何意义与定积分,应用导数的几何意义解题时应注意： (1)f(x)与f(x0)的区别与联系，f(x0)表示函数f(x)在xx0处的导数值，是一个常数； (2)函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率； (3)切点既在原函数的图象上也在切线上.,如图所示，阴影部分是由曲线yx2和圆x2y2a及x轴在第一象限围成的封闭图形，
2、则封闭图形的面积为,曲线yx2和圆x2y22在第一象限的交点为(1,1)，,(2)(2019许昌、洛阳质检)已知a0，曲线f(x)3x24ax与g(x)2a2ln xb有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数b的最小值为,解析 由f(x)3x24ax，得f(x)6x4a，,设两曲线的公共点P(x0，y0)，x00， 因为两曲线在公共点处的切线相同，,又a0，所以x0a，消去y0，得b2a2ln aa2， 设bh(a)2a2ln aa2，a0，h(a)4aln a4a，,定积分 的值为,以r1为半径的圆，在x轴上方部分的面积，,(2)(2019丹东质检)直线2xy10与曲线yaexx相切，则a等
3、于 A.e B.2e C.1 D.2,解析 设切点为(n，aenn)，因为yaex1， 所以切线的斜率为aen1， 切线方程为y(aenn)(aen1)(xn)， 即y(aen1)xaen(1n)， 依题意切线方程为y2x1，,热点二 利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数单调性的关键： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认； (3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.,例2 (1)(2019武邑质检)已知函数f(x)的导函数为f(x)，若2f(x)f(x)2，f(0)5，则不等式f(x)4e2x1的
4、解集为 A.(1，) B.(，0) C.(，0)(1，) D.(0，),解析 设F(x)e2xf(x)e2x4， 则F(x)2e2xf(x)e2xf(x)2e2x e2x2f(x)f(x)20， 所以函数F(x)e2xf(x)e2x4在R上为增函数. 又f(0)5，所以F(0)f(0)140. 又不等式f(x)4e2x1等价于e2xf(x)e2x40，即F(x)0，解得x0， 所以不等式的解集为(0，).,范围是 A.1 B.1 C.(0,1 D.1,0),f(x)2(xa)ln x， f(x)在(0，)上是增函数， f(x)0在(0，)上恒成立， 当x1时，f(x)0满足题意； 当x1时，l
5、n x0，要使f(x)0恒成立，则xa0恒成立. xa1a，1a0，解得a1； 当0x1时，ln x0，要使f(x)0恒成立，则xa0恒成立， xa1a，1a0，解得a1. 综上所述，a1.,A.abc B.bca C.acb D.cba,跟踪演练2 (1)(2019咸阳模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)，,所以函数g(x)在区间(0，)上是增函数， 因为f(x)f(x)0，即f(x)f(x)，,令g(x)ax22ax1， 因为函数f(x)在(1,3)上不单调， 即g(x)ax22ax1在(1,3)上有变号零点， a0时，显然不成立，,它的充分不必要条件即为其一个子集.,热点
6、三 利用导数研究函数的极值、最值,利用导数研究函数的极值、最值应注意的问题： (1)不能忽略函数f(x)的定义域； (2)f(x0)0是可导函数在xx0处取得极值的必要不充分条件； (3)函数的极小值不一定比极大值小； (4)函数在区间(a，b)上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.,例3 (1)(2019东北三省三校模拟)若函数f(x)exax2在区间(0，)上有两个极值点x1，x2(0x1x2)，则实数a的取值范围是,解析 f(x)exax2，可得f(x)ex2ax， 要使f(x)恰有2个正极值点， 则方程ex2ax0有2个不相等的正实数根，,当
7、x0时，g(x)；当x时，g(x)，,所以使函数f(x)exax2在区间(0，)上有两个极值点x1，x2(0x1x2)，,(2)已知点M在圆C：x2y24y30上，点N在曲线y1ln x上，则线段MN的长度的最小值为_.,解析 由题可得C(0,2)，圆C的半径r1. 设N(t,1ln t)(t0)，令f(t)|CN|2，则f(t)t2(1ln t)2(t0)，,令(t)t2ln t1(t0)， 易知函数(t)在(0，)上单调递增，且(1)0， 所以当01时，f(t)0， 所以f(t)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以f(t)minf(1)2.,跟踪演练3 (1)(2019天津市
8、和平区质检)已知函数f(x)x3ax2bxc，若f(1)0，f(1)0，但x1不是函数的极值点，则abc的值为_.,9,解析 f(x)3x22axb， f(1)32ab0， 又f(1)1abc0， 由x1不是f(x)的极值点， 得f(x)0有两个相等的实数根， 4a212b0， 由解得a3，b3，c1， abc9.,即 ax0a0， f(x0)0， 函数f(x)在(，x0)上为减函数，在(x0，)上为增函数， 则f(x)的最小值为f(x0) 1， 即 ,令g(x)exaxa，则g(x)exa0， g(x)在(，)上为增函数，,2,PART TWO,押题预测,真题体验,真题体验,1.(2017全
9、国，理，11)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为 A.1 B.2e3 C.5e3 D.1,解析 函数f(x)(x2ax1)ex1， 则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1 ex1x2(a2)xa1. 由x2是函数f(x)的极值点，得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30， 所以a1. 所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1(x2x2). 由ex10恒成立，得当x2或x1时，f(x)0，且x0； 当21时，f(x)0. 所以x1是函数f(x)的极小值点. 所以函数f(x)的极小值为f(1)1.,2.(2019全国，理，13)曲线y3(x2x
10、)ex在点(0,0)处的切线方程为_.,y3x,解析 因为y3(2x1)ex3(x2x)ex3(x23x1)ex， 所以曲线在点(0,0)处的切线的斜率ky|x03， 所以所求的切线方程为y3x.,3.(2018全国，理，16)已知函数f(x)2sin xsin 2x，则f(x)的最小值是_.,解析 f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1) 2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1). cos x10，,又f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，,A. B.2,押题预测,cef(e)，则a，b，c的大小关系是 A.abc
11、B.bca C.acb D.bac,解析 令g(x)xf(x)， 则g(x)f(x)xf(x)0在(0，)上恒成立， g(x)为(0，)上的单调递增函数， 又g(x)xf(x)xf(x)g(x)， g(x)为偶函数， ef(e)ef(e)，,bac.,3.已知函数f(x)(x3)exa(2ln xx1)在(1，)上有两个极值点，且f(x)在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是 A.(e，) B.(e,2e2) C.(2e2，) D.(e,2e2)(2e2，),解析 由题意，函数f(x)(x3)exa(2ln xx1)，,又由函数f(x)在(1，)上有两个极值点， 则f(x)0在(1，)上有两个不同的实数根，,即xexa0在(1，)上有不等于2的解， 令g(x)xex，x1，则g(x)(x1)ex0， 所以函数g(x)xex在(1，)上为单调递增函数， 所以ag(1)e且ag(2)2e2， 又由f(x)在(1,2)上单调递增，则f(x)0在(1,2)上恒成立，,即xexa0在(1,2)上恒成立， 即axex在(1,2)上恒成立， 又由函数g(x)xex在(1，)上为单调递增函数， 所以ag(2)2e2， 综上所述，可得实数a的取值范围是a2e2， 即a(2e2，).,本课结束,