1、,第4讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题),板块二 专题五 解析几何,NEIRONGSUOYIN,内容索引,热点分类突破,真题押题精练,1,PART ONE,热点一 定点问题,热点二 定值问题,热点三 存在性问题,热点一 定点问题,解决圆锥曲线中的定点问题应注意 (1)分清问题中哪些是定的，哪些是变动的； (2)注意“设而不求”思想的应用，引入参变量，最后看能否把变量消去； (3)“先猜后证”，也就是先利用特殊情况确定定点，然后验证，这样在整理式子时就有了明确的方向.,(1)求椭圆的方程；,(2)过点P的两条直线l1，l2分别与C相交于不同于点P的A，B两点，若l1与l2的斜率之和为
2、4，则直线AB是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.,解 当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为ykxt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，,可得(3k22)x26ktx3t2120， 36(kt)24(3k22)(3t212)0，即24(6k2t24)0，,又y1kx1t，y2kx2t，,化简可得tk2， ykxk2k(x1)2， 直线AB经过定点(1，2). 当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为xm，A(m，y1)，B(m，y2)，,又点A，B均在椭圆上， A，B关于x轴对称， y1y20，m1， 故直线AB方程为x1，也过点(1，2)， 综上直线AB经
3、过定点，定点为(1，2).,跟踪演练1 (2019攀枝花模拟)已知抛物线C：y22px(p0)上一点P(4，t)(t0)到焦点F的距离等于5. (1)求抛物线C的方程和实数t的值；,解得p2，故抛物线C的方程为y24x， 将P(4，t)(t0)代入抛物线方程解得t4.,(2)若过F的直线交抛物线C于不同的两点A，B(均与P不重合)，直线PA，PB分别交抛物线的准线l于点M，N.试判断以MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.,解 以MN为直径的圆一定过点F，理由如下： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 设直线AB的方程为xmy1(mR)，代入抛物线C：y24x， 化简整理得y24my40，
4、,由(1)知P(4,4)，,热点二 定值问题,求定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊情况入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.,(1)求椭圆C的方程；,证明 设P，M，N三点坐标分别为(xP，yP)，(xM，yM)，(xN，yN)， 设直线PM，PN斜率分别为k1，k2， 则直线PM方程为yyPk1(xxP)，,从而xNxM0，即M，N两点的横坐标之和为常数0.,椭圆C的焦距为2. (1)求椭圆C的方程；,3b22a22a2b2，c1， 又a2b2c2， 3b22(b21)2(b21)b2， 2b43b220，解得b22
5、，得a23，,(2)斜率为定值k的直线l与椭圆C交于A，B两点，且满足|OA|2|OB|2的值为常数(其中O为坐标原点). 求k的值以及这个常数；,得(3k22)x26ktx3t260，24(3k2t22)0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,要使|OA|2|OB|2为常数，只需18k2120，,交于A，B两点，且满足|OA|2|OB|2的值为常数，则k的值以及这个常数是多少？,热点三 存在性问题,存在性问题的求解策略 (1)若给出问题的一些特殊关系，要探索一般规律，并证明所得规律的正确性，通常要对已知关系进行观察、比较、分析，然后概括一般规律； (2)若只给出条件，求“不存在”“是否
6、存在”等语句表述问题时，一般先对结论给出肯定存在的假设，然后由假设出发，结合已知条件进行推理，从而得出结论.,(1)求椭圆C的方程；,设椭圆的上焦点F1(0，c)， 由F1到直线4x3y120的距离为3，,又a2b2c2，求得a24，b23.,设直线AB的方程为ykx1(k0)，,消去y并整理得(4k21)x28kx120， (8k)24(4k21)12256k2480.,假设存在点P(0，t)满足条件，,所以直线PA与直线PB的倾斜角互补，所以kPAkPB0.,即x2(y1t)x1(y2t)0. 将y1kx11，y2kx21代入上式， 整理得2kx1x2(1t)(x1x2)0，,整理得3kk
7、(1t)0，即k(4t)0， 因为k0，所以t4.,(1)求椭圆的标准方程；,(2)直线l交椭圆于P，Q两点，判断是否存在直线l，使点F恰为PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.,解 F为MPQ的垂心，MFPQ， 又M(0,1)，F(1,0)，kMF1，kPQ1， 设直线PQ：yxm(m1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，,x2x1x2y1y2y10，即(1m)(x1x2)2x1x2mm20，,即3m2m40，,2,PART TWO,押题预测,真题体验,真题体验,(1)证明：直线AB过定点；,整理得2tx12y110. 设B(x2，y2)，同理可得2tx22y21
8、0. 故直线AB的方程为2tx2y10.,于是x1x22t，x1x21，y1y2t(x1x2)12t21，,解得t0或t1.,押题预测,已知抛物线E：y24x，圆C：(x3)2y21. (1)若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l方程；,解 由题知抛物线E的焦点为F(1,0)， 当直线的斜率不存在时，过点F(1,0)的直线不可能与圆C相切； 所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在， 设直线斜率为k，则所求的直线方程为yk(x1)，即kxyk0，,当直线l与圆相切时，,(2)在(1)的条件下，若直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点M(t,0)使AMOBMO(O为坐标原点)？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.,得x214x10，显然0， 所以x1x214，x1x21， 假设存在点M(t,0)使AMOBMO，则kAMkBM0.,y1x2y2x1(y1y2)t0 2x1x2(x2x1)(x1x22)t0， 即214(142)t0t1， 故存在点M(1,0)符合条件.,由对称性易知点M(1,0)也符合条件. 综上可知在(1)的条件下，存在点M(1,0)， 使AMOBMO.,本课结束,