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数学(理科)高三二轮复习系列板块2 核心考点突破拿高分 专题5 第4讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题)

1、,第4讲 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题(大题),板块二 专题五 解析几何,NEIRONGSUOYIN,内容索引,热点分类突破,真题押题精练,1,PART ONE,热点一 定点问题,热点二 定值问题,热点三 存在性问题,热点一 定点问题,解决圆锥曲线中的定点问题应注意 (1)分清问题中哪些是定的,哪些是变动的; (2)注意“设而不求”思想的应用,引入参变量,最后看能否把变量消去; (3)“先猜后证”,也就是先利用特殊情况确定定点,然后验证,这样在整理式子时就有了明确的方向.,(1)求椭圆的方程;,(2)过点P的两条直线l1,l2分别与C相交于不同于点P的A,B两点,若l1与l2的斜率之和为

2、4,则直线AB是否经过定点?若是,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.,解 当直线AB的斜率存在时, 设直线AB的方程为ykxt,A(x1,y1),B(x2,y2),,可得(3k22)x26ktx3t2120, 36(kt)24(3k22)(3t212)0,即24(6k2t24)0,,又y1kx1t,y2kx2t,,化简可得tk2, ykxk2k(x1)2, 直线AB经过定点(1,2). 当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为xm,A(m,y1),B(m,y2),,又点A,B均在椭圆上, A,B关于x轴对称, y1y20,m1, 故直线AB方程为x1,也过点(1,2), 综上直线AB经

3、过定点,定点为(1,2).,跟踪演练1 (2019攀枝花模拟)已知抛物线C:y22px(p0)上一点P(4,t)(t0)到焦点F的距离等于5. (1)求抛物线C的方程和实数t的值;,解得p2,故抛物线C的方程为y24x, 将P(4,t)(t0)代入抛物线方程解得t4.,(2)若过F的直线交抛物线C于不同的两点A,B(均与P不重合),直线PA,PB分别交抛物线的准线l于点M,N.试判断以MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.,解 以MN为直径的圆一定过点F,理由如下: 设A(x1,y1),B(x2,y2), 设直线AB的方程为xmy1(mR),代入抛物线C:y24x, 化简整理得y24my40,

4、,由(1)知P(4,4),,热点二 定值问题,求定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个定值与变量无关; (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.,(1)求椭圆C的方程;,证明 设P,M,N三点坐标分别为(xP,yP),(xM,yM),(xN,yN), 设直线PM,PN斜率分别为k1,k2, 则直线PM方程为yyPk1(xxP),,从而xNxM0,即M,N两点的横坐标之和为常数0.,椭圆C的焦距为2. (1)求椭圆C的方程;,3b22a22a2b2,c1, 又a2b2c2, 3b22(b21)2(b21)b2, 2b43b220,解得b22

5、,得a23,,(2)斜率为定值k的直线l与椭圆C交于A,B两点,且满足|OA|2|OB|2的值为常数(其中O为坐标原点). 求k的值以及这个常数;,得(3k22)x26ktx3t260,24(3k2t22)0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),,要使|OA|2|OB|2为常数,只需18k2120,,交于A,B两点,且满足|OA|2|OB|2的值为常数,则k的值以及这个常数是多少?,热点三 存在性问题,存在性问题的求解策略 (1)若给出问题的一些特殊关系,要探索一般规律,并证明所得规律的正确性,通常要对已知关系进行观察、比较、分析,然后概括一般规律; (2)若只给出条件,求“不存在”“是否

6、存在”等语句表述问题时,一般先对结论给出肯定存在的假设,然后由假设出发,结合已知条件进行推理,从而得出结论.,(1)求椭圆C的方程;,设椭圆的上焦点F1(0,c), 由F1到直线4x3y120的距离为3,,又a2b2c2,求得a24,b23.,设直线AB的方程为ykx1(k0),,消去y并整理得(4k21)x28kx120, (8k)24(4k21)12256k2480.,假设存在点P(0,t)满足条件,,所以直线PA与直线PB的倾斜角互补,所以kPAkPB0.,即x2(y1t)x1(y2t)0. 将y1kx11,y2kx21代入上式, 整理得2kx1x2(1t)(x1x2)0,,整理得3kk

7、(1t)0,即k(4t)0, 因为k0,所以t4.,(1)求椭圆的标准方程;,(2)直线l交椭圆于P,Q两点,判断是否存在直线l,使点F恰为PQM的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.,解 F为MPQ的垂心,MFPQ, 又M(0,1),F(1,0),kMF1,kPQ1, 设直线PQ:yxm(m1),P(x1,y1),Q(x2,y2),,x2x1x2y1y2y10,即(1m)(x1x2)2x1x2mm20,,即3m2m40,,2,PART TWO,押题预测,真题体验,真题体验,(1)证明:直线AB过定点;,整理得2tx12y110. 设B(x2,y2),同理可得2tx22y21

8、0. 故直线AB的方程为2tx2y10.,于是x1x22t,x1x21,y1y2t(x1x2)12t21,,解得t0或t1.,押题预测,已知抛物线E:y24x,圆C:(x3)2y21. (1)若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切,求直线l方程;,解 由题知抛物线E的焦点为F(1,0), 当直线的斜率不存在时,过点F(1,0)的直线不可能与圆C相切; 所以过抛物线焦点与圆相切的直线的斜率存在, 设直线斜率为k,则所求的直线方程为yk(x1),即kxyk0,,当直线l与圆相切时,,(2)在(1)的条件下,若直线l交抛物线E于A,B两点,x轴上是否存在点M(t,0)使AMOBMO(O为坐标原点)?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.,得x214x10,显然0, 所以x1x214,x1x21, 假设存在点M(t,0)使AMOBMO,则kAMkBM0.,y1x2y2x1(y1y2)t0 2x1x2(x2x1)(x1x22)t0, 即214(142)t0t1, 故存在点M(1,0)符合条件.,由对称性易知点M(1,0)也符合条件. 综上可知在(1)的条件下,存在点M(1,0), 使AMOBMO.,本课结束,